MÓDULO I professor Guido Andrade

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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
Operações 
Fundamentais 
 
São elas a adição, a subtração, a multiplicação e a 
divisão. 
Adição é uma das operações básicas da álgebra. Na 
sua forma mais simples, adição combina dois números 
(termos ou parcelas), em um único número, a soma. 
Adicionar mais números corresponde a repetir a 
operação. 
 
Subtração é uma operação matemática que indica 
quanto é um valor numérico (minuendo) se dele for 
removido outro valor numérico (subtraendo). A 
subtração é o mesmo que a adição por um número de 
sinal inverso. Portanto, a operação inversa da adição. 
Multiplicação é uma operação binária. Na sua forma 
mais simples a multiplicação é uma forma simples de 
se adicionar uma quantidade finita de números iguais. 
O resultado da multiplicação de dois números é 
chamado produto. Os números sendo multiplicados 
são chamados de coeficientes ou operandos, e 
individualmente de multiplicando e multiplicador. 
MULTIPLICAÇÃO É A SOMA DE PARCELAS 
IGUAIS. 
Divisão é a operação aritmética que permite 
identificar quantas vezes um número, chamado 
divisor, está contido em outro número chamado 
dividendo. Essa quantidade será conhecida por 
quociente. 
Exemplos de aplicação: 
ADIÇÃO 
 
SUBTRAÇÃO 
 
 
 
MUTIPLICAÇÃO 
 
DIVISÃO 
 
É importante lembrar que um número pode ser 
representado a partir de uma divisão tomaremos a 
divisão . 
 
Daí temos que: 
 
Logo um número D pode ser escrito da forma 
D = d . Q + r 
Números Primos 
 
 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
Números primos são os números naturais que têm 
apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 
 Exemplos: 
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um 
número primo. 
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um 
número primo. 
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é 
um número primo. 
Observações: 
=> 1 não é um número primo, porque ele tem 
apenas um divisor que é ele mesmo. 
=> 2 é o único número primo que é par. 
Os números que têm mais de dois divisores são 
chamados números compostos. 
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um 
número composto. 
Reconhecimento de um número primo 
 Para saber se um número é primo, dividimos esse 
número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até 
que tenhamos: 
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o 
número não é primo, 
=> ou uma divisão com quociente menor que o 
divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o 
número é primo. 
Decomposição de um número em fatores primos 
Todo número natural, maior que 1, pode ser 
decomposto num produto de dois ou mais fatores. 
 Decomposição do número 24 num produto: 
 24 = 4 x 6 
 24 = 2 x 2 x 6 
 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2
3
 x 3 
 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são 
primos. 
 Chamamos de fatoração de 24 a decomposição 
de 24 num produto de fatores primos. Então a 
fatoração de 24 é 2
3
 x 3. 
De um modo geral, chamamos de fatoração de um 
número natural, maior 
que 1, a sua decomposição num produto de fatores 
primos. 
Regra prática para a fatoração 
Existe um dispositivo prático para fatorar um 
número. Veja, no exemplo, os passos para montar 
esse dispositivo: 
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor 
primo; 
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo 
menor divisor primo desse quociente e assim 
sucessivamente até obter o quociente 1. 
A figura abaixo mostra a fatoração do número 
630. 
 
 
 Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 
 630 = 2 x 3
2
 x 5 x 7. 
MMC E MDC 
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL 
Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo 
de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. 
Se um número é divisível por outro, diferente de 
zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. 
 
Os múltiplos de um número são calculados 
multiplicando-se esse número pelos números naturais. 
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Exemplo: os múltiplos de 7 são: 
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... 
Observações importantes: 
 
1) Um número tem infinitos múltiplos 
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) 
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns 
a eles. 
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: 
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... 
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... 
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... 
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o 
menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo 
comum de 4 e 6. 
O menor múltiplo comum de dois ou mais 
números, diferente de zero, é chamado de mínimo 
múltiplo comum desses números. Usamos a 
abreviação m.m.c. 
 CÁLCULO DO M.M.C. 
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números 
utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do 
m.m.c. de 12 e 30: 
1º) decompomos os números em fatores primos 
 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e 
não-comuns: 
12 = 2 x 2 x 3 
30 = 2 x 3 x 5 
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 
Escrevendo a fatoração dos números na forma de 
potência, temos: 
12 = 2
2
 x 3 
30 = 2 x 3 x 5 
m.m.c (12,30) = 2
2
 x 3 x 5 
O m.m.c. de dois ou mais números, quando 
fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-
comuns a eles, cada um elevado ao maior 
expoente. 
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO 
SIMULTÂNEA 
Neste processo decompomos todos os números ao 
mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura 
abaixo. O produto dos fatores primos que obtemos 
nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao 
lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) 
 
 
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
PROPRIEDADE DO M.M.C. 
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo 
dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). 
Observe: 
 
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 
Dados dois ou mais números, se um deles é 
múltiplo de todos os outros, então 
ele é o m.m.c. dos números dados. 
Considerando os números 4 e 15, que são primos 
entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto 
de 4 por 15. Observe: 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
 
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. 
deles é o produto desses números. 
Determinação dos divisores de um número 
Na prática determinamos todos os divisores de um 
número utilizando os seus fatores primos. 
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 
1º) decompomos o 
número em fatores 
primos; 
2º) traçamos uma linha 
e escrevemos o 1 no 
alto, porque ele é 
divisor de qualquer 
número; 
 
 
 
3º) multiplicamos 
sucessivamente cada 
fator primo pelos 
divisores já obtidos e 
escrevemos esses 
produtos ao lado de 
cada fator primo; 
 
 
4º) os divisores já 
obtidos não precisam 
ser repetidos. 
 
