cálculo 3 ciclo3 história do cálculo

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GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
RA: 8089632 
TURMA: DGMAT1901BHOA0S 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS, 
SUAS DERIVADAS E INTEGRAIS 
 
 
 
 
 
 
 
BELO HORIZONTE 
2021 
 
 
GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
RA: 8089632 
TURMA: DGMAT1901BHOA0S 
 
 
FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS, 
SUAS DERIVADAS E INTEGRAIS 
 
 
Projeto apresentado ao Centro 
Universitário Claretiano para a disciplina 
de Cálculo Diferencial e Integral: funções 
de várias variáveis, ministrada pelo tutor 
Sergio Luís Balthazar . 
 
 
 
BELO HORIZONTE 
2021 
 
INTRODUÇÃO 
A gênese de muitas descobertas matemáticas que nos beneficia até os dias atuais ocorreu 
num passado bastante remoto. Várias pessoas ligadas à matemática, seja pelo profissionalismo 
ou mesmo pela simples admiração pela ciência das formas e nos números, contribuíram para a 
sua evolução, dedicando seu tempo, seus esforços e doando ao mundo um pouco da sua 
capacidade intelectual. O conhecimento matemático evolui pela sua disseminação, pelo 
compartilhamento, assim como todo conhecimento. 
Uma das principais motivações para a introdução da ideia de função é a noção de 
trajetória, que associa um movimento a uma curva que poderá ser expressa por meio de uma 
equação”. Os problemas envolvendo as funções reais de várias variáveis reais independentes 
aparecem com mais frequência do que as funções reais de uma variável real em nosso dia a dia. 
Suas derivadas são mais variadas e interessantes por causa das diferentes maneiras como as 
variáveis podem interagir. O Cálculo Diferencial e Integral deu um grande passo com o 
surgimento das funções de várias variáveis. 
Muitas pessoas se perguntam onde irão utilizar tal fórmula. O Cálculo está presente em 
nossas vidas, mais do que imaginamos. Ele é uma das grandes realizações do intelecto humano. 
Inspirados por problemas de astronomia, Newton e Leibniz desenvolveram as ideias de Cálculo 
há 300 anos. Desde então cada século demonstrou o poder do Cálculo para iluminar questões 
de Matemática, das ciências físicas, sociais e biológicas. 
 
 
 
OBJETIVOS 
Compreender a história de funções de duas ou mais variáveis. 
Mostrar a aplicação das funções de várias variáveis em situações do cotidiano. 
 
 
 
