Martonni-Alves

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOF́ISICA
GEO213 – TRABALHO DE GRADUAÇÃO
MODELAGEM SISMOLÓGICA DE CURVAS DE
TEMPOS DE TRÂNSITO COM
PARAMETRIZAÇÃO POR SÉRIE
TRIGONOMÉTRICA DO CAMPO GLOBAL DE
VELOCIDADES
MARTONNI ALVES BOMFIM SANTOS
SALVADOR – BAHIA
JULHO – 2008
Modelagem sismológica de curvas tempos de trânsito com parametrização por
série trigonométrica do campo global de velocidades
por
Martonni Alves Bonfim Santos
Orientador: Prof. Dr. Wilson Mouzer Figueiró
GEO213 � TRABALHO DE GRADUAÇÃO
Departamento de Geologia e Geofísica Aplicada
do
Instituto de Geociências
da
Universidade Federal da Bahia
Comissão Examinadora
Dr. Wilson Mouzer Figueiró - Orientador
Dra. Jacira Cristina Batista de Freitas
Dr. Marco Antonio Barsottelli Botelho
Data da aprovação: 29/08/2008
Se a geof́ısica necessita
usar a matemática para o seu tratamento,
é a Terra a responsável por isso,
não o geof́ısico.
Sir Harold Jeffreys
À minha extraordinária famı́lia,
principal motivo da minha
existência.
RESUMO
A modelagem sismológica proposta neste trabalho visa identificar e correlacionar as
principais curvas de tempos de trânsito (obtidas após o traçamento de raios śısmicos cor-
respondentes às ondas compressionais e cisalhantes no interior da Terra) com aquelas já
conhecidas do trabalho de Jeffreys e Bullen (1940). Com base nos valores da distância ao
centro da Terra e de suas respectivas velocidades śısmicas, extráıdas do Modelo Preliminar de
Referência da Terra (PREM), é feita uma parametrização do campo de velocidades por série
trigonométrica que é obtida através de ajuste utilizando-se o método dos mı́nimos quadra-
dos (MMQ). Tal técnica, assim como seus aspectos teóricos básicos são apresentados neste
trabalho. Dessa forma, considerando-se o interior do planeta um meio elástico, heterogêneo
e isotrópico, é posśıvel implementar um algoritmo computacional que realize traçamentos
de raios śısmicos nos campos de velocidade obtidos. Consequentemente, é posśıvel calcular
os tempos de chegada dos raios na superf́ıcie, assim como os ângulos epicentrais correspon-
dentes. Com o agrupamento e análise de todos os valores gerados pelo programa, pode-se
visualizar graficamente alguns dos diferentes eventos śısmicos produzidos considerando-se
o modelo mais aceito da estrutura interna da Terra. Dentre tais eventos, destacam-se as
seguintes possibilidades de propagação: ondas P e S no manto; ondas PKP, SKS e PKS no
manto e no núcleo externo; e ondas PKIKP e SKJKS na Terra como um todo. A forma
de traçado dos raios e, principalmente, das curvas de tempo de trânsitos obtidas, estão em
conformidade com o modelo de curvas de tempos de trânsito propostas por Jeffreys-Bullen.
iii
ABSTRACT
The proposed seismological modeling presented in this work aims to identify and corre-
late the main travel times curves (obtained after a raytracing considering acoustic and shear
waves in the Earth interior) with those already known from the work of Jeffreys and Bullen
(1940). Based on the values of the Earth center distance and corresponding seismic velocities
extracted from the Preliminary Reference Earth Model (PREM), is made an adjustment of
trigonometric series to such values using the least square method. Thus, considering the
interior of the planet as an elastic, heterogeneous and isotropic media, it is possible to im-
plement a computer algorithm that generates seismic two-bidimensional velocity fields and
carries out on them a seismic ray-tracing. Consequently, it is possible to calculate rays arrival
times and corresponding epicentral angles. Gathering and analysing all produced numerical
values by the built code, it is possible to have a graphical view of several seismological events
produced considering the most accepted Earth internal structure, highlighting, among them,
the propagation of: P and S waves in the mantle; PKP, SKS and PKS events in the mantle
and external core; and PKIKP, and SKJKS in the whole Earth. The shape of the traced rays
and, mostly, the obtained travel time curves, confirms a high level of correlation between
Jeffreys-Bullen model and the results reached in this work.
iv
ÍNDICE
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
ÍNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
ÍNDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CAPÍTULO 1 Fundamentos Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 As curvas de tempos de trânsito de Jeffreys-Bullen . . . . . . . . . . . . . . 3
CAPÍTULO 2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Parametrização Trigonométrica do Campo Global de Velocidades . . . . . . 7
2.2 Aspectos Gerais do Traçamento do Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Traçamento Numérico do Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Cálculo do Tempo de Trânsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Traçamento de Raios no Modelo da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Traçado do Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Implementação Algoŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
CAPÍTULO 3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Modelagem Sismológica das Ondas Primárias (P) . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Campo de Velocidade Śısmica α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Trajetória dos raios śısmicos de ondas P no interior da Terra . . . . . 19
3.1.3 Tempos de Trânsito das Ondas P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Modelagem Sismológica das Ondas Secundárias (S) . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Campo de Velocidade Śısmica β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 Trajetória dos raios śısmicos de ondas S no interior da Terra . . . . . 26
3.2.3 Tempos de Trânsito das Ondas S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Modelagem Sismológica das Ondas Convertidas . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Campos de Velocidade Śısmica α e β . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Trajetória dos raios śısmicos de ondas P e S convertidas . . . . . . . . 31
3.3.3 Tempos de Trânsito de Ondas Convertidas . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Tempos de Trânsitos Integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
v
CAPÍTULO 4 Discussões e Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
APÊNDICE A Distribuição de Parâmetros do Interior Terrestre . . . . . 42
APÊNDICE B Ajuste por Série Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . 43
APÊNDICE C Aplicativos e Programas Utilizados . . . . . . . . . . . . . 45
vi
ÍNDICE DE FIGURAS
1.1 Curvas de tempos de trânsito de Jeffreys e Bullen (1940), constrúıdas utilizando-se dados
de terremotos.
(adaptada de http://www.earth.rochester.edu/fehnlab/ees215/fig5 3.jpg) . . . . . . . . 4
1.2 Representação das (a) frentes de ondas P diretas e suas trajetórias de raios produzidas
por um posśıvel sismo (Gutenberg, 1959) e das (b) trajetórias de raios para alguns eventos
ilustrando nomenclatura usada (adaptada de Sheriff, 1999). . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Gráficos das curvas de velocidades śısmicas α (ondas P) e β (ondas S) em função da distância
ao centro da Terra (constrúıdas segundo o modelo PREM) e representação das descontinui-
dades mais marcantes no interior terrestre com suasrespectivas localizações.
