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Aulas/10_FM_FaixaLarga.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Modulação FM – Faixa Larga 
FM – MODULAÇÃO TONAL 
Retornando a expressão do sinal modulado em FM, se o 
sinal não é de faixa estreita (𝛽 arbitrário), então não 
podemos realizar as simplificações discutidas da 
expressão: 
 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐 cos 𝜃 𝑡 = 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝛽𝑠𝑒𝑛⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
= 𝐴𝑐 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑐𝑡)𝑐𝑜𝑠⁡(𝛽𝑠𝑒𝑛⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) −𝐴𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑐𝑡)𝑠𝑒𝑛⁡(𝛽𝑠𝑒𝑛⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
 
Neste caso, podemos empregar as funções de Bessel para 
nos auxiliar na análise espectral. 
FUNÇÕES DE BESSEL 
As funções de Bessel de 1º tipo são definidas 
como: 
 
𝐽𝑛(𝛽) ≜
1
2𝜋
 𝑒𝑗(𝛽𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 
 
Com: 𝑛 a ordem da função de Bessel e 𝛽 o argumento da 
função de Bessel. 
 
 
 
FUNÇÕES DE BESSEL - PROPRIEDADES 
1) 𝐽−𝑛 𝛽 = −1
𝑛𝐽𝑛 𝛽 
 
2) Se 𝛽 é pequeno: 
𝐽0 𝛽 ≈ 1 
𝐽1(𝛽) ≈
𝛽
2
𝐽𝑛 𝛽 ≈ 0, 𝑛 > 2 
 
 
3) 𝐽𝑛 𝛽
2 = 1∞𝑛=−∞ 
 
4) 
𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑠𝑒 𝑛 𝑥 = 𝐽0 𝛽 + 2𝐽𝑛 𝛽 cos⁡(𝑛𝑥)
∞
2,𝑛⁡𝑝𝑎𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑠𝑒 𝑛 𝑥 = 2𝐽𝑛 𝛽 sen⁡(𝑛𝑥)
∞
1,𝑛⁡í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 
Aplicando as funções de Bessel e suas propriedades, 
mostre que é possível escrever o sinal modulado em FM 
como: 
 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐 𝐽𝑛 𝛽
∞
𝑛=−∞
𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 2𝜋𝑛𝑓𝑚𝑡 
 
Com FFT dada por: 
 
𝑆 𝑓 =
𝐴𝑐
2
 𝐽𝑛 𝛽
∞
𝑛=−∞
[𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 − 𝑛𝑓𝑚 +𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 + 𝑛𝑓𝑚 ] 
FUNÇÕES DE BESSEL - PROPRIEDADES 
Função de Bessel do 1º tipo variando a ordem: 
 
 
EXEMPLO: 
Espectro FM para variação de amplitude e 
frequência de um sinal tonal. 
 
Onda modulante: 𝑚 𝑡 = 𝐴𝑚cos⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
 
Para compreendermos a maneira como variações na 
amplitude e frequência do sinal tonal afetam o espectro 
da onda FM. Vamos considerar dois casos: 
 
1) Variação na amplitude da onda modulante,, mantendo 
a frequência constante. 
2) Variação na frequência da onda modulante, mantendo 
a amplitude constante. 
EXEMPLO – VARIAÇÃO NA AMPLITUDE: 
 
Quando 
𝑓𝑚 ⁡− 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝐴𝑚 ⁡− 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎
 
 
Lembrando que: 
Δ𝑓 = 𝑘𝑓𝐴𝑚 
β =
Δ𝑓
𝑓𝑚
 
 
 
 
 
 
O espectro normalizado em relação à 
amplitude da portadora não 
modulada. 
EXEMPLO – VARIAÇÃO NA FREQUÊNCIA: 
Quando 
𝑓𝑚 ⁡− 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎
𝐴𝑚 ⁡− 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
 
 
Lembrando que: 
Δ𝑓 = 𝑘𝑓𝐴𝑚 ⁡→ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
β =
Δ𝑓
𝑓𝑚
⁡ 
 
Como Δ𝑓 é fixo, ao aumentar 𝛽 
se verifica um número 
crescente de linhas espectrais 
aglomeradas no intervalo de 
frequência fixa: 𝑓𝑐 − Δ𝑓 < 𝑓 < 
𝑓𝑐 + Δ𝑓. 
De modo que, 𝛽 → ∞ ⇒ 𝐵𝑇 →
2Δ𝑓. 
REGRA DE CARSON 
Na teoria, uma onda FM contém um número infinito de 
frequências laterais, de modo que a largura de banda 
necessária para transmitir essa onda modulada seria 
infinita. 
Na prática, entretanto, sabemos que a onda FM é 
efetivamente limitada a um número finito de 
componentes de frequências laterais significativas. 
Portanto, podemos considerar estas componentes para 
especificar uma largura de banda efetiva necessária para 
a transmissão de uma onda FM. 
 
REGRA DE CARSON 
 Considerando a modulação tonal de frequência 𝑓𝑚, as 
frequências laterais são separadas da frequência da 
portadora 𝑓𝑐 por uma quantidade maior do que o desvio 
de frequência Δ𝑓 , de modo que a largura de banda 
sempre excede a excursão de frequência total, mas 
mesmo assim é limitada. Especificamente, podemos 
identificar dois casos limitantes: 
 Para sinais de faixa larga (𝛽 grande), a largura de 
banda é um pouco maior que a total excursão das 
frequências: 2Δ𝑓 
 Para sinais de faixa estreita (𝛽 pequeno), o espectro da 
onda FM é limitado pela frequência da portadora 𝑓𝑐 e 
um par das frequências laterais: 𝑓𝑐 ± 𝑓𝑚, de modo que a 
largura de banda se aproxima de 2𝑓𝑚 . 
REGRA DE CARSON 
 Generalizando estes dois casos, temos a Regra de 
Carson: 
 
𝐵𝑇 ≈ 2Δ𝑓 + 2𝑓𝑚 = 2Δ𝑓 1 +
1
𝛽
 
REGRA DE CARSON GENERALIZADA 
Consideremos agora o caso de uma onda modulante arbitrária 
com componente de frequência mais alto denotado por 𝑊 
(largura de banda da mensagem). 
Este caso é bem difícil de analisar e para estimar a largura de 
banda necessária, consideramos o pior caso de uma 
modulação tonal. 
Primeiramente, determinamos razão de desvio: 
𝐷 =
Δ𝑓
𝑊
 
REGRA DE CARSON GENERALIZADA 
A razão de desvio D desempenha o mesmo papel para a 
modulação não senoidal que o índice de modulação 𝛽 
desempenha para o caso de modulação senoidal. Bem como 𝑊 
assume o papel de 𝑓𝑚. 
 
Então, a Regra de Carson Generalizada, para estimar a largura 
de banda de transmissão de um sinal FM arbitrário pode ser 
reescrita como: 
 
𝐵𝑇 = 2(Δ𝑓 +𝑊) 
 
Aulas/11_DemodulacaoFM.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Modulação e Demodulação FM 
GERAÇÃO DA ONDA FM 
Na modulação FM a mensagem é carregada por meio da 
frequência da portadora, desta forma no projeto do modulador 
FM precisamos de um dispositivo capaz de produzir variações 
na frequência instantânea. 
Existem dois métodos básicos: 
 
 Método direto 
 Método indireto: modulador de Armstrong 
 
 
 
MÉTODO DIRETO 
O método direto é simples de ser implementado e é capaz de 
fornecer grandes desvios de frequência. 
No entanto, uma limitação é a tendência da frequência da 
portadora se desviar, o que geralmente é inaceitável para 
aplicações de rádio comercial. Para superar essa limitação, é 
necessária a estabilização da frequência do gerador de FM. 
Embora o oscilador possa ser simples de construir, o uso da 
estabilização de frequência adiciona complexidade ao sistema 
para o projeto do modulador de frequência. 
 
MÉTODO INDIRETO 
O sinal de mensagem é usado primeiro para produzir um sinal 
FM de banda estreita, que é seguido pela multiplicação da 
frequência para aumentar o desvio da frequência até o nível 
desejado. Neste segundo método, o problema de estabilidade 
da frequência portadora é aliviado usando um oscilador 
altamente estável (por exemplo, oscilador de cristal) na 
geração FM de banda estreita; esse esquema de modulação é 
chamado de modulador de frequência de banda larga de 
Armstrong, em reconhecimento ao seu inventor. 
DEMODULAÇÃO FM 
Pode ser realizada por diversas técnicas, as mais frequentes 
são: 
 
- Por PLL (phase locked loop): que explora a sincronização e a 
frequência do sinal. 
 
- Por conversão AM-FM: quando um sinal modulado em 
frequência é derivado, ele se torna um sinal modulado em 
amplitude. 
 
DEMODULAÇÃO FM – POR CONVERSÃO AM-FM 
Seja o sinal 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐 cos 𝜃 𝑡 
com 
𝜃 𝑡 = 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓 𝑚(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡 
Derivando, temos: 
𝑠 𝑡 = −𝐴𝑐 sen 𝜃 𝑡 . 𝜃 (𝑡) 
com 
𝜃 (𝑡) = 2𝜋𝑓𝑐 + 2𝜋𝑘𝑓𝑚(𝑡) 
Então: 
𝑠 𝑡 = −𝐴𝑐 sen 𝜃 𝑡 . (2𝜋𝑓𝑐 + 2𝜋𝑘𝑓𝑚 𝑡 ) 
DEMODULAÇÃO FM – POR CONVERSÃO AM-FM 
𝑠 𝑡 = −𝐴𝑐 sen 𝜃 𝑡 . 2𝜋𝑓𝑐 + 2𝜋𝑘𝑓𝑚 𝑡 
 
Rearranjando: 
 
𝑠 𝑡 = −𝐴𝑐2𝜋𝑓𝑐 sen 𝜃 𝑡 − 𝐴𝑐2𝜋𝑘𝑓𝑚 𝑡 sen 𝜃 𝑡 
 
 
 
 
Desta forma, um circuito detector de envoltória estudado na 
demodulação AM, é capaz de demodular o sinal FM. 
portadora 
mensagem 
modulada 
EXEMPLO 
Uma onda quadrada periódica é modulada em frequência. 
Considere 𝑓𝑐 = 10 kHz, Δ𝑓 = 1 kHz, 𝑘𝑓 = 1. 10
3 e 𝐴𝑐 = 1V. 
Esboce as formas de onda em cada ponto. 
 
RESOLUÇÃO 
No ponto (a), temos a própria mensagem: 
 
 
 
 
 
Em (b), temos a mensagem modulada em FM: 
𝑓𝑖𝑀𝐴𝑋 𝑡 = 𝑓𝑐 + 𝑘𝑓𝑚 𝑡 → 10. 10
3 + 1. 103. 1 = 11 kHz 
𝑓𝑖𝑀𝐼𝑁 𝑡 = 𝑓𝑐 + 𝑘𝑓𝑚 𝑡 → 10. 10
3 + 1. 103. −1 = 9 kHz 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
RESOLUÇÃO 
ATIVIDADE 
Uma onda quadrada periódica é modulada em frequência. 
Considere 𝑓𝑐 = 20 kHz, Δ𝑓 = 1 kHz, 𝑘𝑓 = 3. 10
3 e 𝐴𝑐 = 1V. 
Esboce as formas de onda em cada ponto. 
 
Aulas/12_AnalogicoDigital.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho
Leite 
João Monlevade/MG 
Introdução às Modulações Digitais 
INTRODUÇÃO ÀS MODULAÇÕES ANALÓGICAS 
Vimos que na comunicação analógica a informação 
está contida numa forma de onda (portadora), por 
meio da variação contínua de seus parâmetros: 
- Amplitude -> AM 
- Frequência -> FM 
- Fase -> PM 
 
Nos sistemas de comunicação digital a informação 
está inserida num conjunto de símbolos, os quais 
pertencem a um alfabeto finito e ocupam um 
determinado intervalo de tempo. 
 
VANTAGENS DA COMUNICAÇÃO DIGITAL 
1. Melhor desempenho em ambiente inóspito: maior 
facilidade para lidar com ruídos e erros 
2. Maior confiabilidade e segurança na transmissão: 
possibilidade de inserir códigos corretores de erro 
e proteger o acesso 
3. Integração sistêmica: permite a confluência de 
sinais de natureza diferentes, como dados, voz, 
áudio, vídeo, etc., em uma mesma plataforma ou 
rede de comunicação. 
INTRODUÇÃO ÀS MODULAÇÕES DIGITAIS 
A comunicação digital geralmente envolve três 
processos: 
 
- Amostragem: discretização temporal 
- Quantização: discretização em amplitude 
- Codificação: associação entre as amostras da 
mensagem e os símbolos do alfabeto adotado. 
 
SÍMBOLOS 
Os símbolos são gerados por um processo de 
codificação que envolve a discretização do sinal por 
amostragem e quantização 
 
Ex.: Código de Morse 
É composto por 2 símbolos: 
 Ponto (·) 
 Traço (-) 
 
 
Como transportar os 
símbolos? 
COMO TRANSPORTAR OS SÍMBOLOS? 
Por meio de uma forma de pulso adequada às 
características do canal. 
 
Banda Base: o pulso tem o conteúdo espectral e 
torno da frequência fundamental do sinal 𝑓 = 0 Hz. 
 
Banda Passante: o pulso ocupa uma faixa de 
frequência em torno da frequência da portadora 𝑓𝑐. 
TEORIA DA AMOSTRAGEM: REVISÃO 
O teorema de Nyquist (1926) estabelece as condições 
para que um dado sinal limitado em faixa seja 
amostrado sem perda de informação: 
 
𝑓𝑠 ≥ 2𝑓𝑚𝑎𝑥 
Com 𝑓𝑠 =
1
𝑇𝑠
. 
 
Como amostrar o sinal? 
COMO AMOSTRAR O SINAL? 
Por meio de um trem de impulsos. 
 
 
𝑔 𝑡 = 𝑔 𝑛𝑇𝑠
∞
𝑛=−∞
𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑠) 
AMOSTRAGEM 
Entretanto, é fisicamente impossível gerar um trem 
de impulsos de maneira analógica. 
 
Na prática usamos um sistema chamado sample-
hold. 
 
O sample-hold trabalha com um trem de pulsos, 
amostrando e “segurando” constante o valor por um 
intervalo de tempo. 
 
MODULAÇÃO POR AMPLITUDE DE PULSO (PAM) 
Este mecanismo define a 
técnica de codificação 
conhecida por Modulação 
por Amplitude de Pulso 
(PAM). 
 
Esta técnica fornece o sinal 
discretizado no tempo 
(amostrado), mas que 
assume valores reais em 
amplitude. 
 