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 
18, 30, 45, 90. 
Máximo Divisor Comum 
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. 
Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 
1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 
6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos 
m.d.c.(12,18) = 6. 
O maior divisor comum de dois ou mais números é 
chamado de máximo divisor comum desses 
números. Usamos a abreviação m.d.c. 
Alguns exemplos: 
mdc (6,12) = 6 
mdc (12,20) = 4 
mdc (20,24) = 4 
mdc (12,20,24) = 4 
mdc (6,12,15) = 3 
CÁLCULO DO M.D.C. 
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais 
números é utilizar a decomposição desses números 
em fatores primos. 
1) decompomos os números em fatores primos; 
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 
36 = 2 x 2 x 3 x 3 
90 = 2 x 3 x 3 x 5 
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => 
m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 
Portanto m.d.c.(36,90) = 18. 
Escrevendo afatoração do número na forma de 
potência temos: 
36 = 2
2
 x 3
2
 
90 = 2 x 3
2
 x5 
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3
2
 = 18. 
O m.d.c. de dois ou mais números, quando 
fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, 
cada um elevado ao menor expoente. 
CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS 
DIVISÕES SUCESSIVAS 
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a 
uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). 
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Regra prática: 
1º) dividimos o número maior pelo número menor; 
 48 / 30 = 1 (com resto 18) 
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão 
anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e 
assim sucessivamente; 
30 / 18 = 1 (com resto 12) 
18 / 12 = 1 (com resto 6) 
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então 
m.d.c.(48,30) = 6. 
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
Dois ou mais números são primos entre si quando o 
máximo divisor comum desses números é 1. 
Exemplos: 
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois 
mdc (35,24) = 1. 
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, 
pois mdc (35,21) = 7. 
 
PROPRIEDADE DO M.D.C. 
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor 
dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). 
Observe: 
 6 = 2 x 3 
18 = 2 x 3
2
 
30 = 2 x 3 x 5 
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor 
de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números 
dados. 
Frações Ordinárias 
É um número racional representado na forma a/b, 
onde a e b são inteiros, como b não nulo, onde a é 
conhecido como numerador e b como denominador. 
Abaixo, vamos diferenciar as frações ordinárias das 
frações decimais. 
 
Frações próprias 
 
Elas representam o número inteiro. E também são 
chamadas de frações aparentes. Nas frações aparentes, 
o numerador é múltiplo do denominador, assim o 
numerador é divisível pelo denominador. 
A fração aparente também é imprópria, mas existe 
fração imprópria que é aparente. 
 
ex:. 4/2, 3, etc... 
 
 
Frações impróprias 
 
É o tipo de fração que é menor do que a unidade. Por 
isso são chamadas de frações impróprias. Nas frações 
impróprias, o numerador é menor do que o 
denominador. 
 
ex:. ¾ 
 
 
 
 
Frações Equivalentes/Classe de Equivalência 
 
As frações 2/3, 4/6 e 6/9 representam o mesmo valor, 
sendo que seus números são diferentes, assim são 
chamadas de frações equivalentes. 
Para que uma fração seja equivalente à outra, basta 
multiplicar ou dividir o numerador e o denominador 
pelo mesmo número (diferente de zero). 
Numeração decimal 
Transformação de números decimais em frações decimais 
 Observe os seguintes números decimais: 
 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, . 
 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, 
. 
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 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou 
seja, . 
 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 
 
 Verifique então que: 
 
 
 
 
 Assim: 
 Um número decimal é igual à fração que se obtém 
escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando 
para denominador a unidade seguida de tantos zeros 
quantas forem as casas decimais. 
 
Transformação de fração decimal em número decimal 
 Observe as igualdades entre frações decimais e números 
decimais a seguir: 
 
 
 
 
 Podemos concluir, então, que: 
 Para se transformar uma fração decimal em 
número decimal, basta dar ao numerador 
tantas casas decimais quantos forem os zeros 
do denominador. 
Fração geratriz 
A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima 
periódica. 
 
Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes 
de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma 
bem prática. 
Dízimas periódicas simples 
a) 0,2222... 
Período: 2 
 
Coloca-se o período no numerador da fração e, 
para cada algarismo dele, coloca-se um 
algarismo 9 no denominador. 
 
 
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Nesse caso, temos uma dízima simples e a 
parte inteira diferente de zero. 
 
Uma estratégia é separar a parte inteira e a 
parte decimal: 
 
 
Dízimas periódicas compostas 
 
a) 0,27777... 
 
Para cada algarismo do período ainda se coloca um 
algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para 
cada algarismo do antiperíodo se coloca um 
algarismo zero, também no denominador. 
 
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte 
inteira com antiperíodo) 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
b) 1,64444... 
 