(adaptado de http://domingos.home.sapo.pt/estruterra 4.html) . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Representação esquemática dos elementos geométricos que participam no traçado do raio
no interior da Terra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Representação esquemática do traçamento de raio no interior terrestre com seus elementos
geométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Fluxograma do algoritmo proposto para o cálculo: das trajetórias dos raios śısmicos no
interior da Terra, dos tempos de trânsito dos eventos, e dos ângulos epicentrais. . . . . . 16
3.1 Gráfico da curva de velocidades śısmicas α (ondas P) em função da distância ao centro da
Terra, constrúıdo segundo ajuste da série trigonométrica ao modelo PREM. . . . . . . . 17
3.2 Visualização tridimensional do campo global de velocidades de ondas primárias no interior
terrestre segundo a parametrização polinomial trigonométrica; visão superior (a) e visão
de perfil (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Gráfico mostrando as curvas de velocidades śısmicas α (ondas P) ajustadas (com oscilações)
e tabeladas (com descontinuidades e arestas), ambas em função da distância ao centro da
Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Campo global das trajetórias dos raios śısmicos de ondas compressionais (para Δθ = 1◦). . 20
3.5 Campo global das trajetórias dos raios śısmicos de ondas compressionais (para Δθ = 1◦)
com fonte S = (0, 0), apresentando a nomenclatura dos eventos śısmicos e as delimitações
dos núcleos e da superf́ıcie terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Representação dos pontos de chegada na superf́ıcie dos raios śısmicos referentes às ondas P. 22
3.7 Superposição das trajetórias dos raios śısmicos das ondas P e o campo bidimensional de
velocidades śısmicas α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.8 Gráfico do tempo de trânsito das ondas compressionais (P) que atravessam o interior ter-
restre versus o ângulo epicentral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
vii
3.9 Gráfico da curva de velocidades śısmicas β (ondas S) em função da distância ao centro da
Terra, constrúıdo segundo ajuste trigonométrico ao modelo PREM. . . . . . . . . . . . 25
3.10 Gráfico mostrando as curvas de velocidades śısmicas β (ondas S) ajustadas (com oscilações)
e tabeladas (com descontinuidades e arestas), ambas em função da distância ao centro da
Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.11 Campo global dos trajetos dos raios śısmicos de ondas cisalhantes (para Δθ = 1◦). . . . . 27
3.12 Campo global dos trajetos dos raios śısmicos de ondas cisalhantes (para Δθ = 1◦) com
fonte S = (0, 0), apresentando a nomenclatura dos eventos śısmicos e as delimitações dos
núcleos e da superf́ıcie terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.13 Representação dos pontos de chegada dos raios śısmicos das ondas S na superf́ıcie. . . . . 29
3.14 Tempos de trânsito das ondas cisalhantes (S) no interior da Terra. . . . . . . . . . . . 30
3.15 Campo global das trajetórias dos raios śısmicos de ondas S convertidas, obrigatoriamente,
em P ao entrar no núcleo externo, e das ondas P convertidas em S ao entrar no núcleo
interno (Δθ = 2◦). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.16 Campo global das trajetórias dos raios śısmicos de ondas S convertidas em P no núcleo
externo e P convertidas em S no núcleo interno (para Δθ = 2◦) com fonte S = (0, 0),
apresentando nomenclatura dos eventos śısmicos considerados e as interfaces manto-núcleo
externo a aquela entre os núcleos, assim como a superf́ıcie do planeta. . . . . . . . . . . 33
3.17 Representação dos pontos superficiais onde ocorre chegada dos raios śısmicos das ondas S
convertidas em P no núcleo externo e das ondas P convertidas em S no núcleo interno. . . 34
3.18 Tempos de trânsito das ondas P convertidas em S no interior da Terra. . . . . . . . . . 35
3.19 Tempos de trânsito agrupados de todos os eventos modelados. . . . . . . . . . . . . . 36
3.20 Comparação do gráfico final das curvas modeladas neste trabalho com o gráfico das curvas
de tempos de trânsito original (Jeffreys-Bullen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.21 Superposição entre as curvas de tempo de trânsito modeladas e aquelas fornecidas por
Jeffreys-Bullen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.1 Modelo PREM (Preliminary Reference Earth Model) apresentando a distribuição em função
do raio na Terra e da profundidade dos valores de: pressão, densidade, velocidades α e β,
razão de Poisson e gravidade (adaptada de Dziewonski & Anderson, 1981). . . . . . . . 42
viii
INTRODUÇÃO
Desde o ińıcio do século passado até os dias de hoje, um dos maiores desafios da sis-
mologia é conhecer detalhadamente a estrutura interna da Terra. Os estudos realizados por
renomados geof́ısicos e sismologistas do passado, tais como Oldham, Mohorovičić, Gutenberg,
Lehman entre outros, a partir da análise de dados obtidos em diversas estações sismológicas
espalhadas ao redor do planeta, aliados ao conhecimento geof́ısico e matemático da época,
auxiliaram a compreensão dessa imensa estrutura. Estimou-se a existência de algumas des-
continuidades f́ısicas bem marcantes em certas profundidades; isto se deveu, principalmente,
à observação de zonas de sombras (regiões da superf́ıcie terrestre onde os receptores não re-
cebiam nenhuma ou muito poucas frentes de onda). Dessa forma, além das fortes evidências
de haver um núcleo externo (ĺıquido) e um núcleo interno (sólido e altamente denso), uma
das grandes contribuições provenientes destes estudos foi a delimitação (mesmo que apro-
ximada) das interfaces entre litosfera, astenosfera e núcleos. Em 1940, Jeffreys e Bullen
integraram os dados sismológicos e os conhecimentos teóricos que possúıam e formularam
o gráfico das curvas de tempo de trânsito dos principais eventos śısmicos registrados, entre
os quais se destacam as ondas śısmicas P e S refletidas, refratadas e transmitidas em di-
ferentes profundidades. Tendo como base os valores das velocidades śısmicas extráıdas do
Modelo Preliminar de Referência da Terra (Preliminary Reference Earth Model - PREM)
para diversas profundidades na Terra, construiu-se campos globais de velocidades śısmicas
(P e S) e estes foram parametrizados por uma série trigonométrica obtida através do ajuste
aos dados fornecidos pelo modelo PREM usando o método dos mı́nimos quadrados (MMQ).
Uma vez obtida a referida parametrização, implementou-se um algoritmo computacional
que foi capaz de realizar o traçamento dos raios śısmicos no interior terrestre; dessa maneira,
tal programa forneceu: as trajetórias dos raios, os tempos totais de propagação e o ângulo
epicentral referente à trajetória de cada raio (de um ponto fonte até um ponto receptor
qualquer, ambos em superf́ıcie). Com este intuito, utilizou-se equações da teoria do raio e
de métodos numéricos. Os movimentos da onda śısmica, considerados em termos de altas
frequência, obedecem às mesmas leis f́ısicas da óptica, portanto podemos estudar os raios
śısmicos explorando-se analogias e prinćıpios ópticos. As equações do raio são resultado do
prinćıpio de Fermat aplicado à função dada pela integral da vagarosidade (Eq. 1) calculada
ao longo de caminhos que ligam dois pontos do campo de velocidades e que assumem valores
que são tempos de trânsito da onda em sua viagem entre os mencionados pontos (Popov,
2002).
1
2
t =
∫
C
1
V
.dS, (1)
onde V representa o campo de velocidades,C o caminho que une dois pontos do meio, dS é
o elemento de trajetória do raio, e t é o tempo. De posse de todos os tempos de trânsito e
ângulos epicentrais obtidos, tanto das ondas P quanto das S, construiu-se as curvas ângulo
versus tempo geradas segundo o modelo proposto. Posteriormente, comparou-se com as
curvas teóricas de Jeffreys-Bullen, permitindo assim a discussão dos resultados obtidos.
