Coletânea de provas (P2) de física 3 UFRJ (até 2018)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA III (FIM230) - 2009/1
SEGUNDA PROVA UNIFICADA
DATA: 26/06/2009
• Não é permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, “iPods” ou similares.
• No cabeçalho do caderno de resolução, deverão constar, legivelmente, nome do aluno, seu
número de DRE, sua turma, seu horário de aulas e o nome de seu professor.
• Nenhum esclarecimento individual será prestado no peŕıodo de realização da prova; caso
persista alguma dúvida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu próprio
caderno de resolução.
• Seja claro, preciso e asseado.
PROBLEMA 1 (Movimento em um campo magnético) [ 2,0 ponto(s)]
A curva da figura ao lado representa a trajetória semi-
circular, de centro C e diâmetro D, de um feixe de
elétrons (carga −e e massa m) na presença de um campo
magnético constante (estacionário e uniforme). O feixe
parte da origem do sistema de coordenadas da figura.
(a) Reproduza a figura em seu caderno de resolução e
trace, com cuidado, o vetor força magnética ~F m sobre
um elétron no ponto P indicado. Determine a direção e o
sentido do campo magnético ~B que atua sobre o elétron.
[1,0 ponto]
(b) Encontre a razão e/m entre o módulo da carga e a
massa do elétron em função do módulo v da velocidade
do elétron, do módulo B do campo magnético aplicado
e do diâmetro D da semi-circunferência. [1,0 ponto]
X
Y
O
P
x̂
ŷ
ẑ
C
D
Resolução
(a) Sabemos que ~F m = q~v × ~B onde q = −e, ~F m é centŕıpeta e portanto está sempre no plano xy, apontando
para o centro C da trajetória e ~v é tangencial a trajetória, e, da mesma forma, também está sempre no plano
XY e perpendicular a ~F m. Para que ~v × ~B seja perpendicular a ~F m temos que ~B deve estar ao longo do eixo
Z, pela regra da mão direita temos que deve apontar na direção −ẑ.
Na Figura 1, traçamos o vetor força magnética ~F m e o vetor campo magnético ~B.
X
Y
O
P
~F m
x̂
ŷ
ẑ
C
D
⊗
~B
Figura 1: Movimento de um feixe de elétrons.
1
(b) A força magnética exerce o papel de força centŕıpeta:
~F m = q~v × ~B = −m
v2
r
r̂ ;
logo
evB = m
v2
r
e finalmente
e
m
=
v
rB
=
2v
DB
PROBLEMA 2 (Cabo coaxial) [ 3,0 ponto(s)]
Um cabo coaxial é constitúıdo por um cilindro circular
sólido, condutor, de raio a, e por uma casca (superf́ıcie)
ciĺındrica condutora, coaxial, de raio b (b > a), conforme
mostra a figura ao lado. O cabo é muito longo (compri-
mento L ≫ b) . O cilindro sólido interno é percorrido
por uma corrente total estacionária ia, uniformemente
distribúıda em toda a sua seção transversal. Na casca
temos uma corrente total, ib, também estacionária e uni-
formemente distribúıda, porém de sentido contrário a ia
(admita que ia > ib > 0).
(a) Encontre o vetor campo magnético na região I, den-
tro do cilindro sólido (r < a). [1,5 ponto]
(b) Encontre o vetor campo magnético na região II, en-
tre o cilindro sólido e a casca ciĺındrica (a < r < b). [0,5
ponto]
(c) Encontre o vetor campo magnético na região III, fora
da casca ciĺındrica (r > b). [1,0 ponto]
ẑ
r̂
⊗ φ̂
ia
ib
a
b I
II
III
L
Resolução
(a) Por simetria ciĺındrica, escolhemos uma curva ampèriana circular, concêntrica com o eixo do sistema; nela a
circulação de ~B será
∮
C
~B · dℓ = 2πrB(r) .
Por sua vez, como a corrente ia está uniformemente distribúıda na seção reta do cilindro sólido interno, dentro
da ampèriana teremos uma corrente encerrada menor dada por
ienc = ia
r2
a2
.
Finalmente, pela lei de Ampère, obtemos o campo na região I:
~B(r) =
µ0iar
2πa2
φ̂ .
(b) Na região II, aproveitamo-nos novamente da simetria ciĺındrica e, agora, a corrente total encerrada é a própria
corrente ia. Destarte,
~B(r) =
µ0ia
2πr
φ̂ .
(c) Finalmente, na região III, pelo mesmo tipo de argumento, temos:
∮
C
~B · dℓ = 2πrB(r) .
2
Agora, contudo, a corrente total encerrada é ia − ib; logo,
~B(r) =
µ0(ia − ib)
2πr
φ̂ .
PROBLEMA 3 (Espira retangular em um campo magnético não constante) [ 2,5 ponto(s)]
Na figura ao lado, temos uma espira retan-
gular condutora, de comprimento h, largura
a e resistência R, situada a uma distância r0
do eixo Z coplanar. Na região ocupada por
tal espira, existe um campo magnético não
estacionário e não uniforme dado por
~B(t, r) =
Kt
r
φ̂ ,
onde K é uma constante positiva e r é a
distância até o eixo Z.
(a) Calcule o fluxo do campo magnético
através da espira, tomando como vetor nor-
mal unitário o próprio vetor φ̂. [1,0 ponto]
(b) Deduza a expressão para a intensidade
da corrente induzida na espira, desprezando
a sua auto-indutância, e indique, numa figura
conveniente, o sentido de tal corrente. [1,5
ponto]
Z
r0
a
h
⊗
ẑ
r̂φ̂
Resolução
(a) Por definição de fluxo,
ΦB :=
∫
S
~B · n̂dA
=
∫ r0+a
r=r0
Kt
r
hdr
= Kt h ln
(
r0 + a
r0
)
.