 
 
 
 
 
 
c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo 
tem 2 algarismos) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o 
antiperíodo tem 3 algarismos) 
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Conjuntos 
Introdução 
A Teoria dos Conjuntos, um dos temas de matemática 
que aparecem no Enem, foi formulada no fim do 
século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand 
Ludwig Philip Cantor. Conjuntos não podem ser 
definidos, mas entende-se por conjunto toda lista de 
objetos, símbolos que seja bem definida. 
Conceitos primitivos: 
- Conjunto; 
- Elemento; 
- Pertinência. 
Ao pensarmos em uma coleção de objetos, podemos 
associar a conjunto. Esses objetos da coleção são o 
que chamamos de elementos do conjunto. Se um 
elemento está presente em um conjunto, dizemos que 
o elemento pertence (∈∈) ao conjunto. Caso 
contrário, dizemos que ele não pertence. 
Símbolos 
A linguagem escrita pode ser simplificada com os 
símbolos descritos nos exemplos a seguir: 
- O elemento 1(um) pertence ao conjunto 
A: 3∈A3∈A 
- O elemento 3 não pertence ao conjunto 
A: 3∉A3∉A 
- Existe algum: ∃∃ 
- Qualquer que seja: ∀∀ 
- Tal que: | 
Conjuntos importantes: 
- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É 
representado por ∅∅ ou { }. 
- Conjunto unitário: possui um único elemento. 
Representações 
Um conjunto pode ser representado da seguinte 
maneira: 
Enumerando seus elementos entre chaves, 
separados por vírgulas; 
Exemplos: 
A = {–1, 0, 1} 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Indicando, entre chaves, uma propriedade que 
caracterize cada um de seus elementos; 
Exemplos: 
A = x ∈ Z | −2 < x < 2 
N = x ∈ Z | x ≥ 0 
Por meio de uma figura fechada, dentro da qual 
podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de 
Venn-Euler”. 
 
 A N 
Conjuntos Iguais 
Os conjuntos A e B são iguais quando possuem os 
mesmos elementos. Representa-se 
A = B. 
Subconjuntos 
O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de 
A é elemento de B. Representa-se A⊂B(A está 
contido em B). 
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Propriedades: 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, tem-se: 
- A ⊂ A 
- ∅⊂A 
- (A⊂B e B⊂A)⇔A=B 
- (A⊂B e B⊂C)=>A⊂C 
Conjunto das partes 
É o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de 
A. É representado por P(A). 
Propriedade: se o conjunto A possui n elementos, 
então P(A) possui elementos, ou seja, o conjunto 
A possui subconjuntos. 
Operações com conjuntos 
União 
Intuitivamente, unir dois ou mais conjuntos significa 
agrupá-los com intuito de torná-los um s 
Definição: 
Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se 
o conjunto união de A e B por: 
A∪B= {x | x ∈ A ou x ∈ B} 
 
- A∪∅ = A (elemento neutro); 
- A∪A = A (recíproca) 
- A∪B=B∪A (comutativa) 
- A∪(B∪C)=(A∪B)∪C(associativa) 
Exemplos: 
 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 
7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter: 
a) A ∪ B. 
b) A ∪ B ∪ C. 
 
Solução: 
a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} 
b) A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
Interseção 
 
Intuitivamente, um elemento faz parte da interseção 
de dois ou mais conjuntos, se ele pertence a todosesses conjuntos ao mesmo tempo. 
Definição: 
 Dados dois 
conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto 
interseção de A e B por: 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
 
Para três conjuntos arbitrários A, B e C, valem as 
seguintes propriedades: 
- A ∩ ∅ = ∅ 
- A ∩ A = A (recíproca) 
- A ∩ B = B ∩ A (comutativa) 
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa) 
Exemplos: 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C 
= {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter: 
a) A ∩ B. 
b) A ∩ C. 
c) A ∩ B ∩ D. 
 
Solução: 
 
a) A ∩ B = {0, 5} 
b) A ∩ C = Ø 
c) A ∩ B ∩ D = {0} 
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Diferença entre conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, define-se o conjunto 
diferença A - B por: 
A – ∈ A e x ∉ B} 
 
Para a diferença entre conjuntos, valem as 
seguintes propriedades: 
- A – ∅ = A 
- ∅ – A = ∅ 
- A – A = ∅ 
Exemplo 1: 
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, 
obtenha: 
a) A – B. 
b) B – A. 
 
Solução: 
a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5} 
b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} = {6} 
 
Exemplo 2: 
Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e B = {x 
natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A – B 
e B – A. 
Respostas: 
a) A – B = {0, 4, 6, 8} 
b) B – A = {3, 5, 7} 
Conjuntos Numéricos 
Conjunto dos Números Naturais 
São todos os números inteiros positivos, incluindo o 
zero. É representado pela letra maiúscula N. 
Caso queira representar o conjunto dos números 
naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar 
um * ao lado do N: 
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} 
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} 
Conjunto dos Números Inteiros 
São todos os números que pertencem ao conjunto dos 
Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). 
São representados pela letra Z: 
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, 
eles são: 
- Inteiros não negativos 
São todos os números inteiros que não são negativos. 
Logo percebemos que este conjunto é igual ao 
conjunto dos números naturais. 
É representado por Z+: 
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} 
- Inteiros não positivos 
São todos os números inteiros que não são positivos. 
É representado por Z-: 
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
- Inteiros não negativos e não-nulos 
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse 
subconjunto por Z*+: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
Z*+ = N* 
- Inteiros não positivos e não nulos 
São todos os números do conjunto Z- excluindo o 
zero. Representa-se por Z*-. 
Z*- = {... -4, -3, -2, -1} 
Conjunto dos Números Racionais 
Os números racionais é um conjunto que engloba os 
números inteiros (Z), números decimais finitos (por 
exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos 
periódicos (que repete uma sequência de algarismos 
da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", 
são também conhecidas como dízimas periódicas. 
Os racionais são representados pela letra Q. 
Conjunto dos Números Irracionais 
É formado pelos números decimais infinitos não-
periódicos. Um bom exemplo de número irracional é 
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o número PI (resultado da divisão do perímetro de 
uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 
3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já 
conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o 
PI. 
Também são irracionais todas as raízes não exatas, 
como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...) 
Conjunto dos Números Reais 
É formado por todos os conjuntos citados 
anteriormente (união do conjunto dos racionais com 
os irracionais). 
Representado pela letra R. 
 
