Aula 28

Prévia do material em texto

Coordenadas cilíndricas
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P do espaço tridimensional é representado pela
tripla ordenada (r, θ, z), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projeção do ponto P sobre o plano
xy e z é a coordenada cartesiana que estamos acostumados.
Podemos obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P ∈ R3 à partir das suas coor-
denadas cilíndricas (r, θ, z) utilizando as fórmulas
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z
Exemplo 1. Plote o ponto com coordenadas cilíndricas
(
2, 2π
3
, 1
)
e determine sua coordendas carte-
sianas.
O ponto com coordenadas cilíndricas
(
2, 2π
3
, 1
)
é o ponto
Em coordenadas cartesianas (x, y, z) temos
x = 2 cos
2π
3
= 2 ·
(
−1
2
)
= −1
y = 2 sen
2π
3
= 2 ·
(√
3
2
)
=
√
3
z = 1
Ou seja, em coordenadas cartesianas o ponto é representado pela tripla ordenada (−1,
√
3, 1).
1
Observe que a equação cilíndrica r = c representa o cilindro de raio |c| dado em coordenadas
cartesianas por x2 + y2 = c2.
A equação cilíndrica θ = c representa um plano que é equivalente ao plano xz rotacionado em c
radianos.
Já a equação cilíndrica z = c continua representando simplesmente o plano paralelo ao plano xy
que passa pelo ponto (0, 0, c).
2
Coordenadas esféricas
No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P do espaço tridimensional é representado pela
tripla ordenada (ρ, θ, φ), onde
• ρ = d(P, 0) = ||
−→
OP || ≥ 0 é a distância entre o ponto P e a origem.
• θ é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas.
• φ ∈ [0, π] é o ângulo entre o vetor
−→
k = (0, 0, 1) e o vetor
−→
OP .
Suponha que P = (x, y, z) em coordenadas cartesianas. Sejam Q = (x, y, 0) a projeção do ponto
P no plano xy e X = (x, 0, 0) a projeção do ponto Q no eixo x.
Analisando o triângulo retângulo OQX obtemos que
x =
√
x2 + y2 cos θ e y =
√
x2 + y2 sen θ
3
Analisando o triângulo retângulo OPQ, obtemos que√
x2 + y2 = ρ sen φ e z = ρ cosφ
Logo,
x = ρ sen φ cos θ e y = ρ sen φ sen θ
e concluímos que podemos obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P ∈ R3 à partir
das suas coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) utilizando as fórmulas
x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cosφ
Exemplo 2. Plote o ponto com coordenadas esféricas
(
2, π
4
, π
3
)
e determine suas coordenadas carte-
sianas.
O ponto com coordenadas esféricas
(
2, π
4
, π
3
)
é o ponto
Em coordenadas cartesianas (x, y, z) temos
x = 2 sen
π
3
cos
π
4
= 2 ·
√
3
2
·
√
2
2
=
√
6
2
y = 2 sen
π
3
sen
π
4
= 2 ·
√
3
2
·
√
2
2
=
√
6
2
z = 2 cos
π
3
= 2 · 1
2
= 1
Ou seja, em coordenadas cartesianas o ponto é representado pela tripla ordenada
(√
6
2
,
√
6
2
, 1
)
.
4
Observe que a equação esférica ρ = 0 representa a origem. Se c > 0, então a equação esférica
ρ = c representa a esfera de raio c dado em coordenadas cartesianas por x2 + y2 + z2 = c2 (uma vez
que seu grá�co é constituído de todos os pontos que distam exatamente c unidades da origem).
Se c ∈ R, então a equação esférica θ = c representa um semi-plano que é equivalente ao semi-plano
xz onde x > 0 rotacionado em c radianos (uma vez que 0 ≤ φ ≤ π).
Se c ∈
(
0, π
2
)
, então a equação esférica φ = c representa o semi-cone superior com ângulo de
abertura c e se e c ∈
(
π
2
, π
)
, então a equação esférica φ = c representa o semi-cone inferior com
ângulo de abertura π − c.
A equação esférica φ = 0 representa a semi-reta positiva do eixo z, a equação esférica φ = π
representa a semi-reta negativa do eixo z e a equação esférica φ = π
2
representa o plano xy.
5