CAPÍTULO 1
Fundamentos Teóricos
A seguir serão apresentadas as formulações teóricas para o traçamento dos raios śısmicos,
cálculo dos tempos de trânsito das ondas primárias (ondas P) e secundárias (ondas S) e
definição do modelo sismológico utilizando-se parametrização por série trigonométrica do
campo global de velocidades śısmicas.
Vale ressaltar que, neste trabalho, o modelo da Terra é representado como um meio
elástico, isotrópico (sem variação da velocidade com relação à direção com a qual a onda
passa pelo ponto do meio), bidimensional e heterogêneo (velocidade variando de acordo com
a posição). Estas considerações tornam-se necessárias, pois a distribuição das propriedades
f́ısicas da Terra é altamente complexa. No entanto, para efeito de simulação computacional
da propagação dos raios śısmicos, tais aproximações são suficientemente eficazes; além de
diminuir o tempo de processamento, simplifica o modelo da Terra, de modo a permitir seu
estudo e a possibilitar a compreensão de alguns de seus aspectos.
1.1 As curvas de tempos de trânsito de Jeffreys-Bullen
Um dos principais e mais importantes trabalhos realizados no ińıcio do século XX, no ramo
da sismologia, foi a elaboração do gráfico das curvas de tempo de trânsito no interior da
Terra (Jeffreys e Bullen, 1940). Este gráfico representa uma plotagem de vários pontos
coordenados (obtidos em estações sismológicas da época) com Δ (ângulo epicentral, em
graus) no eixo das abscissas e t (tempo total de trânsito da onda, em minutos) locado nas
ordenadas (Figura 1.1). Nele podem ser visualizados os principais eventos relativos às ondas
de superf́ıcie Rayleigh e Love e às ondas de corpo P e S refletidas, transmitidas, difratadas
e convertidas durante a sua viagem no interior da Terra.
As ondas superficiais e os eventos de reflexão e refração não serão aqui traçados; somente
serão computacionalmente obtidos e analisados alguns eventos de transmissão e conversão,
a saber: P, S, PKP, PKS (SKP), SKS, PKIKP, PKJPK, SKIKS, SKJKS, PKIKS (SKIKP)
e PKJKS (SKJKP).
3
4
As ondas cisalhantes (S) não se propagam em meios fluidos, portanto, para que tal
evento ondulatório seja continuado através do núcleo externo (ĺıquido) faz-se necessário sua
conversão em onda P (que no núcleo externo denomina-se K).
Figura 1.1: Curvas de tempos de trânsito de Jeffreys e Bullen (1940), constrúıdas utilizando-se
dados de terremotos.
(adaptada de http://www.earth.rochester.edu/fehnlab/ees215/fig5 3.jpg)
5
A Tabela 1.1 mostra a nomenclatura usada para designar diferentes eventos ondulatórios
que podem ocorrer no interior terrestre.
P: ondas primárias através do manto S: ondas secundárias através do manto
K: ondas primárias através do núcleo externo J: ondas secundárias através do núcleo interno
I: ondas primárias através do núcleo interno
SS: onda secundária refletida na superf́ıcie
uma única vez
P
′
: abreviação da PKP (onda P que percorre
o itinerário manto-núcleo externo-manto)
SSS: onda secundária refletida duas vezes na
superf́ıcie
PP: onda primária refletida na superf́ıcie uma
única vez
c: onda refletida na interface manto-núcleo
externo (ex.: PcP, ScS)
PPP: onda primária refletida duas vezes na
superf́ıcie
i: onda refletida na interface núcleo externo e
interno (ex.: PKiKP)
LQ e LR: ondas Love e Rayleigh, respectiva-
mente
P diffracted: onda P difratadas na interface
manto-núcleo externo
PS: Onda P convertida em S SP: onda S convertida em P
Tabela 1.1: Nomenclatura dos principais eventos śısmicos no interior da Terra
A Figura 1.2 ilustra, teoricamente, as trajetórias que os raios śısmicos percorrem no
interior da Terra.
No Apêndice A é mostrada tabela contendo distribuição de valores de pressão, densi-
dade, velocidades P e S, razão de Poisson e aceleração gravitacional em função da profundi-
dade e da distância ao centro da Terra.
A referida tabela (PREM) foi constrúıda a partir de um grande conjunto de dados
composto de cerca de 500 observações sumárias dos tempos de viagem de ondas śısmicas P e
S. Uma grande quantidade de valores de parâmetros, tais como massa e momento de inércia,
foram invertidos para obter a distribuição radial das propriedades elásticas e de densidade
no interior da Terra (Dziewonski & Anderson, 1981).
6
Figura 1.2: Representação das (a) frentes de ondas P diretas e suas trajetórias de raios produ-
zidas por um posśıvel sismo (Gutenberg, 1959) e das (b) trajetórias de raios para
alguns eventos ilustrando nomenclatura usada (adaptada de Sheriff, 1999).
CAPÍTULO 2
Metodologia
A seguir serão apresentados os aspectos matemáticos referentes às etapas que consti-
tuem este trabalho.
2.1 Parametrização Trigonométrica do Campo Global de Veloci-
dades
Aqui detalha-se o procedimento matemático utilizado para se parametrizar o campo de
velocidades terrestre. Foram lidos do Modelo Preliminar de Referência da Terra (PREM) 82
valores de velocidades śısmicas, α e β (em km/s) das ondas P e S, ao longo de distâncias ao
centro da Terra (r), que variam de 0 km (centro) a 6.346 km (superf́ıcie). De posse destes
valores, montou-se computacionalmente uma matriz contendo valores de r (primeira coluna)
e correspondentes velocidades V (segunda coluna). Propondo-se um campo de velocidades
da forma:
V (r) = C0 +
n∑
i=1
[
C2i−1. cos
(
iπr
R
)
+ C2i. sen
(
iπr
R
)]
(2.1)
onde R é o raio da Terra e C0, C1, C2, ..., C2n−1, C2n são os coeficientes a serem obtidos pelo
ajuste da série trigonométrica (Eq. 2.1) aos valores disponibilizados pelo PREM, usando
método dos mı́nimos quadrados (MMQ).
A Figura 2.1 apresenta as curvas de velocidades de ondas P e S em função da distância
ao centro da Terra. As mesmas foram constrúıdas com os dados fornecidos pelo modelo
PREM.
De acordo com a Figura 2.1, se pode verificar que nos pontos onde a distância ao
centro da Terra mede 1.221 km (limite entre os núcleos externo e interno) e 3.480 km
(limite do núcleo com o manto) há uma abrupta descontinuidade nos valores das velocidades.
Nestas posições, o ajuste trigonométrico é menos preciso que nos demais; contudo, este fato
não interfere de modo importante no traçado de raios, pois este revelou-se eficaz mesmo
em presença de tais imprecisões. O que é motivo de alento, pois sabemos que mesmo se
7
8
tentássemos um ajuste com um número maior de coeficientes, o efeito de Gibbs não poderia
ser evitado.