(b) Pela lei de Faraday,
Eind = −
dΦB
dt
= −Kh ln
(
r0 + a
r0
)
.
Logo, a corrente induzida vale
Iind = −
Kh
R
ln
(
r0 + a
r0
)
,
e o seu sentido é o anti-horário (trigonométrico), conforme mostra a figura abaixo:
3
Iind
PROBLEMA 4 (Circuito RL) [ 2,5 pontos ponto(s)]
No circuito da figura ao lado, um resistor de resistência
R e um indutor de indutância L são conectados em série
com uma bateria de fem E no instante, t = 0, em que a
chave S é fechada.
(a) Determine a equação diferencial para a corrente i(t)
que se estabelece no circuito. [0,5 ponto]
(b) Resolva a equação diferencial do item anterior para
i(t). [1,0 ponto]
(c) Encontre a fem auto-induzida no indutor EL(t). [0,5
ponto]
(d) Determine a corrente final no circuito, depois de
transcorrido um tempo muito longo. [0,5 ponto]
b b
b
b
E
R
L
S
Resolução
(a)
di
dt
+ i
R
L
−
E
L
= 0.
(b)
i(t) =
E
R
(
1 − e−(R/L)t
)
.
(c)
EL(t) = −L
di
dt
= iR − E = E
(
1 − e−(R/L)t
)
− E = −Ee−(R/L)t.
(d)
iF =
E
R
.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009
Versão: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questões objetivas, de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
I =
∫
S
J ·n̂dA , J = nqv , V = RI , F m = qv×B , F m =
∫
C
Idℓ ×B ,
∮
S
B · n̂ dA = 0 , B = µ0
4π
qv × r̂
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ × r̂
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0
dΦE
dt
,
E = −dΦB
dt
, uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Numa experiência de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paraleleṕıpedo está disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional está
áı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres é negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, após atingido o regime
estacionário, é maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opção correta para uma
posśıvel direção e sentido do campo magnético ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) x̂ .
(b) −x̂ .
(c) ŷ .
(d) −ŷ .
(e) ẑ .
(f) −ẑ .
2. Uma corrente elétrica estacionária I passa por
um condutor formado por um quarto de ćırculo
de raio a e por dois fios retiĺıneos semi-infinitosque fazem um ângulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magnético no ponto P, que coincide com o centro
do ćırculo, é dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2πa
.
(b) µ0I
4πa
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
π
+ 1
2
)
.
3. Íons dos átomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cinética K, entram em um
espectrômetro de massa, onde há um campo
magnético B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı́ons. Considerando as massas
dos ı́ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u é a unidade de massa atômica,
a razão entre os raios das trajetórias percorridas
pelos dois ı́ons RC12/RC13 é:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Uma barra de cobre ciĺındrica, de resistência
elétrica R, comprimento L e área da seção reta
transversal A, é esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência
elétrica é:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
2
5. Uma fonte de voltagem variável é conectada em
série a uma bobina e um ampeŕımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
próxima, também mostrada, está conectada a um
volt́ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
função do tempo, tem o comportamento mostrado
no gráfico abaixo.
Qual dos gráficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em função do tempo, da volta-
gem lida no volt́ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Dois fios retiĺıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estacionárias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magnético se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
7. Considere as seguintes afirmações:
(I) A lei de Biot-Savart só pode ser apli-
cada para distribuições estacionárias de corrente
que gerem campos magnéticos simétricos. (II)
A lei de Ampère só vale para distribuições
estacionárias de corrente que gerem campos
magnéticos simétricos. (III) Na lei de Ampère, a
curva ampèriana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opção a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmações acima são falsas e quais são
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
3
8. Considere um arranjo de três (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retiĺıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam três dos vértices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
vértice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
módulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de módulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de módulo I3 = I,
com sentido do eixo Z também negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opções a se-
guir dá o valor do campo magnético resultante no
vértice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) µ0I
πa
x̂ .
(b) −µ0I
πa
x̂ .
(c)
√
2µ0I
πa
x̂ .
(d) −
√
2µ0I
πa
(x̂ + ŷ) .
(e) µ0I
πa
ŷ .
(f) −µ0I
πa
ŷ .
(g) 0 .
9. O fluxo magnético através de uma única espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependência temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t + 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O módulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, é:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
10. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-horário. Tal espira está sujeita a um
campo magnético B = 1
2
B0(
√
3ŷ + ẑ) , onde B0
é uma constante. Podemos afirmar que o módulo
do fluxo magnético através da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , são dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I ŷ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I ẑ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I x̂, − 12πR
2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(x̂ + ŷ), 0 .
4
Seção 2. Questões discursivas
1. Um cilindro circular reto, sólido, condutor, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente elétrica
cuja densidade de corrente é dada por J = J0 (r/R)
2 ẑ, sendo r a distância ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o módulo da corrente elétrica I que flui através de uma seção reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético B para r ≥ R. [0,5 ponto]
5
6
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores ŕıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em ângulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc está fixo, com seu vértice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu vértice b′ coin-
cide com o vértice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magnético constante
(estacionário e uniforme), B, que faz um ângulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magnético Φ
B
através do circuito definido pelos arames, em função de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a força eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, também em função de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Numa experiência de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paraleleṕıpedo está disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional está
áı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres é negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, após atingido o regime
estacionário, é maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opção correta para uma
posśıvel direção e sentido do campo magnético ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) x̂ .
(b) −x̂ .
(c) ŷ .
(d) −ŷ .
(e) ẑ .
