Polinômios lista 4 - Mariana Torres

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CASA DA MATEMÁTICA 
NATAL – RN 
Lista 4 - Estudo dos Polinômios 
 
4. Polinômios 
Um polinômio é toda expressão algébrica racional inteira. Em outras palavras, um monômio ou 
uma soma indicada de monômios. 
Exemplos: 
a) 5a é um polinômio de um só termo, ou seja, um monômio. 
b) 7x + 5 é um polinômio de dois termos, ou um binômio. 
c) 8y² + 9y +6 é um polinômio de três termos, ou um trinômio. 
 
Observações: 
 Um polinômio com mais de três termos não recebe denominação particular; 
 O polinômio formado por monômios nulos é um polinômio nulo. 
 
4.1 Grau de um polinômio 
O termo de maior grau não-nulo de um polinômio determina o grau desse polinômio não-nulo. 
Exemplos: 
a) 5x³ +2y²x³ - 9y² é um polinômio de 5º grau pois o termo de maior grau é o 2y²x³ 
b) 5a³b + 2²b³ -4a³b³ é um polinômio de 6º grau pois o termo de maior grau é o -4a³b³ 
 
Observação: 
 Podemos também determinar o grau de um polinômio em relação a uma de suas 
variáveis. O maior grau da variável considerada indica o grau do polinômio em relação 
a essa variável. 
Exemplo: a) 3º grau em relação a x 
 4º grau em relação a y 
 
 4.2 Polinômios com uma variável 
São polinômios que apresentam apenas uma única letra como variável. 
Exemplos: 
a) 6x² - x + 8 -> é um polinômio na variável x. 
b) 4y³ + 2y² - 8 + 5y -> é um polinômio na variável y. 
Geralmente os termos de um polinômio de uma só variável são apresentados segundo as 
potências decrescentes da variável. 
Exemplos: 
a) 4y + 5y² - 8 + 6y³ - 12 -> Polinômio não-ordenado. 
 -12 + 6y³+ 5y² + 4y – 8 -> Polinômio ordenado. 
Obs: Quando em um polinômio ordenado estiver faltando uma ou mais potências, dizemos 
que esse polinômio está incompleto. Para escrever esse polinômio em sua forma geral, pode-
se completar as variáveis com coeficientes zero desses termos que faltam. 
Exemplo: x³ + 7x – 4 é um polinômio ordenado e incompleto. Note que falta o termo de grau 2. 
Completaremos da seguinte forma: x³ + 0x² + 7x – 4 para deixar o polinômio em sua forma 
geral (completo e ordenado). 
 
Exercite 
53) Reduza os termos semelhantes, escreva o polinômio em sua forma geral e dê o grau: 
a) 7 – h² + 5h³ - 4 +8h² c) 5x² - x² -4x² + 6 
b) d) t³ - 4t² + 6 – t³ +9t² -15 
 
54) O polinômio é um polinômio de que grau? 
 
55) Qual o polinômio que representa o perímetro da figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
4.3 Adição e subtração de polinômios 
Na prática, faremos a redução entre os termos semelhantes de um polinômio. 
Exemplo: a) ( 5x² -4x + 3) + (2x² + 7x – 9) = 
 = 5x² -4x + 3 + 2x² + 7x – 9 Eliminamos os parênteses 
 = 5x²+ 2x² -4x + 7x + 3 – 9 Agrupamos os termos semelhantes e efetuamos as operações entre eles 
 = 7x² + 3x – 6 
 
 b) ( 8x² -7x + 8) - (6x² + 11x – 9) = 
 = 8x² -7x + 8 - 6x² - 11x + 9 Eliminamos os parênteses 
 = 8x² - 6x² -7x -11x + 8 + 9 = Agrupamos os termos semelhantes e efetuamos as operações entre eles 
 = 2x² - 18x + 17 
 
Exercite 
56) Com as letras A, B e C indicamos os polinômios: 
A = -x² + 4x – 2 
B = 2x² - 3x + 1 
C = -2x² - 5x + 6 
Calcule: 
a) A – B e) C – A 
b) B – A f) C – B 
c) A – C g) A – ( B – C) 
d) B – C h) B + [A – ( B – C)] 
 