 
MODULAÇÃO POR AMPLITUDE DE PULSO (PAM) 
Além da PAM, 
outras técnicas 
utilizam um 
trem de pulsos 
para a 
amostragem, 
podendo variar 
além da 
amplitude, a 
largura (PWM) 
ou a posição dos 
pulsos (PPM). 
Sinais modulados por pulsos. (a) Sem modulação. 
(b) sinal PAM. (c) Sinal PWM. (d) Sinal PPM. 
 
ATIVIDADE 
Esboce o espectro do sinal modulado em PAM assumindo 
que a frequência de modulação é 𝑓𝑚 = 0,2 𝐻𝑧 , o período de 
amostragem 𝑇𝑠 = 1𝑠 e a duração do pulso 𝑇 = 0,45𝑠. 
 
𝑚(𝑡) = 𝐴𝑚cos (2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
Aulas/13_AnalogicoDigital.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Introdução às Modulações Digitais 
QUANTIZAÇÃO 
A próxima etapa para estabelecer um sistema de 
comunicação digital é quantizar a mensagem amostrada, 
transformando a amplitude das amostras em valores 
discretos que pertençam a um número finito de níveis. 
 
O sistema de quantização assume um compromisso entre 
precisão e faixa dinâmica. 
 
QUANTIZAÇÃO 
Uma vez estabelecidos os níveis de quantização e 
quantizadas as amostras do sinal utilizando estes 
níveis, o processo seguinte é a codificação, que 
consiste em associar uma palavra binária para cada 
nível. 
 
𝑁
𝑏𝑖𝑡𝑠
𝑝𝑎𝑙𝑎𝑣𝑟𝑎
→ 2𝑁𝑛í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 
 
 
EXEMPLO: QUANTIZAÇÃO 
Considere o sinal 𝑓 𝑡 = 4 cos 2𝜋𝑡 , amostrado a 
cada 0,05 s. 
 
 
 
t f(t) 
Saída 
Quantizador 
Erro Código 
0,05 3,804 3,5 0,304 001 
0,10 3,236 3,5 -0,264 001 
0,15 2,351 2,5 -0,149 010 
0,20 1,236 1,5 -0,264 011 
MODULAÇÃO POR CODIFICAÇÃO DE PULSO 
Os processos de amostragem, quantização e 
codificação definem a modulação por codificação por 
pulso (PCM). 
 
O sistema PCM pode ser esquematizado como: 
 
 
 
 
 
CODIFICAÇÃO DE LINHA 
Para transmitir o sinal digital é 
necessário realizar uma codificação de 
linha. 
Vejamos alguns códigos de linha são: 
 
a) On-off 
b) NRZ – sem retorno ao zero 
c) RZ – retorno ao zero 
d) BRZ – bipolar com retorno ao zero 
e) Manchester (chaveamento de fase) 
f) Diferencial 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 
A figura abaixo mostra um sinal PCM no qual os níveis 
de amplitude de +1 V e -1 V são usados para representar 
os símbolos binários 1 e 0, respectivamente. A palavra 
código usada consiste em três bits. Encontre a versão 
amostrada do sinal analógico do qual esse sinal PCM foi 
derivado. 
Aulas/14_TransmissaoBandaBase.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Transmissão de dados em banda 
base 
TRANSMISSÃO EM BANDA BASE 
O termo banda base indica que a faixa de 
frequência utilizada na transmissão do sinal é a 
faixa na qual ele é gerado na fonte de informação. 
 
O canal empregado, normalmente, é cabeado, por 
exemplo: fibra ótica, cabo coaxial, par trançado. 
 
O esquema de transmissão de um sistema de 
transmissão em banda base é do tipo: 
 
 
 
TRANSMISSÃO EM BANDA BASE 
Destino 
{𝑏 𝑘} 
𝑠(𝑡) 
{𝑎𝑘} 
Fonte de 
Informação 
{𝑏𝑘} 
Filtro de 
transmissão 
𝐺(𝑓) 
Canal 
𝐻(𝑓) 
Codificador 
de Linha 
Filtro de 
recepção 
Q(𝑓) 
Tomada de 
decisão 
𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡) 𝑦(𝑖𝑇𝑏) 
Considerando a primeira parte do esquema: 
 
 
 
 
 
 
Podemos expressar: 
𝑠 𝑡 = 𝑎𝑘𝑔(𝑡 − 𝑘𝑇𝑏)
∞
𝑘=−∞
 
onde 𝑇𝑏 é o tempo de transmissão de 1 bit (tempo de bit). 
 
 
TRANSMISSÃO EM BANDA BASE 
Ex.: Usando a codificação NRZ, por exemplo: 
 
𝑎𝑘 = 1, para 𝑏𝑘 = 1
𝑎𝑘 = −1, para 𝑏𝑘 = 0
 
 
 
TRANSMISSÃO EM BANDA BASE 
O sinal na saída do canal, pode ser expresso como: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 𝑡 = 𝑠 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ 𝑞 𝑡 = 𝑠 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 ∗ 𝑞(𝑡) 
𝑦 𝑡 = 𝑎𝑘
∞
𝑘=−∞
𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏 ∗ ℎ 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏 ∗ 𝑞 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏
𝑝 𝑡−𝑘𝑇𝑏
 
 
sendo 
𝑝 𝑡 = 𝑔 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 ∗ 𝑞 𝑡 ⟺ 𝑃 𝑓 = 𝐺 𝑓 𝐻 𝑓 𝑄(𝑓) 
 
 
TRANSMISSÃO EM BANDA BASE 
Então: 
 
 
 
 
 
Na saída do receptor temos: 
𝑦 𝑡 = 𝑎𝑘
∞
𝑘=−∞
𝑝 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏 
 
Mas como obter {𝑎𝑘} a partir de 𝑦(𝑡)? 
 
 
TRANSMISSÃO EM BANDA BASE 
Amostrando 𝑦 𝑡 a cada múltiplo de 𝑇𝑏 → 𝑦(𝑖𝑇𝑏). 
 
Assim, a expressão da saída do receptor: 
 
𝑦 𝑡 = 𝑎𝑘
∞
𝑘=−∞ 𝑝 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏 
 
Se torna: 
 
𝑦 𝑖𝑇𝑏 = 𝑎𝑘𝑝( 𝑖 − 𝑘)𝑇𝑏
∞
𝑘=−∞ , 𝑖 ∈ ℤ 
 
 
 
 
 
 
 
COMO RECUPERAR A MENSAGEM ENVIADA? 
Notação: 
 
𝑝 𝑖𝑇𝑏 = 𝑝𝑖
𝑦 𝑖𝑇𝑏 = 𝑦𝑖
 
 
Reescrevendo: 
𝑦 𝑖𝑇𝑏 = 𝑎𝑘𝑝( 𝑖 − 𝑘)𝑇𝑏
∞
𝑘=−∞
 
Temos: 
𝑦𝑖 = 𝑎𝑘𝑝𝑖−𝑘 =
∞
𝑘=−∞
𝑎𝑘 ∗ 𝑝𝑘 
 
Então, se em um dado instante de tempo 𝑖𝑇𝑏 
recebemos 𝑦 𝑖𝑇𝑏 , como recuperar o sinal enviado 𝑎𝑖 
ao qual ele corresponde? 
COMO RECUPERAR A MENSAGEM ENVIADA? 
Notação: 
 
𝑝 𝑖𝑇𝑏 = 𝑝𝑖
𝑦 𝑖𝑇𝑏 = 𝑦𝑖
 
 
Reescrevendo: 
𝑦 𝑖𝑇𝑏 = 𝑎𝑘𝑝( 𝑖 − 𝑘)𝑇𝑏
∞
𝑘=−∞
 
Temos: 
𝑦𝑖 = 𝑎𝑘𝑝𝑖−𝑘 =
∞
𝑘=−∞
𝑎𝑘 ∗ 𝑝𝑘 
 
Então, se em um dado instante de tempo 𝑖𝑇𝑏 
recebemos 𝑦 𝑖𝑇𝑏 , como recuperar o sinal enviado 𝑎𝑖 
ao qual ele corresponde? 
COMO RECUPERAR A MENSAGEM ENVIADA? 
Para recuperar os bits enviados a partir do sinal 
recebido, vemos que o valor de 𝑦𝑖 depende não apenas 
de 𝑎𝑖 , mas também de todos os outros símbolos 
enviados 𝑎𝑘. 
𝑦𝑖
= 𝑎𝑘𝑝𝑖−𝑘
∞
𝑘=−∞
 
𝑦𝑖 = 𝑎𝑖𝑝0 + 𝑎𝑘𝑝𝑖−𝑘
∞
𝑘=−∞,𝑘≠𝑖
 
Esta dependência, que envolve todos os outros 
símbolos transmitidos antes e após 𝑎𝑖, representa um 
fenômeno residual conhecido como 
INTERFERÊNCIA INTERSIMBÓLICA (IIS). 
COMO RECUPERAR A MENSAGEM ENVIADA? 
 
Ao ser transmitido através de um canal 
dispersivo, um símbolo digital tende a 
se alargar além do intervalo de tempo a 
ele reservado. Portanto, símbolos 
adjacentes interferirão uns com os 
outros, aumentando a probabilidade de 
erro de detecção no receptor. 
INTERFERÊNCIA INTERSIMBÓLICA 
COMO RETIRAR A DEPENDÊNCIA DOS 
DEMAIS SÍMBOLOS ENVIADOS PARA 
RECUPERAR 𝑎𝑖 A PARTIR DE 𝑦𝑖? 
Apresente a diferença entre banda base e 
banda passante. 
 
Indique exemplos de utilização de cada 
uma destas formas de transmissão em 
aplicações de telecomunicação. 
ATIVIDADE 
Aulas/15_TransmissaoBandaBase.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
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Transmissão de dados em banda 
base 
COMO RETIRAR A DEPENDÊNCIA DOS 
DEMAIS SÍMBOLOS ENVIADOS PARA 
RECUPERAR 𝑎𝑖 A PARTIR DE 𝑦𝑖? 
Para retirar a dependência dos demais símbolos é 
necessário que 𝑝𝑖−𝑘 = 0 para todo 𝑘 ≠ 𝑖. 
Então: 
𝑦𝑖 = 𝑎𝑖𝑝0 + 𝑎𝑘𝑝𝑖−𝑘
∞
𝑘=−∞,𝑘≠𝑖
 
 
𝑦𝑖 = 𝑎𝑖𝑝0 
 
COMO RECUPERAR A MENSAGEM ENVIADA? 
Então o formato geral do pulso 𝑝 𝑡 deve satisfazer: 
 
𝑝𝑖 = 
𝐸, 𝑖 = 0
0, 𝑖 ≠ 0
 
sendo E a energia de cada bit do sinal transmitido. 
 
Amostrando 𝑝 𝑡 a uma taxa uniforme 1 𝑇𝑏 , o pulso 
𝑝 𝑡 deve ser da forma: 
 
𝑝 𝑡 = 𝑝
𝑖
2𝐵0
𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝐵0𝑡 − 𝑖)
∞
𝑖=−∞
 
com 𝐵0 =
1
2𝑇𝑏 . 
COMO RECUPERAR A MENSAGEM ENVIADA? 
Simplificando, temos que: 
𝑝 𝑡 = 𝐸𝑠𝑖𝑛𝑐 2𝐵0𝑡 
 
𝑝 𝑡 =
𝐸𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝐵0𝑡)
2𝜋𝐵0𝑡
 
Então: 
 
 
𝑃 𝑓 = 
𝐸
2𝐵0
, −𝐵0 < 𝑓 < 𝐵0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
com 𝐵0 =
1
2𝑇𝑏 . 
FORMA DO PULSO 
𝑝 𝑡 = 
𝐸
2𝐵0
, −𝐵0 < 𝑓 < 𝐵0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
FORMA DO PULSO 
Este formato de pulso é conveniente porque resolve dois 
problemas: 
 
1) Reduz a IIS a zero 
2) Conserva a largura de banda de transmissão. 
 
Seria a solução ideal!!! 
 
QUAL É O PROBLEMA DESTA SOLUÇÃO??? 
FORMA DO PULSO 
Existem dois problemas relacionados à utilização do pulso 
proposto: 
1) O filtro abrupto 𝑃 𝑓 é irrealizável fisicamente. 
2) O decaimento da sinc exige que a taxa de amostragem 
seja precisa, não permitindo nenhum atrado (erro de 
jitter). 
 
A solução que contorna estes problemas e permite 
recuperar os bits enviados a partir do observado no 
receptor é o PULSO DO COSSENO LEVANTADO. 
 
FORMA DO PULSO 
𝑃 𝑓 = 
𝐸
2𝐵0
, |𝑓| ≤ 𝑓1
𝐸
4𝐵0
+ 1 + 𝑐𝑜𝑠
𝜋( 𝑓 − 𝑓1
2𝐵0 − 𝑓1
, 𝑓 < |𝑓| ≤ 2𝐵0 − 𝑓1
0, 𝑓 > 2𝐵0 − 𝑓1
 
 Fator de roll-off: 
 
PULSO DO COSSENO LEVANTADO 
Calculando a antitransformada de Fourier, encontramos: 
 
𝑝 𝑡 = 𝐸𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝐵0𝑡)
cos (2𝜋𝛼𝐵0𝑡)
1 − 16𝛼2𝐵0
2𝑡2
, 
PULSO DO COSSENO LEVANTADO 
PULSO DO COSSENO LEVANTADO 
O fator de roll-off deve considerar um compromisso entre 
banda de transmissão e erros de amostragem. 
Para: 
𝛼 → 0 Gasta-se menos espectro na transmissão, mas o 
sistema fica mais sensível a erros de amostragem. 
𝛼 → 1 Gasta-se o dobro da banda de transmissão mínima, 
mas a cauda da sinc se anula mais rapidamente, causando 
menos interferências na falta de sincronismo. 
 
A banda de transmissão vai depender do fator de roll-off 
 
𝐵𝑇 = 2𝐵0 − 𝑓1 ⇒ 𝐵𝑇 = 𝐵0(1 + 𝛼), sendo 𝐵0 a banda mínima necessária, 
 
𝑓𝑣 = 𝛼𝐵0 
 
ANÁLISE DA BANDA DE TRANSMISSÃO 
Um computador emite dados binários a uma taxa de 56 kbits/s. A 
saída do computador é transmitida usando um sistema PAM binário 
de banda base projetado para ter um espectro de pulso de cosseno 
levantado. 
Determine a largura de banda de transmissão necessária para cada 
um dos seguintes fatores de roll-off: 
 
a) 𝛼 = 0,25 
b) 𝛼 = 0,50 
c) 𝛼 = 0,75 
d) 𝛼 = 1,00 
 
 
 
 
ATIVIDADE 
O padrão de olho é uma ferramenta utilizada para analisar a 
qualidade da transmissão de um sistema de comunicação digital. 
 
Ele é produzido pela superposição sincronizada de intervalos de 
símbolo sucessivos da forma de onda que aparece na saída do filtro de 
recepção. 
 
