Artigo de Dinamica

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Artigo de Dinâmica 
Aluno: Pablo Vinicios Travassos Aires 
Faculdade Isl Wyden 
Temas: Movimento retilíneo uniforme, movimentos em duas e três dimensões e Leis de Newton. 
 
 
 Resumo ⎯ Neste artigo, discutimos a estrutura das leis de 
movimento da mecânica clássica advinda de hipóteses 
gerais de simetria do espaço-tempo e do entendimento dessa 
teoria como sendo uma descrição efetiva para fenômenos 
macroscópicos. Usando argumentos de análise dimensional 
inspirados nas técnicas de teoria de campos efetivas, 
sustentamos em favor da naturalidade das leis de Newton 
da mecânica clássica. 
 
 Palavras-chave: Leis de movimento, Mecânica 
Clássica, Leis de Newton, Teorias efetivas, Simetrias 
emergentes 
 
I. INTRODUÇÃO 
 
Neste artigo, discutimos a estrutura das leis de movimento da 
mecânica clássica advinda de hipóteses gerais de simetria do 
espaço-tempo e do entendimento dessa teoria como sendo 
uma descrição efetiva para fenômenos macroscópicos. 
Usando argumentos de análise dimensional inspirados nas 
técnicas de teoria de campos efetivas, sustentamos em favor 
da naturalidade das leis de Newton da mecânica clássica. 
 
De modo geral, a mecânica é uma área da Física que se 
propõe a descrever os princípios básicos que regem os 
movimentos dos corpos no espaço enquanto o tempo flui. 
Dessa forma, para sua completa consistência, deve-se definir 
precisamente o que se entende por tempo, espaço e objeto. 
Tais conceitos, evidentemente, extrapolam o escopo da 
mecânica e influenciam na descrição das demais áreas da 
Física. Além disso, diferentes noções dessas estruturas levam 
a distintas realizações da mecânica. O foco deste artigo é a 
análise da estrutura do que entendemos por mecânica 
clássica, que também nos referimos por mecânica 
Newtoniana. 
 
 Movimento retilíneo uniforme 
 
Define-se Movimento Retilíneo Uniforme como sendo aquele 
movimento que tem velocidade escalar constante. 
Movimentos que se realizam ao longo de trajetórias retilíneas 
não são comuns. As grandes retas das estradas dificilmente 
correspondem a trajetórias retilíneas. Elas quase sempre 
possuem desníveis que acabamos não considerando. Na 
verdade, a maioria dos corpos que se movem próximos à 
superfície da Terra não descreve trajetória retilínea. Menos 
frequentes, ainda, são os movimentos que além de 
descreverem trajetória retilínea, o fazem com velocidade 
constante. O movimento retilíneo uniforme (MRU) é o 
movimento mais simples e menos frequente que existe na 
natureza. Pode-se dizer ainda que o móvel percorre distâncias 
iguais em intervalos de tempos iguais. Neste caso, a 
velocidade escalar instantânea coincide com a velocidade 
escalar média em qualquer instante. Pode-se obter então a 
equação horária do Movimento Retilíneo Uniforme: 
 
 x(t) = x0 + vt 
 
A Eq. mostra que a posição x(t) de um corpo em Movimento 
Retilíneo Uniforme em função do tempo t se comporta como 
uma função linear, do tipo 
 
 y = ax + b 
 
O movimento é uniforme quando a velocidade escalar do 
móvel é constante em qualquer instante ou intervalo de 
tempo, significando que, no movimento uniforme o móvel 
percorre distâncias iguais em tempos iguais. 
O movimento é retilíneo uniforme quando o móvel percorre 
uma trajetória retilínea e apresenta velocidade escalar 
constante. 
 
 
 
 
Fig. 1. Movimento retilíneo uniforme. 
 
 
O movimento do carro apresentado acima é um exemplo de 
movimento uniforme. Em qualquer instante ou intervalo de 
tempo a velocidade é sempre igual a 10m/s. 
 