 
ORIGEM DAS FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
 
Para entender a origem de funções de várias variáveis, primeiramente, é necessário fazer 
uma breve explanação do surgimento de funções matemáticas. Na antiguidade para o conceito 
de função, os matemáticos Babilônicos utilizavam tabelas de quadrados, raízes quadradas e 
cúbicas. Depois de Galileu (1564-1642), a ideia de variação em função do tempo se tornou 
fundamental na Física. Onde no início do século XVII, Descartes e Pierre Fermat introduziram 
as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em 
problemas algébricos. A matemática recebeu um grande impulso em sua aplicabilidade em 
outras ciências, tudo isso permitiu a criação de novas curvas e imagens geométricas definidas 
por relações entre variáveis. Simplificadamente tudo o que envolve uma taxa de variação pode 
ser entendida com uma derivada. 
Descartes (1596-1650) havia percebido que tomando infinitos valores para x, acham-se 
também infinitos valores para y. Assim, as quantidades que eram calculadas a partir de outra 
eram esboçadas graficamente por uma curva, num plano cartesiano. Aqui o conceito de função 
atual tomava forma, mas a restrição de relação de conjuntos de chegada e partida não era 
obedecida, como no caso da equação da circunferência, e que segundo Descartes poderia ser 
algo que ainda viria a ser chamada de função. As funções de Descartes eram limitadas as 
equações algébricas, o que seria expandido por Leibniz (1646-1716) mais tarde. Essa restrição 
cartesiana se tornara um inconveniente, já que a introdução das series infinitas no estudo das 
curvas possibilitou adicionar as curvas transcendentes neste estudo. A partir deste momento da 
história, as curvas passaram a ser expressas por séries e no século XVIII, tais séries se tornariam 
o principal objeto de estudo das relações entre variáveis quantificáveis. 
A definição formal de função veio, inicialmente em 1718, por um artigo de Bernoulli 
apresentado à Academia de Ciências de Paris: “Chamamos função de uma grandeza variável 
uma quantidade composta, de um modo qualquer, desta grandeza variável e de constantes” 
(BERNOULLI, 1718, apud ROQUE, 2012). 
Jacques Bernoulli encontrou a equação da isócrona, a curva plana ao longo da qual um 
objeto cai com velocidade uniforme. Ao publicar o trabalho no Acta Eruditorum em 1690, 
introduziu a palavra “integral”. A matematização da física com o progressivo emprego de 
técnicas de cálculo diferencial e integral deu origem à teoria de equações diferenciais, tema ao 
qual se dedicou Jacques Bernoulli. Este estudou equações diferenciais da forma 𝑦′ + 𝑃(𝑥) =
 𝑄(𝑥)𝑦 , hoje conhecidas como “equações de Bernoulli”, resolvida por uma mudança de 
variáveis 𝑧 = 𝑥1−𝑛 e transformada em uma equação linear. É devido a Jacques Bernoulli o 
uso de coordenadas polares, o estudo da catenária (a curva descrita por uma corda apoiada em 
suas extremidades sob o efeito de seu próprio peso). 
Nesse interim, muitos matemáticos estudaram as relações de funções, relacionando-as 
ao Cálculo Diferencial e Integral. Um deles foi Leonhard Euler, que entendeu o papel e a 
estrutura de funções, estudou suas propriedades e definições rapidamente chegou à conclusão 
que a teoria de funções eram a chave para entender as equações diferenciais e desenvolver 
métodos para encontrar suas soluções. Uma das obras de Euler, em 1755, foi o primeiro livro a 
tratar de funções de maisde uma variável, onde seu principal objetivo não era o estudo de curvas 
e sim, de funções. Neste novo paradigma, a escolha de uma diferencial constante tem uma 
interpretação aparentemente simples: a variável independente terá diferencial constante; as 
outras variáveis serão funções da primeira e terão, em geral, diferenciais não constantes. 
Para entender a origem destas dificuldades, é necessário ter em conta que o cálculo 
diferencial de funções de duas variáveis não surgiu do estudo de superfícies, e sim de 
estudos (entre 1692 e 1740) de famílias de curvas, e em particular de problemas de 
trajectórias (por exemplo, trajectórias ortogonais a famílias de curvas).[...] Nesse 
contexto, ao contrário das utilizações mais típicas do cálculo diferencial, em que se 
estuda o comportamento local de uma função, as duas variáveis não têm 
comportamentos simétricos (uma das variáveis é o parâmetro da família de curvas) e 
não faz sentido tomar ambas com diferenciais constantes. Além disso, não faria muito 
sentido pensar em famílias de curvas como representadas por gráficos-superfícies, o que 
mais tarde terá limitado a intuição geométrica de Euler quando iniciou a sistematização 
do cálculo de funções de duas variáves. (DOMINGUES, 2013, p. 60). 
Euler, usando o seu conhecimento sobre funções, desenvolveu procedimentos para 
encontrar soluções de vários tipos de equações. Foi o primeiro a entender as propriedades e os 
papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções 
elementares. Euler também desenvolveu várias funções baseadas em soluções em séries de tipos 
especiais de equações diferenciais. Em 1739, desenvolveu um método de variação de 
parâmetros. Seu trabalho também inclui o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento 
de métodos numéricos, os quais promoveram soluções aproximadas para quase todas as 
equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de 
equações diferenciais e soluções. 
Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar estranhos 
objetos matemáticos, tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. 
Tais funções, inicialmente foramtidas como puramente imaginárias e chamados geneticamente 