Experimentalmente, o padrão de olho apresenta duas qualidades 
atraentes: 
- É simples de ser obtido 
- Fornece uma grande quantidade de informações sobre as 
características do sistema de transmissão de dados. Sendo um 
indicador visual de quão bem ou mal um sistema de transmissão de 
dados executa a tarefa de transportar uma sequência de dados 
através de um canal físico. 
 
PADRÃO DE OLHO 
PADRÃO DE OLHO 
 
EXEMPLO 1: PADRÃO DE OLHO 
EXEMPLO 2: PADRÃO DE OLHO 
Caso ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Canal com ruído e largura de banda finita. 
EXEMPLO 3: PADRÃO DE OLHO 
Padrão de olho: sistema binário 
EXEMPLO 3: PADRÃO DE OLHO 
Padrão de olho: sistema quaternário 
Aulas/16_TransmissaoBandaPassante.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Transmissão de dados em banda 
passante 
TRANSMISSÃO EM BANDA PASSANTE 
Objetivo: transmitir a sequência de dados digitais 
numa faixa de frequência em torno da frequência da 
portadora 𝑓𝑐 , ou seja, por um canal “passa-faixas” 
(não mais “passa-baixas”) 
 
Como fica o sistema de comunicação? 
 
O esquema de transmissão de um sistema de 
transmissão em banda passante é do tipo: 
 
 
 
TRANSMISSÃO EM BANDA PASSANTE 
Destino 
{𝑎 𝑘} 
𝑠(𝑡) 
{𝑎𝑘} 
Fonte de 
Informação 
{𝑏𝑘} 
Filtro de 
transmissão 
(em torno de 
𝑓 = 0) 
Canal 𝐻 𝑓 
(em torno de 𝑓𝑐) 
Codificador 
de Linha 
Tomada de 
decisão 
𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡) 𝑦(𝑖𝑇𝑏) 
Modulador 
Demodulador 
Filtro de 
recepção 
(em torno de 
𝑓 = 0) 
 
 
COMO REALIZAR A MODULAÇÃO 
DIGITAL? 
Analogamente ao que vimos na modulação analógica, a 
portadora pode ser do tipo: 
 
𝑐 𝑡 = 𝑨𝒄cos (2𝜋𝒇𝒄𝑡 + 𝜽𝒄) 
 
O processo de modulação envolve a comutação ou 
chaveamento da amplitude, fase ou frequência de uma 
onda portadora senoidal entre um par de valores possíveis 
de acordo com os símbolos 0 e 1. 
 
Assim, podemos identificar três formas distintas de 
modulação digital: 
 
ASK – amplitude shift-keying 
FSK – frequency shift-keying 
PSK – phase shift-keying 
 
MODULAÇÃO DIGITAL 
O chaveamento de amplitude binária (BASK ou 2-
ASK) é uma das primeiras formas de modulação 
digital usada em telégrafos no início do século XX. 
 
Ex.: Considere um fluxo de dados binários no formato 
On-Off e a portadora dada na figura (a). 
 
ASK 
Tempo de bit - Tb 
𝑠 𝑡 = 
𝐴𝑐cos (2𝜋𝑓𝑐𝑡) , 𝑎𝑘 = 1
0, 𝑎𝑘 = 0
 
Chaveamento de frequência binária (BFSK ou 2-FSK). 
 
 
 
 
FSK 
𝑠 𝑡 = 
𝐴𝑐cos (2𝜋𝑓1𝑡) , 𝑎𝑘 = 1
𝐴𝑐cos (2𝜋𝑓0𝑡) , 𝑎𝑘 = 0
 
Chaveamento de fase binária (BPSK ou 2-PSK). 
 
 
Lembrando que cos 𝛼 + 𝜋 = −cos (𝛼) 
PSK 
𝑠 𝑡 = 
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 , 𝑎𝑘 = 1
𝐴𝑐cos (2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝜋) , 𝑎𝑘 = 0
 
𝑠 𝑡 = 𝑚(𝑡)𝑐 𝑡 
𝑠 𝑡 = 𝑚 𝑡 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 
 
𝑆 𝑓 = 1/2[𝑀 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝑀 𝑓 + 𝑓𝑐 ] 
 
Considerando o sinal usando o código de linha on-off 
e um pulso retangular para transmissão podemos 
visualizar o espectro ocupado pelas modulações 
digitais. 
 
ANÁLISE ESPECTRAL 
ASK: 
 
 
 
PSK: 
 
 
 
 
FSK: 
ANÁLISE ESPECTRAL 
Conteúdo em torno da frequência da 
portadora, devido à variação nos 
valores de amplitude, apresenta uma 
componente DC em fc. 
 
 
 
Conteúdo em torno de fc. 
 
 
 
 
 
 
 
Conteúdo em torno das frequências de 
modulação fc0 e fc1. 
 
Considere a sequência de bits que contém a 
informação digital a ser transmitida: 
 
0011100110011100 
 
Para cada caso, esboce o sinal modulado a ser 
transmitido referente à sequência de bits.
Indique as 
convenções adotadas para simbologia das palavras 
códigos (bit 0 e 1). 
 
a) BASK 
b) BFSK 
c) BPSK 
 
 
ATIVIDADE 
A demodulação de sinais modulados digitalmente é 
similar a de sinais modulados analogicamente. 
Devido às relações entre ASK e AM, entre FSK e FM 
e entre PSK e QAM (ou AM-DSB-SC), as diferentes 
técnicas empregadas para modulações analógicas 
podem ser diretamente aplicadas aos equivalentes 
digitais. 
DEMODULAÇÃO DIGITAL 
 Detecção ASK 
Assim como a AM, a ASK pode ser demodulada de forma 
coerente (síncrona) ou incoerente (detector de envelope). 
 
O detector coerente requer 
equipamento mais elaborado e tem 
desempenho superior quando a SNR 
é baixa. 
Para SNR alta, o detector de 
envelope tem um desempenho muito 
bom. 
 
O detector por envelope é o mais empregado, pois é mais 
simples e garante uma eficiência e confiabilidade adequada. 
 
Geralmente, se o sistema tem baixa SNR e exige um detector 
coerente, é preferível empregar a PSK, que tem melhor 
eficiência de potência que o ASK. 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - ASK 
 Detecção FSK 
 
O sinal FSK binário pode ser visto como dois sinais ASK 
entrelaçados, com frequências portadoras ωc0 e ωc1. 
Portanto, a FSK pode ser detectada de forma coerente ou 
incoerente. 
 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - FSK 
Detecção incoerente: 
O sinal que chega é aplicado a um par de filtros sintonizados 
em ωc0 e ωc1. Cada filtro é seguido por um detector de envelope. 
As saídas dos dois detectores de envelope são amostradas e 
comparadas. Se um 0 for transmitido por um pulso de 
frequência ωc0, esse pulso aparecerá na saída do filtro 
sintonizado em ωc0. Praticamente nenhum sinal aparecerá na 
saída do filtro sintonizado em ωc1. Assim, a amostra da saída 
do detector de envelope que segue o filtro ωc0 será maior que a 
amostra da saída do detector de envelope que segue o filtro ωc1, 
e o receptor decide que um 0 foi transmitido. No caso de um 1, 
ocorre o oposto. 
 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - FSK 
Detecção Coerente: 
Ocorre uma demodulação dupla em torno das duas frequências 
usadas na modulação (ωc0 e ωc1). Na sequencia o sinal é filtrado 
e segue para comparação das saídas dos dois demoduladores. 
Esta técnica exige que o detector FSK gere duas portadoras em 
sincronia com as portadoras do modulador. Isto é complexo e 
viola o propósito da FSK, projetado principalmente para 
detecção mais simples e não coerente. 
Na prática, a detecção FSK coerente não é utilizada. 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - FSK 
Aulas/17_TransmissaoBandaPassante.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Transmissão de dados em banda 
passante 
 Detecção PSK 
Em PSK binário, um 1 é transmitido por um 
pulso Acos(ωct) e um 0, por um pulso –Acos(ωct). A 
informação está na fase da portadora. 
Assim como em AM-DSB-SC, esses sinais não podem ser 
demodulados por detecção de envelope, pois o envelope é o 
mesmo para 1 e 0. 
 
 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - PSK 
A detecção coerente é similar à usada para sinais 
analógicos. 
 
 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - PSK 
 PSK Diferencial 
Embora a detecção de envelope não possa ser usada para 
PSK, ainda é possível explorar o número finito de valores 
de fase de modulação para detecção incoerente, por meio 
do PSK diferencial ou DPSK. 
 
O princípio da detecção diferencial é que o receptor 
detecte a mudança de fase relativa entre sucessivas fases 
moduladas θk e θk-1. Como os valores de fase em PSK são 
finitos (iguais a 0 e π em PSK binário), o transmissor 
pode codificar o dado de informação na diferença de 
fase θk – θk-1. Por exemplo, uma diferença de fase zero 
representa 0, enquanto uma diferença de 
fase π significa 1. 
 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - PSK 
Em DPSK, evitamos a geração de uma portadora local 
observando que o próprio sinal modulado recebido é uma 
portadora (±Acos(ωct)). No lugar da portadora, podemos usar o 
sinal recebido atrasado por Tb (um intervalo de bit). 
Se o pulso recebido for igual ao anterior, o produto dos dois 
será y(t) = A2cos2(ωct) = (A
2/2)(1+cos(2ωct)), e a saída do filtro 
passa-baixas, z(t)=A2/2, e detectamos o pulso corrente como 
um 0. 
Se o pulso recebido e o anterior tiverem polaridades 
opostas, y(t) = –A2 cos2(ωct) e z(t) = –A
2/2, desta forma o bit 
corrente é detectado como 1. 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - PSK 
Exemplo: Usando a codificação diferencial 
 
DEMODULAÇÃO DIGITAL - PSK 
Tempo k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Ik 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 
qk 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 
Código de linha ak –1 1 1 –1 –1 –1 1 –1 1 1 1 
θk π 0 0 π π π 0 π 0 0 0 
θk – θk – 1 π π π π π 0 0 
Bits detectados 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 
Em termos de complexidade de demodulação, ASK, FSK e 
DPSK podem ser todos detectados incoerentemente, sem 
uma portadora síncrona no receptor. A PSK é a única que 
precisa ser detectada de maneira coerente. 
 
Detecção incoerente -> menor imunidade ao ruído. 
 
Do ponto de vista de imunidade ao ruído, a PSK coerente 
é superior a todos os outros esquemas. A PSK também 
requer menor largura de banda do que a FSK. 
DEMODULAÇÃO DIGITAL 
Para aumentar a eficiência espectral e a taxa de 
transmissão de informação do sistema de 
comunicação, podemos pensar em enviar mais bits por 
transmissão. Por exemplo, se enviarmos 2 bits (dibit) 
teremos 4 possíveis ‘palavras’: 00, 01, 10 e 11. 
 
MODULAÇÃO DIGITAL M-ÁRIA 
Em vez de enviar apenas um bit, podemos enviar 
log2 M bits. 
 
Exemplo: 4-ASK ou QASK 
 
M-ASK 
𝑠 𝑡 = 
𝐴1 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 , 00
𝐴2cos (2𝜋𝑓𝑐𝑡) , 01
𝐴3 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 , 10
𝐴4 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 , 11
 
A seleção do conjunto de frequências {fi} determina o 
desempenho e a largura de banda da modulação FSK. 
Existe um compromisso entre: distânciamento das 
frequências e largura de banda. Que afetam, capacidade 
de distinção dos símbolos (maior confiabilidade do 
sistema) e banda de transmissão disponível. 
 
A opção de se empregarem símbolos FSK que sejam 
ortogonais em Tb (OFSK), permite a distinção dos 
símbolos mesmo empregando uma largura de banda 
limitada. 
 
 
M-FSK 
Exemplo: 4-FSK ou QFSK 
 
M-FSK 
𝑠 𝑡 = 
𝐴 cos 2𝜋𝑓𝑐1𝑡 , 00
𝐴cos (2𝜋𝑓𝑐2𝑡) , 01
𝐴 cos 2𝜋𝑓𝑐3𝑡 , 10
𝐴 cos 2𝜋𝑓𝑐4𝑡 , 11
 
Exemplo: QPSK ou 4-PSK 
 
 
 
 
 
Se quisermos representar o dibit ‘00’, teremos: 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 +
3𝜋
4 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡)cos (
3𝜋
4 − 𝐴𝑐 sen 2𝜋𝑓1𝑡)sen (
3𝜋
4 
 
𝑠 𝑡 = 𝑠𝐼 𝑡 c t + 𝑠𝑄 𝑡 𝑐 t 
𝑠 𝑡 = 𝑠𝐼 𝑡 + 𝑗𝑠𝑄 𝑡 
Para ‘00’: 𝑠 𝑡 = cos 3𝜋 4 − 𝑗sen (
3𝜋
4 ) 
 
M-PSK 
𝑠 𝑡 = 
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 +
3𝜋
4 , 00
𝐴𝑐cos (2𝜋𝑓1𝑡 +
𝜋
4 ) , 10
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 −
𝜋
4 , 11
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 −
3𝜋
4 , 01
 
Exemplo: QPSK ou 4-PSK 
 
 
 
 
 
𝑠 𝑡 = 𝑠𝐼 𝑡 + 𝑗𝑠𝑄 𝑡 
 
Para ‘00’: 𝑠 𝑡 = cos 3𝜋 4 − 𝑗sen (
3𝜋
4 ) 
Para ‘10’: 𝑠 𝑡 = cos 𝜋 4 − 𝑗sen (
𝜋
4 ) 
Para ‘11’: 𝑠 𝑡 = cos 𝜋 4 + 𝑗sen (
𝜋
4 ) 
Para ‘01’: 𝑠 𝑡 = cos 3𝜋 4 + 𝑗sen (
3𝜋
4 ) 
 
M-PSK 
𝑠 𝑡 = 
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 +
3𝜋
4 , 00
𝐴𝑐cos (2𝜋𝑓0𝑡 +
𝜋
4 ) , 10
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 −
𝜋
4 , 11
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 −
3𝜋
4 , 01
 
Exemplo: QPSK ou 4-PSK 
 
 
 
 
 
 
 
 
M-PSK 
𝑠 𝑡 = 
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 +
3𝜋
4 , 00
𝐴𝑐cos (2𝜋𝑓0𝑡 +
𝜋
4 ) , 10
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 −
𝜋
4 , 11
𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓1𝑡 −
3𝜋
4 , 01
 
Diagrama de constelação de sinais – M-PSK 
M-PSK 
O aumento de M, aumenta a quantidade 
de símbolos que podem ser enviados, 
aproximando as fases e tornando o 
sistema mais susceptível a erros. 
 
Uma opção é variar a fase e a amplitude 
da portadora -> realizando a modulação 
por amplitude em quadratura (QAM). 
M-PSK 
A modulação QAM permite melhorar 
ainda mais a eficiência espectral, 
permitindo carregar mais bits por 
símbolo ao se variar a fase e amplitude 
da portadora. 
 