Como a velocidade escalar é constante em qualquer instante 
ou intervalo de tempo no movimento uniforme, a velocidade 
escalar média é igual à instantânea: 
 
 
 V = Vinst = Vmédia =∆S/∆t 
 
 
Equação horária do movimento uniforme A equação horária 
de um movimento mostra como o espaço varia com o tempo: 
S = f(t) No movimento uniforme temos que: 
 
 
 
 V = Vmédia = Vinst =∆S/∆t = (S - S0 )/(t - t0 ) 
 
 
 Assim, obtemos: 
 
S - S0 = V (t - t0 ) 
Para t0 = 0 S - S0 = V t 
Resolvendo para S: S = S0 + V t (Equação horária do 
Movimento Uniforme) onde: 
S: espaço final 
S0: espaço inicial 
t: instante final 
 
No movimento uniforme a equação horária é uma função do 
1ͦ grau. 
 
Para definirmos corretamente o movimento de um corpo, é 
necessário escolher um referencial. Na Física, entendemos 
que referencial é a posição em que o observador se encontra. 
A figura abaixo mostra alguns veículos que se movem em 
diferentes sentidos ao longo da direção horizontal. 
O referencial adotado na figura (marcado pelo ponto 0) é 
onde o observador se encontra. Segundo esse referencial, os 
carros,à esquerda,encontram em posições negativas, enquanto 
os carros, à direita, encontram-se em posições positivas. 
 
 
 
 
 Fig 2. O referencial indica o sentido dos movimentos. 
 
 
É importante perceber que a escolha de outro referencial 
implicaria a mudança das posições iniciais de cada veículo e 
também a classificação dos seus movimentos. A figura 
abaixo mostra o que o referencial escolhido percebe: para 
ele, o carro laranja e o carro prata, à esquerda, afastam-se, 
enquanto o carro prata, à direita, aproxima-se dele. 
 
 
 
Dizemos que quando um móvel aproxima-se do seu 
referencial, seu movimento é regressivo. Caso o móvel 
afaste-se do seu referencial, seu movimento é progressivo. 
Além disso atribuímos o movimento progressivo o sinal 
positivo para a velocidade. Paro o movimento regressivo 
ultilizamos o sinal negativo, indicando que o a distância entre 
o móvel e seu referencial siminui com o tempo. 
 
 
Gráficos de movimento retilíneo 
uniforme 
 
Podemos relacionar a posição de um móvel em função do 
tempo usando os gráficos. Para o movimento uniforme, os 
gráficos de posição em função do tempo formam retas com 
inclinação para cima ou para baixo, relacionadas ao 
movimento progressivo e regressivo, respectivamente. 
Confira um exemplo de gráfico da posição em função do 
tempo para o movimento uniforme progressivo: 
 
 
 
Na figura abaixo, temos um gráfico que representa a posição 
em função do tempo para um móvel que executa um 
movimento uniforme e regressivo (ou retrógrado). 
 
 
 
Os gráficos de posição em função do tempo podem ser 
usados para determinar a velocidade do movimento. Para 
isso, basta percebermos que a velocidade do móvel é dada 
por sua tangente, ou seja, a razão entre o cateto oposto (ΔS) e 
o cateto adjacente à reta (Δt). Os gráficos de velocidade em 
função do tempo para o movimento uniforme, por sua vez, 
são retas paralelas ao eixo horizontal, de módulo negativo ou 
positivo, de acordo com a sua classificação (progressivo ou 
regressivo). Por meio do gráfico de velocidade, é possível 
calcular o deslocamento do móvel. 
 
 
 
 
No gráfico anterior, a área pintada de azul é numericamente 
igual à área de um retângulo. 
 
 
Movimento em duas e três 
dimensões 
 
O movimento unidimensional é um caso particular de uma 
classe mais ampla de movimentos que ocorrem em duas ou 
três dimensões. Se o movimento de um corpo está 
completamente restrito a um plano, ele é denominado 
movimento plano ou bidimensional. 
 
A nossa experiência cotidiana está repleta de exemplos de 
movimentos bi e tridimensionais. Podemos até dizer que são 
raras as situações com movimentos unidimensionais. Quando 
saímos de nossa cama para a sala, certamente usamos um 
movimento bidimensional ao chegar até a porta e 
caminhando pelo corredor para atingir a sala. Num automóvel 
em movimento, além do movimento bidimensional, segundo 
os pontos cardeais, as estradas têm elevações e baixos, de 
modo que percorremos um caminhotridimensional. 
 