 
Potenciação (exponenciação) 
 
Definição: Potenciação ou Exponenciação significa 
multiplicar um número real (base) por ele mesmo X 
vezes, onde X é a potência (número natural). 
Exemplo: 
 
3
3
 (leia-se "três elevado ao quadrado", ou "três 
elevado à segunda potência" ou ainda "três elevado à 
três"). 
No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele 
mesmo. Ficando: 3.3 = 9. 
Então 3
3
 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27 
Algumas outras definições que podem ser utilizadas: 
a
1
 = a 
a
0
 = 1, a ≠ 0 
Propriedades 
1 - Multiplicação de potências de bases iguais = 
mantenha a base e some os expoentes: 
a
n
 . a
m
 = a
n+m
 
2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a 
base e subtraia os expoentes: 
(a
n
) / (a
m
) = a
n-m
 , "a" diferente de zero. 
3 - Potência de potência = mantenha a base e 
multiplique os expoentes: 
(a
m
)
n
 = a
m . n
 
Atenção 
As potências abaixo NÃO são iguais: 
(a
m
)
n 
 e a
mn
 
na primeira, resolvemos o que está entre parênteses 
primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n, e 
depois elevar a ao resultado da operação anterior. 
4 - (a . b)
n
 = a
n
 . b
n
 
5 - (a/b)
n
 = a
n
/b
n
 , com " b " diferente de zero. 
Potenciação com números 
negativos 
Observe os exemplos abaixo: 
(-3)
2
 = 9 
-3
2
 = -9 
O sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte 
da potenciação quando estiver dentro de um 
parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no 
resultado. 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número 
par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em 
positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo: 
(-3)
3
 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27 
se tirarmos os parênteses 
-3
3
 = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27 
Potenciação de frações 
De potência sabemos que a
n
 = a.a.a.....a (n vezes). 
Da mesma forma, 
(n vezes). Ou seja: 
 
 
Exemplos 
1) 
2) 
 
Quando o expoente é zero ou um 
Convencionou-se dizer que: 
 
 
 
 
I – Todo número real não nulo, seja ele fracionário ou 
não, elevado a 1 é igual a ele próprio. 
II – Todo número real elevado a zero é igual a 1. 
Exemplo 
3) Qual é o valor de ? 
 
 
Multiplicando ou dividindo 
potências de bases iguais 
 Para multiplicar potências de mesma base, 
conserve a base e some os expoentes. 
 Para dividir potências de mesma base, conserve a 
base e subtraia os expoentes. 
Exemplos 
(Para resolver as potências e , proceda 
como nos exemplos anteriores). 
4) Determine o produto . 
 
5) Qual é o quociente da divisão ? 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/10/potenciacao-fracoes.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/10/potenciacao-fracoes.jpg
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
 
Potencia de uma potência 
 Na potência de uma potência, conserve a base e 
multiplique os expoentes. 
Exemplo 
6) Dada a potência , determine o seu quadrado. 
 
Expoentes negativos 
Resolva potências de expoentes negativos utilizando a 
ideia de inverso. Veja o conceito a seguir. 
 
Exemplos 
7) Resolva: 
a) 
b) 
Raiz de um número 
Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à 
potenciação, sendo assim, ela é utilizada para 
representar, de maneira diferente, uma potência com 
expoente fracionário. 
Exemplos 
 
 
 
 
Raiz com índice par 
Para um número real a positivo, com n sendo um 
número natural par e positivo, maior que 1, tem-se um 
b, tal que, se , então b
n
 = a, onde a é o 
radicando, n é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com 
. 
Nenhum valor de a negativo (-a) tem definição 
nesse caso. 
Observação: quando o índice não aparecer no 
radical, isso indica que n = 2 e teremos uma raiz 
quadrada. 
Exemplos: 
 
Raiz com índice ímpar 
Sendo a um número real, positivo ou negativo, com m 
sendo um número natural ímpar e positivo, maior que 
1, tem-se um b, tal que, se , então b
m
 = a, 
onde a é o radicando, m é o índice, b é raiz e √ é o 
radical. Com . 
Nesse caso é possível obtermos raízes negativas 
dentro do conjunto dos números reais (ℝ). 
Exemplos: 
 
Propriedades 
Para o radicandoque tenha, como resultado de uma 
fatoração, expoente igual a seu índice, então este 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
radicando é igual à raiz procurada. 
 
Exemplos: 
 
Podemos dividir o radicando e o índice por um 
mesmo número real, desde que este seja diferente de 
zero e maior que um, e divisor comum do radicando e 
do índice. 
 
Exemplos: 
 
Para resolvermos a raiz m-ésima de uma raiz n-ésima, 
multiplicamos os índices entre si mantendo intacto o 
radical interno. 
 
Exemplos: 
 
A raiz n-ésima de um produto é igual ao produto das 
raízes n-ésimas. 
 