𝑠 𝑡 = 𝑎𝑖cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 − 𝑏𝑖se𝑛 2𝜋𝑓𝑐𝑡
𝑟𝑖 = 𝑎𝑖
2 + 𝑏𝑖
2
 
𝜃𝑖 = 𝑡𝑔
−1
𝑏𝑖
𝑎𝑖
 
M-QAM 
Exemplo: 16-QAM 
M=16 
M-QAM 
Aulas/18_Ruidos.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Revisão de Estatística e Ruídos 
Modelo determinístico: não há incertezas a respeito do 
comportamento da função temporal. 
 
Ex.: 𝑓 𝑡 = cos 2𝜋𝑓1𝑡 para todo instante de tempo t, a 
função é bem determinada. 
 
Modelo aleatório: descreve o comportamento de um 
fenômeno em termos probabilísticos. 
Ex.: previsão do tempo, ruído de um sistema de 
comunicação 
Apesar de não ser possível determinar o valor exato 
para um dado instante de tempo t, é possível 
descrever o comportamento do fenômeno em termos 
estatísticos. 
SINAIS E RUÍDOS ALEATÓRIOS 
1) 𝑃 𝑆 = 1, sendo S o espaço amostral 
2) 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1, sendo A um evento 
3) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃[𝐵] , sendo A e B eventos 
mutuamente exclusivos. 
 
PROBABILIDADE E AXIOMAS 
- Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
- Evento A: sair um número par 
 P[A = par={2,4,6}] 
 P[A=2]+P[A=4]+P[A=6]=1/6+1/6+1/6=1/2 
 
- Evento B: sair um número maior que 4 => 
 P[B>4] = P[B=5] + P[B=6] = 1/6+1/6 = 1/3 
 
Observe que: 
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
2
3
≠ 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 =
1
2
+
1
3
=
5
6
 
Pois os eventos A e B não são mutuamente exclusivos 
𝐴 ∩ 𝐵 = {6} 
 
EXEMPLO: DADO HONESTO 
É uma função que descreve os pontos amostrais de S em 
números reais (V.A. contínua) ou inteiros (V.A. discreta). 
 
Exemplo: 
 
 S 
VARIÁVEL ALEATÓRIA (V.A.) 
. Cara 
 
 
. Coroa 
 
X(coroa)=X[x=1] 
x 
0 1 
X(cara)=X[x=0] 
Descreve a probabilidade de ocorrência associada a cada 
valor da V.A. discreta. 
 
Exemplo: moeda honesta 
 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
1
2
, 𝑥 = 0
1
2
, 𝑥 = 1
 
 
FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE (PMF) 
P[X] 
x 
1/2 
 0 1 
Considera uma V.A. discreta 𝑋 que pode assumir os 
valores 0 e 1 , com probabilidade 1 − 𝑝 e 𝑝 , 
respectivamente. 
 
PMF: 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
1 − 𝑝, 𝑥 = 0
𝑝 , 𝑥 = 1
 
 
MODELO DE BERNOULLI 
Descreve a distribuição de uma variável aleatória 
contínua 𝑋. 
 
A PDF 𝑓 𝑥 pode ser usada para calcular a 
probabilidade de 𝑋 pertencer a um intervalo [𝑎, 𝑏]. 
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (PDF) 
Uma das distribuições contínuas mais usadas é a 
Gaussiana, cuja PDF é: 
 
 
 
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 
 
 
A PDF da Gaussiana é completamente caracterizada 
pela média e variância. 
 
 
MODELO NORMAL OU GAUSSIANO 
Considere duas V.A.s que descrevem duas características 
diferentes do objeto de estudo, por exemplo, idade e 
período dos alunos. 
É possível pensar em construir um modelo que dado a 
idade do aluno, seja possível inferir o período em que ele 
está. 
𝑃 𝑌|𝑋 - descreve a probabilidade de 𝑌 assumir um valor 
𝑦 dado que se conhece que 𝑋 assumiu o valor 𝑥. 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Então, pode-se calcular a probabilidade condicional como: 
 
𝑃 𝑌 𝑋 =
𝑃[𝑋, 𝑌]
𝑃[𝑋]
 
 
Sendo 𝑃[𝑋, 𝑌] a probabilidade conjunta e 𝑃 𝑋 a 
probabilidade marginal. 
 
Também podemos escrever a probabilidade condicional 
como sendo: 
𝑃 𝑋 𝑌 =
𝑃[𝑌, 𝑋]
𝑃[𝑌]
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
A probabilidade conjunta é simétrica, ou seja, 𝑃 𝑋, 𝑌 =
𝑃[𝑌, 𝑋]. 
 
Assim, podemos reescrever as duas expressões anteriores, 
como sendo: 
𝑃 𝑌 𝑋 =
𝑃[𝑋, 𝑌]
𝑃[𝑋]
→ 𝑃 𝑋, 𝑌 = 𝑃 𝑌 𝑋 𝑃[𝑋] 
 
𝑃 𝑋 𝑌 =
𝑃[𝑌, 𝑋]
𝑃[𝑌]
→ 𝑃 𝑌, 𝑋 = 𝑃 𝑋, 𝑌 = 𝑃 𝑋 𝑌 𝑃[𝑌] 
Igualando as conjuntas, encontramos a Regra de Bayes: 
𝑃 𝑌 𝑋 =
𝑃 𝑋 𝑌 𝑃[𝑌]
𝑃[𝑋]
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Se as V.A.s 𝑋e 𝑌 forem independentes, vale que: 
 
𝑃 𝑋, 𝑌 = 𝑃 𝑋 𝑃[𝑌] 
 
 
INDEPENDÊNCIA 
Considere um canal binário simétrico sem memória 
utilizado para transmitir dados binários. O Modelo de 
Bernoulli é capaz de descrever a geração desses dados na 
fonte de informação. 
 
 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
1 − 𝑝1, 𝑥 = 0
𝑝1, 𝑥 = 1
 
EXEMPLO: CANAL BINÁRIO SIMÉTRICO 
Devido à presença de ruídos no canal, podem ocorrer erros 
na transmissão do sinal com probabilidade 𝑝. 
 
 
 
 
 
 
Podemos dizer então que, a probabilidade condicional 
associada aos erros, são: 
𝑃 𝑌 = 0|𝑋 = 1 = 𝑝 
E 
𝑃 𝑌 = 1|𝑋 = 0 = 𝑝 
 
 
 
 
EXEMPLO: CANAL BINÁRIO SIMÉTRICO 
Considerando estes dados, determine: 
 
a) A probabilidade de se receber o símbolo 0. 
b) A probabilidade de se receber o símbolo 1. 
c) 𝑃 𝑋 = 0|𝑌 = 1 
 
 
 
 
EXEMPLO: CANAL BINÁRIO SIMÉTRICO 
a) A probabilidade de se receber o símbolo 0. 
 
 
 
 
 
𝑃 𝑌 = 0
= 𝑃 𝑌 = 0 𝑋 = 0 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑌 = 0 𝑋 = 1 𝑃 𝑋 = 1 
= 1 − 𝑝 𝑝0 + 𝑝𝑝1 
 
RESOLUÇÃO 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
𝑝0, 𝑥 = 0
𝑝1, 𝑥 = 1
 
Analogamente, para o item b): 
 
b) A probabilidade de se receber o símbolo 1. 
 
 
 
 
 
𝑃 𝑌 = 1
= 𝑃 𝑌 = 1 𝑋 = 1 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑌 = 1 𝑋 = 0 𝑃 𝑋 = 0 
= 1 − 𝑝 𝑝1 + 𝑝𝑝0 
 
RESOLUÇÃO 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
𝑝0, 𝑥 = 0
𝑝1, 𝑥 = 1
 
c) 𝑃 𝑋 = 0|𝑌 = 1 
Usando a regra de Bayes: 
 
 
 
 
 
𝑃 𝑋 = 0|𝑌 = 1 =
𝑃 𝑌 = 1|𝑋 = 0 𝑃[𝑋 = 0]
𝑃[𝑌 = 1]
 
=
𝑝𝑝0
1 − 𝑝 𝑝1 + 𝑝𝑝0
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
𝑝0, 𝑥 = 0
𝑝1, 𝑥 = 1
 
Um canal binário, simétrico e sem memória é utilizado para 
transmitir dados binários. Devido à presença de ruídos pode 
ocorrer erros de transmissão. Considerando o esquema abaixo, 
determine a probabilidade de se transmitir o bit 0 e se receber 
o bit 1, sendo p = 0,2 e P(X=0)=0,5. 
 
ATIVIDADE 
Trata-se de um processo estocástico ou processo aleatório. 
A análise do ruído em sistemas de comunicação é 
geralmente baseada na presença de ruído Gaussiano 
branco. 
Mais especificamente, considera-se sempre a presença de 
ruído Gaussiano branco aditivo (AWGN) presente no 
canal de comunicação. 
RUÍDO GAUSSIANO BRANCO 
Luz branca => todas as componentes de frequência estão 
presentes de maneira equivalente. 
 
A densidade espectral de potência do ruído branco 
independe da frequência. 
 
 𝑆 𝑓 = 𝑁0 2 
 
𝑁0
2 - é a densidade de potência 
 do ruído medida na entrada do 
 receptor. 
RUÍDO GAUSSIANO BRANCO 
𝑆 𝑓 
𝑓 
𝑁0
2 
Exemplo de um sinal com ruído Gaussiano branco. 
RUÍDO GAUSSIANO BRANCO 
Aulas/1_Introducao.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Introdução 
O PROCESSO DE COMUNICAÇÃO 
A comunicação está presente na vida cotidiana em 
tantas formas diferentes. 
O PROCESSO DE COMUNICAÇÃO 
Comunicação envolve transmissão de informação 
de um ponto a outro por uma sucessão de processos. 
 
 
 
 
 
 
O sinal mensagem enviado está sujeito a distorções, 
ruídos e interferências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sistema de 
Comunicação 
Sinal 
mensagem 
recebido 
O PROCESSO DE COMUNICAÇÃO 
O sistema de Comunicação envolve basicamente os 
seguintes processos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte de 
Informação 
Canal Receptor Transmissor 
Usuário da 
Informação 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Sinal 
mensagem 
recebido 
SISTEMA DE COMUNICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
A fonte de informação origina a mensagem a ser 
enviada. A mensagem pode ser de diferentes 
naturezas, como voz, música, imagem, dados. 
 
Fonte de 
Informação 
Canal Receptor Transmissor 
Usuário da 
Informação 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Sinal 
mensagem 
recebido 
SISTEMA DE COMUNICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
O transmissor adequa o sinal para que a 
transmissão ocorra de maneira eficiente. 
O transmissor consiste de subsistemas, tais como: 
conversão A/D – codificador – modulador. 
 
Fonte de 
Informação 
Canal Receptor Transmissor 
Usuário da 
Informação 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Sinal 
mensagem 
recebido 
SISTEMA DE COMUNICAÇÃO
O canal é o meio pelo qual o sinal trafega. Típicos 
canais são: um par de fios de cobre trançados 
(telefone e DSL), cabo coaxial (TV e internet), fibra 
ótica, link de rádio, ar, etc. 
 
Fonte de 
Informação 
Canal Receptor Transmissor 
Usuário da 
Informação 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Sinal 
mensagem 
recebido 
SISTEMA DE COMUNICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
O receptor reprocessa o sinal recebido do canal de 
modo a recuperar as alterações feitas pelo 
transmissor e remover as distorções e ruídos 
introduzidos pelo canal. 
Analogamente ao transmissor, o receptor também 
consiste de subsistemas, tais como: conversão D/A – 
decodificador – demodulador. 
 
Fonte de 
Informação 
Canal Receptor Transmissor 
Usuário da 
Informação 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Sinal 
mensagem 
recebido 
SISTEMA DE COMUNICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
O usuário da informação é o destino da mensagem 
objeto do sistema de comunicação. 
 
Fonte de 
Informação 
Canal Receptor Transmissor 
Usuário da 
Informação 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Sinal 
mensagem 
recebido 
BANDA BASE E BANDA PASSANTE 
A transmissão pode ocorrer de duas maneiras: 
 
- Banda base: quando o sinal é enviado sem que 
ocorra a adequação do espectro. Geralmente, em 
torno da frequência nula. 
- Geralmente ocorre em sistemas de comunicação 
cabeados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
BANDA BASE E BANDA PASSANTE 
- Banda passante: o sinal é modulado de maneira 
que o seu espectro esteja em torno de uma 
frequência conveniente para a transmissão. 
 
 
 
MODOS BÁSICOS DE TRANSMISSÃO 
 Broadcasting ou radiodifusão: o transmissor envia 
o sinal para vários receptores. 
 O fluxo da mensagem é unidirecional 
 O transmissor deve ser potente 
 Ex.: TV e rádio. 
 
 Ponto a ponto: um transmissor envia o sinal a um 
receptor. O fluxo pode ser bidirecional, neste caso é 
necessário que cada extremidade do link tenha um 
transmissor e um receptor. 
 Ex.: telefone, robô-Terra. 
PRINCIPAIS RECURSOS DE COMUNICAÇÃO 
 A potência média do sinal transmitido. 
 Largura de banda do canal: banda de frequências 
alocadas para transmissão do sinal de mensagem. 
 Os canais podem ser classificados como: 
 Limitados em potência. 
 Ex.: canal de satélite, link de comunicação espacial. 
 Limitados em banda. 
 Ex.: circuito telefônico (exemplificar as características do 
sinal de fala) 
ESPECTRO DE FREQUÊNCIAS 
MENSAGENS ANALÓGICAS E DIGITAIS 
As mensagens que serão transmitidas/recebidas 
podem ser analógicas ou digitais: 
 
- Analógicas: os dados são descritos no intervalo 
contínuo (reais), por exemplo, forma de onda da 
fala, imagem analógica, disco de vinil, fita cassete, 
VHS cassete, telefone fixo, etc. 
 
- Digitais: os dados são descritos de maneira 
discreta, por exemplo, email, foto digital, SMS, 
CD, DVD, celular, etc. 
MENSAGENS ANALÓGICAS E DIGITAIS 
Observamos que cada vez mais as tecnologias 
digitais estão substituindo os sistemas analógicos. 
 
 
 
POR QUE AS TECNOLOGIAS DIGITAIS 
PARECEM MELHORES? 
 
MENSAGENS ANALÓGICAS E DIGITAIS 
POR QUE AS TECNOLOGIAS DIGITAIS 
PARECEM MELHORES? 
 
A resposta passa por fatores econômicos e pela 
qualidade. 
 
 Economicamente falando, os sistemas digitais são 
mais baratos e versáteis, além de, atualmente, 
garantirem um consumo energético menor. 
 