Posição, velocidade e aceleração: 
 
Vetores Posição e velocidade: O vetor posição de uma 
partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de 
coordenadas até a posição da partícula. 
 
 r
.
= r
.
- r
. 
 
 
A localização de uma partícula pode ser especificada através 
do vetor posição r, um vetor que liga um ponto de referência 
(em geral a origem de um sistema de referência) à partícula. 
Sendo: 
 
 r
r 
= xî + yˆj + zkˆ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde xiˆ, yˆj, zkˆ são os componentes vetoriais r e x, y e z 
são os componentes escalares. As quais fornecem as 
localizações das partículas aos longos dos eixos de 
coordenadas em relação á origem. A figura acima mostra 
uma partícula cuja a posição é: 
 
 
 
e cujas coordenadas retangulares são (-3m, 2m, 5m). 
 
 
Ao longo do eixo x a partícula está a 3m da origem, 
no sentido contrário ao do vetor unitário î . Ao 
longo do eixo y, ela está a 2m da origem, no sentido do 
vetor unitário ĵ . Ao longo eixo z ela está a 5 m da 
origem, no sentido do vetor unitário k̂ . 
 
 
Velocidade Média e Velocidade Instantânea: 
 
Para todo movimento podemos associar uma grandeza 
chamada velocidade que é o quociente entre a variação de 
espaço e a variação de tempo utilizado pelo móvel neste 
percurso. A velocidade mede a variação da posição do móvel 
no tempo, e nos fornece um valor que expressa o quanto o 
móvel está rápido ou devagar ao realizar um percurso. 
 
Quando, em algum exemplo ou exercício de cinemática, 
estiver o termo velocidade escalar, nos referirmos a uma 
grandeza escalar (que tem apenas valor numérico), sem nos 
preocupar com direção e sentido, que são características de 
um vetor. 
 
O conceito de velocidade média ou velocidade escalar média 
é diferente do conceito de velocidade instantânea. A 
velocidade média está ligada a um intervalo de tempo ∆t 
enquanto a velocidade instantânea a um instante de tempo t. 
 
 
Se uma partícula se move de um ponto para outro, podemos 
estar interessados em saber com que rapidez ela se move, 
definindo assim as velocidades média e instantânea. No caso 
de um movimento 2D ou 3D devemos considerar essas 
grandezas como vetores e usar a notação vetorial. Se uma 
partícula sofre um deslocamento r r Δ em um intervalo de 
tempo Δt , sua velocidade média vméd é dada por: 
 
 
 Velocidade média = deslocament̶̶̶̶o/intervalo de tempo 
 
 
Sabemos que a variação de espaço do móvel foi de 100m e a 
variação de tempo do móvel foi de 10s, logo, a velocidade 
média é dada por: 
 
Vm = ∆S/∆t 
Vm = 100m / 10s 
Vm = 10m/s 
 
A velocidade média do móvel foi de 10m/s. Isto não significa 
que ele estava sempre com velocidade 10m/s, já que parte do 
repouso (velocidade inicial zero) e ao longo do percurso 
aumenta sua velocidade. 
Para saber a velocidade instantânea do móvel no instante 6s, 
sabendo que a aceleração do mesmo é de 2m/s2, devemos 
utilizar a equação abaixo: 
V = V0 + a.t 
Esta é a função da velocidade para o movimento 
uniformemente variado, onde: 
V: é a velocidade final do móvel. 
V0: é a velocidade inicial do móvel. 
a: é a aceleração do móvel. 
t: é o tempo. 
 
Substituindo os valores fornecidos, temos: 
V = V0 + a.t 
V = 0 + 2 . 6 
V = 12 m/s 
 
Logo, a velocidade do móvel no instante 6s é igual a 12m/s e 
esta pode ser chamada de velocidade instantânea já que se 
refere ao instante 6s. 
 
Aceleração média aceleração instantânea 
 
Sempre que a velocidade de um móvel varia dizemos que 
esse móvel está acelerando. A aceleração é, portanto, uma 
medida da variação da velocidade por intervalo de tempo. 
A aceleração calculada dessa forma é chama de aceleração 
média porque entre o intervalo de tempo usado, a velocidade 
pode apresentar valores diferentes do final ou do inicial. No 
entanto, se aproximarmos os instantes final e inicial cada vez 
mais, maiores são as chances de a velocidade sofrer variações 
cada vez menor. Assim, o Δt fica cada vez menor, cada vez 
mais próximo de 0 (mas nunca sendo 0, em absoluto). 
 