57) Se B = 5x – 2y – 1 e A + B = 2x + 3y – 4 , então qual é o polinômio A? 
ATENÇÃO PARA O SINAL 
NEGATIVO ANTES DE 
SINAIS ASSOCIATIVOS. 
58) Calcule: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 Multiplicações de polinômios 
Vamos dividir o estudo da multiplicação de polinômios em dois casos: Multiplicação de 
monômio por polinômio e Multiplicação de polinômio por polinômio. 
 1º Caso: Multiplicação de monômio por polinômio 
Na prática, multiplicamos o monômio por todos os termos do polinômio. 
Exemplos: a) 3x . (5x² + y) = 3x . 5x² + 3x . y = 15x³ + 3xy 
 b) -4m² . (m² - 3a³ +am) = 
Exercite 
58) Calcular os produtos a seguir, simplificando ao máximo as expressões: 
a) -5xy . (-x – y) h) 3x . (5x-1) + (-2x)² 
b) -2pq . (-3p² - q + 1 ) i) 
 
 
 
c) (x² - 1) . (-2x³) j) 2x . 
 
 
 
 
 
 
d) (a+m) . ( -am) k) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) l) 2 . (-6p + 3q) – 7(p - q) 
f) 0,5 . (0,3x + 4,2y) m) 10 – 4 (x - 3) – x (6x – 1) 
g) 
 
 
 n) 7x² + 2 . (x – 1) + 8x . (5x – 2) 
 2º Caso: Multiplicação de polinômio por polinômio 
Na prática, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação. Multiplicamos cada termo 
do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e, a seguir, reduzimos os termos 
semelhantes. 
Exemplos: a) (3x + 5) . (4x – 2 ) 
= 3x . 4x + 3x . -2 + 5 . 4x + 5 . -2 
= 12x² -6x + 20x -10 
= 12x² + 14x – 10 
 
Exercite 
59) Calcule os produtos: 
a) ( x + 3) . ( x + 4) f) 
b) (1 – 2x) . (4 + 3x) g) (x² + 3x – 4) . ( x – 2) 
c) (-x -3) . (-5 -2x) h) (c³+4c² + c) . ( c - 1) 
d) (1 – t²) . (1 + t²) i) (-y² + y -3) . (-y +1) 
e) (xy – 7) . (xy + 6) j) (x³ - 2x² + x + 1 ) . ( x – 1) 
 
60) Simplificar as expressões a seguir: 
a) (x + 3) . (x + 4) – 2 . (x + 1) e) (x² + 2x + 4 ) . ( x -2) – (x² -2x + 4) . (x + 2) 
b) (x + 7) . (x – 7) + (x + 2) . (x – 1) f) (x -1) . (x -2) + (x -3) . (x – 4) – 2 . (x + 3) . (x – 2) 
c) 7x² + 2 . (x – 1) . (x – 3) + 10 g) (x² -xy + y²) . (x + y) – (x² +xy + y²) . (x - y) 
d) 4x + (2x + 5) . (5x – 2 ) – 8 h) (2x² - 3x + 1) . (x² - x + 3) 
4.5 Divisão de polinômios 
Vamos dividir o estudo da divisão de polinômios em dois casos: divisão de polinômio por 
monômio e divisão de polinômio por polinômio. 
 1º caso: Divisão de polinômio por monômio 
 O quociente de um polinômio por um monômio é obtido dividindo-se cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
Exemplo: 
( 12x³ - 9x²) : ( 3x) = 
Dividindo cada termo do polinômio dividendo pelo polinômio divisor, temos: 
(12x³) : (3x) = 4x² e (-9x²) : (3x) = -3x 
Logo: 
( 12x³ - 9x²) : ( 3x) = 4x² - 3x 
 
Exercite 
61) Calcule os quocientes: 
a) (-6x² + 4x) : (2x) h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( i) 
 
 
 
 
 
 
c) (-8 j) (7c² - c) : 
 
 
 
d) (40x² - 20x -3ax) : (-10x) k) (-m² + m ) : 
 
 
 
e) ( l) 
 
 
 
f) (32xy – 16x²y + 6x²y²) : (4xy) 
g) (p³q³ + p²q² + p²q – pq² - pq) : (pq) 
 
 2º caso: Divisão de polinômio por polinômio 
A divisão de polinômio por polinômio será feita considerando apenas os polinômios com uma 
variável. Para facilitar essas divisões devemos escrever os polinômios segundo as potências 
decrescentes da variável, sendo que os polinômios (dividendo e divisor) devem ser escritos na 
forma geral. 
Observe nos exemplos a seguir, uma regra prática para efetuar as divisões entre polinômios:Exemplo 1: Calcular o quociente de (8x² - 10x + 5) por (2x + 1) 
1. Começamos dividindo o primeiro termo do dividendo (8x²) 
pelo primeiro termo do divisor (2x), e obtemos o primeiro 
termo do quociente : (4x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2. Multiplicamos (4x) pelos termos do divisor, colocando o 
resultado com sinal trocado sob o dividendo. A seguir, adicionamos 
algebricamente os termos semelhantes e baixamos o termo seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 3. Repetimos todo o procedimento com o resto parcial obtido 
até que o resto tenha grau menor que o divisor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o resto 12 tem grau menor que o grau do divisor (2x + 1), fica encerrada a divisão. Logo: 
Quociente: 4x – 7 
Resto: 12 
 
