Cálculo Numérico - Localização de Raízes

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Cálculo Numérico
Lista 2
Fase I - Localização de ráızes
1. Localize graficamente as ráızes das equações a seguir:
(a) 2cos(x)− e2x = 0.
(b) x2 + 2x− 1 = 0.
(c) x3 − 3x+ 1.
(d) x3 − x− 1000 = 0.
Método da Bissecção
2. Considere a função f(x) = x3 − 2x2 + x− 1. Calcule 5 iterações do método da Bissecção
para encontrar um valor aproximado da raiz no intervalo i = [1, 2].
3. Calcular um valor aproximado para a raiz positiva de f(x) = x2−3 com precisão ε = 0.01.
4. Calcular um valor aproximado para a raiz positiva de f(x) = x2 + ln(x) com precisão
ε = 0.01 e I = [0.5, 1].
5. (a) Esboce os gráficos de y = x e y = 2sen(x).
(b) Utilize o método da Bissecção para determinar uma aproximação com precisão ε =
10−5 do primeiro valor positivo de x com x = 2sen(x).
6. Determine um limitante para o número de iterações necessárias para a obtenção com uma
precisão de 10−3 da solução de x3 + x− 4 = 0 dentro do intervalo [1, 4]. Determine uma
aproximação da raiz com essa ordem de precisão.
Método do Ponto Fixo
7. Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um
ponto fixo em p precisamente quando f(p) = 0, onde f(x) = x4 + 2x2 − x− 3.
(a) g1(x) = (3 + x− 2x2)1/4
(b) g2(x) = (
x+3−x4
2 )
1/2
1
8. Utilize um método de iteração de ponto fixo para determinar uma soluçãp com precisão
10−2 para x4 − 3x2 − 3 = 0 em [1, 2]. Utilize x0 = 1.
9. Utilize um método de iteração de ponto fixo para determinar uma soluçãp com precisão
10−2 para x3 − x− 1 = 0 em [1, 2]. Utilize x0 = 1.
10. Utilize um método de ponto fixo para encontrar uma aproximação de
√
3 com precisão de
10−4.
Método de Newton-Raphson e Secante
11. Seja f(x) = x2 − 6 e x0 = 1. Utilize o método de Newton-Raphson para determinar x2.
12. Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar soluções com precisão 10−4 para os
problemas a seguir:
(a) x3 − 2x2 − 5 = 0, intervalo [1, 4].
(b) x− cos(x), intervalo [0, π/2].
(c) x3 + 3x2 − 1 = 0, intervalo [−3,−2].
13. Repita o exerćıcio anterior, utilizando o Método da Secante.
14. O valor acumulado em uma poupança com base em pagamentos regulares pode ser deter-
minado a partir da equação da anuidade antecipada
A =
P
i
[(1 + i)n − 1]
Nessa equação, A é a quantia na conta, P é a quantia depositada de forma regular e i é
a taxa de juros por peŕıodo para n peŕıodos de depósito. Um engenheiro gostaria de ter
uma poupança de R$ 750.000,00 ao se aposentar, depois de 20 anos de trabalho e pode
depositar R$1500,00 por mês para esse fim. Qual é a taxa de juros mı́nima com a qual
essa quantia pode ser investida, supondo que os juros sejam compostos mensalmente?
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