Lista_EDO_1

Prévia do material em texto

MMB-2 Lista de exercícios EDO
1. Determine se as EDO abaixo são separáveis ou lineares e encontre as suas soluções gerais
(a) y′ =
1
xy
, xy 6= 0 (b) y
′ − x2y = 2x2 (c) y′ = x− y
2. Para cada uma das EDO do exercício 1, encontre uma solução particular que satisfaz
(a) y(1) = −4 (b) y(0) = 0 (c) y(1) = 1
3. Encontre a solução homogênea associada e a solução particular para as EDO de segunda ordem
abaixo
(a) y′′ + y′ +
5
4
y = t (b) 2y
′′ + 4x+ 2 = e−x (c) y′′ − y′ = cos(x)
4. Para cada uma das EDO do exercício 3, encontre as constantes para que as condições a seguir
sejam satisfeitas
(a) y(0) = 0 e y′(0) = 0 (b) y′(0) = 1 e y′′(0) = 0 (c) y(π) = 0 e y′(π) = 0
5. Em um circuito elétrico com um resistor (R) e um capacitor (C) a diferença de potencial sobre
os dois componentes é dada pela corrente no resistor (dQ
dt
) e a carga no capacitor (Q),
V (t) = R
dQ
dt
+
Q
C
.
Encontre uma expressão para a carga no capacitor quando V (t) = cos(t), R = 2 e C = 1/2.
6. Um tanque com 25 kg de sal misturado a 50 L de água é alimentado com uma solução de 1 kg/L
de sal a uma taxa de 0,5 L/min. A água no tanque é mantida agitada de forma a ter uma mistura
homogênea. Uma outra torneira retira água do tanque também a 0,5 L/min. Podemos calcular
a quantidade de sal na água do tanque a qualquer instante resolvendo a equação que descreve a
variação de sal dentro do tanque dada por:
dy
dt
= taxa de entrada de sal− taxa de saída de sal =
= (concentração · vazão)entrada − (concentração · vazão)saída
Encontre uma expressão para y(t).
7. (Stewart, seção 9.5 questão 33) Um tanque contém 100 L de água pura. Uma solução com uma
concentração salina de 0,4 kg/L é adicionada à taxa de 5 L/min. A solução é mantida misturada
e é retirada do tanque na taxa de 3 L/min. Se y(t) é a quantidade de sal (quilogramas) após t
minutos, mostre que y satisfaz a equação diferencial
dy
dt
= 2− 3y
100 + 2t
e resolva a equação. (dica: O volume de água no tanque depende das vazões de entrada e saída)
8. (Stewart, seção 9.5 questão 23) Uma equação diferencial de Bernoulli (em homenagem a James
Bernoulli) é uma equação da forma
dy
dx
+ P (x)y = Q(x)yn
Observe que, se n = 0 ou 1, a equação de Bernoulli é linear. Para outros valores de n, mostre que
a substituição u = y1−n transforma a equação de Bernoulli na equação linear
du
dx
+ (1− n)P (x)u = (1− n)Q(x)