Figura 2.1: Gráficos das curvas de velocidades śısmicas α (ondas P) e β (ondas S) em função da
distância ao centro da Terra (constrúıdas segundo o modelo PREM) e representação
das descontinuidades mais marcantes no interior terrestre com suas respectivas lo-
calizações.
(adaptado de http://domingos.home.sapo.pt/estruterra 4.html)
9
Com a resolução de um sistema linear de equações, uma série trigonométrica (tal como
mostrada na Eq. 2.1) é ajustada a valores de velocidades para diferentes raios na Terra. O
resultado mais expressivo desse ajuste (Apêndice B) é a obtenção da matriz dos coeficientes
da referida série trigonométrica.
Este tipo de parametrização é vantajosa porque as funções senoidais são facilmente e
infinitamente deriváveis e integráveis, bem como as funções polinomiais. Outrossim, em
problemas de inversão, os coeficientes dos termos trigonométricos sintetizam os parâmetros
do modelo a serem estimados.
Entretanto, existe uma dificuldade intŕısecaligada a tal tipo de parametrização: os
campos de velocidades são, em sua maioria, descont́ınuos. Um bom exemplo disso é o próprio
modelo descrito neste caṕıtulo, principalmente na faixa próxima à interface manto-núcleo
externo e àquela entre os núcleos. Para tentar driblar esse problema, as descontinuidades
são interpretadas como pontos nos quais a velocidade apresenta forte variação.
2.2 Aspectos Gerais do Traçamento do Raio
O fundamento matemático para o traçamento dos raios śısmicos (no campo de velocidades
V (x, z), num meio isotrópico e bidimensional) são as equações do raio (Červený, 1987), dadas
por:
d �X(τ)
dτ
= �P (τ) (2.2)
e
d�P (τ)
dτ
=
1
2
��.
[
1
V 2
]
(2.3)
onde �X(τ) = (x(τ), z(τ)) é o vetor posição dos pontos da trajetória do raio, �P (τ) é o vetor
tangente à trajetória do raio no ponto (x(τ), z(τ)) que é chamado de vetor vagarosidade.
Temos que V = V (x, z) significa a velocidade de propagação da onda no ponto (x, z) do
modelo śısmico adotado e τ é um parâmetro da trajetória seguida pelo raio, e que é definido
por:
τ =
∫ t
0
V 2dt (2.4)
10
sendo t o tempo de trânsito considerado ao longo da trajetória descrita pelo raio de �X(0)
até o ponto �X(τ). O parâmetro τ não tem uma significação f́ısica direta, entretanto sua
dimensionalidade no Sistema Internacional (SI) é L2.T−1.
2.2.1 Traçamento Numérico do Raio
O traçamento numérico de raio é realizado utilizando-se versões numéricas das equações (2.2)
e (2.3) obtidas através de expansões em série de Taylor, tal como segue:
�X(τ + δτ) = �X(τ) +
d �X(τ)
dτ
.δτ = �X(τ) + �P (τ).δτ, (2.5)
e
�P (τ + δτ) = �P (τ) +
d�P (τ)
dτ
.δτ = �P (τ) +
1
2
��.
{
1
V 2[x(τ), z(τ)]
}
.δτ. (2.6)
Ao término de cada passo do processo de construção da trajetória dos raios, deve-se im-
por a condição de satisfação da equação eiconal, visando atualizar a magnitude do vetor
vagarosidade. Sendo assim, ele deve satisfazer a:
||�P ||2 =
√
P 21 + P
2
2 =
1
V (x, z)
, (2.7)
onde
�P = (P1, P2). (2.8)
É, então, posśıvel construir numericamente o caminho que os raios percorrem, além
de também possibilitar o cálculo do tempo de trânsito ao longo do seus trajetos. A imple-
mentação desta formulação em linguagem computacional se dá de modo simples e elegante
devido à clareza das equações do raio.
2.2.2 Cálculo do Tempo de Trânsito
Para se mensurar os tempos de trânsito, basta usar um recurso adicional do método de
traçamento dos raios. À medida que a onda percorre a distância entre cada nó da linha
poligonal (que é a versão numérica da trajetória que, em teoria, é curva), o tempo vai sendo
calculado. Portanto, ao completar-se a trajetória, o tempo de trânsito total é medido através
da soma dos tempos calculados em cada segmento da poligonal.
11
A fonte śısmica (S) é posicionada em um ponto da superf́ıcie onde será originado um
feixe de raios. O encurvamento do raio é resultado das variações que ocorrem na velocidade do
modelo. O limite de propagação dos raios (ponto final do trajeto) é a chegada à superf́ıcie
da Terra (onde supõe-se a existência de uma estação sismológica capaz de fazer registros
relativos à chegada da onda, muito embora tais estações, na modelagem aqui realizada, não
necessitem de fato existir). Quando esta é atingida, o traçamento é interrompido e então
faz-se o cômputo do tempo de trânsito total.
O tempo gasto pela onda para ir da fonte �S = �X0 = (x0, z0) até um ponto (xN+1, zN+1)
qualquer sobre a trajetória do raio é calculado numericamente, tal como:
T (xN+1, zN+1) =
N∑
i=0
1
Vi
|| �Xi+1 − �Xi||2, (2.9)
onde Vi é a velocidade com a qual a onda passa no ponto �Xi, a trajetória do raio da fonte
(S) até �XN+1 é constitúıda por N + 1 segmentos retiĺıneos e
||(x1, x2)||2 =
√
x21 + x
2
2 (2.10)
representa a norma euclidiana.
Logo, a expressão (2.9) pode ser denotada, mais precisamente por:
T (xN+1, zN+1) =
N∑
i=0
1
Vi
.
√
(xi+1 − xi)2 + (zi+1 − zi)2. (2.11)
Com o intuito de minimizar os gastos de computação, a escrita de (2.11) torna-se mais
interessante do seguinte modo:
T (xN+1, zN+1) ← T (xN , zN) + 1
VN
.
√
(xN+1 − xN)2 + (zi+1 − zi)2, (2.12)
isto é: incrementa-se o tempo já acumulado com uma pequena parcela correspondendo
ao tempo gasto para percorrer um novo pequeno segmento anexado à trajetória do raio.
Evidentemente, devemos ter T (x0, z0) = 0.
2.3 Traçamento de Raios no Modelo da Terra
Antes de tudo, deve-se dizer aqui que a Terra é pensada como um modelo perfeitamente
circular e bidimensional. Muito embora, os resultados aqui obtidos possam ser estendidos
para todo o volume terrestre, pois supomos que as velocidades śısmicas no interior terrestre
variam apenas radialmente.
12
Apresenta-se aqui a geometria do modelo terrestre adotado nesse estudo. Como já
vimos, os dados de origem são simplesmente V (velocidade śısmica) e r (raio na Terra).
Entretanto, r é uma função de x (posição horizontal) e z (profundidade) de acordo com a
equação:
r2 = x2 + (R − z)2 (2.13)
Tal relação é facilmente visualizada na Figura 2.2.
Figura 2.2: Representação esquemática dos elementos geométricos que participam no traçado
do raio no interior da Terra.
Neste caso, podemos escrever V como função apenas de r, pois supõe-se que V possui
simetria relativamente ao centro da Terra.