 Em termos de qualidade, é mais fácil tratar ruídos 
e interferências de sinais digitais, pois sinais 
digitais pertencem a um alfabeto finito. 
 
ATIVIDADE 
Pesquisar as faixas de frequência utilizadas para as 
seguintes aplicações: 
 
- Rádio AM 
- Rádio FM 
- Telefonia celular 
- Televisão 
- GPS 
 
SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO 
O estudo dos sistemas de comunicação é desafiante e 
envolve fundamentos teóricos de diversas áreas 
relacionadas. 
- Sinais e sistemas: modulação e demodulação, 
convolução, transformada de Fourier, filtragem, 
correlação, amostragem, etc. 
- Estatística e probabilidade: variáveis aleatórias 
contínuas e discretas, teste de hipóteses, teoria da 
probabilidade. 
 
Aulas/2_Revisao.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Revisão de Sinais e Sistemas 
SISTEMA DE COMUNICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal mensagem 
recebido 
Sinal mensagem 
enviado 
Sistema de 
Comunicação 
Fonte de 
Informação 
Canal Receptor Transmissor 
Usuário da 
Informação 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Sinal 
mensagem 
recebido 
Sistema de Comunicação 
REVISÃO DE SINAIS 
Sinal: É uma função matemática (caso contínuo) ou 
uma sequência numérica (caso discreto) que 
transporta informação sobre algum fenômeno que 
pode ser de diversas naturezas: física, elétrica, 
mecânica, biológica, etc. 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
1) Contínuos x Discretos 
 
Sinais contínuos: 𝑥(𝑡) onde 𝑡 ∈ ℝ e 𝑥(𝑡) ∈ ℝ 
(eventualmente, 𝑥 (𝑡) ∈ ℂ). 
A informação evolui continuamente ao longo do 
tempo (ou do espaço). 
 
Exemplo: Tempo, velocidade, fala, etc. 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
1) Contínuos x Discretos 
 
Sinais discretos: 𝑥 𝑛 onde 𝑛 ∈ ℤ e 𝑥[𝑛] ∈ ℝ 
(eventualmente, 𝑥[𝑛] ∈ ℂ). 
A informação está disponível em determinados 
instantes de tempo (ou de espaço). 
 
Exemplo: número de carros produzidos. 
 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
2) Analógicos e Digitais 
 
Sinais analógicos: assumem qualquer valor real. 
 
Sinais digitais: 𝑥 𝑛 , onde 𝑛 ∈ ℤ e 𝑥[𝑛] ∈ ℤ. 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
Comparando: 
 
Contínuo Discreto Digital 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
3) Periódicos e Não - Periódicos 
 
Para sinais contínuos: 
 𝑥 𝑡 é periódico de período 𝑇, se e somente se, 𝑥 𝑡 =
𝑥 𝑡 + 𝑇 , ∀𝑡 ∈ ℝ. 
 
Exemplo: 
Seja o sinal: 
𝑥 𝑡 = A cos 2π𝑓𝑡 , com 𝑇 = 1/𝑓 
Então: 
𝑥 𝑡 + 𝑇 = A cos 2π𝑓(𝑡 + 𝑇) 
= 𝐴𝑐𝑜𝑠(2π𝑓𝑡 + 2π𝑓
1
𝑓
) 
= 𝐴𝑐𝑜𝑠 2π𝑓𝑡 + 2π 
= 𝑥(𝑡), com 𝑇 = 2π. 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
3) Periódicos e Não - Periódicos 
 
Para sinais discretos: 
 𝑥[𝑛] é periódico de período 𝑁, se e somente se, 𝑥 𝑛 =
𝑥 𝑛 + 𝑁 , ∀n ∈ ℤ. 
 
Exemplo: 
Seja o sinal: 
𝑥 𝑛 = A cos 𝑤𝑛 
 Então: 
𝑥[𝑛 + 𝑁] = A cos 𝑤(𝑛 + 𝑁) 
= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑛 + 𝑤𝑁 
Para que 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑁 ⇒ 𝑤𝑁 = 𝑘2𝜋, com 𝑘 ∈ ℤ e 𝑁 ∈ ℤ. 
Ou seja, o cosseno discreto nem sempre é periódico. 
 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
4) Energia e Potência 
 
Energia: Sinais de energia tem potência nula e 
energia limitada. 
 
0 < 𝐸 < ∞
𝑃 → 0
 
 
Para sinais contínuos: 
𝐸 = 𝑥2 𝑡 𝑑𝑡
∞
−∞
 
Para sinais discretos: 
𝐸 = 𝑥2[𝑛]
∞
𝑛=−∞
 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
4) Energia e Potência 
 
Potência: Sinais de energia ilimitada e potência 
limitada. 
 
𝐸 → ∞
0 < 𝑃 < ∞
 
 
Para sinais contínuos: 
𝑃 = lim
𝑇→∞
1
2𝑇
 𝑥2 𝑡 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
 
Para sinais discretos: 
𝑃 = lim
𝑁→∞
1
2𝑁 + 1
 𝑥2[𝑛]
𝑁/2
𝑛=−𝑁/2
 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS 
5) Determinísticos e Aleatórios 
 
Sinais determinísticos: não carregam informação (ou 
carregam uma informação pobre), pois não existe 
incertezas relacionadas a eles. 
 
Sinais aleatórios: são modelados por expressões 
estatísticas e carregam com si uma incerteza sobre o 
comportamento de determinado fenômeno. Esta incerteza 
está associada a quantidade de informação que o sinal 
porta. 
 
𝐼 ∝
1
𝑝
 →A teoria de Shannon define que a quantidade de 
informação que um sinal carrega é inversamente 
proporcional a incerteza associada a sua ocorrência. 
SINAIS IMPORTANTES 
1) Impulso unitário 
𝛿 𝑡 = 0, 𝑡 ≠ 0 
 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
∞
−∞
 
IDEAL REAL 
SINAIS IMPORTANTES 
2) Função degrau 
 
u 𝑡 = 
1, 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0
 
 
 
Permite tornar uma função causal, por exemplo: 
 
ATIVIDADES 
1) Plotar um cosseno discreto periódico e um não 
periódico.
Indicar todos os parâmetros adotados. 
 
 
2) Esboce os sinais, calcule a energia e a potência e 
classifique-os. 
a) 𝑥 𝑡 = 
𝐴, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇0
0, 𝑐𝑐
 
b) 𝑥 𝑡 = 2𝑒−𝑡/2 
c) 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤0𝑡 
 
Sinal mensagem 
recebido 
SISTEMA DE COMUNICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte de 
Informação 
Canal Receptor Transmissor 
Usuário da 
Informação 
Sinal 
mensagem 
enviado 
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Sinal 
mensagem 
recebido 
Sinal mensagem 
enviado 
Sistema de 
Comunicação 
Sistema de Comunicação 
REVISÃO DE SISTEMAS 
Sistemas: É uma entidade que processa e 
transforma um ou mais sinais ditos de entrada, de 
acordo com uma regra, gerando um ou mais sinais, 
ditos de saída. 
Do ponto de vista formal, é um operador que 
transforma uma função 𝑥(𝑡) ou uma sequência 𝑥[𝑛] 
em uma função y(𝑡) ou sequência 𝑦 𝑛 . 
 
REVISÃO DE SISTEMAS 
Esquematicamente, podemos representar um 
sistema contínuo como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com N e M não necessariamente iguais. 
Sistema contínuo 
𝑥1(𝑡) 
𝑥2(𝑡) 
𝑥3(𝑡) 
𝑥𝑁(𝑡) 
𝑦1(𝑡) 
𝑦2(𝑡) 
𝑦3(𝑡) 
𝑦𝑀(𝑡) 
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 
1) Linear e Não Linear 
 
Linear: Um sistema é linear se e somente se a sua 
resposta a uma combinação linear de entradas é a 
combinação linear das respectivas saídas, ou seja, se 
 
 
 
Então o sistema é linear se e somente se 
 
 
𝑥1 𝑡 → 𝑦1 𝑡 e 𝑥2 𝑡 → 𝑦2 𝑡 
 
 
𝑎1𝑥1 𝑡 + 𝑎2𝑥2 𝑡 → 𝑎1𝑦1 𝑡 + 𝑎2𝑦2 𝑡 
𝑥1[𝑛] → 𝑦1[𝑛] e 𝑥2[𝑛] → 𝑦2[𝑛] 
 
 
𝑎1𝑥1[𝑛] + 𝑎2𝑥2[𝑛] → 𝑎1𝑦1[𝑛] + 𝑎2𝑦2[𝑛] 
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 
2) Invariante e Variante no Tempo 
 
Invariante no tempo: Um sistema é invariante no 
tempo se e somente se suas características não 
variam com o tempo. 
 
 
Seja a entrada 𝑥 𝑡 que produz a saída 𝑦 𝑡 , então o 
sistema é invariante no tempo se e somente se 
𝑥 𝑡 − 𝑡0 produz a saída y 𝑡 − 𝑡0 . 
 
Ou, no caso discreto: 
 𝑥 𝑛 → 𝑦 𝑛 ↔ 𝑥[𝑛 − 𝑛𝑜] → 𝑦 𝑛 − 𝑛𝑜 
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 
3) Monovariáveis ou multivariáveis 
 
a) SISO – single input, single output – N=M=1 
b) SIMO – single input, multiple output – N=1, M>1 
c) MISO – multiple input, single output – N>1, M=1 
d) MIMO – multiple input, multiple output – N>1,M>1 
 
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 
4) Com ou sem memória 
 
Com memória: a saída em um dado instante de 
tempo depende da entrada em tempos anteriores. 
 
Sem memória: a saída em um dado instante de 
tempo depende somente da entrada naquele 
instante. 
 
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 
5) Causal e Não Causal 
 
Causal: a saída em um dado instante de tempo pode 
depender da entrada em tempos anteriores e da 
entrada atual. 
 
Não Causal: a saída em um dado instante de tempo 
depende de entradas futuras. 
 
Aulas/3_Revisao_FFT.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Revisão de Sinais e Sistemas 
ORTOGONALIDADE 
Os conceitos estudados em vetores podem ser 
empregados para tratar com os sinais, pois sinais 
podem ser vistos como vetores. 
 
Todo vetor pode ser caracterizado por direção, 
sentido e intensidade. 
 
Considere dois vetores 𝑔 e 𝑥 . 
A componente de 𝑔 projetada em 𝑥 é c𝑥 . Podemos 
escrever: 𝑔 = 𝑐𝑥 + 𝑒 
ORTOGONALIDADE 
Outras projeções de 𝑔 em 𝑥 seriam possíveis, por 
exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Entretanto, é possível demonstrar que ocorre erro 
mínimo quando se emprega a projeção ortogonal. 
ORTOGONALIDADE 
Quando dois vetores são ortogonais, o produto 
interno (escalar) é nulo: 
𝑔 . 𝑥 = 0 
Na nomenclatura de sinais, podemos escrever que: 
 
 𝑔(𝑡). 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 
A ortogonalidade de sinais é muito explorada em 
projetos de sistemas de telecomunicação. 
Pois, quando os sinais a serem transmitidos são 
ortogonais, eles podem compartilhar recursos sem 
que haja interferência de um no outro. 
ORTOGONALIDADE: EXEMPLO 
Por exemplo, podemos ilustrar as técnicas em 
sistemas de múltiplo acesso: 
 
- FDMA – (Frequency Division Multiple Access) 
- TDMA – (Time Division Multiple Access) 
- CDMA – (Code Division Multiple Access) 
- OFDMA – (Orhogonal Frequency Division Multiple 
Access) 
 
 
 
 
Figura retirada em dez/2020 de: 
http://telcoaaminto.blogspot.com/2015/02/radio-interface-techniques-in-3gpp.html 
EXEMPLO 
As técnicas CDMA e OFDMA exploram a 
ortogonalidade para melhorar a capacidade de 
transmissão do sistema. 
 
Vamos compreender melhor a técnica de 
transmissão CDMA. 
EXEMPLO - CDMA 
Sejam os sinais a serem transmitidos 𝑓1(𝑡) e 𝑓2(𝑡), 
eles podem ser codificados por duas chaves 
ortogonais entre si: 𝑠1(𝑡) e 𝑠2(𝑡), com 
 𝑠1(𝑡)𝑠2(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 
 
Então os sinais a serem enviados, são multiplicados 
pelas chaves, de modo que a codificação deles 
permite que compartilhem recursos (tempo e 
frequência). 
 
 
 
 
𝑓1(𝑡). 𝑠1(𝑡) = 𝑔1(𝑡)
𝑓2(𝑡). 𝑠2(𝑡) = 𝑔2(𝑡)
 
EXEMPLO - CDMA 
- Sinais a serem enviados 𝑓1 𝑡 e 𝑓2(𝑡): 
- Usando uma base ortogonal, com 𝑠1(𝑡) e 𝑠2 𝑡 : 
 
- Temos: 
- 
𝑓1(𝑡). 𝑠1(𝑡) = 𝑔1(𝑡)
𝑓2(𝑡). 𝑠2(𝑡) = 𝑔2(𝑡)
 
 
 
 
 
 
- Para recuperar o sinal, fazemos: 
- 𝑔1 𝑡 + 𝑔2 𝑡 . 𝑠1 𝑡 𝑑𝑡 
- = [𝑔1 𝑡 . 𝑠1 𝑡 + 𝑔2 𝑡 . 𝑠1 𝑡 ]𝑑𝑡 
- = 𝑓1(𝑡). 𝑠1(𝑡). 𝑠1 𝑡 𝑑𝑡+ 𝑓2(𝑡). 𝑠2(𝑡). 𝑠1(𝑡) 𝑑𝑡 
- = 𝑓1 𝑡 . 𝑠1 𝑡
2𝑑𝑡 → 𝑓1(𝑡) 
 
Analogamente, conseguimos também recuperar 𝑓2 𝑡 
𝑔1 𝑡 + 𝑔2(𝑡) 
𝑠1(𝑡) 
𝑠2(𝑡) 
𝑔1(𝑡) 
𝑔2(𝑡) 
ORTOGONALIDADE 
Um sinal 𝑥(𝑡) pode ser representado em uma base 
ortogonal y 𝜈, 𝑡 . Sendo que cada 𝜈 é um elemento 
diferente e ortogonal a todos os outros elementos da 
base. 
𝑥(𝜈2) 
𝑥(𝜈1) 𝑦(𝜈1, 𝑡) 
𝑦(𝜈2, 𝑡) 
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝜈 . 𝑦(𝜈, 𝑡)
∞
−∞
𝑑𝑡 
 
com 𝑥 𝜈 =
𝑥 𝜈
||𝑥 𝜈 ||
 
𝑥(𝑡) 
ORTOGONALIDADE 
Existem diversas bases ortogonais que podem ser 
escolhidas. 
1) Base ortogonal: Função impulso. 
 