Exemplos: 
 
A raiz n-ésima de um quociente (divisão) de a por b é 
igual ao quociente entre as raízes n-ésimas. 
. 
Exemplos: 
 
Sistema de Medidas 
Para podermos comparar um valor com outro, 
utilizamos uma grandeza predefinida como referência, 
grandeza esta chamada de unidade padrão. 
As unidades de medida padrão que nós brasileiros 
utilizamos com maior frequência são o grama, o litro 
e o metro, assim como o metro quadrado e o metro 
cúbico. 
Além destas também fazemos uso de outras unidades 
de medida para realizarmos, por exemplo, a medição 
de tempo, de temperatura ou de ângulo. 
Dependendo da unidade de medida que estamos 
utilizando, a unidade em si ou é muito grande ou 
muito pequena, neste caso então utilizamos os seus 
múltiplos ou submúltiplos. O grama geralmente é 
uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por 
isto em geral utilizamos o quilograma, assim como 
em geral utilizamos o mililitro ao invés da própria 
unidade litro, quando o assunto é bebidas por 
exemplo. 
Medidas de comprimento 
Metro 
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o 
que mede". Foi estabelecido inicialmente que a 
medida do metro seria a décima milionésima parte da 
distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que 
passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado 
oficialmente em 1928. 
 Múltiplos e Submúltiplos do Metro 
 Além da unidade fundamental de comprimento, o 
metro, existem ainda os seus múltiplos e 
submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso 
dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. 
Observe o quadro: 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
 
Os múltiplos do metro são utilizados para medir 
grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para 
pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em 
que se exige precisão, utilizamos: 
mícron (µ) = 10
-6
 m 
angströn (Å) = 10
-10
 
m 
 Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz 
(distância percorrida pela luz em um ano): 
Ano-luz = 9,5 · 10
12
 km 
 O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades 
não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são 
utilizadas em países de língua inglesa. Observe as 
igualdades abaixo: 
Pé = 30,48 cm 
Polegada = 2,54 cm 
Jarda = 91,44 cm 
Milha 
terrestre 
= 1.609 m 
Milha 
marítima 
= 1.852 m 
Observe que: 
1 pé = 12 polegadas 
1 jarda = 3 pés 
Medidas de massa 
Introdução 
 Observe a distinção entre os conceitos de corpo e 
massa: 
 Massa é a quantidade de matéria que um corpo 
possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar 
da terra ou fora dela. 
 Peso de um corpo é a força com que esse corpo é 
atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de 
acordo com o local em que o corpo se encontra. Por 
exemplo: 
 A massa do homem na Terra ou na Lua tem o 
mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior 
na terra do que na lua. 
 Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade 
terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar. 
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de 
"unidade de medida de massa de um corpo", é um 
substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos 
gramas". 
 Quilograma 
 A unidade fundamental de massa chama-se 
quilograma. . 
O quilograma (kg) é a massa de 
1dm
3
 de água destilada à 
temperatura de 4ºC. 
 Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental 
de massa, utilizamos na prática o grama como 
unidade principal de massa. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do grama 
 
Medidas de capacidade 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
 Introdução 
 Frequentemente nos deparamos com problemas que 
envolvem o uso de três dimensões: comprimento, 
largura e altura. De posse de tais medidas 
tridimensionais, poderemos calcular medidas de 
metros cúbicos e volume. 
Litro 
 A quantidade de líquido é igual ao volume interno de 
um recipiente, afinal quando enchemos este 
recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. 
Capacidade é o volume interno de um recipiente. 
 A unidade fundamental de capacidade chama-se 
litro. 
 Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de 
aresta. 
 1l = 1dm
3 
 
Múltiplos e submúltiplos do litro 
 
Medidas de tempo 
Introdução 
É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo: 
Qual a duração dessa partida de futebol? 
Qual o tempo dessa viagem? 
Qual a duração desse curso? 
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? 
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por 
base uma unidade padrão de medida de tempo. 
A unidade de tempo escolhida como padrão no 
Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 Segundo 
 O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo 
de tempo natural decorrido entre as sucessivas 
passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem 
ao dia solar. 
 O segundo (s) é o tempo equivalente a 1/86400 do 
dia solar médio. 
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema 
Métrico Decimal. 
Expressões algébricas 
São expressões matemáticas que apresentam letras e 
podem conter números. São também denominadas 
expressões literais. Por exemplo: 
A = 2a+7b 
B = (3c+4)-5 
C = 23c+4 
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que 
significa que o valor de cada letra pode ser substituída 
por um valor numérico. 
 
