MecSolidosCap _5 (1)

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MECÂNICA VETORIAL PARA 
ENGENHEIROS
2 - 1
ESTÁTICA – CAP. 5
NOTAS DE AULAS
DO 
FERDINAND P. BEER
E. RUSSEL JOHNSTON, JR
LIVRO MÊCANICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS 
Prof. Paulo Henrique M. Montenegro
Universidade Federal da Paraíba - CT/DEM
Introdução
5 - 2
• A Terra exerce uma força gravitacional em cada uma das partículas 
que constituem um corpo. Essas forças podem ser substituídas por 
uma única força equivalente, de intensidade igual ao peso do corpo 
e aplicada em seu centro de gravidade.
• O centroide de uma superfície é análogo ao centro de gravidade de 
um corpo e a para a sua determinação é utilizado o conceito de 
momento de primeira ordem de uma área.
• A determinação da área de uma superfície de revolução 
ou do volume de um sólido de revolução é possível com 
a utilização dos Teoremas de Pappus-Guldinus.
Centro de Gravidade de um Corpo 
Bidimensional
5 - 3
• Centro de gravidade de uma placa: • Centro de gravidade de um fio:
Centroides e Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e 
Curvas
5 - 4
• Centroide de uma superfície: • Centroide de uma curva:
Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e 
Curvas
5 - 5
• Uma superfície é simétrica em relação a uma eixo 
BB’ se para cada ponto P da superfície há um 
ponto P’ tal que a linha PP’ é perpendicular a BB’ 
e é dividida em duas partes iguais por esse eixo.
• O momento de primeira ordem de uma superfície 
em relação a um eixo de simetria é zero.
• Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu 
centroide fica localizado sobre esse eixo.
• Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu 
centroide deverá se localizar na interseção dos dois.
• Uma superfície é simétrica em relação a um centro 
O se, para cada elemento de superfície dA em (x,y) 
existir um elemento dA’ de mesma área em (-x,-y). 
• O centroide de uma superfície coincide com o seu 
centro de simetria.
Centroides de Superfícies Planas de Formatos 
Usuais
5 - 6
Centroides de Curvas Planas de 
Formatos Usuais
5 - 7
Placas e Fios Compostos
5 - 8
• Placas compostas:
• Superfícies compostas:
Problema Resolvido 5.1
5 - 9
Para a superfície plana mostrada, 
determine os momentos de primeira 
ordem em relação aos eixos x e y e a 
localização do centroide.
SOLUÇÃO:
• Dividimos a área em um triângulo, um 
retângulo e um semicírculo com um 
orifício circular.
• Calculamos as coordenadas do centroide 
da superfície dividindo os momentos de 
primeira ordem pela área total.
• Encontramos a área total e os momentos 
de primeira ordem do retângulo, do 
triângulo e do semicírculo. Subtraímos a 
área e o momento de primeira ordem do 
orifício circular.
• Calculamos os momentos de primeira 
ordem de cada superfície em relação aos 
eixos x e y. 
Problema Resolvido 5.1
5 - 10
• Encontramos a área total e os momentos de 
primeira ordem do retângulo, do triângulo e do 
semicírculo. Subtraímos a área e o momento de 
primeira ordem do orifício circular.
Problema Resolvido 5.1
5 - 11
• Calculamos as coordenadas do centroide 
da superfície dividindo os momentos de 
primeira ordem pela área total.
Determinação de Centróides por Integração
5 - 12
• A integração dupla para encontrar o momento 
de primeira ordem pode ser evitada 
definindo-se o elemento de área dA como um 
retângulo estreito ou um setor estreito.
Problema Resolvido 5.4
5 - 13
Determine por integração direta a 
localização do centroide da superfície 
sob um arco parabólico.
SOLUÇÃO:
• Determinamos a constante k.
• Calculamos a área total.
• Utilizando um elemento diferencial 
vertical ou horizontal, encontramos 
os momentos de primeira ordem por 
integração simples.
• Determinamos as coordenadas do 
centroide.
Problema Resolvido 5.4
5 - 14
SOLUÇÃO:
• Determinamos a constante k.
• Determinamos a área total.
Problema Resolvido 5.4
5 - 15
• Utilizando um elemento diferencial vertical, 
encontramos os momentos de primeira ordem 
por integração simples.