𝑦 𝜈, 𝑡 → 𝛿(𝑡 − 𝜈) ou 𝛿(𝑡 − 𝜏) 
 
De modo que: 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝜏
∞
−∞
𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 
 
2) Base ortogonal: Exponencial complexa. 
 
𝑦 𝜈, 𝑡 → 𝑒𝑗𝜈𝑡 ou 𝑒𝑗𝜔𝑡 
 
De modo que: 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝜔
∞
−∞
𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 
 
 
TRANSFORMADA DE FOURIER 
Definição: 
 
Equação de síntese: 
𝑥 𝑡 = 
1
2𝜋
 𝑋 𝜔
∞
−∞
𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 
 
Equação de análise: 
𝑋 𝜔 = 𝑥 𝑡
∞
−∞
𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 
 
TRANSFORMADA DE FOURIER – PROPRIEDADES 
Seja: ℱ 𝑥 𝑡 = 𝑋 𝜔 , as constantes 𝑎, 𝑎1 e 𝑎2. 
 
1) Linearidade: 
𝑎1𝑥1 𝑡 + 𝑎2𝑥2 𝑡 ⇔ 𝑎1𝑋1 𝜔 + 𝑎2𝑋2 𝜔 
 
2) Escalonamento: 
ℱ 𝑥 𝑎𝑡 =
1
|𝑎|
𝑋
𝜔
𝑎
 
 
3) Deslocamento no tempo: 
ℱ 𝑥 𝑡 − 𝑡0 = |𝑋 𝜔 |𝑒
−𝑗𝜔𝑡0 
 
4) Deslocamento na frequência ou Princípio da 
Modulação: 
ℱ 𝑥 𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 = 𝑋 𝜔 − 𝜔0 
TRANSFORMADA DE FOURIER – PROPRIEDADES 
5) Teorema da Modulação 
ℱ 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 =
1
2𝜋
𝑋1 𝜔 ∗ 𝑋2 𝜔
= 𝑋1 𝜏
∞
−∞
𝑋2 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 
Integral de convolução 
 
6) Teorema da Convolução 
ℱ 𝑥1 𝑡 ∗ 𝑥2 𝑡 = 𝑥1 𝜏
∞
−∞
𝑥2 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑋1 𝜔 𝑋2 𝜔 
 
7) Teorema de Parseval 
 |𝑥 𝑡 |2𝑑𝑡 =
∞
−∞
 |𝑋 𝜔 |2𝑑𝜔
∞
−∞
 
 
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS 
Para calcular a TF de sinais periódicos, podemos 
expressar o sinal em termos da sua série de Fourier. 
 
Seja 𝑥𝑝 𝑡 um período de 𝑥 𝑡 , 
 
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑐𝑛𝑒
𝑗𝜔0𝑛𝑡
∞
𝑛=−∞
 
Com 𝑐𝑛 =
1
𝑇0
 𝑥𝑝(𝑡)𝑒
−𝑗𝜔0𝑛𝑡𝑑𝑡
𝑇𝑝
2 
−𝑇𝑝
2 
, 𝜔0 =
2𝜋
𝑇0
 
Então, no limite 𝑇0 → ∞ definimos a transformada de 
Fourier de um sinal periódico como: 
𝑋 𝜔 = 2𝜋𝑐𝑛𝛿(𝜔 − 𝜔0)
∞
𝑛=−∞
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 
1) Considerando as propriedades de TF, demonstre que: 
 
1
2
𝑋 𝜔 − 𝜔0 +
1
2
𝑋 𝜔 + 𝜔0 = ℱ 𝑥 𝑡 cos (𝜔0𝑡) 
 
2) Expanda em série de Fourier e calcule a transformada 
de Fourier dos seguintes sinais periódicos: 
a) 𝑥 𝑡 = cos 𝜔0𝑡 
b) 𝑥 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡) 
c) 𝑥 𝑡 = cos (2𝜔0𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA LINEAR INVARIANTE NO TEMPO
(SLIT) 
 
Linear: 
𝑎1𝑥1 𝑡 + 𝑎2𝑥2 𝑡 → 𝑎1𝑋1 𝜔 + 𝑎2𝑋2 𝜔 
 
 
 
Invariante no tempo: 
𝑥 𝑡 → ℱ{𝑥 𝑡 } 
𝑥 𝑡 − 𝑡0 → ℱ{𝑥 𝑡 − 𝑡0 } 
 
 
 
 
PROPRIEDADE DE CONVOLUÇÃO 
Sistema Linear Invariante no Tempo (SLIT) 
 
 
 
 
 
 
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = 𝑥 𝜏
∞
−∞
ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 
𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 𝐻 𝜔 
Sendo: 
ℎ 𝑡 → a resposta ao impulso do sistema 
𝐻 𝜔 → a resposta em frequência do sistema 
 
 
 
 
 
ℎ 𝑡 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 
FILTROS 
 
 
 
A resposta ao impulso ℎ 𝑡 do sistema pode ser do tipo: 
ℎ 𝑡 = 𝑘𝛿(𝑡 − 𝑡0) 
 
Então, a resposta em frequência correspondente é: 
𝐻 𝜔 = 𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑡0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℎ 𝑡 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 
ℎ 𝑡 
𝑡 𝑡0 
𝑘 
𝐻 𝜔 
𝜔 
𝑘 
∠𝐻 𝜔 
𝜔 
−𝜔𝑡0 
FILTROS 
Filtro passa-baixas ideal: 
 
 
 
 
 
Filtro passa-baixas real: 
 
 
 
 
 
 
𝜔𝑐 =
1
𝑅𝐶
 
FILTROS IDEAIS – RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
Filtro passa-altas: Filtro rejeita faixas: 
 
 
 
 
 
Filtro passa-faixas: 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: FILTRO PASSA-BAIXAS 
Considere o sinal M 𝜔 que deve ser filtrado pelo filtro 
passa baixas, com frequência de corte 𝜔𝑐, sendo 𝜔𝑐 < 𝜔1 
 
 
 
 
 
O resultado da filtragem é : 𝑆 𝜔 = 𝑀 𝜔 𝐻 𝜔 
 
 
 
 
 
 
M 𝜔 
𝜔1 
1 
𝜔 −𝜔1 𝜔𝑐 −𝜔𝑐 
𝑆 𝜔 
𝜔1 
1 
𝜔 −𝜔1 𝜔𝑐 −𝜔𝑐 
Aulas/4_ModulacaoAnalogica_Introducao_AM.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Introdução: Modulação Analógica 
MODULAÇÃO 
Modular um sinal é fazer com que a informação que 
desejamos transmitir esteja contida na variação de 
um ou mais parâmetros de uma onda portadora. 
 
Nesta disciplina veremos os fundamentos de 
técnicas de modulação tanto analógicas como 
digitais. 
MODULAÇÃO ANALÓGICA 
Na modulação analógica, geralmente se emprega uma onda 
senoidal como portadora. Isto porque a senoide causa um 
deslocamento simples do sinal no espectro. 
 
Uma portadora senoidal é do tipo: 
 
𝑐 𝑡 = 𝑨𝒄cos⁡(2𝜋𝒇𝒄𝑡 + 𝜽𝒄) 
ou 
𝑐 𝑡 = 𝑨𝒄cos⁡(𝝎𝒄𝑡 + 𝜽𝒄) 
 
 
A variação dos parâmetros da portadora, permite incluir a 
informação a ser transmitida: 
 
𝑨𝒄 - modulação em amplitude (AM) 
𝒇𝒄 ou 𝝎𝒄 - modulação em frequência (FM) 
𝜽𝒄 - modulação em fase (PM) 
 
VANTAGENS DA MODULAÇÃO 
A modulação permite: 
 Adaptar o sinal ao canal 
 Realizar multiplexagem (transmitir mais sinais ao 
mesmo tempo) 
 Aumentar o alcance 
 Reduzir custos dos dispositivos de transmissão 
 
MODULAÇÃO EM AMPLITUDE (AM) 
A informação a ser enviada é inserida na amplitude 
da portadora. 
 
𝑐 𝑡 = 𝑨𝒄cos⁡(𝜔𝑐𝑡 + 𝜃𝑐) 
 
 Mensagem (sinal modulante): 𝑚 𝑡 
 Portadora: 𝑐 𝑡 
 Sinal modulado:𝑠 𝑡 = 𝑚 𝑡 . 𝑐(𝑡) 
 
s 𝑡 
𝑐 𝑡 
m 𝑡 
MODULAÇÃO EM AMPLITUDE (AM) 
 
Então: 𝑠 𝑡 = 𝑚 𝑡 . 𝑐 𝑡 
𝑠 𝑡 = 𝑚 𝑡 . 𝐴𝑐cos⁡(𝜔𝑐𝑡) 
 
Desta forma, o espectro de frequências do sinal 
modulado pode ser encontrado calculando a 
Transformada de Fourier: 
 
ℱ 𝑠 𝑡 = 𝑆 𝜔 =
𝐴𝑐
2𝜋
𝑀 𝜔 ∗ 𝐶(𝜔) 
 
s 𝑡 
𝑐 𝑡 
m 𝑡 
MODULAÇÃO EM AMPLITUDE (AM) 
ℱ 𝑠 𝑡 = 𝑆 𝜔 =
1
2𝜋
𝑀 𝜔 ∗ 𝐶(𝜔) 
 
𝑆 𝜔 =
1
2𝜋
𝑀 𝜔 ∗ 𝐴𝑐𝜋[𝛿 𝜔 − 𝜔0 + 𝛿 𝜔 + 𝜔0 ] 
 
𝑆 𝜔 =
𝐴𝑐
2
𝑀 𝜔 ∗⁡[𝛿 𝜔 − 𝜔0 + 𝛿 𝜔 + 𝜔0 ] 
 
𝑆 𝜔 =
𝐴𝑐
2
⁡[𝑀 𝜔 − 𝜔0 +𝑀 𝜔 + 𝜔0 ] 
 
Graficamente, temos: 
 
 
AM: DSB-SC 
 
 
AM: DSB-SC 
USB – Banda lateral superior 
LSB – Banda lateral inferior 
MODULAÇÃO 
A modulação analógica pode ser obtida de várias 
maneiras. 
 
A técnica que vimos anteriormente, consiste na 
multiplicação entre o sinal de entrada e a portadora. 
Entretanto, antigamente, era um desafio projetar 
circuitos que realizassem a multiplicação de dois 
sinais. 
 
 
 
 
Uma alternativa a multiplicação era empregar 
moduladores não lineares. 
s 𝑡 
𝑐 𝑡 
m 𝑡 
MODULADOR NÃO LINEAR 
A modulação analógica também pode ser obtida 
utilizando um modulador não linear. 
 
 
 
 
 
Consideremos que: 
𝑦1 𝑡 = 𝑎𝑥1 𝑡 + 𝑏𝑥1
2(𝑡) 
𝑦2 𝑡 = 𝑎𝑥2 𝑡 + 𝑏𝑥2
2(𝑡) 
E 
𝑧 𝑡 = 𝑦1 𝑡 − 𝑦2 𝑡
= 𝑎𝑥1 𝑡 + 𝑏𝑥1
2 𝑡 − 𝑎𝑥2 𝑡 + 𝑏𝑥2
2(𝑡) 
 
 
 
MODULADOR NÃO LINEAR 
𝑧 𝑡 = 𝑦1 𝑡 − 𝑦2 𝑡 = 𝑎𝑥1 𝑡 + 𝑏𝑥1
2 𝑡 − [𝑎𝑥2 𝑡 + 𝑏𝑥2
2 𝑡 ] 
Substituindo na equação 
𝑥1 𝑡 = cos 𝜔𝑐𝑡 + 𝑚(𝑡) e 𝑥2 𝑡 = cos 𝜔𝑐𝑡 − 𝑚(𝑡) 
 
Temos: 
𝑧 𝑡 = 𝑎 cos 𝜔𝑐𝑡 + 𝑚 𝑡 + 𝑏 cos 𝜔𝑐𝑡 + 𝑚 𝑡
2
− 𝑎 [cos 𝜔𝑐𝑡 − 𝑚(𝑡)] − 𝑏(cos 𝜔𝑐𝑡 − 𝑚(𝑡))
2 
 
𝑧 𝑡 = 2𝑎.𝑚 𝑡 + 4𝑏.𝑚(𝑡) cos 𝜔𝑐𝑡 
 
Após a filtragem pelo filtro passa faixas, o sinal a ser 
enviado será: 
𝑧 𝑡 = 4𝑏.𝑚(𝑡) cos 𝜔𝑐𝑡 
 
 
ATIVIDADE 
Considere o sinal de mensagem 𝑚 𝑡 = 20cos⁡(2𝜋𝑡) 
 
e a onda portadora c 𝑡 = 50cos⁡(100𝜋𝑡) 
 
Esboce (em escala) a onda AM resultante. 
EXEMPLO 1 
Considere o sinal de mensagem 𝑚 𝑡 = 10cos⁡(4𝜋𝑡) 
 
e a onda portadora c 𝑡 = 20cos⁡(200𝜋𝑡) 
 
Esboce (em escala) a onda AM resultante. 
 
 
 
EXEMPLO 1 
RESOLUÇÃO: 
 
𝑠 𝑡 = 𝑚 𝑡 𝑐 𝑡 = 10 cos 4𝜋𝑡 . 20cos⁡(200𝜋𝑡) 
 
𝑆 𝜔 =
1
2𝜋
𝑀 𝜔 ∗ 𝐶 𝜔 
=
200
2𝜋
𝜋 𝛿 𝜔 − 4𝜋 + 𝛿 𝜔 + 4𝜋 ∗ 𝜋[𝛿 𝜔 − 200𝜋
+ 𝛿 𝜔 + 200𝜋 ] 
= 100𝜋[𝛿 𝜔 − 196𝜋 + 𝛿 𝜔 − 204𝜋 + 𝛿 𝜔 + 196𝜋
+ 𝛿 𝜔 + 204𝜋 ] 
 
EXEMPLO 1 
Impulsos em -98 Hz, -102 Hz 
e +98Hz e +102 Hz 
EXEMPLO 2 
Você precisa modelar um modulador AM-DSB-SC que gere um sinal do 
tipo s 𝑡 = 𝑘𝑚(𝑡)𝑐𝑜𝑠⁡(𝜔𝑐𝑡), onde 𝑚(𝑡) é um sinal limitado em banda 
(banda de B Hz), conforme mostra a figura. No almoxarifado há 
disponível o modulador especificado abaixo, no qual a portadora gerada 
é 𝑐𝑜𝑠3(𝜔𝑐𝑡), ao invés de 𝑐𝑜 𝑠 𝜔𝑐𝑡 . Explique como deve ser feito para o 
geral modulado desejado ser gerado. Você pode empregar qualquer tipo 
de filtro. 
a) Determine o espectro do sinal nos pontos b e c, indicando as bandas 
ocupadas. 
b) Qual é o menor valor que 𝜔𝑐 pode assumir? 
c) Qual tipo de filtro é necessário? 
d) A solução encontrada funcionaria se a portadora fosse 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑐𝑡)? 
 