O objetivo principal deste trabalho é a obtenção e análise de diversas curvas de tempo
de trânsito referentes aos principais eventos ondulatórios que ocorrem no interior da Terra.
Isso é posśıvel usando-se traçamento de raios (empregando-se as equações do raio) em campos
13
de velocidade parametrizados por série trigonométrica que são ajustadas usando-se o método
dos mı́nimos quadrados (MMQ) ao modelo global dado.
2.4 Traçado do Raio
Para o modelo global em questão, foi fixada a posição da fonte em S = 0, 0 km sobre o
eixo das abscissas, que tangencia a superf́ıcie da Terra. A localização dos receptores não é
definida, no entanto, devem estar situados em pontos nos quais a distância ao centro da Terra
é igual ao raio terrestre (R = 6.346 km). O problema de traçamento de raios conectando
dois pontos (Figueiró & Madariaga, 1999) tem uma simples conceituação, todavia tornar-
se-ia bastante complexa em termos matemáticos e computacionais e, além disso, como não
estamos interessados com a chegada de raios em posições pré-definidas de receptores, tal
problema não será aqui abordado. As condições iniciais que definem o ponto de partida,
�S = (x0, z0), e a direção inicial de partida do raio (vagarosidade, �P = (P1, P2)) devem ser
conhecidas para que a solução das equações (mostradas no caṕıtulo anterior) seja alcançada.
As componentes de �P são dadas por:
P1 = |�P |. cos(θ) (2.14)
e
P2 = |�P |. sen(θ) (2.15)
onde θ é o ângulo entre �P e o sentido positivo do eixo x.
A variação de θ limita-se entre 0 e 180 graus, com incremento, Δθ de 0,5; 1,0; 2,0 ou
5,0 graus. A depender do detalhamento de informações desejado. O passo, δτ , do parâmetro
τ teve valor fixado em 15 km2/s.
A Figura 2.3 mostra mais detalhadamente os vetores e elementos acima mencionados,
para um modelo bidimensional da Terra.
Sendo �S = �X(0) = (x0, z0) o ponto de partida do raio, o vetor vagarosidade em S será
dado por:
�P (0) =
1
V (x0, z0)
.(cos θ, sen θ), (2.16)
onde o ângulo θ (medido em graus) será aqui chamado, tão somente, de ângulo ou direção
de sáıda do raio na fonte. Dessa maneira, é posśıvel escrever:
14
Figura 2.3: Representação esquemática do traçamento de raio no interior terrestre com seus
elementos geométricos.
�X(δτ) = �X(0) +
d �X(0)
dτ
.δτ = �X(0) + �P (0).δτ, (2.17)
�P (δτ) = �P (0) +
1
2
.
[
��
(
1
V 2(x, z)
) ∣∣∣∣∣
τ=0
]
.δτ, (2.18)
�X((n + 1).δτ) = �X(n.δτ) + �P (n.δτ).δτ (2.19)
e
�P ((n + 1).δτ) = �P (n.δτ) +
1
2
[
��(
1
V 2(x, z)
) ∣∣∣∣∣
τ=n.δτ
]
.δτ (2.20)
que possibilitam o traçamento iterativo do raio.
Vale ressaltar ainda, que ao final do percurso inteiro de um raio, além de adquirir o
seu tempo de trânsito, é preciso calcular também o seu ângulo epicentral Δ. Este ângulo
(medido em graus) nada mais é do que o ângulo definido pela posição S da fonte, pelo centro
C da Terra, e pela posição A de chegada do raio, isto é: Δ = ̂SCA. A Figura 2.2 ilustra o
ângulo Δ.
Sem esses valores seria imposśıvel construir o gráfico das curvas de tempo de trânsito (Δ
versus t), aqui apresentado e, consequentemente, comparar os valores obtidos com aqueles
dispońıveis na literatura sismológica.
A formulação matemática para o cálculo do ângulo epicentral é dada por:
Δ = 2 arcsen
(
d
2R
)
, (2.21)
15
onde d é a distância entre a fonte (S) e o ponto de chegada do raio.
2.5 Implementação Algoŕıtmica
O fluxograma que segue (Figura 2.4) esquematiza os principais passos do algoritmo montado
para o cálculo: da trajetória dos raios, dos tempos de trânsito, e dos ângulos epicentrais.
16
Figura 2.4: Fluxograma do algoritmo proposto para o cálculo: das trajetórias dos raios śısmicos
no interior da Terra, dos tempos de trânsito dos eventos, e dos ângulos epicentrais.
CAPÍTULO 3
Resultados
A seguir são apresentados todos os resultados alcançados após o traçamento numérico
dos raios śısmicos no interior da Terra.
3.1 Modelagem Sismológica das Ondas Primárias (P)
Esta seção é exclusivamente dedicada aos resultados que foram obtidos através da propagação
de ondas primárias (tipo P) desde a fonte śısmica até os pontos de chegada na superf́ıcie, sem
ocorrência de conversão em ondas secundárias (tipo S) ao longo dos caminhos percorridos.
3.1.1 Campo de Velocidade Śısmica α
Após a parametrização do campo de velocidades śısmicas das ondas P para o modelo global
terrestre, conforme demonstrado no caṕıtulo anterior, foram obtidos os coeficientes da série
trigonométrica ajustada. Com isso, foi posśıvel construir o gráfico de V (velocidade calculada
após a interpolação) em função de r (distância ao centro da Terra), tal como pode ser visto
na Figura 3.1.
Figura 3.1: Gráfico da curva de velocidades śısmicas α (ondas P) em função da distância ao cen-
tro da Terra, constrúıdo segundo ajuste da série trigonométrica ao modelo PREM.
17
18
Uma outra forma de visualização interessante para este campo é a plotagem tridimensio-
nal do perfil de velocidades śısmicas, conforme mostrado na Figura 3.1, variando-se o ângulo,
do setor circular definido pelo modelo terrestre bidimensional, de 0◦ a 90◦. Tal visualização
é apresentada na Figura 3.2.
Figura 3.2: Visualização tridimensional do campo global de velocidades de ondas primárias no
interior terrestre segundo a parametrização polinomial trigonométrica; visão supe-
rior (a) e visão de perfil (b).
19
Pode-se analisar, em termos comparativos, a qualidade do ajuste trigonométrico reali-
zado para as ondas P ao se plotar no mesmo plano as duas curvas de velocidade śısmica α:
a tabelada no PREM (Figura 2.1) e aquela obtida após o ajuste.
Figura 3.3: Gráfico mostrando as curvas de velocidades śısmicas α (ondas P) ajustadas (com
oscilações) e tabeladas (com descontinuidades e arestas), ambas em função da
distância ao centro da Terra
Podemos observar claramente na Figura 3.3, que, nos pontos de descontinuidade, o
ajuste trigonométrico tem menos precisão que nos demais pontos da curva. Este comporta-
mento já era esperado, visto que, como a função trigonométrica tem uma natureza oscilatória,
ela apresenta uma continuidade e uma suavidade caracteŕıstica, ausente na curva da Figura
2.1. Esta última, apresenta alguns pontos de descontinuidade e possui arestas.
Portanto, a maioria dos problemas enfrentados neste trabalho, como será melhor abor-
dado mais adiante, estão quase sempre ligados a imprecisões no ajuste. Dificuldades rela-
cionadas ao efeito de Gibbs, por exemplo, estarão sempre presentes quando utiliza-se séries
trigonométricas.