Exemplo 2: Calcular o quociente de (8x³ - 1) por (2x - 1) 
Como o polinômio dividendo é incompleto, vamos escrevê-lo na forma geral: 8x³ + 0x² + 0x -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quociente: 4x² + 2x + 1 
Resto: 0 
 Obs.: Quando o resto é zero dizemos que a divisão é exata, ou seja, o polinômio 
dividendo é DIVISÍVEL pelo polinômio divisor. 
 
 
 
Exercite 
62) Calcule os quocientes: 
a) (x² +9x + 14) : (x +7) e) (2 
b) (-5x² +6x +2x³ -4) : (x -1) f) (3x³ -30x +2) : (-3x +x² +1) 
c) (-15x³ +29x² -33x +28) : (3x -4) g) ( 
d) (x³ - 6x² -x + 30) : (x² -x - 6) h)( 
 
63) Dividindo-se ( ) por (2a² - a + 1 ) encontra-se um resto R. Calcule o valor 
numérico de R para a = 
 
 
. 
 
64) Qual o polinômio que , dividido por 5a² - 2a – 3, tem por quociente exato 3a – 4? 
 
65) Determine o polinômio que, dividido por 5x² - 3x + 1, tenha por quociente x² +2x – 3 e 
resto -5x + 2. 
 
66) Divida -10x² + 11x +90 por -2x – 5. Você encontrará um quociente Q1. 
 Divida 28x³ - 47x² + 19x – 5 por 7x² - 3x + 1. O quociente encontrado será Q2. 
Calcule x para que se tenha Q1 = Q2. 
 
 
4.5.1 Teorema do Resto 
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio de primeiro grau do tipo (ax + b) é igual 
ao valor numérico desse polinômio para x = 
 
 
 (raiz do polinômio divisor). 
Ou seja, P 
 
 
 = resto. 
Exemplo: Calcule o resto da divisão do polinômio 2x² + x + 3 pelo polinômio 2x + 3. 
O polinômio divisor é um binômio do tipo ax + b, e sua raiz (valor que zera o polinômio) é 
obtido igualando-o a zero: 
2x + 3 = 0 2x = - 3 x = 
 
 
 
Pelo teorema do resto, sabemos que o resto é encontrado calculando-se o valor numérico do 
polinômio divisor para x = 
 
 
 
P( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 + 3 = 
 – 
 
 
 
 
 
Resto: 6 
(Como verificação, efetue a divisão pela técnica tradicional e compare o resultado. Note que 
em alguns casos a resposta pode ser encontrada mais rapidamente através do teorema do 
resto). 
 
Exercite 
67)(UFU-MG) O resto da divisão de x³ + 3x – 5 por x – 1 é: 
a) 0 b) 4 c) -1 d)3x 
 
68) (U. Católica de Salvador –BA) (adaptada) Sejam os polinômios P = x³ - 2x² + x, Q = 2x – 1 e R 
o resto da divisão de P por Q , efetuando-se P + Q . R encontraremos que resultado? 
4.5.2 Teorema de D’Alembert 
Este teorema é uma espécie de ‘‘consequência do teorema do resto’’. Um polinômio P(x) é 
divisível por um polinômio Q(x) se, e somente se, o resto dessa divisão for zero. Sendo assim, o 
teorema de D’Alembert facilita o cálculo da divisão de um polinômio por um binômio do tipo 
ax + b. Onde o valor numérico de P( 
 
 
 -> P( 
 
 
 . 
 
Exemplo: Determine o valor de p, para que o polinômio P(x)= 2x³ + 5x² - px + 2 seja divisível 
por Q(x) = x – 2: 
 Encontramos a raiz do polinômio divisor Q(x) : x - 2 = 0 -> x = 2 
 Como o polinômio P(x) deve ser divisível pelo polinômio Q(x), então ao calcularmos o 
valor numérico de P(2) devemos encontrar 0; 
P(2) = 2. 2³ + 5 . 2² - p.2 + 2 = 0 
 2 . 8 + 5 . 4 – p . 2 + 2 = 
 16 + 20 – 2p + 2 = 0 
 -2p = -38 
 p = 19