de “monstros”. Mas no final do século XX, foram identificadas como importantes para a 
construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento browniano. 
Joseph Lagrange (1736-1814), também se dedicou às equações diferenciais e aos 
problemas de extremos. Ele corrigiu algumas definições de funções de mais variáveis. O 
método dos multiplicadores de Lagrange, hoje é usado para encontrar extremos da função 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sujeita à condição 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. 
O astrônomo, matemático e físico alemão Johannes Kepler (1571-1630) contribuiu 
grandemente através do desenvolvimento das suas três leis do movimento planetário. 
Estes resultados mudaram a astronomia e desempenharam um papel crucial no 
desenvolvimento da física newtoniana e do cálculo. Seu trabalho ajudou a desacreditar 
o modelo geocêntrico de Ptolomeu e ajudou a estabelecer a teoria heliocêntrica de 
Copérnico. Também montou o cenário para o surgimento da matemática aplicada em 
várias variáveis. 
Depois do desenvolvimento do cálculo de uma variável no século 17, sua aplicação 
para resolver problemas em um mundo multidimensional resultou na necessidade de 
generalização para incluir funções de mais de uma variável e cálculo de várias 
variáveis. O que seriam os análogos da derivada e da integral para funções de mais de 
uma variável? Jean d'Alembert (1717-1783) desenvolveu e usou o cálculo de várias 
variáveis para lidar com métodos para resolver equações diferenciais e movimento de 
corpos considerando a resistência do meio. De várias maneiras, usou os trabalhos de 
Newton, L'Hospital e dos Bernoullis para estender os conceitos de cálculo para várias 
variáveis. D'Alembert pesquisou nesta área e publicou muitos trabalhos em 
matemática e física matemática. Seu trabalho principal foi o Traité de dynamique 
(1743), o qual ajudou a fazer com que a diferenciação parcial fizesse parte do cálculo 
[...] (UFMG, 2014 apud SILVA NETO e GONÇALVES, p. 19). 
D’Alembert produziu ainda trabalhos sobre equações diferenciais. Seus estudos sobre 
as vibrações de uma corda o levaram à equação diferencial 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
 = 
𝑘2𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
, fato que o faz ser 
considerado como um dos fundadores da teoria das equações diferenciais parciais, utilizando o 
Cálculo de várias variáveis. 
Em 1814, Cauchy apresentou à Academia Francesa um trabalho que continha os germes 
de sua teoria de variáveis complexas ou variáveis ‘imaginárias’, conforme a terminologia da 
época. A representação gráfica de uma função 𝑤 = 𝑓(𝑧), onde 𝑤 e 𝑧 são variáveis complexas, 
ao necessitar de quatro dimensões reais, impossibilitava o recurso `a visualização geométrica. 
Assim, Cauchy tinha noção de que um nível maior de abstração seria necessário para lidar com 
funções complexas, o que significaria também uma dose maior de rigor, direção na qual seu 
trabalho caminhou. Ao estabelecer novos conceitos e ferramentas, Cauchy transformou o 
estudo de funções de variáveis complexas em uma área com vida própria. 
Desde o nascimento do Cálculo diferencial e integral, os métodos dessa teoria foram 
usados para o estudo de curvas e superfícies. Gauss, em sua obra Disquisitiones circa 
superficies curvas (Investigações sobre superfícies curvas), de 1827, inovou o estudo da 
geometria de superfícies ao usar métodos analíticos para explorar suas propriedades locais. O 
texto de Gauss foi marcante no desenvolvimento da geometria diferencial, apontando direções 
para o avanço da teoria. Nele, Gauss inovou ao estudar superfícies partindo de suas equações 
paramétricas. 
O estudo das funções caminhava junto com o estudo das expressões analíticas, o que era 
reafirmado na época ao encontrar uma função dada uma curva. Contudo, uma mesma função 
pode ser representada por várias expressões analíticas diferentes num mesmo domínio. Ao 
resolver o problema físico, como era comum na época, Fourier desenvolveu um novo tipo de 
serie para o estudo das funções relacionadas ao problema do calor, porém nunca chegou a 
demostrar as suas afirmações. Mais tarde em 1837, Dirichlet (1805-1859) retomou o problema 
dando condições especiais para que a série de Fourier pudesse realmente ocorrer. 
Dessa maneira, as definições de funções foram desprendidas das ideias de expressões 
analíticas. Através de Dirichlet, surgiu-se uma nova definição de função aprimorada das ideias 
de Fourier, como sendo correspondência arbitrária entre variáveis que representam conjuntos 
numéricos. Uma função, então, tornou-se uma correspondência entre duas variáveis, de modo 
que, para qualquer valor da variável independente, haja um e apenas um valor da variável 
dependente. 
A partir daí a noção de função englobaria também as definições de teoria de conjuntos, 
satisfazendo as condições de unicidade entre os conjuntos numéricos, aumentando ainda mais 
o leque de funções conhecidas, já no século XX. Com o desenvolvimento paralelo da álgebra, 
a noção de função passa também a ser considerada como um caso especial de relação. Essa 
relação é entendida hoje em dia como uma sucessão de regras, deixando de lado o teor 
discursivo em suas definições. 
A eficiência do método analítico e os movimentos de álgebra na análise tornaram a 
função como peça fundamental da atividade matemática, física e química. A associação de 
funções com as representações de curvas e expressões fundadas nas ferramentas algébricas se 
revela tão bem-sucedido no passado que ainda hoje tem papel essencial na prática da 
Matemática atual. 
 