(f) −ẑ .
2. Uma corrente elétrica estacionária I passa por
um condutor formado por um quarto de ćırculo
de raio a e por dois fios retiĺıneos semi-infinitos
que fazem um ângulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magnético no ponto P, que coincide com o centro
do ćırculo, é dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2πa
.
(b) µ0I
4πa
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
π
+ 1
2
)
.
3. Íons dos átomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cinética K, entram em um
espectrômetro de massa, onde há um campo
magnético B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı́ons. Considerando as massas
dos ı́ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u é a unidade de massa atômica,
a razão entre os raios das trajetórias percorridas
pelos dois ı́ons RC12/RC13 é:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Uma barra de cobre ciĺındrica, de resistência
elétrica R, comprimento L e área da seção reta
transversal A, é esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência
elétrica é:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
1
5. Uma fonte de voltagem variável é conectada em
série a uma bobina e um ampeŕımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
próxima, também mostrada, está conectada a um
volt́ımetro.
Sabe-se que a correntena primeira bobina, em
função do tempo, tem o comportamento mostrado
no gráfico abaixo.
Qual dos gráficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em função do tempo, da volta-
gem lida no volt́ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Dois fios retiĺıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estacionárias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magnético se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
7. Considere as seguintes afirmações:
(I) A lei de Biot-Savart só pode ser apli-
cada para distribuições estacionárias de corrente
que gerem campos magnéticos simétricos. (II)
A lei de Ampère só vale para distribuições
estacionárias de corrente que gerem campos
magnéticos simétricos. (III) Na lei de Ampère, a
curva ampèriana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opção a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmações acima são falsas e quais são
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
2
8. Considere um arranjo de três (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retiĺıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam três dos vértices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
vértice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
módulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de módulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de módulo I3 = I,
com sentido do eixo Z também negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opções a se-
guir dá o valor do campo magnético resultante no
vértice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) µ0I
πa
x̂ .
(b) −µ0I
πa
x̂ .
(c)
√
2µ0I
πa
x̂ .
(d) −
√
2µ0I
πa
(x̂ + ŷ) .
(e) µ0I
πa
ŷ .
(f) −µ0I
πa
ŷ .
(g) 0 .
9. O fluxo magnético através de uma única espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependência temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t + 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O módulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, é:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
10. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-horário. Tal espira está sujeita a um
campo magnético B = 1
2
B0(
√
3ŷ + ẑ) , onde B0
é uma constante. Podemos afirmar que o módulo
do fluxo magnético através da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , são dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I ŷ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I ẑ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I x̂, − 12πR
2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(x̂ + ŷ), 0 .
3
Seção 2. Questões discursivas
1. Um cilindro circular reto, sólido, condutor, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente elétrica
cuja densidade de corrente é dada por J = J0 (r/R)
2 ẑ, sendo r a distância ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o módulo da corrente elétrica I que flui através de uma seção reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético B para r ≥ R. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · n̂ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
ẑ e n̂ dA = 2πr dr ẑ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (ẑ · ẑ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣
∣
∣
∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampère temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor então podemos usar a lei de Ampère assu-
mindo para os circuitos fechados ćırculos concêntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φ̂ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φ̂ . Com isso podemos usar a lei de Ampère de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distância radial r é mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2π
0
B(r) φ̂ · r dφ φ̂ = B(r) r
∫ 2π
0
dφ = 2πr B(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φ̂ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regiões definidas pelo condutor. Para a
região interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dn̂dA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (ẑ.ẑ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣
∣
∣
∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressão para o vetor indução magnética, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φ̂, .
(c) No caso da região externa ao cilindro teremos que a corrente elétrica I(r) a ser usada é aquela cuja
expressão foi obtida no primeiro item, cuja substituição na expressão para o vetor indução magnética
resultará em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φ̂, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores ŕıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em ângulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc está fixo, com seu vértice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu vértice b′ coin-
cide com o vértice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magnético constante
(estacionário e uniforme), B, que faz um ângulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magnético Φ
B
através do circuito definido pelos arames, em função de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a força eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, também em função de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resolução:
(a) O fluxo do campo magnético através do circuito quadrado de lado a será fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · n̂ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pitágoras,
d =
√
2 a, então conclúımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressão obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da indução de Faraday, encontraremos que a força eletromotriz induzida no circuito será
fornecida por
Eind = −
dΦ
B
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a área definida pelo circuito está crescendo com o tempo, o mesmo acontecerá com Φ
B
(t). Pela
lei de Lenz a força eletromotriz induzida deverá se opor a este crescimento. Para tanto, ela deverá produzir
uma corrente elétrica induzida cujo campo magnético associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magnético externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condições conclúımos que a
corrente elétrica induzida deverá percorrer o circuito no sentido horário.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009
Versão: B
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez(10) questões objetivas, de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
I =
∫
S
J ·n̂dA , J = nqv , V = RI , F m = qv×B , F m =
∫
C
Idℓ ×B ,
∮
S
B · n̂ dA = 0 , B = µ0
4π
qv × r̂
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ × r̂
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0
dΦE
dt
,
E = −dΦB
dt
, uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Numa experiência de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paraleleṕıpedo está disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional está
áı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres é negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, após atingido o regime
estacionário, é maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opção correta para uma
posśıvel direção e sentido do campo magnético ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) x̂ .
(b) −x̂ .
(c) ŷ .
(d) −ŷ .
(e) ẑ .
(f) −ẑ .
2. Uma corrente elétrica estacionária I passa por
um condutor formado por um quarto de ćırculo
de raio a e por dois fios retiĺıneos semi-infinitos
que fazem um ângulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magnético no ponto P, que coincide com o centro
do ćırculo, é dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2πa
.
