1° exercícios de Introdução à álgebra Linear

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1° Determine se a função dada nos casos  
abaixo é uma transformação linear.  
Justifique sua resposta    
a. T: , dada por T (X , ) (X Y , X )R 2 → R 2 Y = + 2 3 − Y  
 Resposta:  
 Observamos que T(0,0) =(0,0), mas isto não é  
suficiente para garantirmos que T seja linear.  
1° Propriedade da soma: u=(X 1 , Y 1 ) e V= (X 2 , Y 2 )  
T(u+v) = T(u)+T(v)  
T(u+v) = T [ (x 1 +x 2 , y 1 +y 2 )]  
T(u+v) = T (x 1 +x 2 , 2(y 1 +y 2 ), 3(x 1 +x 2 ) - y 1 -y 2 )   
T(u+v) = (x 1 + 2y 1 , 3x 1 - y 1 ) + (x 2 +2y 2 , 3x 2 -y 2 )  
T(u+v) = T(u)+T(v)  
  
2° Propriedade da multiplicação α ∈ R  
T (αu) = αT(u)  
T(αu) = T(αx 1 , αy 1 )   
T(αu)= T(αx 1 +2αy 1 , 3αx 1 -αy 1 )   
T(αu) = α(x 1 +2y 1 , 3x 1 -y 1 )  
T(αu) = αT(x 1 , y 1 )   
T(αu) = αT(u), ∀ α ∈ R  
  
Dessa forma, com as propriedades 1° e 2° →  
satisfeitas temos que T é uma aplicação linear.   
  
b. T: , dada por T (X , , ) (2X , )R 3 → R 2 Y Z = − Y + Z Y − 4  
Resposta:  
Observamos que T(0,0) =(0,0), mas isto não é  
suficiente para garantirmos que T seja linear.  
  
1° Propriedade da soma: u=(X 1 , Y 1 , Z 1 ) e V=(X 2 , Y 2 , Z 2 )  
T(u+v) = T(u)+T(v)  
T(u+v) = T [ (x 1 +x 2 , y 1 +y 2 , z 1 +z 2 )]  
T(u+v) = (2x 1 +0, -y 1 +y 2 , z 1 + 4z 2 )   
T(u+v) = (2x 1 -y 1 +z 1 , 0+y 1 + 4z 1 ) + (2x 2 -y 2 +z 2 , 0+y 2 +4z 2 )  
T(u+v) = T(u)+T(v)  
  
2° Propriedade da multiplicação α ∈ R  
T (αu) = αT(u)   
T(αu) = T(2αx 1 -αy 1 +αz 1 , αy 1 - α4z 1 )   
T(αu)= α(2x 1 -y 1 +z 1 , y 1 - 4z 1 )   
T(αu) = αT(u) ,∀ α ∈ R 2  
  
Dessa forma, com as propriedades 1° e 2° →  
satisfeitas temos que T é uma aplicação linear.   
  
  
  
  
c. T: , onde B é uma M 2x2 → M 2x3  
matriz 2x3 fixada e T (A) =AB   
Resposta:  
 1° propriedade   
T(A 1 +A 2 ) = T(A 1 ) + T(A 2 )  
T(A 1 +A 2 ) = (A 1 +A 2 )B = A 1 B +A 2 B = T(A 1 ) + T(A 2 )  
Logo, T(A 1 +A 2 )= T(A 1 ) + T(A 2 )   
  
2° Propriedade da multiplicação   
T (αA) = αT(A)   
T(αA) = (αA)*B = α(AB) = αT(A)   
    
Dessa forma, concluímos que T é uma transformação  
linear , pois satisfaz as propriedades 1 e 2.  
  
d. T: , dada por T(A)= tr(A) M n x n → R  
Resposta:  
  
  
A 1 = A 1 =   
  
  
1° Propriedade   
  
A 1 +A 2 = T(A 1 +A 2 ) = tr(a 1 +a 2 ,d 1 +d 2 )  
  
Assim, [ (a 1 +a 2 ), (d 1 +d 2 )] = T(A 1 +A 2 )  
  
2° Propriedade da multiplicação   
T (αA 1 ) = αT(A 1 )   
T(αA 1 ) = tr (αA 1 , αA 2 ) = α(a 1 + d 1 ) = αT(A 1 )   
  
Dessa forma, com as propriedades 1° e 2° →  
satisfeitas temos que T é uma aplicação linear.   
  
  
e. T: , onde P 2 → P 2  
 ( a x x ) (a ) ( b )x c ) xT + b + c 2 = + 1 + + 1 + ( + 1 2   
Resposta:  
 Observamos que T(0,0) (0,0), dessa forma = /  
garantimos que T não é uma aplicação linear . E  
também não satisfaz a propriedade da multiplicação.  
  