 
APLICAÇÕES 
Neste trabalho serão apresentados casos reais e momentos e aplicações que utilizamos 
cálculo sem nem mesmo perceber, ou dar devida atenção. Tendo como exemplos os aspectos 
observados vemos que podemos utilizar cálculos derivadas e limites em muitas situações de 
nosso dia a dia, e que as vezes por falta de conhecimento sequer imaginaríamos tal quantificação 
Matemática. A matemática não se limita, como pensam os leigos, a um conjunto de números 
munido de algumas propriedades e operações elementares, mas sim, em modelar situações 
reais. 
As funções multivariáveis podem ser aplicadas em várias situações do nosso cotidiano, 
como por exemplo: para calcular volumes (determinar o volume de uma piscina), estimar 
derramamentos de óleo em corpos d’água, calcular a pressão de um determinado gás, calcular 
as variações de preço de algum produto; entre outros. 
No que se refere ao estudo das técnicas da oceanografia operacional, temática escolhida 
para demonstrar uma aplicação do uso das funções multivariáveis, muitos estudos têm utilizado 
essa ferramenta para criar, disseminar e interpretar medições de mares e oceanos (temperatura 
à superfície da água, a intensidade e direção do vento ou correntes marítimas, altura e direção 
das ondas). Estas características são exemplos de dados espaço-temporais multivariáveis, 
porque para um determinado espaço e tempo, existem múltiplas variáveis com diferentes 
valores e magnitudes a serem representadas. Através dos pontos de máximo e mínimo, por 
exemplo, podemos determinar quais as dimensões de uma janela para ter a maior luminosidade 
possível; determinar a máxima produção de uma firma com um dado orçamento; a maior 
temperatura em uma chapa de metal aquecida; o maior volume de uma caixa sem tampa, se 
tivermos uma quantidade fixa de certo material etc. 
 