Problema Resolvido 5.4
5 - 16
• Ou, utilizando um elemento horizontal, 
encontramos os momentos de primeira ordem 
por integração simples.
Problema Resolvido 5.4
5 - 17
• Encontramos as coordenadas do 
centroide.
Teoremas de Pappus-Guldinus
5 - 18
• Uma superfície de revolução é gerada pela rotação 
de uma curva no plano em torno de um eixo fixo.
• A área de uma superfície de 
revolução é igual ao produto do 
comprimento da curva geratriz pela 
distância percorrida pelo centroide 
durante a rotação.
Teoremas de Pappus-Guldinus
5 - 19
• Um sólido de revolução é gerado pela rotação de 
uma superfície plana em torno de um eixo fixo.
• O volume de um sólido de revolução 
é igual ao produto da área da 
superfície geratriz pela distância 
percorrida pelo centroide da 
superfície durante a rotação.
Problema Resolvido 5.7
5 - 20
O diâmetro externo de uma polia é 0,8 m, 
e a seção transversal de seu contorno 
externo está mostrada acima. Sabendo que 
a polia é feita de aço e que a densidade do 
aço é , determine a 
massa e o peso do contorno externo.
SOLUÇÃO:
• Aplicamos o teorema de Pappus-Guldinus 
para determinar os volumes dos sólidos de 
revolução para o contorno retangular total 
e para a seção retangular interna (vazada).
• Multiplicamos o volume da polia pela 
densidade para obter sua massa e 
multiplicamos a massa pela aceleração 
da gravidade para obter o peso da polia.
Problema Resolvido 5.7
5 - 21
SOLUÇÃO:
• Aplicamos o teorema de Pappus-Guldinus para 
determinar os volumes dos sólidos de revolução 
para o contorno retangular total e para a seção 
retangular interna (vazada).
• Multiplicamos o volume pela densidade para obter 
a massa e multiplicamos a massa pela aceleração 
da gravidade para obter o peso da polia.
Cargas Distribuídas sobre Vigas
5 - 22
• Uma carga distribuída pode ser caracterizada por 
uma curva representando a carga w (em N/m) 
sustentada por unidade de comprimento. A carga 
total sustentada pela viga é igual à área sob a curva.
• Uma carga distribuída pode ser substituída por uma 
carga concentrada com intensidade igual à área sob 
a curva de carga e linha de ação passando pelo 
centroide dessa superfície.
Problema Resolvido 5.9
5 - 23
Uma viga suporta a carga distribuída 
mostrada acima. Determine a carga 
concentrada equivalente e as reações 
de apoio.
SOLUÇÃO:
• A intensidade da carga concentrada é 
igual à área da superfície sob a curva de 
carga.
• A linha de ação da carga concentrada 
passa pelo centroide da superfície sob 
a curva.
• Determinamos as reações de apoio 
somando os momentos em relação às 
extremidades da viga.
Problema Resolvido 5.9
5 - 24
SOLUÇÃO:
• A intensidade da carga concentrada é igual à área da 
superfície sob a curva de carga.
• A linha de ação da carga concentrada passa pelo 
centroide da superfície sob a curva.
Problema Resolvido 5.9
5 - 25
• Determinamos as reações de apoio somando os 
momentos em relação às extremidades da viga.
Centro de Gravidade de um Corpo Tridimensional: Centroide de um 
Sólido
5 - 26
• Centro de gravidade G: • As relações obtidas são independentes da 
orientação do corpo,
• Para corpos homogêneos,
Centroides de Sólidos de Formatos 
Usuais
5 - 27
Corpos Tridimensionais 
Compostos
5 - 28
• O momento gerado pelo peso total de um corpo 
concentrado em seu centro de gravidade G é igual à 
soma dos momentos dos pesos das partes que 
compõem o corpo,
• Para corpos homogêneos,
Problema Resolvido 5.12
5 - 29
Determine o centro de gravidade do 
elemento de máquina de aço. O 
diâmetro de cada furo é de 2,5 cm.
SOLUÇÃO:
• O elemento de máquina pode ser obtido 
somando-se um paralelepípedo retangular a 
um quarto de círculo e então subtraindo-se 
dois cilindros de diâmetro igual a 2,5 cm.
Problema Resolvido 5.12
5 - 30
Problema Resolvido 5.12
5 - 31