3.1.2 Trajetória dos raios śısmicos de ondas P no interior da Terra
Como já foi citado, no segundo caṕıtulo deste trabalho, as coordenadas (x, z) da trajetória
da curva do raio foram fornecidas à medida que a onda se propaga. Assim, a Figura 3.4
apresenta o conjunto de trajetórias dos raios śısmicos de ondas compressionais (P) para
diferentes ângulos de sáıda (com variação de 1◦) através do interior da Terra.
20
Figura 3.4: Campo global das trajetórias dos raios śısmicos de ondas compressionais (para
Δθ = 1◦).
A análise das trajetórias e seus respectivos pontos de chegada permite avaliar as deli-
mitações entre as principais camadas da Terra (núcleos interno e externo, manto e crosta)
além de possibilitar a identificação de três tipos de eventos - P, PKP e PKIKP - como mostra
a Figura 3.5.
É bem viśıvel na Figura 3.5 as regiões onde há ausência total (ou quase total) de
chegadas de ondas compressionais até a superf́ıcie. Tais regiões são denominadas de zonas
de sombra, e localizam-se aproximadamente no intervalo onde o ângulo epicentral vai de 90◦
a 135◦. Podem ser visualizada também zonas em que ocorre difração (nas quais os raios
sofrem um desvio considerável), próximo à interface manto-núcleo externo e principalmente
21
Figura 3.5: Campo global das trajetórias dos raios śısmicos de ondas compressionais (para
Δθ = 1◦) com fonte S = (0, 0), apresentando a nomenclatura dos eventos śısmicos
e as delimitações dos núcleos e da superf́ıcie terrestre.
à descontinuidade entre a litosfera e a astenosfera, conhecida como Zona de Baixa Velocidade
(ZBV) e localizada a uma profundidade de cerca de 220 km.
22
A Figura 3.6 mostra apenas a plotagem dos pontos de chegada dos raios śısmicos das
ondas primárias na superf́ıcie. Os locais onde há uma cont́ınua ausência de pontos referem-se
às zonas de sombra. Já os locais onde há um adensamento maior de pontos correspondem
às regiões de chegada das ondas P transmitidas e, também, das difratadas.
Figura 3.6: Representação dos pontos de chegada na superf́ıcie dos raios śısmicos referentes às
ondas P.
Sobrepondo-se as trajetórias obtidas ao campo das velocidades śısmicas α (Figura 3.7),
observa-se uma coincidência entre mudanças de comportamento da trajetória do raio e a
localização das principais interfaces no interior terrestre.
23
Figura 3.7: Superposição das trajetórias dos raios śısmicos das ondas P e o campo bidimensional
de velocidades śısmicas α.
3.1.3 Tempos de Trânsito das Ondas P
O produto final do traçamento das ondas P é o gráfico (Figura 3.8) dos tempos de trânsito
(em min) versus o ângulo epicentral (em graus).
Deve-se destacar neste gráfico: as zonas de sombras (entre aproximadamente 90◦ e 135◦
para Δ), os eventos ondulatórios (P, PKP e PKIKP) bem destacados, a região entre 20◦ e 30◦
(que mostra um pouco de eventos difratórios), e a presença (embora de dif́ıcil visualização)
do fenômeno da triplicação do tempo de trânsito.
24
Figura 3.8: Gráfico do tempo de trânsito das ondas compressionais (P) que atravessam o interior
terrestre versus o ângulo epicentral.
25
3.2 Modelagem Sismológica das Ondas Secundárias (S)
Esta seção é destinada apenas aos resultados que foram obtidos pela propagação de ondas
secundárias (tipo S) desde a fonte śısmica até os pontos de chegada na superf́ıcie, com
ocorrência de conversão em ondas primárias (tipo P) somente no trajeto realizado dentro
do núcleo externo, já que este é ĺıquido, e as ondas cisalhantes não se propagam em meios
fluidos.
3.2.1 Campo de Velocidade Śısmica β
Após a parametrização do campo de velocidades śısmicas das ondas S para o modelo global
terrestre, foram obtidos os coeficientes da série trigonométrica ajustada.Com isso, a exemplo
das ondas P, foi posśıvel construir o gráfico de V (velocidade calculada após ajuste) em função
de r (distância ao centro da Terra), tal como pode ser visto na Figura 3.9.
Figura 3.9: Gráfico da curva de velocidades śısmicas β (ondas S) em função da distância ao
centro da Terra, constrúıdo segundo ajuste trigonométrico ao modelo PREM.
Para se ter uma noção comparativa da qualidade do ajuste trigonométrico realizado para
as ondas S, plota-se no mesmo plano as duas curvas de velocidade śısmica β: a tabelada no
PREM (Figura 2.1) e aquela obtida após ajuste.
Um grande problema surge ao ajustar-se uma série trigonométrica aos pontos tabelados
das velocidades śısmicas das ondas S. Como pode ser visto na Figura 3.10, para os valores
de r situados entre 1.221 km e 3.480 km (núcleo externo) as velocidades são nulas (ou
seja, β = 0). Quando a curva da série ajustada alcança essa faixa, a oscilação da função
trigonométrica faz com que valores negativos sejam assumidos. Isto corresponde a uma
incoerência, pois não existe velocidades negativas em se tratando de traçamento de raios.
Caso tentássemos, de modo puramente matemático, realizar o traçamento apenas com esse
campo de velocidade β, seriam gerados valores extremamente elevados de tempo de trânsito
e trajetórias. Na referida região, faz-se, então, a substituição do campo de velocidades das
26
ondas S por um de ondas P. No entanto, veremos nas próximas seções, que o resultado deste
acoplamento, pode gerar resultados indesejáveis.
Figura 3.10: Gráfico mostrando as curvas de velocidades śısmicas β (ondas S) ajustadas (com
oscilações) e tabeladas (com descontinuidades e arestas), ambas em função da
distância ao centro da Terra
3.2.2 Trajetória dos raios śısmicos de ondas S no interior da Terra
A Figura 3.11 apresenta o modelo das trajetórias dos raios śısmicos de ondas rotacionais (S)
para diversos ângulos de sáıda (com variação de 1◦) no interior do planeta.
27
Figura 3.11: Campo global dos trajetos dos raios śısmicos de ondas cisalhantes (para Δθ = 1◦).
A análise das trajetórias e seus respectivos pontos de chegada, reforça ainda mais a
correspondência entre a mudança de comportamento das trajetórias e as interfaces que deli-
mitam as principais regiões do interior da Terra. A Figura 3.12 ilustra três tipos de eventos,
a saber: S, SKS e SKJKS.
28
Figura 3.12: Campo global dos trajetos dos raios śısmicos de ondas cisalhantes (para Δθ = 1◦)
com fonte S = (0, 0), apresentando a nomenclatura dos eventos śısmicos e as
delimitações dos núcleos e da superf́ıcie terrestre.