SITUAÇÕES-PROBLEMAS 
 
Exemplo 1: O único supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas 
marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado 30 centavos a garrafa e uma 
marca nacional muito conhecida que custa no atacado 40 centavos a garrafa. O dono do 
supermercado estima que, se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela 
garrafa da marca nacional, venderá 70 − 5𝑥 + 4𝑦 garrafas da marca local e 80 + 6𝑥 − 7𝑦 
garrafas da marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado devevender as duas 
marcas de suco de laranja para maximizar o lucro? 
Solução: 
I. Compreender o problema 
Através da leitura do problema iremos extrair os dados e elementos desconhecidos. Determinar 
e interpretar os dados do problema. 
• O supermercado trabalha com duas marcas de suco de laranja; 
• Uma marca de suco de laranja local e uma marca nacional; 
• A marca de suco de laranja local custa no atacado 30 centavos a garrafa; 
• A marca de suco de laranja nacional custa no atacado 40 centavos a garrafa. 
O objetivo do problema é determinar por quanto o dono do supermercado deve vender as duas 
marcas de suco de laranja para maximizar o lucro. 
 
II. Construção do modelo matemático 
Determinar as variáveis: 
• A variável 𝑥 representa os centavos cobrados pela venda da garrafa da marca local e a 
variável y os centavos cobrados pela venda da garrafa da marca nacional. 
Construção da função que envolve duas variáveis: 
𝐿𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 = (70 − 5𝑥 + 4𝑦) 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 = (𝑥 − 30) 
𝐿𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = (80 + 6𝑥 − 7𝑦) 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = (𝑦 − 40) 
O lucro diário com a venda de suco de laranja é dado pela função: 
(lucro total) = (lucro com a venda da marca local) + (lucro com a venda da marca nacional) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (70 − 5𝑥 + 4𝑦) . (𝑥 − 30) + (80 + 6𝑥 − 7𝑦) . (𝑦 − 40) 
 
III. Solução do modelo matemático 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (70 − 5𝑥 + 4𝑦) . (𝑥 − 30) + (80 + 6𝑥 − 7𝑦) . (𝑦 − 40) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = −5𝑥2 + 10𝑥𝑦 − 20𝑥 − 7𝑦2 + 240𝑦 − 5300 
Calculamos as derivadas parciais e igualamos estas derivadas a zero: 
𝑓𝑥 = −10𝑥 + 10𝑦 – 20 e 𝑓𝑦 = 10𝑥 − 14𝑦 + 240 
𝑓𝑥 = 0 → −10𝑥 + 10𝑦 − 20 = 0 e 𝑓𝑦 = 0 → 10𝑥 − 14𝑦 + 240 = 0 
Resolvemos este sistema de equações para obter 𝑥 = 53 e 𝑦 = 55. Assim, P (53, 55) é o 
único ponto crítico de 𝑓. 
O passo seguinte consiste em aplicar o teste das derivadas parciais de segunda ordem. 
Como 𝑓𝑥𝑥 = −10 𝑓𝑦𝑦 = −14 𝑒 𝑓𝑥𝑦 = 10 
Obtemos |
−10 10
10 −14
| = 140 − 100 = 40 
 
IV. Interpretar a solução 
Como 𝐷(53, 55) = 40 > 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥(53, 55) = −10 < 0 
A conclusão é que 𝑓 possui um máximo (relativo) para 𝑥 = 53 , 𝑦 = 55. Em outras palavras, o 
dono do supermercado pode maximizar o lucro vendendo a marca local de suco de laranja por 
53 centavos a garrafa e a marca nacional por 55 centavos a garrafa. 
 
 
Exemplo 2: Sabendo que o índice de calor (sensação de calor) 𝐼encontra-se em função da 
temperatura real 𝑇 e da umidade relativa 𝑇. A Temperatura real 𝑇é dada em (ºF) e a Umidade 
relativa 𝐻 em (%). Fornecemos, abaixo, a tabela de valores do Serviço Nacional de Previsão 
do Tempo norte-americano. 
 Fonte: Stewart, 2007, p. 924. 
De acordo com a tabela, determine a aproximação linear para o índice de calor 𝐼 = 𝑓(𝑇, 𝐻) 
quando 𝑇 está próximo de 96 º𝐹 e 𝐻 está próximo de 70%. Use essa estimativa do índice de 
calor quando a temperatura estiver a 97º𝐹 e a umidade relativa for 72%. 
 
Solução: 
I. Compreender o Problema 
Através da leitura do problema iremos extrair os dados desconhecidos do problema. 
• Estimativa: avaliação ou cálculo aproximado de algo; estima, estimação. 
O objetivo do problema é determinar a aproximação linear para o índice de calor 𝐼 = 𝑓(𝑇, 𝐻) 
quando T está próximo de 96 º𝐹 e 𝐻 está próximo de 70%. 
 