 
EXEMPLO 2 
RESOLUÇÃO: 
 
O sinal obtido em b) é: 
𝑠 𝑡 = 𝑚 𝑡 𝑐𝑜𝑠3 𝜔𝑐𝑡 = 𝑚 𝑡
1
4
cos⁡(3𝜔𝑐𝑡) +
3
4
cos⁡(𝜔𝑐𝑡) 
 
Lembrando que: 
 
cos 3𝑥 = cos 2𝑥 + 𝑥 = cos 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
= 𝑐𝑜𝑠𝑥⁡𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥⁡𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 
= 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
= 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
= 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 3(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 
= 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠3𝑥 
cos 3𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 =
1
4
cos 3𝑥 +
3
4
𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
 
EXEMPLO 2 
a) Determine o espectro do sinal nos pontos b e c, indicando as bandas 
ocupadas. 
b) Qual é o menor valor que 𝜔𝑐 pode assumir? 
 
 
 
EXEMPLO 2 
 
 
 
EXEMPLO 2 
c) Qual tipo de filtro é necessário? 
 Passa faixas centralizado em ±𝝎𝒄 
d) A solução encontrada funcionaria se a portadora fosse 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑐𝑡)? 
 Não pois, a expansão de 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝎𝒄𝒕 =
𝟏
𝟐
+ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝎𝒄𝒕 , de 
modo que teremos a mensagem em banda base e a mensagem 
modulada em torno de ±𝟐𝝎𝒄. 
 
𝑠 𝑡 = 𝑚 𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑐𝑡 = 𝑚 𝑡
1
2
+
1
2
cos⁡(2𝜔𝑐𝑡) 
 
 
 
Aulas/5_ModulacaoAnalogica_AM_Detector de envoltoria.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Modulação Analógica: AM – 
Detector de envoltória 
MODULAÇÃO DSB-SC 
A modulação DSB-SC exige um receptor coerente 
(síncrono). 
 
Uma alternativa ao uso de um demodulador 
coerente é transmitir a portadora juntamente com a 
mensagem modulada. 
Esta abordagem torna mais simples e barato o 
circuito transmissor e receptor, em contrapartida, 
exige maior potência na transmissão. 
Em transmissões broadcast, torna-se uma 
abordagem interessante, devido à economia e 
simplicidade do circuito dos vários receptores. 
MODULAÇÃO AM 
Na modulação AM, o sinal a ser transmitido é: 
 
𝑠 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑐𝑡 + 𝑚(𝑡) cos
𝜔𝑐𝑡 
= (𝐴 +𝑚(𝑡)) cos 𝜔𝑐𝑡 
 
 
 
 
 
MODULAÇÃO AM 
Se compararmos a expressão da modulação AM com 
a DSB-SC: 
 
𝑠𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 +𝑚 𝑡 cos 𝜔𝑐𝑡 
 
𝑆𝐷𝑆𝐵−𝑠𝑐 𝑡 = 𝐴𝑐𝑚 𝑡 . cos⁡(𝜔𝑐𝑡) 
 
Vemos que a diferença está no termo que modula a 
amplitude da portadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 
Calcular a transformada de Fourier do sinal 
modulado em AM e esboçar no domínio do tempo e 
da frequência. 
 
 
 
 
 
MODULAÇÃO AM 
Para esboçar a onda modulada em AM, se 
garantirmos que 𝐴 +𝑚 𝑡 > 0 , basta espelhar em 
torno da abscissa e completar com a portadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODULAÇÃO AM 
Se⁡𝐴 + 𝑚 𝑡 < 0, a onda será retificada e o envelope 
não corresponde a mensagem. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: MODULAÇÃO AM 
Suponha que a mensagem 𝑚 𝑡 é limitada em banda 
no intervalo −𝑊 ≤ 𝑓 ≤ 𝑊 . O espectro deste sinal 
modulado em AM. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: MODULAÇÃO AM DE UM TOM 
Considere a onda modulante 𝑚 𝑡 = 𝐴𝑚cos⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
que consiste em um tom. Considere ainda que a 
portadora é: c 𝑡 = 𝐴𝑐cos⁡(2𝜋𝑓𝑐𝑡). 
a) Determine a onda modulada em AM. 
 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 𝐴𝑚cos⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
𝑠 𝑡 = [1 + 𝐴𝑚 cos 2𝜋𝑓𝑚𝑡 ]𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 
 
 
 
EXEMPLO: MODULAÇÃO AM DE UM TOM 
b) Determine o espectro da onda modulada 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 𝐴𝑚cos⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
= 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 +
1
2
𝐴𝑐𝐴𝑚{cos 2𝜋(𝑓𝑐+𝑓𝑚)𝑡 + cos⁡(2𝜋(𝑓𝑐 − 𝑓𝑚)𝑡)} 
 
 
 
 
𝑆 𝜔 =
1
2
𝐴𝑐[𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 ] +
1
4
𝐴𝑐𝐴𝑚[𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚
+ 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 ] +
1
4
𝐴𝑐𝐴𝑚[𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 ] 
Lembrando que: 
cos 𝑎 + 𝑏 + cos 𝑎 − 𝑏
= 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑠𝑒𝑛𝑏 + 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑠𝑒𝑛𝑏
= 2𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 
EXEMPLO: MODULAÇÃO AM DE UM TOM 
 
 
 
CIRCUITO DE RECEPÇÃO: DETECTOR DE ENVOLTÓRIA 
 
 
𝑅𝐶 ≫
1
𝜔𝑐
 
Aulas/6_ModulacaoAnalogica_SSB.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Modulação Analógica em 
Amplitude: SSB-SC 
 
MODULAÇÃO SSB-SC 
Em ambas as modulações vistas até o momento (AM 
e DSB-SC), o espectro é duplicado, enviando 
informação redundante e exigindo uma banda de 
transmissão que seja, pelo menos, o dobro da banda 
ocupada pelo sinal modulante. 
 
 
SSB-SC 
Uma opção que permite economizar em banda de 
transmissão e em potência é a modulação em 
amplitude de banda lateral única com portadora 
suprimida (SSB-SC). 
 
Para compreender como a modulação SSB-SC funciona, vamos 
iniciar considerando um caso particular chamado de modulação 
tonal. 
 
 Mensagem (sinal modulante): 𝑚 𝑡 = 𝐴𝑚cos⁡(𝜔𝑚𝑡) 
 Portadora: 𝑐 𝑡 = 𝐴𝑐cos⁡(𝜔𝑐𝑡) 
Com 𝜔𝑐 ≥ 𝜔𝑚 
 
Então, como já vimos, o sinal modulado em DSB-SC é: 
𝑠 𝑡 = 𝑚 𝑡 . 𝑐 𝑡 
= 𝐴𝑚 cos 𝜔𝑚𝑡 . 𝐴𝑐cos⁡(𝜔𝑐𝑡) 
=
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐 cos 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 𝑡 +
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐cos⁡[ 𝜔𝑐 −𝜔𝑚 𝑡] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSB-SC: SINAL TONAL 
Lembrando que: 
𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 = 2 cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 
Então o sinal tonal modulado: 
 
𝑠(𝑡) =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐 cos 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 𝑡 +
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐cos⁡[ 𝜔𝑐 − 𝜔𝑚 𝑡] 
 
Calculando a Transformada de Fourier: 
 
ℱ 𝑠 𝑡 = 𝑆 𝜔
=
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐𝜋[𝛿 𝜔 − 𝜔𝑐 − 𝜔𝑚 + 𝛿 𝜔 + 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 ]
+
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐𝜋[𝛿 𝜔 − 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 + 𝛿 𝜔 + 𝜔𝑐 − 𝜔𝑚 ] 
 
 
SSB-SC: SINAL TONAL 
𝑆 𝜔 =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐𝜋[𝛿 𝜔 − 𝜔𝑐 − 𝜔𝑚 + 𝛿 𝜔 + 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 ]
+
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐𝜋[𝛿 𝜔 − 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 + 𝛿 𝜔 + 𝜔𝑐 − 𝜔𝑚 ] 
 Graficamente: 
 
 
SSB-SC: SINAL TONAL 
Assim, a modulação tonal gera os seguintes sinais modulados em SSB-SC: 
 
Banda Lateral Superior (USB): 
𝑠𝑈𝑆𝐵(𝑡) =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐 cos 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 𝑡 
𝑆𝑈𝑆𝐵 𝜔 =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐𝜋[𝛿 𝜔 − 𝜔𝑐 − 𝜔𝑚 + 𝛿 𝜔 + 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 ] 
 
Banda Lateral Inferior (LSB): 
𝑠𝐿𝑆𝐵(𝑡) =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐cos⁡[ 𝜔𝑐 − 𝜔𝑚 𝑡] 
𝑆𝐿𝑆𝐵 𝜔 =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐𝜋[𝛿 𝜔 − 𝜔𝑐 + 𝜔𝑚 + 𝛿 𝜔 + 𝜔𝑐 − 𝜔𝑚 ] 
 
Genéricamente: 
𝑠(𝑡) =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐[𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 𝑐𝑜𝑠⁡(𝜔𝑚𝑡) ∓ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 𝑠𝑒𝑛⁡(𝜔𝑚𝑡)] 
SSB-SC: SINAL TONAL 
ATIVIDADE 
Partindo da expressão: 
𝑠(𝑡) =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐 +𝜔𝑚 𝑡 +
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠⁡[ 𝜔𝑐 −𝜔𝑚 𝑡] 
 
Encontrar a expressão genérica da modulação tonal SSB-SC: 
𝑠(𝑡) =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐[𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 𝑐𝑜𝑠⁡(𝜔𝑚𝑡) ± 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 𝑠𝑒𝑛⁡(𝜔𝑚𝑡)] 
 
 
 
 
 
 
A expressão genérica permite verificar que a modulação 
SSB-SC consiste em duas etapas de modulação DSB-SC, 
sendo: 
 
𝑠𝑆𝑆𝐵 𝑡 =
1
2
𝐴𝑚𝐴𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑚𝑡 cos 𝜔𝑐𝑡 ∓ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑚𝑡 sen 𝜔𝑐𝑡 
 
 
 
 
Agora, para um sinal qualquer, o sinal modulado em 
SSB-SC, é do tipo: 
𝑠𝑆𝑆𝐵 𝑡 = 𝐴𝑐 𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 ∓ 𝑚 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 
 
SSB-SC 
DSB-SC em fase 
Modulante e 
portadora em fase 
DSB-SC em 
quadratura 
Modulante e 
portadora em 
quadratura 
Mas como determinar a quadratura 𝑚 (𝑡) de um sinal 
𝑚(𝑡) qualquer? 
𝑠𝑆𝑆𝐵 𝑡 = 𝐴𝑐 𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 ∓ 𝑚 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 
 
 
 
Onde: 
ℎ 𝑡 =
1
𝜋𝑡
 e 𝐻 𝜔 = −𝑗⁡𝑠𝑔𝑛 
−𝑗 = 1. 𝑒−𝑗
𝜋
2 , 𝜔 > 0
𝑗 = 1. 𝑒𝑗
𝜋
2 , 𝜔 < 0
 
 
TRANSFORMADA DE HILBERT 
ℎ(t) 𝑚 𝑡 𝑚 𝑡 
|𝐻 𝜔 | 
𝜔 
1 
∠𝐻(𝜔) 
𝜔 
𝜋
2
 
−𝜋
2
 
 
Há duas formas de realizar a transmissão do sinal 
modulado: 
 
𝑠𝑆𝑆𝐵 𝑡 = 𝐴𝑐 𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 ∓ 𝑚 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 
 
I) Discriminação em Fase 
II) Discriminação em Frequência 
 
TRANSMISSÃO DO SINAL SSB-SC 
I) Discriminação em Fase 
 
𝑠𝑆𝑆𝐵 𝑡 = 𝐴𝑐 𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 ∓ 𝑚 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 
 
 
TRANSMISSÃO DO SINAL SSB-SC 
Transformada 
de Hilbert 
Oscilador 
Local 
−𝜋
2
 
𝑚(𝑡) 𝑠𝑆𝑆𝐵 𝑡 
𝐴𝑐𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑡) 
𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐𝑡) 
𝑚 (𝑡) 
∓ 
+ 
 
II) Discriminação em Frequência 
 
𝑠𝑆𝑆𝐵 𝑡 = 𝐴𝑐 𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 ∓ 𝑚 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
O filtro é projetado para enviar somente uma das bandas 
laterais. Para este filtro ser fisicamente realizável, é 
necessário que haja uma separação entre as faixas laterais, 
que permita acomodar a faixa de transição do filtro. 
Esta condição limita a aplicabilidade da modulação SSB-SC. 
TRANSMISSÃO DO SINAL SSB-SC 
𝑚(𝑡) 𝑠𝑆𝑆𝐵 𝑡 
𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐𝑡) 
Filtro 
 
Sinal de Fala: Dados: 
TRANSMISSÃO DO SINAL SSB-SC 
Aulas/7_ModulacaoAnalogica_VSB_Demodulacao.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Modulação Analógica VSB e 
Demodulação 
 
MODULAÇÃO VSB-SC 
Modulação VSB-SC (modulação em amplitude 
vestigial de banda lateral única com portadora 
suprimida). 
 
Trata-se de uma versão adaptada da modulação 
SSB-SC, que permite que sinais de faixa larga com 
componentes em baixas frequências, como vídeos e 
arquivos de dados, possam ser transmitidos com 
eficiência e economia de banda. 
 
. 
MODULAÇÃO VSB-SC 
No caso destes sinais, a ausência do gap em torno da 
origem torna impraticável a modulação SSB-SC. 
 
Entretanto, por serem sinais de faixa larga, não é 
conveniente aplicar uma técnica que viola a condição 
de conservação de banda, como a DSB-SC que ocupa 
o dobro da faixa espectral. 
 
A modulação VSB-SC é um esquema de 
compromisso entre a conservação de banda e a 
factibilidade do filtro transmissor. 
MODULAÇÃO VSB-SC 
Desta forma, transmite-se: 
 
 A faixa lateral superior mais um vestígio da faixa 
lateral inferior 
 
ou 
 
 A faixa lateral inferior mais um vestígio da faixa 
lateral superior 
 
MODULAÇÃO VSB-SC 
A expressão do sinal modulado em VSB-SC é: 
 
𝑠(𝑡) =
𝐴𝑐
2
𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 ∓
𝐴𝑐
2
𝑚′(𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 
 
Onde 𝑚′(𝑡) não é a transformada de Hilbert de 𝑚 𝑡 , mas 
uma versão filtra pelo FILTRO DE FORMA. 
 