A Figura 3.13 mostra somente os pontos de chegada dos raios śısmicos das ondas se-
cundárias na superf́ıcie. É posśıvel observar que existe agora uma forte zona de sombra
próxima à fonte de raios. Além disso, a região com cont́ınua ausência de pontos é um
pouco maior comparada com aquela das ondas P. Identifica-se também que a concentração
de pontos (referentes às difrações) ocorrem em duas regiões principais e são mais extensas.
29
Figura 3.13: Representação dos pontos de chegada dos raios śısmicos das ondas S na superf́ıcie.
3.2.3 Tempos de Trânsito das Ondas S
Finalmente, é constrúıdo o gráfico (Fig. 3.14) dos tempos de trânsito (em min) versus o
ângulo epicentral (em graus) para as ondas S.
Deve-se destacar neste gráfico: as zonas de sombras (nos intervalos onde Δ vai, aproxi-
madamente, de 0◦ a 10◦ e de 90◦ a 145◦), os eventos ondulatórios (S e SKS) bem destacados
(ainda que o evento SKJKS não seja claramente identificado), as regiões entre 25◦ e 50◦ e
entre 65◦ a 80◦ (relacionados a eventos difratórios), e sutis triplicações do tempo de trânsito.
30
Figura 3.14: Tempos de trânsito das ondas cisalhantes (S) no interior da Terra.
31
3.3 Modelagem Sismológica das Ondas Convertidas
Nesta seção serão mostrados os resultados obtidos através da propagação de ondas primárias
(tipo P) convertidas em secundárias (tipo S), e vice versa. Vale ressaltar que, no trajeto
realizado dentro do núcleo externo, as ondas S não se propagam. As conversões que são aqui
citadas, referem-se àquelas que ocorrem no manto (quando o raio sai do núcleo externo).
Consequentemente, uma onda que sai da fonte como sendo do tipo P, chegará à superf́ıcie
sendo do tipo S (por exemplo, PKS e PKIKS).
Devido à simetria radial do modelo e à confirmação verificada nos experimentos numéricos,
o traçamento das ondas PKS é similar ao das ondas SKP. Para um mesmo ângulo epicentral
elas gastam o mesmo tempo para percorrer suas trajetórias. Por esse motivo, nesta seção,
serão vistos apenas dois casos diferentes de propagação.
3.3.1 Campos de Velocidade Śısmica α e β
Os campos utilizados para a realização destes traçamentos foram exatamente os mesmos
campos descritos anteriormente nas seções 3.1 e 3.2. Os referidos campos de velocidade são
mostrados na Figura 2.1.
3.3.2 Trajetória dos raios śısmicos de ondas P e S convertidas
A Figura 3.15 apresenta o campo das trajetórias dos raios śısmicos de ondas S convertidas
em ondas P, para diversos ângulos de sáıda (com variação Δθ de 2◦) no interior do planeta.
32
Figura 3.15: Campo global das trajetórias dos raios śısmicos de ondas S convertidas, obrigato-
riamente, em P ao entrar no núcleo externo, e das ondas P convertidas em S ao
entrar no núcleo interno (Δθ = 2◦).
Identifica-se então três tipos de eventos: S, SKP e SKJKP; como mostra a Figura 3.16.
33
Figura 3.16: Campo global das trajetórias dos raios śısmicos de ondas S convertidas em P no
núcleo externo e P convertidas em S no núcleo interno (para Δθ = 2◦) com fonte
S = (0, 0), apresentando nomenclatura dos eventos śısmicos considerados e as
interfaces manto-núcleo externo a aquela entre os núcleos, assim como a superf́ıcie
do planeta.
34
A Figura 3.17 mostra os pontos superficiais onde ocorre chegada dos raios śısmicos das
ondas S convertidas em P no núcleo externo e das ondas P convertidas em S no núcleo
interno.
Figura 3.17: Representação dos pontos superficiais onde ocorre chegada dos raios śısmicos das
ondas S convertidas em P no núcleo externo e das ondas P convertidas em S no
núcleo interno.
3.3.3 Tempos de Trânsito de Ondas Convertidas
Por fim, é constrúıdo o gráfico (Figura 3.18) dos tempos de trânsito (em min) versus o
ângulo epicentral (em graus) para as ondas geradas como P (na fonte) convertidas em S (no
interior terrestre) e registradas como S (na superf́ıcie).
Neste gráfico, apenas a curva do evento ondulatório PKS foi inserida, devido a dois
motivos principais: a plotagem das ondas P já foi mostrada na Figura 3.8, e à impossibilidade
de se detectar neste gráfico os pontos referentes aos eventos PKIKS e PKJKS.
35
Figura 3.18: Tempos de trânsito das ondas P convertidas em S no interior da Terra.
36
3.4 Tempos de Trânsitos Integrados
Finalmente, após todo o processamento computacional, pôde-se agrupar em um só gráfico,
todos os tempos de trânsito que foram posśıveis de se obter neste trabalho (Figura 3.19).
Figura 3.19: Tempos de trânsito agrupados de todos os eventos modelados.
37
A Figura 3.20 compara as curvas obtidas no trabalho com as curvas de Jeffreys-Bullen
(somente com os eventos P, PKP, PKIKP, S, SKS e PKS).
Figura 3.20: Comparação do gráfico final das curvas modeladas neste trabalho com o gráfico
das curvas de tempos de trânsito original (Jeffreys-Bullen).
38
Através de uma superposição de gráficos, a Figura 3.21 mostra uma comparação entre
as curvas de tempo de trânsito modeladas e aquelas fornecidas por Jeffreys-Bullen.
Figura 3.21: Superposição entre as curvas de tempo de trânsito modeladas e aquelas fornecidas
por Jeffreys-Bullen.
CAPÍTULO 4
Discussões e Conclusões
Os aspectos teóricos e fundamentais das equações do raio e do cômputodos tempos
de trânsito foram implementados de modo satisfatório pelo algoritmo do programa utili-
zado para o traçamento de raios śısmicos, pois este mostrou-se computacionalmente eficaz,
pelo fato das trajetórias descritas pelos raios śısmicos em subsuperf́ıcie assemelharem-se às
trajetórias do modelo teórico formulado.
No entanto, na comparação do gráfico final das curvas obtidas com o gráfico das curvas
de tempos de trânsito original de Jeffreys e Bullen (Figura 3.20), é posśıvel perceber que
nos intervalos referentes à transição entre o manto e o núcleo externo os resultados obtidos
não equivalem de modo absolutamente idêntico aos esperados. Há trechos, nos quais não há
nenhum ponto plotado, quando se esperaria o contrário. Este problema é mais frequente no
traçamento dos raios śısmicos das ondas S do que no das ondas P, isto porque foi preciso
realocar e ajustar os campos de velocidades śısmicas no núcleo externo, e o contato entre estes
campos não é suave. O efeito de Gibbs e as descontinuidades entre os campos, principalmente
no trecho que vai de 1.221 a 3.480 km (núcleo externo), contribuem negativamente para o
traçamento dos raios.
De maneira geral, o trabalho apresentou-se consistente pois há muitas similaridades
entre os valores tabelados no PREM e aqueles ajustados pela série trigonométrica. O que
compensa, em muito, posśıveis erros provenientes do traçamento dos raios realizado num
modelo aproximado.