 
 
2° Considere a base do v , , }β = { 1 v2 v3 R
3
onde = (1, 1, 1), = (1, 1, 0), = (1,0,0) v1 v2 v3  
e seja T : o operador linear tal R3 → R3  
que T( )= (2,-1,4) v1   
T( ) = (3,0,1) e T( ) = (-1,5,1). v2 v3  
 Encontre a fórmula para T(x,y,z) e use  
esta fórmula para obter T(2,4,-1).  
Resposta:  
  
v 1 =(1,1,1) v 2 = (1,1,01) v 3 = (1,0,0)  
T(v 1 )= (2,-1,4) T(v 2 )= (3,0,1) T(v 3 )= (-1,5,1)  
  
β={v 1 ,v 2 , v 3 } = β= {(1,1,1) ,(1,01) ,(1,0,0)}  
  
Fazendo a combinação linear:  
(X,Y,Z) = a(v 1 ) + b(v 2 ) + c(v 3 )  
 = a(1,1,1) + b(1,1,01) + c (1,0,0)  
 = (a+b+c, a+b, a)  
  
Assim, a=z, b=y-z e c=x-y  
(X,Y,Z) = ZT(v 1 ) + (Y-Z)T(v 2 ) + (X-Y)T(v 3 )  
(X,Y,Z) = ZT(1,1,1) + (Y-Z)T(1,01) + (X-Y)T(1,0,0)  
T(X,Y,Z) = Z(2,-1,4) + (Y-Z)(3,0,1) + (X-Y) (-1,5,1)  
T(X,Y,Z) = [ (2Z+3(Y-Z) -1(X-Y)) , (-Z+5(X-Y)) ,  
(4Z+(Y-Z)+(X-Y))]  
T(X,Y,Z) = [ (2Z+3Y-3Z -X+Y) , (-Z+5X-5Y) ,  
(4Z+(Y-Z)+(X-Y))]  
  
Usando a fórmula T(X,Y,Z) para encontrar T(2,4,-1):  
T(2,4,-1) = [ (2(-1)+3(4)-3(-1)-2+4), (1+5(2)-5(4)),  
(4(-1)+4+1+2-4)]  
T(2,4,-1) = (15,-9, -1)  
  
  
3° Sejam v 1 , v e v vetores de um espaço  
vetorial v e T: v R 3 uma transformação →  
linear tal que T(v 1 )=(1,-1,2) T(v 2 )=(0,3,2) e  
T(v 3 )=(-3,1,2)  
 ENCONTRE : T(2v 1 - 4v 2 + 5v 3 )  
Resposta:  
T(v 1 )=(1,-1,2) T(v 2 )=(0,3,2) e T(v 3 )=(-3,1,2)  
  
Encontrando T(2v 1 -4v 2 +5v 3 )  
T(2v 1 -4v 2 +5v 3 ) = [ 2(1,-1,2) - 4(0,3,2) +5(-3,1,2)]  
T(2v 1 -4v 2 +5v 3 ) = [ (2-0-15), (-2-12-5), (4-8+10) ]  
T(2v 1 -4v 2 +5v 3 ) = (-13,-19,6)  
  
4° Seja T: R 4 R 3 a transformação linear →  
dada pela expressão:  
T(X,Y,Z,T) = (4X+Y-2Z-3T, 2X+Y+Z-4T,  
6X-9Z+9T)  
 Quais dos seguintes vetores estão em  
IM(T)?  
u =(0,0,6) v=(1,3,0) w=(2,4,0)  
  
Resposta:  
Fazendo com a base canônica do R 4 , então :  
T(1,0,0,0)= (4,2,6)  
T(0,1,0,0) = (1,1,0)  
T(0,0,1,0) = (-2,1,-9)  
T(0,0,0,1) = (-3,-4,9)  
Assim,   
[ 4+1+(-2)+(-3), 2+1+1+(-4), 6+0+(-9)+9) ] = (5-2-3, 4-4,  
6-9+9)  
[ 4+1+(-2)+(-3), 2+1+1+(-4), 6+0+(-9)+9) ] = (0,0,6)  
  
A resposta correta é u=(0,06)  
  
5° Ache a transformação linear T: R 2 R 2 →  
tal que T(1,0,0)=(2,0), T(0,1,0)=(1,1) e  
T(0,0,1)=(0,-1)  
Resposta:  
T(x,y,z) = T( X(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1))  
T(x,y,z) = xT(1,0,0) + yT(0,1,0) + zT(0,0,1)  
T(x,y,z) = x(2,0) + y(1,1) + z(0,1)  
T(x,y,z) = (2x+y, y-z)   
  
Portanto, T(x,y,z) = (2x+y, y-z)  
  
 Encontre v de R 3 tal que T(v) =(3,2)  
Resposta:  
Para determinar v= (x,y,z) tal que T(v) =(3,2) precisamos  
resolver o sistema linear.   
(2x+y, y-z) =(3,2)  
    
 2x+y y=3-2x →  
 y-z z= -2+y z= -2+3-2x z = 1-2x → → →  
  
Portanto, v= (x,y,z) = (x, 3-2x, 1-2x)