Para resolver uma expressão algébrica, é preciso seguir a 
ordem exata de solução das operações que a compõem: 
1º) Potenciação ou Radiciação 
2º) Multiplicação ou divisão 
3º) Adição ou subtração 
Se a expressão algébrica apresentar parênteses, 
colchetes ou chaves, devemos resolver primeiro o 
conteúdo que estiver dentro dos parênteses, em 
seguida, o que estiver contido nos colchetes e, por 
último, a expressão que estiver entre chaves. Em 
suma: 
1º) Parênteses 
2º) Colchetes 
3º) Chaves 
Assim como em qualquer outro cálculo matemático, 
esta hierarquia é muito importante, pois, caso não seja 
seguida rigorosamente, será obtido um resultado 
incorreto. Veja alguns exemplos: 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
a) 8x – (3x – )8 
x – (3x – 2) 
8x – 3x + 2 
5x + 2 
Ob.: Sempre que o parêntese for precedido de um 
sinal negativo, devemos inverter o sinal de todos os 
termos contidos dentro dele. 
b) 6x – [ -x + (12 + 7x – 4)] 6x – [ -x + 12 + 7x – 4] 
6x +2x – 12 – 7x + 4 
6x + 2x – 12 – 7x + 4 
6x + 2x – 7x – 12 + 4 
x – 8 
A regra do parêntese citada no exemplo anterior 
também se aplica a colchetes e chaves. 
c) Uma mulher é 5 anos mais nova do que seu 
marido. Se a soma da idade do casal é igual a 69 anos, 
qual é a idade de cada um? 
x + ( x – 5) = 69 
x + x- 5 = 69 
2x – 5 = 69 
2x = 69 + 5 
2x = 74 
x = 37 
69 – 37 = 32 
37 – 5 = 32 
Logo, a idade do marido é 37 anos e da mulher 32 
anos. 
Esta é uma aplicação prática da álgebra. Note que é 
mais fácil encontrar a solução através de uma 
expressão algébrica do que utilizando um raciocínio 
numérico apenas. 
Valor numérico de uma expressão 
algébrica 
O valor numérico de uma expressão algébrica é o 
número que pode substituir as incógnitas para que seja 
efetuada a operação e obtido um resultado final. 
Observe: 
a) Calcule o valor numérico da expressão algébrica 
4x + 10y², para x = 2 e para y = 3. 
Resolução: 
4 . 2 + 10 . 3² = 
8 + 10 . 9 = 
8 + 90 = 98 
Logo, o valor numérico desta expressão é 98. 
Observe queaplicamos corretamente as propriedades 
das expressões algébricas, começando o cálculo pela 
potenciação, em seguida a multiplicação e, 
finalmente, efetuamos a adição. 
b) Calcule o valor numérico da expressão algébrica 
8x³y², para x = 3 e para y = -1 
Resolução: 
8 . 3³ . (-1)² 
8 . 27 . 1 = 216 
Perceba que, nesta expressão, o valor de y é um 
número negativo, por isso, deve ser escrito entre 
parênteses. 
c) Encontre o valor numérico da expressão algébrica 
 + 3y, para x = 9, para y = -2. 
Resolução: 
 + 3(-2) 
3 – 6 = -3 
De acordo com a quantidade de termos, as expressões 
algébricas podem ser classificadas em: 
 Monômio – expressão composta por apenas um 
termo. 
2x5 
 Binômio – expressão compostas por dois termos. 
y – 6x 
 Trinômio – expressão composta por três termos. 
3y² + x – 10 
 Polinômio – expressão composta por quatro ou 
mais termos. 
4ab² + 2a + 3b4 + 9 
 
Cada termo de uma expressão algébrica é considerado um 
monômio. Frequentemente, podem haver repetições de 
monômios semelhantes na expressão, ou seja, monômios 
que apresentam base (letra) e expoente iguais. Sempre 
que isto ocorrer, devemos juntar os monômios 
semelhantes e escrevê-los em ordem decrescente de 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
acordo com o grau do expoente, de modo a simplificar a 
equação. Veja um exemplo: 
9x
2
 – 4x³ + x – 3 + 6x + 2x
2
 – 10x³ – 7 
– 4x³ – 10x³ + 9x² + 2x² + x + 6x – 3 – 7 
– 14x³ + 11x² + 7x – 10 
Obs: M.M.C: Dadas duas ou mais expressões 
algébricas, seu M.M.C é a expressão algébrica de 
menor grau que é divisível simultaneamente por todas 
as expressões dadas, quando não houver devemos 
consideras as expressões como primos entre si. 
Equação do 1ºgrau 
Equação do 1º grau em ℝ, na incógnita x, é toda 
igualdade do tipo: 
 
Ou redutível a esse tipo, onde a e b são números reais 
e a é não nulo. 
Observe que a equação é de 1º grau pois a incógnita x 
tem maior expoente igual a 1. 
Observe exemplos de equações do 1º grau com uma 
incógnita: 
 
x + 1 = 6 
2x + 7 = 18 
4x + 1 = 3x – 9 
10x + 60 = 12x + 52 
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas 
técnicas matemáticas. Vamos, por meio de resoluções 
comentadas, demonstrar essas técnicas. 
Exemplo 1: 
4x + 2 = 8 – 2x 
Em uma equação, devemos separar os elementos 
variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos 
colocar os elementos semelhantes em lados diferentes do 
sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que 
mudarem de lado. Veja: 
4x + 2x = 8 – 2 
Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos 
semelhantes. 
6x = 6 
O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve 
passar para o outro lado, dividindo o elemento 
pertencente ao 2º membro da equação. Observe: 
x = 6 / 6 
x = 1 
Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A 
verificação pode ser feita substituindo o valor de x na 
equação, observe: 
4x + 2 = 8 – 2x 
4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1 
4 + 2 = 8 – 2 
6 = 6 → sentença verdadeira 
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser 
resolvidas dessa maneira. 
Exemplo 2: 
10x – 9 = 21 + 2x + 3x 
10x – 2x – 3x = 21 + 9 
10x – 5x = 30 
5x = 30 
x = 30/5 
x = 6 
Verificando: 
10x – 9 = 21 + 2x + 3x 
10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6 
60 – 9 = 21 + 12 + 18 
51 = 51 → sentença verdadeira 
O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6. 
Exemplo 3: 
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10 
3x – 7x = –40 
– 4x = – 40 
Nos casos em que a parte da variável se encontra 
negativa, precisamos multiplicar os membros por –1. 
– 4x = – 40 * (–1) 
4x = 40 
x = 40/4 
x = 10 
Verificando: 
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 
3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40 
30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40 
20 = 20 → sentença verdadeira 
Exemplo 4: 
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
distributiva da multiplicação 
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2 
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2 
– 13x + 8x = – 10 
– 5x = – 10 * (–1) 
5x = 10 
x = 10/5 
x = 2 
Verificando: 
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) 
10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1) 
10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1) 
10 – (14) = 10 + 2(–7) 
10 – 14 = 10 – 14 
– 4 = – 4 → sentença verdadeira 
Equação do 2º grau 
Equação do 2º grau em ℝ, na incógnita x, é toda 
igualdade do tipo: 
 