(b) µ0I
4πa
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
π
+ 1
2
)
.
3. Considere as seguintes afirmações:
(I) A lei de Biot-Savart só pode ser apli-
cada para distribuições estacionárias de corrente
que gerem campos magnéticos simétricos. (II)
A lei de Ampère só vale para distribuições
estacionárias de corrente que gerem campos
magnéticos simétricos. (III) Na lei de Ampère, a
curva ampèriana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opção a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmações acima são falsas e quais são
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
2
4. Considere um arranjo de três (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retiĺıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam três dos vértices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
vértice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
módulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de módulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de módulo I3 = I,
com sentido do eixo Z também negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opções a se-
guir dá o valor do campo magnético resultante no
vértice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) µ0I
πa
x̂ .
(b) −µ0I
πa
x̂ .
(c)
√
2µ0I
πa
x̂ .
(d) −
√
2µ0I
πa
(x̂ + ŷ) .
(e) µ0I
πa
ŷ .
(f) −µ0I
πa
ŷ .
(g) 0 .
5. Íons dos átomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cinética K, entram em um
espectrômetro de massa, onde há um campo
magnético B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı́ons. Considerando as massas
dos ı́ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u é a unidade de massa atômica,
a razão entre os raios das trajetórias percorridas
pelos dois ı́ons RC12/RC13 é:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
6. Uma fonte de voltagem variável é conectada em
série a uma bobina e um ampeŕımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
próxima, também mostrada, está conectada a um
volt́ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
função do tempo, tem o comportamento mostrado
no gráfico abaixo.
Qual dos gráficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em função do tempo, da volta-
gem lida no volt́ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3
7. Uma barra de cobre ciĺındrica, de resistência
elétrica R, comprimento L e área da seção reta
transversal A, é esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência
elétrica é:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
8. O fluxo magnético através de uma única espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependência temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t + 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O módulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, é:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
9. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-horário. Tal espira está sujeita a um
campo magnético B = 1
2
B0(
√
3ŷ + ẑ) , onde B0
é uma constante. Podemos afirmar que o módulo
do fluxo magnético através da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , são dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I ŷ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I ẑ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I x̂, − 12πR
2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(x̂ + ŷ), 0 .
10. Dois fios retiĺıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estacionárias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magnético se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
4
Seção 2. Questões discursivas
1. Um cilindro circular reto, sólido, condutor, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente elétrica
cuja densidade de corrente é dada por J = J0 (r/R)
2 ẑ, sendo r a distância ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o módulo da corrente elétrica I que flui através de uma seção reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético B para r ≥ R. [0,5 ponto]
5
6
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores ŕıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em ângulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc está fixo, com seu vértice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu vértice b′ coin-
cide com o vértice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magnético constante
(estacionário e uniforme), B, que faz um ângulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magnético Φ
B
através do circuito definido pelos arames, em função de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a força eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, também em função de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Numa experiência de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paraleleṕıpedo está disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional está
áı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres é negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, após atingido o regime
estacionário, é maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opção correta para uma
posśıvel direção e sentido do campo magnético ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) x̂ .
(b) −x̂ .
(c) ŷ.
(d) −ŷ .
(e) ẑ .
(f) −ẑ .
2. Uma corrente elétrica estacionária I passa por
um condutor formado por um quarto de ćırculo
de raio a e por dois fios retiĺıneos semi-infinitos
que fazem um ângulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magnético no ponto P, que coincide com o centro
do ćırculo, é dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2πa
.
(b) µ0I
4πa
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
π
+ 1
2
)
.
3. Considere as seguintes afirmações:
(I) A lei de Biot-Savart só pode ser apli-
cada para distribuições estacionárias de corrente
que gerem campos magnéticos simétricos. (II)
A lei de Ampère só vale para distribuições
estacionárias de corrente que gerem campos
magnéticos simétricos. (III) Na lei de Ampère, a
curva ampèriana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opção a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmações acima são falsas e quais são
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
1
4. Considere um arranjo de três (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retiĺıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam três dos vértices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
vértice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
módulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de módulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de módulo I3 = I,
com sentido do eixo Z também negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opções a se-
guir dá o valor do campo magnético resultante no
vértice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) µ0I
πa
x̂ .
(b) −µ0I
πa
x̂ .
(c)
√
2µ0I
πa
x̂ .
(d) −
√
2µ0I
πa
(x̂ + ŷ) .
(e) µ0I
πa
ŷ .
(f) −µ0I
πa
ŷ .
(g) 0 .
5. Íons dos átomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cinética K, entram em um
espectrômetro de massa, onde há um campo
magnético B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı́ons. Considerando as massas
dos ı́ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u é a unidade de massa atômica,
a razão entre os raios das trajetórias percorridas
pelos dois ı́ons RC12/RC13 é:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
6. Uma fonte de voltagem variável é conectada em
série a uma bobina e um ampeŕımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
próxima, também mostrada, está conectada a um
volt́ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
função do tempo, tem o comportamento mostrado
no gráfico abaixo.
Qual dos gráficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em função do tempo, da volta-
gem lida no volt́ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
7. Uma barra de cobre ciĺındrica, de resistência
elétrica R, comprimento L e área da seção reta
transversal A, é esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência
elétrica é:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
8. O fluxo magnético através de uma única espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependência temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t + 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O módulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, é:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
9. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-horário. Tal espira está sujeita a um
campo magnético B = 1
2
B0(
√
3ŷ + ẑ) , onde B0
é uma constante. Podemos afirmar que o módulo
do fluxo magnético através da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , são dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I ŷ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I ẑ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I x̂, − 12πR
2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(x̂ + ŷ), 0 .