 
 
Teremos então a velocidade escalar instantânea. E,a partir 
dela, a aceleração escalar instantânea. 
 
Movimento de projéteis 
 
 
Um caso especial de movimento bidimensional: Uma 
partícula que se move em um plano vertical com velocidade 
inicial v0 e com uma aceleração constante, igual a aceleração 
de queda livre g , dirigida para baixo. Uma partícula que se 
move desta forma é chamada projétil (o que significa que é 
projetada ou lançada), e seu movimento é chamado de 
movimento balístico. Um projétil pode ser uma bola de tênis 
ou de pingue-pongue, mas não um avião ou um pato. Muitos 
esportes envolvem os movimentos balísticos de uma bola; 
jogadores e técnicos estão sempre procurando controlar esses 
movimentos para obter o máximo de vantagem. O jogador 
que descobriu a rebatida em Z na raquetebol na década de 70, 
por exemplo, vencia os jogos com facilidade porque a 
trajetória peculiar da bola no fundo da quadra surpreendia os 
adversários. 
 
Durante o movimento bidimensional, o vetor r e a velocidade 
v do projétil mudam constantemente, mas o vetor aceleração 
a é constante e está sempre dirigido verticalmente para baixo. 
O projétil não possui aceleração horizontal. 
 
 
 Leis de Newton 
 
 
De modo geral, a mecânica é uma área da Física que se 
propõe a descrever os princípios básicos que regem os 
movimentos dos corpos no espaço enquanto o tempo flui. 
Dessa forma, para sua completa consistência, deve-se definir 
precisamente o que se entende por tempo, espaço e objeto. 
 
Dessa forma, para sua completa consistência, deve-se definir 
precisamente o que se entende por tempo, espaço e objeto. 
Tais conceitos, evidentemente, extrapolam o escopo da 
mecânica e influenciam na descrição das demais áreas da 
Física. Além disso, diferentes noções dessas estruturas levam 
a distintas realizações da mecânica. O foco deste artigo até 
então é a análise da estrutura do que entendemos por 
mecânica clássica, que também nos referimos por mecânica 
Newtoniana. 
 
Como geralmente ocorre no processo de construção de uma 
teoria científica, o desenvolvimento da mecânica Newtoniana 
traçou um caminho altamente sinuoso. Por tentar extrair 
princípios gerais de fenômenos facilmente acessíveis, 
diversos conceitos informais do cotidiano foram sendo 
incorporados na descrição científica, muitas vezes sem a 
devida precisão. 
 
 
 
 
As leis de Newton do movimento 
 
Como resultado de séculos de observações e conhecimento 
acumulado, Newton foi capaz de condensar os princípios que 
regem a dinâmica dos corpos em suas três leis do movimento. 
Numa formulação moderna, estas leis podem ser enunciadas 
da seguinte forma: 
 
Primeira Lei Todo corpo persiste em seu estado de repouso 
ou de movimento retilíneo uniforme a menos que seja 
compelido a modificar este estado pela ação de forças sobre 
ele. 
 
Segunda Lei A soma das forças que atuam sobre um corpo é 
igual ao produto de seu coeficiente de inércia pela sua 
aceleração: F = ma. 
 
Terceira Lei A toda ação que um corpo exerce sobre um 
segundo corpo, corresponde uma reação do segundo sobre o 
primeiro de mesma intensidade e sentido oposto. 
 
A primeira lei, também chamada lei da inércia, serve para 
limitar o escopo da segunda lei, de modo que a validade desta 
última é restrita à classe de referenciais inerciais (aqueles que 
obedecem a lei da inércia). A segunda lei introduz o 
coeficiente de inércia m, que é uma constante positiva 
característica de cada objeto. A lei de forças F deve serobtida, em última análise, de forma empírica e a solução do 
problema mecânico pressupõe seu conhecimento. Além 
disso, a segunda lei afirma que o estado de um objeto é 
completamente determinado por sua posição e velocidade em 
qualquer instante do movimento, pois qualquer derivada da 
posição de ordem maior ou igual a dois pode ser obtida 
recorrentemente de. De certo modo, a terceira lei 
complementa a primeira, pois um objeto composto, onde os 
seus constituintes interagem somente entre si e não sofrem 
ação externa, obedecerá a lei da inércia. Ambas as leis 
equivalem à conservação do momento linear total do sistema. 
 