39
Agradecimentos
Agradeço a Deus pela minha vida;
Aos meus pais, Mário e Arislândia, por me darem a honra de poder chamá-los de pai e
mãe;
A todos os meus familiares, especialmente minha tia Rita Suely, pelas lições e proteção
ao longo dos anos;
À minha amada “gatinha”, companheira fiel de todas as horas, Luana;
Aos meus amigos e colegas, desde o maternal até a universidade, pela amizade e lealdade
de sempre;
A todos os professores do curso de geof́ısica da Universidade Federal da Bahia, em
especial Jacira Freitas (pelo grandioso carinho), Marco Botelho (pelo incentivo) e ao meu
orientador Wilson Figueiró (pela paciência e dedicação);
A todos os funcionários da UFBa, em especial àqueles do Instituto de Geociências;
A todas as pessoas do mundo que praticam o bem sem pedir nada em troca.
40
Referências Bibliográficas
Červený, V. (1987) Ray Method for Three-Dimensional Seismic Modeling, Petroleum Indus-
try Course, The Norwegian Institute of Technology.
Dziewonski, A. M. e Anderson, D. L. (1981) Preliminary reference Earth model (PREM),
Phys. Earth Planet. Inter. 25, pp. 297-356.
Figueiró, W. M. e Madariaga, R. I. (1999) Three-Dimensional two-points paraxial ray tra-
cing problem in the presence of caustics, 6th International Congress of the Brazilian
Geophysical Society, Rio 99, CDROM, Rio de Janeiro.
Gutenberg, B. (1959) Physics of the Earth’s Interior, Academic Press, extráıdo de Sheriff,
1999.
Jeffreys, H. e Bullen, K. E. (1940) Seismological Tables, British Association, Gray-Milne
Trust, Londres.
Menke, W. (1989) Geophysical Data Analysis: Discret Inverse Theory, International Ge-
ophysics Series, Academic Press, Volume 45.
Popov, M. M. (2002) Ray Theory and Gaussian Beam Method for Geophysicists, Editora
da Universidade Federal da Bahia, Salvador, Bahia.
Sheriff, R. E. (1999) Encyclopedic dictionary of exploration geophysics, 3. ed., Society of
Exploration Geophysicists - SEG, Tulsa.
Website (acesso em: 08 de julho de 2008) Terra Planeta “Vivo”, Dispońıvel em:
http//domingos.home.sapo.pt/estruterra 4.html.
Website (acesso em: 10 de julho de 2008) Environmental Geophysics, University of Rochester,
Dispońıvel em: http//www.earth.rochester.edu/fehnlab/ees215/fig5 3.jpg.
41
APÊNDICE A
Distribuição de Parâmetros do Interior
Terrestre
A tabela a seguir mostra diversos parâmetros do interior da Terra e serve de base para
a realização do ajuste trigonométrico das velocidades śısmicas em diversas profundidades.
Figura A.1: Modelo PREM (Preliminary Reference Earth Model) apresentando a distribuição
em função do raio na Terra e da profundidade dos valores de: pressão, densidade,
velocidades α e β, razão de Poisson e gravidade (adaptada de Dziewonski & An-
derson, 1981).
42
APÊNDICE B
Ajuste por Série Trigonométrica
O modelo śısmico deste trabalho foi constrúıdo a partir das informações extráıdas da
tabela do PREM (Apêndice A). O referido modelo é, na verdade, um campo discretizado de
velocidades śısmicas de ondas compressionais e cisalhantes (P ou S).
Chamemos este campo de M, que pode ser representado por uma matriz tal como:
M =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
r1 V1
r2 V2
r3 V3
...
...
rm Vm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
,
onde Vk = V (rk)
Ajusta-se a tais valores alocados em M uma série trigonométrica da forma
V (r) = C0 +
n∑
i=1
[
C2i−1. cos
(
iπr
R
)
+ C2i. sen
(
iπr
R
)]
. (B.1)
Logo, ao substituir as linhas de M em (B.1), é produzido o sistema de equações
V (k) = C0 +
n∑
i=1
[
C2i−1. cos
(
iπrk
R
)
+ C2i. sen
(
iπrk
R
)]
(B.2)
onde k ∈ {1, 2, 3, · · · ,m}
De forma mais condensada, (B.2) consiste em
A.C = V, (B.3)
43
44
onde
A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 cos
(
πr1
R
)
sen
(
πr1
R
)
cos
(
2πr1
R
)
sen
(
2πr1
R
) · · · cos (nπr1
R
)
sen
(
nπr1
R
)
1 cos
(
πr2
R
)
sen
(
πr2
R
)
cos
(
2πr2
R
)
sen
(
2πr2
R
) · · · cos (nπr2
R
)
sen
(
nπr2
R
)
1 cos
(
πr3
R
)
sen
(
πr3
R
)
cos
(
2πr3
R
)
sen
(
2πr3
R
) · · · cos (nπr3
R
)
sen
(
nπr3
R
)
...
...
...
...
...
...
...
...
1 cos
(
πrm
R
)
sen
(
πrm
R
)
cos
(
2πrm
R
)
sen
(
2πrm
R
) · · · cos (nπrm
R
)
sen
(
nπrm
R
)
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
é a matriz que contém a forma trigonométrica, CT = (C0, C1, C2, C3, · · · , C2n−1, C2n) é o
vetor dos coeficientes da série, e V T = (V1, V2, V3, · · · , Vm) é o vetor de velocidades nos nós
da discretização. O método dos mı́nimos quadrados (Menke, 1989) dá para a equação (B.3)
a seguinte solução
C = (AT A)−1AT V. (B.4)
No presente trabalho usou-se n = 34, ou seja, 2n + 1 = 69 (número de coeficientes) e
m = 82 (número de dados).
O mesmo procedimento foi adotado para a determinação do campo de velocidades
śısmicas relativo às ondas cisalhantes (tipo S).
APÊNDICE C
Aplicativos e Programas Utilizados
Diversos programas e aplicativos foram usados durante a realização deste trabalho. O
programa que ajustou pontos à série trigonométrica, aquele que realizou o traçamento dos
raios e cômputo dos tempos de trânsito foram totalmente editados, compilados e executados
em linguagem Fortran; para isso foram usados os editores Force 2.0 (Windows) e Emacs
(Linux). Ao final deste processo obtivemos os arquivos de dados (do tipo .dat) com os
resultados (trajetória e tempos) para cada modelagem realizada.
Os gráficos das curvas de tempos de trânsito e do ajuste trigonométrico comparado
aos valores do modelo usado (V versus r) foram plotados no MS Excel 2007. Os de-
mais gráficos, principalmente os da trajetória do raio em subsuperf́ıcie e os dos campos de
velocidade śısmica em 2D e 3D, foram constrúıdos no Grapher 6.1 e no Surfer 8.0,
respectivamente.
Outros gráficos e figuras foram criados, e em certas ocasiões modificados, com o aux́ılio
de outros aplicativos de manipulação de imagens, como foi o caso do MS Paint 5.1 e do
Corel DRAW X3.
45
	capa
	rostoa4corrig
	TFG_Tonny_2
	rosto.pdf
	Martonni_Final_TFG.pdf