10. Dois fios retiĺıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estacionárias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magnético se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
3
Seção 2. Questões discursivas
1. Um cilindro circular reto, sólido, condutor, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente elétrica
cuja densidade de corrente é dada por J = J0 (r/R)
2 ẑ, sendo r a distância ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o módulo da corrente elétrica I que flui através de uma seção reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético B para r ≥ R. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · n̂ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
ẑ e n̂ dA = 2πr dr ẑ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (ẑ · ẑ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣
∣
∣
∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampère temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor então podemos usar a lei de Ampère assu-
mindo para os circuitos fechados ćırculos concêntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φ̂ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φ̂ . Com isso podemos usar a lei de Ampère de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distância radial r é mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2π
0
B(r) φ̂ · r dφ φ̂ = B(r) r
∫ 2π
0
dφ = 2πr B(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φ̂ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regiões definidas pelo condutor. Para a
região interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dn̂dA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (ẑ.ẑ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣
∣
∣
∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressão para o vetor indução magnética, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φ̂, .
(c) No caso da região externa ao cilindro teremos que a corrente elétrica I(r) a ser usada é aquela cuja
expressão foi obtida no primeiro item, cuja substituição na expressão para o vetor indução magnética
resultará em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φ̂, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores ŕıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em ângulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc está fixo, com seu vértice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu vértice b′ coin-
cide com o vértice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magnético constante
(estacionário e uniforme), B, que faz um ângulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magnético Φ
B
através do circuito definido pelos arames, em função de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a força eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, também em função de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resolução:
(a) O fluxo do campo magnético através do circuito quadrado de lado a será fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · n̂ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pitágoras,
d =
√
2 a, entãoconclúımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressão obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da indução de Faraday, encontraremos que a força eletromotriz induzida no circuito será
fornecida por
Eind = −
dΦ
B
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a área definida pelo circuito está crescendo com o tempo, o mesmo acontecerá com Φ
B
(t). Pela
lei de Lenz a força eletromotriz induzida deverá se opor a este crescimento. Para tanto, ela deverá produzir
uma corrente elétrica induzida cujo campo magnético associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magnético externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condições conclúımos que a
corrente elétrica induzida deverá percorrer o circuito no sentido horário.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009
Versão: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questões objetivas, de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
I =
∫
S
J ·n̂dA , J = nqv , V = RI , F m = qv×B , F m =
∫
C
Idℓ ×B ,
∮
S
B · n̂ dA = 0 , B = µ0
4π
qv × r̂
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ × r̂
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0
dΦE
dt
,
E = −dΦB
dt
, uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Dois fios retiĺıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estacionárias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magnético se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
2. O fluxo magnético através de uma única espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependência temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t + 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O módulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, é:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
3. Íons dos átomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cinética K, entram em um
espectrômetro de massa, onde há um campo
magnético B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı́ons. Considerando as massas
dos ı́ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u é a unidade de massa atômica,
a razão entre os raios das trajetórias percorridas
pelos dois ı́ons RC12/RC13 é:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Numa experiência de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paraleleṕıpedo está disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional está
áı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres é negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, após atingido o regime
estacionário, é maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opção correta para uma
posśıvel direção e sentido do campo magnético ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) x̂ .
(b) −x̂ .
(c) ŷ .
(d) −ŷ .
(e) ẑ .
(f) −ẑ .
2
5. Uma fonte de voltagem variável é conectada em
série a uma bobina e um ampeŕımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
próxima, também mostrada, está conectada a um
volt́ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
função do tempo, tem o comportamento mostrado
no gráfico abaixo.
Qual dos gráficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em função do tempo, da volta-
gem lida no volt́ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Considere um arranjo de três (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retiĺıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam três dos vértices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
vértice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
módulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de módulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de módulo I3 = I,
com sentido do eixo Z também negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opções a se-
guir dá o valor do campo magnético resultante no
vértice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) µ0I
πa
x̂ .
(b) −µ0I
πa
x̂ .
(c)
√
2µ0I
πa
x̂ .
(d) −
√
2µ0I
πa
(x̂ + ŷ) .
(e) µ0I
πa
ŷ .
(f) −µ0I
πa
ŷ .
(g) 0 .
7. Uma barra de cobre ciĺındrica, de resistência
elétrica R, comprimento L e área da seção reta
transversal A, é esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência
elétrica é:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
3
8. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-horário. Tal espira está sujeita a um
campo magnético B = 1
2
B0(
√
3ŷ + ẑ) , onde B0
é uma constante. Podemos afirmar que o módulo
do fluxo magnético através da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , são dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I ŷ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I ẑ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I x̂, − 12πR
2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(x̂ + ŷ), 0 .
9. Considere as seguintes afirmações:
(I) A lei de Biot-Savart só pode ser apli-
cada para distribuições estacionárias de corrente
que gerem campos magnéticos simétricos. (II)
A lei de Ampère só vale para distribuições
estacionárias de corrente que gerem campos
magnéticos simétricos. (III) Na lei de Ampère, a
curva ampèriana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opção a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmações acima são falsas e quais são
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
10. Uma corrente elétrica estacionária I passa por
um condutor formado por um quarto de ćırculo
de raio a e por dois fios retiĺıneos semi-infinitos
que fazem um ângulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magnético no ponto P, que coincide com o centro
do ćırculo, é dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2πa
.
(b) µ0I
4πa
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
π
+ 1
2
)
.