 
 
 
 
 
A faixa de transmissão é: 
𝑊𝑉𝑆𝐵 = 𝑓𝑣 +𝑊 
tipicamente, 𝑓𝑣~25%𝑊 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑊𝑆𝑆𝐵 <
𝑊𝑉𝑆𝐵 < 𝑊𝐷𝑆𝐵 
MODULAÇÕES EM AMPLITUDE 
ATIVIDADE 
Realize um esquemático sobre os 4 tipos de modulação 
analógica estudados: DSB-SC, AM, SSB-SC e VSB-SC, 
indicando a expressão de modulação e realizando um 
comparativo entre as técnicas com relação a uso de 
potência de transmissão, uso de banda de transmissão e 
restrições e indicações de aplicabilidade. 
 
 
 
DEMODULAÇÃO EM AMPLITUDE – DSB-SC 
A demodulação permite recuperar o sinal em banda 
base. 
 
𝑑 𝑡 = 𝑠 𝑡 . 𝑐′ 𝑡 
= 𝑚 𝑡 . 𝑐(𝑡). 𝑐′ 𝑡 
= 𝑚 𝑡 . 𝐴𝑐cos⁡(𝜔𝑐𝑡)𝐴𝑐′cos⁡(𝜔𝑐𝑡) 
= 𝑚 𝑡 . 𝐴𝑐𝐴𝑐′𝑐𝑜𝑠
2(𝜔𝑐𝑡) 
=
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑚 𝑡 +
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑚 𝑡 𝑐𝑜𝑠⁡ 2𝜔𝑐𝑡 
 
𝑑 𝑡 
𝑐′ 𝑡 
𝑠 𝑡 
Lembrando que: 
𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑐𝑡 =
1
2
+
1
2
 𝑐𝑜𝑠 2𝜔𝑐𝑡 
DEMODULAÇÃO EM AMPLITUDE: DSB-SC 
Calculando a Transformada de Fourier: 
ℱ 𝑑 𝑡 = 𝐷 𝜔 =
1
2𝜋
𝑆 𝜔 ∗ 𝐶′(𝜔) 
= ℱ
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑚 𝑡 +
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑚 𝑡 𝑐𝑜𝑠⁡ 2𝜔𝑐𝑡 
 
𝐷 𝜔 =
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑀 𝜔 +
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
4
[𝑀 𝜔 − 2𝜔0 +𝑀 𝜔 + 2𝜔0 ] 
 
DEMODULAÇÃO DSB-SC - GRAFICAMENTE 
𝐷 𝜔 =
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑀 𝜔 +
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
4
[𝑀 𝜔 − 2𝜔0 +𝑀 𝜔 + 2𝜔0 ] 
 
DEMODULAÇÃO EM AMPLITUDE – DSB-SC 
Na realidade a portadora local, em geral não 
apresenta a mesma fase da portadora usada para 
transmissão. 
Então, retomando as expressões: 
𝑑 𝑡 = 𝑠 𝑡 . 𝑐′ 𝑡 
= 𝑚 𝑡 . 𝑐(𝑡). 𝑐′ 𝑡 
= 𝑚 𝑡 . 𝐴𝑐 cos 𝜔𝑐𝑡 𝐴𝑐
′ cos 𝜔𝑐𝑡 + 𝜃𝑐 
=
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑚(𝑡) cos 2𝜔𝑐𝑡 + 𝜃𝑐 +
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑚(𝑡)cos 𝜃𝑐 
 
 
 
 
𝑑 𝑡 
𝑐′ 𝑡 
𝑠 𝑡 
Lembrando que: 
𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 = 2 cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 
Fazendo: 𝑎 = ⁡𝜔𝑐𝑡 + 𝜃𝑐 ⁡e⁡𝑏 = 𝜔𝑐𝑡 
DEMODULAÇÃO EM AMPLITUDE: DSB-SC 
Calculando a Transformada de Fourier: 
ℱ 𝑑 𝑡 = 𝐷 𝜔 =
1
2𝜋
𝑆 𝜔 ∗ 𝐶′(𝜔) 
= ℱ
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑚(𝑡) cos 2𝜔𝑐𝑡 + 𝜃𝑐 +
𝐴𝑐𝐴𝑐
′
2
𝑚(𝑡)cos 𝜃𝑐 
 
𝐷 𝜔 =
𝐴𝑐𝐴𝑐
′ cos⁡(𝜃𝑐)
2
𝑀 𝜔 +
𝐴𝑐𝐴𝑐
′ 𝛼
4
[𝑀 𝜔 − 2𝜔0 +𝑀 𝜔 + 2𝜔0 ] 
 
` 
 
 
 
A amplitude do sinal depende da fase 𝜃𝑐 , podendo ir a zero. 
RECEPTOR COSTAS 
O Receptor Costas permite realizar o sincronismo de fase 
entre o sinal recebido e o oscilador local, para realizar a 
demodulação dos sinais que empregam técnicas de 
modulação AM que suprimem a portadora. 
 
 𝑠𝐷𝑆𝐵(𝑡) = 𝐴𝑐𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 
 
 𝑠𝑆𝑆𝐵(𝑡) =
𝐴𝑐
2
𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 ∓
𝐴𝑐
2
𝑚 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 
 
 𝑠𝑉𝑆𝐵(𝑡) =
𝐴𝑐
2
𝑚(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐𝑡 ∓
𝐴𝑐
2
𝑚′(𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑡 
 
 
 
RECEPTOR COSTAS 
Oscilador 
Local 
−𝜋
2
 
𝑠
𝑡
=
𝑚
𝑡
co
s⁡(
𝜔
𝑐
𝑡
+
𝜃
𝑐
) 
𝑚 𝑡 
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑡 + 𝜃0) 
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐𝑡 + 𝜃0) 
FPB 
Sinal 
demodulado 
FPB 
Discriminador 
de fase 
𝑚 𝑡 cos⁡(𝜃𝑒) 
𝑚 𝑡 sen⁡(𝜃𝑒) 
Aulas/8_ModulacaoAngular.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Modulação Angular 
MODULAÇÃO ANGULAR 
Uma outra forma de modular o sinal a ser enviado é 
atuar sobre o ângulo da portadora. 
 
𝑐 𝑡 = 𝐴𝑐cos⁡(𝜽𝒊(𝒕)) 
 
Características: 
 Maior imunidade ao ruído aditivo inserido pelo 
canal; 
 Processo não linear => análise e implementação 
mais difíceis; 
 A banda do sinal não é preservada => ocorre 
espalhamento espectral. 
MODULAÇÃO ANGULAR 
 Modulação em fase (PM): 
 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐cos⁡(2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝑘𝑝𝑚(𝑡)) 
𝜃 𝑡 = 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝑘𝑝𝑚(𝑡) 
𝑓𝑖(𝑡) = 𝑓𝑐 +
𝑘𝑝
2𝜋
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
 
Sendo a constante 𝑘𝑝 o fator de sensibilidade de fase. 
 
 Modulação em frequência (FM): 
 
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐cos⁡(2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓 𝑚(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡) 
𝜃 𝑡 = 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓 𝑚(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡 
𝑓𝑖(𝑡) = 𝑓𝑐 + 𝑘𝑓𝑚(𝑡) 
Sendo a constante 𝑘𝑓 o fator de sensibilidade de frequência. 
 
MODULAÇÃO ANGULAR 
Relação entre frequência e fase instantânea: 
 
 
𝑓𝑖 𝑡 =
1
2𝜋
𝑑𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
 
𝜃 𝑡 = 2𝜋 𝑓𝑖 𝑡 𝑑𝑡 
RELAÇÃO ENTRE O SINAL PM E FM 
Considerando as fases instantâneas, temos: 
I. PM:⁡𝜃 𝑡 = 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝑘𝑝𝑚 𝑡 
II. FM:⁡𝜃 𝑡 = 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓 𝑚(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡 
RELAÇÃO ENTRE O SINAL PM E FM 
A modulação FM pode ser vista como uma modulação 
PM de 𝑚(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡. 
Enquanto que a modulação PM pode ser vista como uma 
modulação FM de 
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
. 
Ambas as técnicas de modulação angular (FM e PM) 
apresentam um comportamento semelhante no domínio 
do tempo. 
EXEMPLO 
Esboce o sinal 𝑚(𝑡) modulado em FM e PM. Considere 
𝑘𝑓 = 10
5, 𝑘𝑝 = 10𝜋, 𝑓𝑐 = 100MHz e 𝐴𝑐 = 1V. 
EXEMPLO - RESOLUÇÃO 
Esboce o sinal 𝑚(𝑡) modulado em FM e PM. Considere 
𝑘𝑓 = 10
5, 𝑘𝑝 = 10𝜋, 𝑓𝑐 = 100⁡𝑀𝐻𝑧 e 𝐴𝑐 = 1V. 
 
 
 
 
Primeiramente, vamos determinar as frequências 
máxima e mínima do sinal modulado FM. 
 
𝑓𝑖𝑀𝐴𝑋 𝑡 = 𝑓𝑐 + 𝑘𝑓𝑚 𝑡 → 100. 10
6 + 105. 1 = 100,1MHz 
𝑓𝑖𝑀𝐼𝑁 𝑡 = 𝑓𝑐 + 𝑘𝑓𝑚 𝑡 → 100. 10
6 + 105. −1 = 99,9MHz 
 
 
EXEMPLO - RESOLUÇÃO 
𝑓𝑖𝑀𝐴𝑋 𝑡 = 100,1MHz 
𝑓𝑖𝑀𝐼𝑁 𝑡 = 99,9MHz 
 
 
EXEMPLO - RESOLUÇÃO 
Agora, para determinar os dados da modulação PM, 
precisamos derivar o sinal 𝑚(𝑡): 
 
 
 
 
A derivada do sinal 𝑚 𝑡 envolve basicamente a derivada 
de duas retas, uma ascendente e outra descendente. 
 
𝑚 𝑡 = 
𝑎𝑡 + 𝑏, 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜𝑠⁡𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑐𝑡 + 𝑑, 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜𝑠⁡𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
 
De modo que: 
𝑚 𝑡 = 
𝑎
𝑐⁡
 
 
 
EXEMPLO - RESOLUÇÃO 
Para encontrar as constantes 𝑎 e 𝑐 precisamos encontrar 
os parâmetros das retas que descrevem 𝑚(𝑡). 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo arbitrariamente dois pontos em cada trecho, 
temos: 
Trecho ascendente: pontos(0,0) e (5. 10−5,1) 
𝑚 𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑏⁡ → 
0 = 𝑎. 0 + 𝑏 
1 = 𝑎. 5. 10−5 + 𝑏 
→ 
𝑏 = 0 
𝑎=
1
5. 10−5
= 2. 104
 
 
EXEMPLO - RESOLUÇÃO 
Para encontrar as constantes 𝑎 e 𝑐 precisamos encontrar 
os parâmetros das retas que descrevem 𝑚(𝑡). 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo arbitrariamente dois pontos em cada trecho, 
temos: 
Trecho descendente: pontos (1.10−4,0) e (1,5.10−4, −1) 
𝑚 𝑡 = 𝑐𝑡 + 𝑑⁡ → 
0 = 1.10−4𝑐 + 𝑑
−1 = 1,5. 10−4𝑐 + 𝑑
→ 𝑐 = −2.10
4
d=2⁡
 
 
EXEMPLO - RESOLUÇÃO 
Agora, para determinar os dados da modulação PM, 
precisamos derivar o sinal 𝑚(𝑡): 
 
 
 
 
𝑚 𝑡 = 𝑎 = 2.10
4
𝑐 = −2.104
 
 
 
EXEMPLO - RESOLUÇÃO 
Agora, vamos determinar as frequências máxima e 
mínima do sinal modulado PM. 
 
 
 
 
 
𝑓𝑖𝑀𝐴𝑋 𝑡 = 𝑓𝑐 +
𝑘𝑝
2𝜋
𝑚 𝑡 → 100. 106 +
10𝜋
2𝜋
2.104 = 100,1𝑀𝐻𝑧 
𝑓𝑖𝑀𝐼𝑁 𝑡 = 𝑓𝑐 +
𝑘𝑝
2𝜋
𝑚 𝑡 → 100. 106 +
10𝜋
2𝜋
(−2.104 ) = 99,9MHz 
 
 
Constantes do problema: 
𝑘𝑓 = 10
5, 𝑘𝑝 = 10𝜋, 
𝑓𝑐 = 100MHz e 𝐴𝑐 = 1V. 
EXEMPLO - RESOLUÇÃO 
𝑓𝑖𝑀𝐴𝑋 𝑡 = 100,1MHz 
𝑓𝑖𝑀𝐼𝑁 𝑡 = 99,9MHz 
 
ATIVIDADE 
Considere o sinal 
𝑚 𝑡 = 
𝑎𝑡, 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0
 
Com 𝑎 = 1𝑉/𝑠 e 𝑓𝑐 =
1
4
⁡Hz. 
 
Esboce as ondas moduladas em FM e PM. 
Aulas/9_FM_Faixa_Estreita.pdf
FUNDAMENTOS DE 
COMUNICAÇÃO 
Profa. Dra. Sarah Negreiros de Carvalho Leite 
João Monlevade/MG 
Modulação FM – Faixa Estreita 
MODULAÇÃO FM 
A análise espectral da onda FM é complicada devido 
a sua não linearidade. 
 
Neste primeiro momento, vamos considerar o caso 
de uma mensagem tonal, para posteriormente 
generalizarmos os resultados. 
 
FM – MODULAÇÃO TONAL 
Mensagem: 𝑚 𝑡 = 𝐴𝑚cos⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
 
A frequência instantânea da onda FM é dada por: 
 
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑓𝑐 + 𝑘𝑓𝑚 𝑡 
= 𝑓𝑐 + 𝑘𝑓𝐴𝑚 cos 2𝜋𝑓𝑚𝑡 
= 𝑓𝑐 + Δ𝑓 cos 2𝜋𝑓𝑚𝑡 
 
sendo: Δ𝑓 = 𝑘𝑓𝐴𝑚 - o desvio de frequência 
 
 
FM – MODULAÇÃO TONAL 
A fase instantânea da onda FM é: 
𝜃 𝑡 = 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓 𝑚(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡 
= 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓 𝐴𝑚cos⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
𝑡
0
𝑑𝑡 
= 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓
1
2𝜋𝑓𝑚
𝐴𝑚𝑠𝑒𝑛⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
= 2𝜋𝑓𝑐𝑡 +
𝑘𝑓𝐴𝑚
𝑓𝑚
𝑠𝑒𝑛⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
= 2𝜋𝑓𝑐𝑡 +
Δ𝑓
𝑓𝑚
𝑠𝑒𝑛⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
= 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝛽𝑠𝑒𝑛⁡(2𝜋𝑓𝑚𝑡) 
 
sendo: β =
Δ𝑓
𝑓𝑚
 - índice de modulação, que determina o 
espalhamento espectral. 
FM – MODULAÇÃO