Ou redutível a esse tipo, onde a, b e c são números 
reais e a é não nulo. 
A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x 
apresentar maior expoente igual a 2. Quando b ≠ 0 e 
c ≠ 0(a é sempre não nulo), a equação é chamada de 
completa. Se b = 0 ou c = 0, a equação diz-se 
incompleta. 
Exemplos: 
 
x² + 2x +8 = 0 (equação completa, a = 1, b = 2 e c = 
8) 
2x² + 2x = 0 (equação incompleta, c = 0) 
x² - 9 = 0 (equação incompleta, b = 0) 
 
Para resolver uma equação incompleta do 2º grau, 
podemos aplicar Bhaskara ou resolvê-la aplicando 
simplificações adequadas a cada tipo de equação do 2º 
grau incompleta. 
Bhaskara: 
 
Simplificações: 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
 
 
Resolução de equações completas: 
Vamos determinar pelo método resolutivo de 
Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: 
x² – 2x – 3 = 0. 
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de 
formação, onde a, b e c são 
os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da 
equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3. 
Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os 
coeficientes. Veja: 
 
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta 
(Δ) 
∆ = b² – 4 . a . c 
∆ = (–2)² – 4 .1 . (–3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
2º passo 
 
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1. 
Exemplo 2 
Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: 
x² + 8x + 16 = 0. 
Os coeficientes são: 
a = 1 
b = 8 
c = 16 
∆ = b² – 4 * a * c 
∆ = 8² – 4 * 1 * 16 
∆ = 64 – 64 
∆ = 0 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
 
No exemplo 2 devemos observar que o valor do 
discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação 
possuirá somente uma solução ou raiz única. 
Exemplo 3 
Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 
= 0, considerada de 2º grau. 
∆ = b² – 4 * a * c 
∆ = 6² – 4 * 10 * 10 
∆ = 36 – 400 
∆ = –364 
Nas resoluções em que o valor do discriminante é 
menor que zero, isto é, o número seja negativo, a 
equação não possui raízes reais. 
Resumo sobre o discriminante: 
Δ<0  A equação não terá raízes reais. 
Δ=0  A equação possui duas raízes reais e iguais. 
Δ>0  A equação possui duas raízes reais e 
diferentes. 
Razão 
 A palavra razão vem do latim ratio, e significa 
"divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as 
situações em que utilizamos o conceito de razão. 
Exemplos: 
Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 
candidatos. 
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: 
 
 (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). 
Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. 
Razão entre o número de mulheres e o número de 
convidados: 
 
 (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). 
Observações: 
A razão entre dois números racionais pode ser 
apresentada de três formas. Exemplo: 
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 
A razão entre dois números racionais pode ser 
expressa com sinal negativo, desde que seus termos 
tenham sinais contrários. Exemplos: 
A razão entre 1 e -8 é . 
 A razão entre é 
. 
Denominamos de razão entre dois números a e b (b 
diferente de zero) 
o quociente ou a:b. 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-uma-equacao-2-grau.htm
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
Proporção 
A igualdade entre duas razões forma uma proporção, 
vale lembrar que razão é a divisão entre dois números 
a e b, tal que b ≠ 0 e pode ser escrito na forma de a/b. 
Observe os exemplosde proporções a seguir: 
 
é uma proporção, pois 10:20 = 3:6 
 
é uma proporção, pois 9:12 = 3:4 
 
As proporções possuem uma propriedade que diz o 
seguinte: “em uma proporção, o produto dos extremos 
é igual ao produto dos meios.” Essa propriedade pode 
ser colocada em prática na verificação da 
proporcionalidade, realizando uma operação 
denominada multiplicação cruzada. 
 
 
9 x 4 = 12 x 3 
 36 = 36 
 
Multiplicação cruzada 
 
 
4 x 15 = 6 x 10 
 60 = 60 
 
As proporções possuem uma enorme aplicabilidade 
em situações problema envolvendo informações 
comparativas, na regra três a proporcionalidade é 
usada no intuito de calcular o quarto valor com base 
nos três valores estabelecidos pelo problema. 
Acompanhe os exemplos a seguir no intuito de 
demonstrar a importância do estudo das proporções. 
 
Exemplo 1 
Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 
Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 
25kg de farinha? 
 
Estabelecemos a seguinte relação: 
600 -------------- 100 
x -------------- 25 
 
 
Podem ser feitos 150 pães. 
Regra de três 
simples 
A regra de três é usada nas situações de 
proporcionalidade utilizando de três valores dados 
para o cálculo do quarto valor. A regra de três é muito 
utilizada na Física e na Química para o cálculo de 
conversão de grandezas: velocidade, massa, volume, 
comprimento, área. A regra de três pode ser 
considerada diretamente proporcional ou 
inversamente proporcional. Acompanhe a resolução 
de exemplos utilizando a regra de três. 
 
Exemplo 1 
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² 
de parede. Quantos litros de tintas serão necessários 
para pintar 450 m², nas mesmas condições? 
 
Vamos relacionar os dados através de uma tabela: 
 Litros Área em m² 
18 60 
x 450 
 
18 -------------- 60 
 x --------------- 450 
 
Observe que, quanto maior a área a ser pintada maior 
será a quantidade de tinta, então podemos dizer que a 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
regra de três é diretamente proporcional. Nesse caso 
não invertemos os termos, multiplicamos cruzado, 
veja: 
 
60*x = 18 * 450 
60x = 8100 
x = 8100/60 
x = 135 
Portanto, serão necessários 135 litros de tintas para 
pintar uma parede de 450 m². 
 