4
Seção 2. Questões discursivas
1. Um cilindro circular reto, sólido, condutor, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente elétrica
cuja densidade de corrente é dada por J = J0 (r/R)
2 ẑ, sendo r a distância ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o módulo da corrente elétrica I que flui através de uma seção reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético B para r ≥ R. [0,5 ponto]
5
6
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores ŕıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em ângulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arameabc está fixo, com seu vértice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu vértice b′ coin-
cide com o vértice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magnético constante
(estacionário e uniforme), B, que faz um ângulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magnético Φ
B
através do circuito definido pelos arames, em função de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a força eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, também em função de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Dois fios retiĺıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estacionárias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magnético se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
2. O fluxo magnético através de uma única espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependência temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t + 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O módulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, é:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
3. Íons dos átomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cinética K, entram em um
espectrômetro de massa, onde há um campo
magnético B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı́ons. Considerando as massas
dos ı́ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u é a unidade de massa atômica,
a razão entre os raios das trajetórias percorridas
pelos dois ı́ons RC12/RC13 é:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Numa experiência de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paraleleṕıpedo está disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional está
áı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres é negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, após atingido o regime
estacionário, é maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opção correta para uma
posśıvel direção e sentido do campo magnético ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) x̂ .
(b) −x̂ .
(c) ŷ .
(d) −ŷ .
(e) ẑ .
(f) −ẑ .
1
5. Uma fonte de voltagem variável é conectada em
série a uma bobina e um ampeŕımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
próxima, também mostrada, está conectada a um
volt́ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
função do tempo, tem o comportamento mostrado
no gráfico abaixo.
Qual dos gráficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em função do tempo, da volta-
gem lida no volt́ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Considere um arranjo de três (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retiĺıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam três dos vértices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
vértice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
módulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de módulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de módulo I3 = I,
com sentido do eixo Z também negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opções a se-
guir dá o valor do campo magnético resultante no
vértice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) µ0I
πa
x̂ .
(b) −µ0I
πa
x̂ .
(c)
√
2µ0I
πa
x̂ .
(d) −
√
2µ0I
πa
(x̂ + ŷ) .
(e) µ0I
πa
ŷ .
(f) −µ0I
πa
ŷ .
(g) 0 .
7. Uma barra de cobre ciĺındrica, de resistência
elétrica R, comprimento L e área da seção reta
transversal A, é esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência
elétrica é:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
2
8. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-horário. Tal espira está sujeita a um
campo magnético B = 1
2
B0(
√
3ŷ + ẑ) , onde B0
é uma constante. Podemos afirmar que o módulo
do fluxo magnético através da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , são dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I ŷ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I ẑ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I x̂, − 12πR
2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(x̂ + ŷ), 0 .
9. Considere as seguintes afirmações:
(I) A lei de Biot-Savart só pode ser apli-
cada para distribuições estacionárias de corrente
que gerem campos magnéticos simétricos. (II)
A lei de Ampère só vale para distribuições
estacionárias de corrente que gerem campos
magnéticos simétricos. (III) Na lei de Ampère, a
curva ampèriana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opção a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmações acima são falsas e quais são
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
10. Uma corrente elétrica estacionária I passa por
um condutor formado por um quarto de ćırculo
de raio a e por dois fios retiĺıneos semi-infinitos
que fazem um ângulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magnético no ponto P, que coincide com o centro
do ćırculo, é dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2πa
.
(b) µ0I
4πa
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
π
+ 1
2
)
.
3
Seção 2. Questões discursivas
1. Um cilindro circular reto, sólido, condutor, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente elétrica
cuja densidade de corrente é dada por J = J0 (r/R)
2 ẑ, sendo r a distância ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o módulo da corrente elétrica I que flui através de uma seção reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético B para r ≥ R. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · n̂ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
ẑ e n̂ dA = 2πr dr ẑ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (ẑ · ẑ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣
∣
∣
∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampère temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor então podemos usar a lei de Ampère assu-
mindo para os circuitos fechados ćırculos concêntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φ̂ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φ̂ . Com isso podemos usar a lei de Ampère de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distância radial r é mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2π
0
B(r) φ̂ · r dφ φ̂ = B(r) r
∫ 2π
0
dφ = 2πr B(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φ̂ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regiões definidas pelo condutor. Para a
região interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dn̂dA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (ẑ.ẑ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣
∣
∣
∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressão para o vetor indução magnética, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φ̂, .
(c) No caso da região externa ao cilindro teremos que a correnteelétrica I(r) a ser usada é aquela cuja
expressão foi obtida no primeiro item, cuja substituição na expressão para o vetor indução magnética
resultará em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φ̂, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores ŕıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em ângulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc está fixo, com seu vértice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu vértice b′ coin-
cide com o vértice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magnético constante
(estacionário e uniforme), B, que faz um ângulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magnético Φ
B
através do circuito definido pelos arames, em função de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a força eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, também em função de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resolução:
(a) O fluxo do campo magnético através do circuito quadrado de lado a será fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · n̂ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pitágoras,
d =
√
2 a, então conclúımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressão obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da indução de Faraday, encontraremos que a força eletromotriz induzida no circuito será
fornecida por
Eind = −
dΦ
B
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a área definida pelo circuito está crescendo com o tempo, o mesmo acontecerá com Φ
B
(t). Pela
lei de Lenz a força eletromotriz induzida deverá se opor a este crescimento. Para tanto, ela deverá produzir
uma corrente elétrica induzida cujo campo magnético associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magnético externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condições conclúımos que a
corrente elétrica induzida deverá percorrer o circuito no sentido horário.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009
Versão: D
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questões objetivas, de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
I =
∫
S
J ·n̂dA , J = nqv , V = RI , F m = qv×B , F m =
∫
C
Idℓ ×B ,
∮
S
B · n̂ dA = 0 , B = µ0
4π
qv × r̂
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ × r̂
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0
dΦE
dt
,
E = −dΦB
dt
, uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Dois fios retiĺıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estacionárias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magnético se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
2. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-horário. Tal espira está sujeita a um
campo magnético B = 1
2
B0(
√
3ŷ + ẑ) , onde B0
é uma constante. Podemos afirmar que o módulo
do fluxo magnético através da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , são dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I ŷ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I ẑ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I x̂, − 12πR
2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(x̂ + ŷ), 0 .