II. Construção do modelo matemático 
Determinar as variáveis: 
• A variável 𝐼 representa o índice de calor (sensação de calor), 𝑇a temperatura real e 𝐻 a 
umidade relativa. 
Construção da função de aproximação linear envolvendo duas variáveis 
Como (𝑇 a temperatura, 𝐻 umidade relativa) = (96, 70), então 𝑓(96, 70) = 125. 
 
III. Solução do modelo matemático 
Dada a função 𝑓(96, 70) = 125. 
Usaremos os seguintes valores tabelados para estimar 𝑓𝑡(96,70) ≈ 3,75 𝑒 𝑓ℎ(96,70) ≈ 0,9. 
𝑓(𝑇, 𝐻) ≈ 𝑓(96, 70) +𝑓𝑇 (96, 70)(𝑇 − 96) + 𝑓𝐻(96, 70)(𝐻 − 70)≈ 125 + 3,75 (𝑇 − 96) + 0,9 (𝐻 
− 70) 
Em particular 𝑓(97, 72) ≈ 125 + 3,75 (1) + 0,9 (2) = 130,55 
Desse modo, calculamos a aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de 𝑓 em 
(𝑎, 𝑏) que é assim denotada: 
𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏) 
 
IV. Interpretação da solução 
Portanto, quando a temperatura 𝑇 = 97 °𝐹 e a umidade relativa 𝐻 = 72%, o índice de calor é 
𝐼 ≈ 131 ℉ 
Exemplo 3: Estima-se que a produção semanal de uma fábrica é dada pela função 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2 unidades, onde 𝑥 é o número de operários especializados e 𝑦 
o número de operários não especializados utilizados no trabalho. No momento, a mão de obra 
disponível é constituída por 30 operários especializados e 60 operários não especializados. Use 
a análise marginal para estimar a variação da produção se mais 1 operário especializado for 
contratado e o número de operários não especializado permanecer constante. 
Solução: 
I. Compreender o problema 
Através da leitura do problema iremos extrair os dados e elementos desconhecidos. 
• Análise Marginal: em economia se refere ao uso de uma derivada para estimar a 
variação do valor de uma função em consequência de uma mudança no valor de uma 
das variáveis. 
• Taxa de Variação: calcular a função com uma das variáveis enquanto a outra permanece 
constante, o que corresponde a derivar a função em relação a uma das variáveis 
mantendo fixa a outra variável. Este processo é conhecido como derivação parcial; a 
derivada resultante é chamada de derivada parcial da função. 
Determinar e interpretar os dados do problema. 
• A fábrica possui operários especializados e não especializados para produção semanal 
em unidades. 
• A mão de obra disponível é constituída por 30 operários especializados. 
• 60 operários não especializados. 
O objetivo do problema é determinar a variação da produção se mais 1 operário especializado 
for contratado e o número de operários não especializado permanecer constante. 
 
II. Construção do modelo matemático 
Determinar as variáveis 
• A variável 𝑥 representa o número de operários especializados e a variável 𝑦 o número de 
operários não especializados utilizados no trabalho. 
• 𝑥 ∈ ℝ e 𝑦 ∈ ℝ. 
Construção da função que envolve duas variáveis: 
Como 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑛° 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑛° 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠) , 
então a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2 representa as unidades produzidas 
por semana. 
Em vários problemas nos quais envolvem funções de duas variáveis, temos como objetivo 
calcular a taxa de variação da função com uma das variáveis enquanto a outra permanece 
constante, isso significa derivar a função obtida ao manter-se uma variável fixa. Este 
procedimento chama-se derivação parcial, sendo que a derivada resultante é chamada de 
derivada parcial da função. 
Seguindo com o problema, se o número de operários não especializados permanecer constante, 
a taxa de variação da produção em relação ao número de operários especializados pode ser 
obtida derivando 𝑓(𝑥, 𝑦) apenas em relação à 𝑥 . Isto é, consideramos a função 𝑔 de uma 
variável obtida fixando-se a variável 𝑦 = 𝑘 na função 𝑓, ou seja, 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑘). 
A taxa de variação da produção em função do número de operários é dada, portanto, pela 
derivada da função de uma variável g. Definimos a derivada de g como sendo a derivada parcial 
de 𝑓 em relação à 𝑥 e a representamos pelo símbolo 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦). 
Em símbolos matemáticos, 𝑓𝑥(𝑥, 𝑘) = 𝑔’(𝑥). 
Da mesma forma, mantendo-se o número de operários especializados fixo, então a taxa de 
variação do número de operários nãoespecializados é dado pela derivada parcial de 𝑄 em 
relação à 𝑦. Isto é, mantendo-se x constante, tal variação é obtida derivando-se 𝑓(𝑥, 𝑦) em 
relação à 𝑦. Essa derivada é representada pelo símbolo 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦). 
 