Exemplo 2 
Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por 
dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quanto 
tempo ela leria o mesmo livro? 
Dias Páginas por dia 
4 15 
x 6 
 
Observe que agora a situação é a seguinte, se ela ler 
mais páginas por dia demorará menos tempo para ler 
o livro, caso ela diminua as páginas lidas por dia 
aumentará o tempo de leitura, nesse caso a regra de 
três é proporcionalmente inversa, então devemos 
inverter a coluna em que se encontra a incógnita e 
depois multiplicar cruzado. 
 
Dias Páginas por dia 
x 15 
4 6 
 x ---------------- 15 
4 ---------------- 6 
 
6 * x = 4 * 15 
6x = 60 
x = 60/6 
x = 10 
 
Se passar a ler 6 páginas por dia levará 10 dias para 
ler o livro. 
Composta 
Podemos realizar comparações entre duas grandezas 
utilizando a regra de três simples, pois através dela 
podemos montar uma proporção, calcular um quarto 
termo com base nos três existentes. Porém, se 
envolvermos três grandezas, a regra de três simples 
não terá muita utilidade, mas poderemos aplicar a 
regra de três composta. Observe os exemplos a seguir: 
 
Exemplo 1 
Seis torneiras despejam 10.000 litros de água em uma 
caixa em 10 horas. Em quanto tempo 12 torneiras 
despejarão 12.000 litros de água? 
Torneiras 
Água 
(L) 
Tempo 
(h) 
6 10000 10 
12 12000 x 
Número de torneiras e tempo inversamente 
proporcionais. (inverter a coluna das torneiras) 
Litros de água e tempo diretamente proporcionais. 
 
 
Exemplo 2 
Usando um ferro elétrico 1 hora por dia, durante 20 
dias, o consumo de energia será de 10 kw/h. 
Se o mesmo ferro elétrico for usado 110 minutos por 
dia durante 30 dias, qual será o consumo? 
Tempo (min) Dias kW/h 
60 20 10 
110 30 x 
Tempo e kW/h são diretamente proporcionais. 
Dias e kW/h são diretamente proporcionais. 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
 
 
Exemplo 3 
Trabalhando 10 horas por dia, durante 18 dias, João 
recebeu R$ 2 100,00. Se trabalhar 8 horas por dia, 
quantos dias ele deverá trabalhar para receber R$ 2 
700,00? 
Horas/dia Dias R$ 
10 18 2100 
8 x 2700 
Horas por dia e dias são inversamente proporcionais. 
(inverter a coluna das horas / dia) 
Dias e salário são diretamente proporcionais. 
 
 
Exemplo 4 
Em uma empresa, 10 funcionários produzem 3 000 
peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O 
número de funcionários necessários para que essa 
empresa produza 7 000 peças em 15 dias, trabalhando 
4 horas por dia, será de: 
nº 
funcionários 
Peças h/d Dias 
10 3000 8 5 
x 7000 4 15 
Funcionários e peças são diretamente proporcionais. 
Funcionários e horas por dia são inversamente 
proporcionais. (inverter coluna horas por dia) 
Funcionários e dias são inversamente proporcionais. 
(inverter coluna dos dias) 
 
 
A regra de três composta é muito utilizada em 
situações que envolvem mais de duas grandezas 
diretamente ou inversamente proporcionais. 
PORCENTAGEM 
É frequente o uso de expressões que refletem 
acréscimos ou reduções em preços, números ou 
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. 
Alguns exemplos: 
 A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um 
acréscimo de R$15,00 
 O cliente recebeu um desconto de 10% em 
todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um 
desconto de R$10,00 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são 
craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que 
jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para consequente o número 
100 denomina-se razão centesimal. Alguns 
exemplos: 
 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (Professor Guido Andrade) 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de 
outras formas: 
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas 
taxas centesimais ou taxas percentuais. 
 Considere o seguinte problema: 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos 
cavalos ele vendeu? 
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a 
taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a 
porcentagem procurada. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao dividirmos 
um número por 100. 
 Exemplos: 
 Calcular 10% de 300. 
 
 
 Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à 
porcentagem procurada. 
 EXEMPLOS: 
 1) Um jogador de futebol, ao longo de um 
campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 
8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador 
fez? 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 2) Se eu comprei uma ação de um clube por 
R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa 
percentual de lucro obtida? 
 Montamos uma equação, onde somando os 
R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou 
em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 Uma dica importante: o FATOR DE 
MULTIPLICAÇÃO. 
 Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um 
determinado valor, podemos calcular o novo valor 
apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o 
fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, 
multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a 
tabela abaixo: 
Acréscimo ou 
Lucro 
Fator de 
Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 
temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de 
multiplicação será: 
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na 
forma decimal) 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS (ProfessorGuido Andrade) 
 
 Veja a tabela abaixo: 
Desconto 
Fator de 
Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 
temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
Lucro / Prejuízo 
É o valor obtido quando subtraímos o preço de venda 
pelo preço de compra: 
 ; Onde e 
 e L é o Lucro. 
Se , não termos Lucro, mas sim 
Prejuízo. 
Acréscimos ou descontos sucessivos não são iguais a 
soma dos acréscimos ou descontos. 
Exemplo: 
30% de 20% de 100 50% de 100 
30% de 100 100 
30% de 80 50 
 80 50 
56 50