3. Numa experiência de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paraleleṕıpedo está disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional está
áı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres é negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, após atingido o regime
estacionário, é maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opção correta para uma
posśıvel direção e sentido do campo magnético ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) x̂ .
(b) −x̂ .
(c) ŷ .
(d) −ŷ .
(e) ẑ .
(f) −ẑ .
4. Uma barra de cobre ciĺındrica, de resistência
elétrica R, comprimento L e área da seção reta
transversal A, é esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência
elétrica é:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
2
5. Considere as seguintes afirmações:
(I) A lei de Biot-Savart só pode ser apli-
cada para distribuições estacionárias de corrente
que gerem campos magnéticos simétricos. (II)
A lei de Ampère só vale para distribuições
estacionárias de corrente que gerem campos
magnéticos simétricos. (III) Na lei de Ampère, a
curva ampèriana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opção a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmações acima são falsas e quais são
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
6. Uma corrente elétrica estacionária I passa por
um condutor formado por um quarto de ćırculo
de raio a e por dois fios retiĺıneos semi-infinitos
que fazem um ângulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magnético no ponto P, que coincide com o centro
do ćırculo, é dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2πa
.
(b) µ0I
4πa
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
π
+ 1
2
)
.
7. Íons dos átomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cinética K, entram em um
espectrômetro de massa, onde há um campo
magnético B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı́ons. Considerando as massas
dos ı́ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u é a unidade de massa atômica,
a razão entre os raios das trajetórias percorridas
pelos dois ı́ons RC12/RC13 é:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
8. O fluxo magnético através de uma única espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependência temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t + 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O módulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, é:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
3
9. Considere um arranjo de três (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retiĺıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam três dos vértices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
vértice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
módulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de módulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de módulo I3 = I,
com sentidodo eixo Z também negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opções a se-
guir dá o valor do campo magnético resultante no
vértice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) µ0I
πa
x̂ .
(b) −µ0I
πa
x̂ .
(c)
√
2µ0I
πa
x̂ .
(d) −
√
2µ0I
πa
(x̂ + ŷ) .
(e) µ0I
πa
ŷ .
(f) −µ0I
πa
ŷ .
(g) 0 .
10. Uma fonte de voltagem variável é conectada em
série a uma bobina e um ampeŕımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
próxima, também mostrada, está conectada a um
volt́ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
função do tempo, tem o comportamento mostrado
no gráfico abaixo.
Qual dos gráficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em função do tempo, da volta-
gem lida no volt́ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
4
Seção 2. Questões discursivas
1. Um cilindro circular reto, sólido, condutor, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente elétrica
cuja densidade de corrente é dada por J = J0 (r/R)
2 ẑ, sendo r a distância ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o módulo da corrente elétrica I que flui através de uma seção reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético B para r ≥ R. [0,5 ponto]
5
6
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores ŕıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em ângulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc está fixo, com seu vértice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu vértice b′ coin-
cide com o vértice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magnético constante
(estacionário e uniforme), B, que faz um ângulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magnético Φ
B
através do circuito definido pelos arames, em função de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a força eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, também em função de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Dois fios retiĺıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estacionárias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magnético se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
2. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-horário. Tal espira está sujeita a um
campo magnético B = 1
2
B0(
√
3ŷ + ẑ) , onde B0
é uma constante. Podemos afirmar que o módulo
do fluxo magnético através da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , são dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I ŷ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I ẑ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I x̂, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(x̂ + ŷ), 0 .
3. Numa experiência de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paraleleṕıpedo está disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional está
áı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres é negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, após atingido o regime
estacionário, é maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opção correta para uma
posśıvel direção e sentido do campo magnético ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) x̂ .
(b) −x̂ .
(c) ŷ .
(d) −ŷ .
(e) ẑ .
(f) −ẑ .
4. Uma barra de cobre ciĺındrica, de resistência
elétrica R, comprimento L e área da seção reta
transversal A, é esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência
elétrica é:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
1
5. Considere as seguintes afirmações:
(I) A lei de Biot-Savart só pode ser apli-
cada para distribuições estacionárias de corrente
que gerem campos magnéticos simétricos. (II)
A lei de Ampère só vale para distribuições
estacionárias de corrente que gerem campos
magnéticos simétricos. (III) Na lei de Ampère, a
curva ampèriana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opção a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmações acima são falsas e quais são
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
6. Uma corrente elétrica estacionária I passa por
um condutor formado por um quarto de ćırculo
de raio a e por dois fios retiĺıneos semi-infinitos
que fazem um ângulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magnético no ponto P, que coincide com o centro
do ćırculo, é dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2πa
.
(b) µ0I
4πa
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
π
+ 1
2
)
.
7. Íons dos átomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cinética K, entram em um
espectrômetro de massa, onde há um campo
magnético B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı́ons. Considerando as massas
dos ı́ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u é a unidade de massa atômica,
a razão entre os raios das trajetórias percorridas
pelos dois ı́ons RC12/RC13 é:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
8. O fluxo magnético através de uma única espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependência temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t + 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O módulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, é:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
2
9. Considere um arranjo de três (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retiĺıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam três dos vértices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
vértice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
módulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de módulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de módulo I3 = I,
com sentido do eixo Z também negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opções a se-
guir dá o valor do campo magnético resultante no
vértice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
x̂
ŷ
ẑ
(a) µ0I
πa
x̂ .