III. Solução do modelo matemático 
Dada à função: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2, queremos calcular o aumento da 
produção semanal se aumentarmos o número de operários especializados e mantivermos o 
número de operários não especializados fixo. Para tal objetivo, devemos derivar parcialmente 
a função 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação à 𝑥, permanecendo 𝑦 constante. 
A partir da 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2, obtemos a derivada parcial 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 
seguindo os seguintes passos: 
lim
ℎ→0
1200(𝑥 + ℎ) + 500𝑦 + (𝑥 + ℎ)2𝑦 − (𝑥 + ℎ)3 − 𝑦2 − (1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2)
ℎ
 
lim
ℎ→0
1200𝑥 + 1200ℎ + 500𝑦 + 𝑦(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) − (𝑥3 + 3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3) − 𝑦2 − 1200𝑥 − 500𝑦 − 𝑥2𝑦 + 𝑥3 + 𝑦2
ℎ
 
lim
ℎ→0
1200𝑥 + 1200ℎ + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 + 2𝑥ℎ𝑦 + ℎ2𝑦 − 𝑥3 − 3𝑥2ℎ − 3𝑥ℎ2 − ℎ3 − 𝑦2 − 1200𝑥 − 500𝑦 − 𝑥2𝑦 + 𝑥3 + 𝑦2
ℎ
 
lim
ℎ→0
1200ℎ + 2𝑥ℎ𝑦 + ℎ2𝑦 − 3𝑥2ℎ − 3𝑥ℎ2 − ℎ3
ℎ
 
lim
ℎ→0
1200 + lim
ℎ→0
2𝑥𝑦 + lim
ℎ→0
ℎ𝑦 − lim
ℎ→0
3𝑥2 − lim
ℎ→0
3𝑥ℎ − lim
ℎ→0
ℎ2 
= 1200 + 2𝑥𝑦 + 0 − 3𝑥2 − 0 − 0 
= 1200 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 
Desse modo, calculamos a derivada parcial 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) que é denotada por: 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
 
Visando fixar a noção de derivada parcial, calculamos também 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦): 
lim
ℎ→0
1200𝑥 + 500(𝑦 + ℎ) + 𝑥2(𝑦 + ℎ) − 𝑥3 − (𝑦 + ℎ)2 − (1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2)
ℎ
 
lim
ℎ→0
1200𝑥 + 500𝑦 + 500ℎ + 𝑥2𝑦 + 𝑥2ℎ − 𝑥3 − 𝑦2 − 2𝑦ℎ − ℎ2 − 1200𝑥 − 500𝑦 − 𝑥2𝑦 + 𝑥3 + 𝑦2
ℎ
 
lim
ℎ→0
500ℎ + 𝑥2ℎ − 2𝑦ℎ − ℎ2
ℎ
 
lim
ℎ→0
500 + lim
ℎ→0
𝑥2 − lim
ℎ→0
2𝑦 − lim
ℎ→0
ℎ 
= 500 + 𝑥2 − 2𝑦 
Dessa forma, calculamos a derivada parcial 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) que é dada por 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
 