Como bem sabemos, desde sua concepção, esse conjunto de 
leis tem sido usado com sucesso para descrição de vários 
sistemas físicos. Um de seus grandes triunfos apareceu já no 
terceiro volume dos Principia, onde Newton demonstrou que 
essas leis, combinadas com sua lei da Gravitação universal, 
eram capazes de descrever as leis de Kepler dos movimentos 
planetários. tais leis são capazes de descrever os fenômenos 
observados numa escala macroscópica e de baixas 
velocidades. Como já mencionamos, a relatividade especial 
introduz uma nova constante com dimensão de velocidade 
que coincide com a velocidade da luz no vácuo c e que pode 
ser usada como referência para separar movimentos lentos, v 
<< c, de movimentos rápidos, v ~ c. O conceito, por outro 
lado, pode variar de sistema para sistema. O importante é que 
os efeitos quânticos não sejam importantes o suficiente para 
invalidar o tratamento clássico. O importante é que os efeitos 
 
 
 
 
quânticos não sejam importantes o suficiente para invalidar o 
tratamento clássico. Em geral, podemos definir uma escala de 
comprimento que separa os fenômenos quânticos dos 
fenômenos clássicos, como o comprimento de onda de 
Broglie. 
 
 
Simetrias e Leis de Conservação 
 
Apesar de as propriedades de simetria do espaço-tempo não 
terem sido explicitamente invocadas na construção das leis de 
Newton, pode-se averiguar a posteriori quais são essas 
propriedades e suas consequências na dinâmica dos sistemas 
físicos. Notemos, por exemplo, que o lado direito da segunda 
lei de Newton não introduz nenhuma estrutura externa 
referente ao espaço-tempo. Ou seja, não há nenhum ponto ou 
direção espacial ou temporal privilegiadas advindas desse 
termo. Assim, as propriedades de simetria de um sistema com 
N partículas, necessariamente fundamentais, dependem da 
forma dos campos de forças. 
 
Aplicações das leis de Newton 
 
Como vimos, as leis de Newton são as leis básicas da 
Mecânica Clássica. Em princípio, qualquer problema de 
dinâmica pode ser resolvido através de sua aplicação. 
 Na primeira, conhecemos as forças que agem sobre o corpo e 
queremos encontrar seu efeito, expresso através de mudanças 
na velocidade e posição. 
 
 Na segunda categoria, conhecemos o movimento do corpo e 
a partir disto queremos determinar o conjunto de forças 
agindo sobre ele. A solução de um problema pode ser 
encontrada através de urna sequência natural de análises. 
Primeiramente, o problema deve estar claramente colocado e 
se ele apresentar várias partes, cada uma delas deve ser 
analisada antes de se considerar o sistema como um todo. 
Sempre que houver contato entre corpos, lembre-se que ação 
e reação agem em corpos diferentes. 
 
As forças que agem sobre o corpo serão representadas por 
setas com a origem num ponto do corpo escolhido como 
representativo do corpo. Um sistema é formado por um ou 
mais corpos, e qualquer força exercida sobre os corpos do 
sistema por corpos fora do sistema é chamada de força 
externa. Se os corpos pertencentes a um sistema estão 
rigidamente ligados uns aos outros, podemos tratar o sistema 
como um único corpo, e a força resultante F r é a que está 
submetido este corpo é a soma vetorial das forças externas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
 A. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, “On certain integrals of Lipschitz-
Hankel type involving products of Bessel functions”, Phil. Trans. Roy. 
Soc. London, vol. A247, pp. 529-551, April 1955. 
J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. 
Oxford: Clarendon, 1892, pp. 68-73. 
 I. S. Jacobs, “Fine particles and thin films”, in Magnetism, vol. III, G. T. Rado 
and H. Suhl, Eds. New York: Academic, 1963, pp. 271-350. 
 K. Elissa, “Not published yet, even if submitted”, unpublished.