(b) −µ0I
πa
x̂ .
(c)
√
2µ0I
πa
x̂ .
(d) −
√
2µ0I
πa
(x̂ + ŷ) .
(e) µ0I
πa
ŷ .
(f) −µ0I
πa
ŷ .
(g) 0 .
10. Uma fonte de voltagem variável é conectada em
série a uma bobina e um ampeŕımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
próxima, também mostrada, está conectada a um
volt́ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
função do tempo, tem o comportamento mostrado
no gráfico abaixo.
Qual dos gráficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em função do tempo, da volta-
gem lida no volt́ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3
Seção 2. Questões discursivas
1. Um cilindro circular reto, sólido, condutor, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente elétrica
cuja densidade de corrente é dada por J = J0 (r/R)
2 ẑ, sendo r a distância ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o módulo da corrente elétrica I que flui através de uma seção reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético B parar ≥ R. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · n̂ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
ẑ e n̂ dA = 2πr dr ẑ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (ẑ · ẑ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣
∣
∣
∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampère temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor então podemos usar a lei de Ampère assu-
mindo para os circuitos fechados ćırculos concêntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φ̂ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φ̂ . Com isso podemos usar a lei de Ampère de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distância radial r é mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2π
0
B(r) φ̂ · r dφ φ̂ = B(r) r
∫ 2π
0
dφ = 2πr B(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φ̂ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regiões definidas pelo condutor. Para a
região interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dn̂dA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (ẑ.ẑ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣
∣
∣
∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressão para o vetor indução magnética, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φ̂, .
(c) No caso da região externa ao cilindro teremos que a corrente elétrica I(r) a ser usada é aquela cuja
expressão foi obtida no primeiro item, cuja substituição na expressão para o vetor indução magnética
resultará em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φ̂, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores ŕıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em ângulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc está fixo, com seu vértice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu vértice b′ coin-
cide com o vértice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magnético constante
(estacionário e uniforme), B, que faz um ângulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magnético Φ
B
através do circuito definido pelos arames, em função de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a força eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, também em função de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resolução:
(a) O fluxo do campo magnético através do circuito quadrado de lado a será fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · n̂ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pitágoras,
d =
√
2 a, então conclúımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressão obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da indução de Faraday, encontraremos que a força eletromotriz induzida no circuito será
fornecida por
Eind = −
dΦ
B
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a área definida pelo circuito está crescendo com o tempo, o mesmo acontecerá com Φ
B
(t). Pela
lei de Lenz a força eletromotriz induzida deverá se opor a este crescimento. Para tanto, ela deverá produzir
uma corrente elétrica induzida cujo campo magnético associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magnético externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condições conclúımos que a
corrente elétrica induzida deverá percorrer o circuito no sentido horário.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2010/1
Segunda Prova (P2) – 08/07/2010
Versão: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por dez (10) questões de múltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização alguma;
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
E =
E0
K
, I =
∫
S
J · n̂ dA J = nqv
F
em
= qE + qv ×B , B =
∮
C
µ0
4π
Idℓ× r̂
r2
,
∮
S
B ·n̂ dA = 0 ,
∮
C
B ·dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
d
dt
ΦE , Eind = −
d
dt
ΦB
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Uma superf́ıcie na forma de um hemisfério de raio
a, aberta (sem incluir sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
é atravessada por um campo magnético uniforme
B = Bẑ, onde B > 0. O módulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo através da superf́ıcie é
Y
X
Z
(a) 0.
(b) π
2
a2B.
(c) πa2B.
(d) 2πa2B.
(e) 4πa2B.
2. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um número infinito
de fios retiĺıneos, paralelos, onde o número de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) é n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opção
que melhor representa o campo magnético resul-
tante, nas três regiões t́ıpicas do espaço (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
x̂
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIx̂, 0.
(c) µ0nI
2
x̂, 3µ0nI
2
x̂, −µ0nI
2
x̂.
(d) −µ0nI
2
x̂, 3µ0nI
2
x̂, µ0nI
2
x̂.
(e) µ0nI
2
x̂, − 3µ0nI
2
x̂, µ0nI
2
x̂.
3. Dois fios condutores longos são dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retiĺıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de ćırculo de raio a e ângulo θ centrados
em O. Correntes estacionárias I e 2I passam pelo
conjunto de fios à esquerda e pelo conjunto de fios
à direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magnético B no ponto
O é perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4πa
, saindo da página.
(b) 3µ0Iθ
4πa
, entrando na página.
(c) µ0Iθ
4πa
, entrando na página.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
πa
)
, entrando na página.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
πa
)
, saindo da página.
4. Um ı́on com carga elétrica elementar negativa −e
e velocidade v = vx̂, onde v > 0, entra em uma
região onde existe um campo elétrico constante
(estacionário e uniforme) E = Eŷ. Para que a
trajetória desse ı́on nessa região seja retiĺınea, é
necessário que haja um campo magnético cons-
tante (estacionário e uniforme) B dado por
(a) −E
v
ŷ.
(b) E
v
ŷ.
(c) E
v
ẑ.
(d) −E
v
ẑ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı́on descreveria uma trajetória circu-
lar quando na presença de um campo
magnético constante.
2
5. Considere as seguintes afirmações: (I) a força
magnética sobre uma part́ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magnético
através de uma superf́ıcie fechada é igual à cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday só
se aplica para correntes