 
IV. Interpretação da solução 
Seguindo com o problema dado, essa derivada parcial 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 1200 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥
2 é a taxa 
de variação da produção em relação ao número de operários especializados, mantendo o número 
de operários não especializados constante. Para quaisquer valores de x e y, esta é uma 
aproximação do número de unidades a mais que serão produzidas por semana se o número de 
operários especializados aumentar de 𝑥 para 𝑥 + 𝑘, onde 𝑘 é um número natural, e o número 
𝑦 de operários não especializados permanecer constante. Em particular, se o número de 
operários especializados aumentar de 30 para 31 e o número de operários não especializados 
permanecer constante em 60, a variação da produção será aproximadamente 𝑓𝑥(30,60) =
1200 + 2 ∙ 30 ∙ 60 − 3 ∙ 602 = 2100 unidades. 
Com o objetivo de chegarmos ao resultado da variação exata, substituímos os valores dados 
na função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2: 
𝑓(31,60) = 1200 ∙ 31 + 500 ∙ 60 + 312 ∙ 60 − 313 − 602 = 91469 
𝑓(30,60) = 1200 ∙ 30 + 500 ∙ 60 + 302 ∙ 60 − 303 − 602 = 89400 
Então, a variação exata é 
∆𝑓 = 𝑓(31,60)– 𝑓(30,60) = 91469 – 89400 = 2069 
Comparando a variação exata com a variação estimada pela derivada parcial, concluímos que 
obtivemos uma aproximação com erro muito pequeno. 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
As coisas parecem fazer mais sentido a partir do momento que se conhece a sua origem, 
a necessidade que levou à sua criação e até as dificuldades encontradas até se obter o resultado 
esperado. No caso do cálculo diferencial e integral, desde as primeiras evidências de estudos 
sobre o assunto até a atualidade, já se passaram mais de 300 anos, e ainda não se sabe tudo 
sobre ele, nem sobre a extensão potencial de aplicabilidade dessa poderosa ferramenta da 
matemática, pois continuamente estão sendo descobertas novas utilidades. 
Atualmente, além dos usos que levaram à sua criação, nas áreas de física e astronomia, 
o cálculo é fundamental para as engenharias, na formulação de modelos matemáticos que 
permitem prever a evolução de doenças no corpo humano, efeito de medicamentos na 
farmacologia, a reprodução de bactérias em biologia, crescimento populacional para 
planejamentos de políticas sociais, acompanhamento de movimentos migratórios, entre outros 
tantos. Em nosso cotidiano, está presente desde a hora que acordamos. Se observarmos o fato 
do café quente esfriar, ou as obras deslumbrantes de alguns monumentos arquitetônicos, 
perceberemos a presença do Cálculo. 
Analisando a história, percebe-se que todas as descobertas se deram com muito estudo. 
Algumas delas são aprimorações de realizações de matemáticos que viveram anteriormente, 
como se cada nova descoberta fosse apenas mais uma etapa da construção de um conhecimento 
universal. 
 
 
REFERÊNCIAS: 
DOMINGUES, J. C. Dificuldades de Euler com o cálculo de funções de duas variáveis. 
Suplemento do Boletim da SPM 69, Outubro 2013, pp. 59-60. Centro de Matemática da 
Universidade do Minho, 2013. 
 
MOL, R. S., Introdução à história da Matemática. Belo Horizonte: CAED-UFMG, 2013. 
 
RODRIGUES, F. S.; NASCIMENTO, P. H. R. Licenciatura em Matemática: Cálculo III. 
Faculdade de Tecnologia e Ciências (FTC), 2007. 
 
ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Editora 
Zahar, 2012. 
 
SILVA NETO, A.J; GONÇALVES, J. B. Cálculo III. Batatais: Claretiano, 2014. 
 
STEWART, J. Cálculo, Volume II, [Tradução Antonio Carlos Moretti, Antonio Carlos Gilli 
Martins], São Paulo: Thomson Learning, 2007. 
 
VIEIRA, L. S. O registro semiótico de função de várias variáveis nos livros de Cálculo: uma 
análise a luz da teoria de Raymond Duval. 2018. p. Monografia (Licenciatura em Matemática)- 
Instituto de Ciências Exatas e Naturais do Pontal, Universidade Federal de Uberlândia, 
Ituiutaba.