Geometria - figuras planas

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(
Principais Figuras Planas
TRIÂNGULO
: figura plana formada por três lados e ângulos internos. De acordo com a medida dos lados eles podem ser:
Triângulo 
Equilátero
: lados e ângulos internos iguais (60°);
Triângulo Isósceles
: dois lados e dois ângulos internos congruentes;
Triângulo Escaleno
: todos os lados e ângulos internos são diferentes.
M
edida dos ângulos, eles são classificados em:
Triângulo Retângulo
: um ângulo interno de 90°;
Triângulo Obtusângulo: dois ângulos agudos internos (menor que 90°), e um ângulo obtuso interno (maior que 90°);
Triângulo 
Acutângulo
: três ângulos internos menores que 90°.
QUADRADO
: figura plana formada por quatro lados congruentes (mesma medida). Possui quatro ângulos internos de 90° (ângulos retos).
RETÂNGULO
: figura plana formada por quatro lados, donde dois deles são menores. Também possui quatro ângulos internos de 90°.
CÍRCULO
: figura plana que também é chamada de disco. É formado pelo raio (distância entre o centro e a extremidade da figura) e o diâmetro (segmento de reta que passa pelo centro e vai de um lado ao outro da figura.
TRAPÉZIO
: figura plana formada por quatro lados. Apresenta dois lados e bases paralelas, sendo uma menor e outra maior. De acordo com a medida dos lados e ângulos eles são classificados em:
Trapézio Retângulo
: possui dois ângulos de 90º;
Trapézio Isósceles ou Simétrico
: os lados não paralelos possuem a mesma medida;
Trapézio Escaleno
: todos os lados possuem medidas diferentes.
LOSANGO
: figura plana formada por quatro lados iguais. Possui lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.
) (
GEOMETRIA PLANA
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “
geo
” (terra) e “
metria
” (medida); assim, a palavra geometria significa a "medida de terra".
C
onceitos são de suma importância para o entendime
nto da geometria plana:
Ponto
 
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e são indicados com letras maiúsculas.
Reta
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, são chamadas de retas concorrentes.
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas.
A 
reta
, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições:
 
horizontal
 
vertical
 
inclinada
Segmento de Reta
Diferente da reta, o 
segmento de reta
 é limitado
 pois
 corresponde a parte entre dois pontos distintos.
A 
semirreta
 é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim.
Plano
Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas.
Ângulos
Os 
ângulos
 são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:
ângulo
 reto (Â = 90º)
ângulo
 agudo (0º < Â < 90º)
ângulo
 obtuso (90º < Â < 180º)
Área
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área.
Perímetro
O perímetro corresponde 
a
 soma de todos os lados de uma figura geométrica
)
 (
GEOMETRIA PLANA
De acordo com
 
MEDIDA DOS LADOS
 E ÂNGULOS
Triângulo 
Equilátero
3
 lados congruentes (mesma medida).
3
 â
ngulos internos 
com mesma medida de 60º
 totalizam 180°
 
3
 ângulos iguais
AB=BC=AC
Triângulo Isósceles
VÉRTICE 
ângulo formado pelos 
2
 lados congruentes (b). 2 ângulos na Base. (α)
2
 lados e 2 ângulos igua
is
.
Triângulo Escaleno
desigualdade
 dos lados e dos Ângulos
3
 lados diferentes. 
3
 ângulos internos também diferentes.
Triângulo 
Obtusângulo
 
Triângulo 
Acutângulo
.
) (
GEOMETRIA PLANA – TRIANGULO
Figura plana formada por três lados e ângulos internos.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
De acordo com
 
MEDIDA DOS LADOS
Triângulo 
Equilátero
: lados e ângulos internos iguais (60°);
Triângulo Isósceles
: dois lados e dois ângulos internos congruentes;
Triângulo Escaleno
: todos os lados e ângulos internos são diferentes.
De acordo com 
POSIÇÃO DOS LADOS
Triângulo Retângulo
: 
1
 ângulo interno de 90°;
Triângulo Obtusângulo
: 
2
 ângulos agudos internos (menor que 90°), e 
1
 ângulo obtuso interno (maior que 90°);
Triângulo 
Acutângulo
: 
3
 ângulos internos menores que 90°.
De acordo com 
ÂNGULOS INTERNOS
Triângulo retângulo
: 
1
 ângulo reto de 90º.
Triângulo 
equilátero
: todos os lados iguais.
Triângulo isósceles
: tem 2 lados iguais e 2 ângulos iguais
Triangulo Obtuso
:
 
 
1 dos 
é maior que 90%
)
 (
GEOMETRIA PLANA – Semelhança de Triangulo
Triângulos são considerados semelhantes quando 
têm ângulos congruentes e os lados são proporcionais
. 
são
 aqueles que compartilham uma razão de proporcionalidade.
C
aracterística comum a todos os triângulos
A 
soma dos ângulos internos, independente do tamanho dos lados do triângulo, sempre é de 180º
.
SOMA 
ÂNGULOS INTERNOS TRIÂNGULO = 180°
SOMA 
ÂNGULOS 
EXTERNOS
 TRIÂNGULO = 
360
°
Características 
- 
Os critérios de semelhança entre os triângulos obedecem 
as
 seguintes características:
Têm dois ângulos respectivamente iguais (congruentes)
Dois lados proporcionais e o ângulo entre eles 
é igual
Três lados proporcionais
Semelhança entre os Triângulos Retângulos
Todo triângulo retângulo tem um ângulo reto, de 90º. Há, contudo, outras condições e são elas:
Ângulo agudo igual (menor que 90º)
Todos os catetos (dois lados menores do triângulo retângulo) proporcionais
Cateto e hipotenusa (maior lado do triângulo oposto ao ângulo reto) proporcionais
Igualdade de Triângulos
Triângulos semelhantes não são triângulos iguais. Os triângulos são considerados iguais quando coincidem se forem sobrepostos.
Dois triângulos são iguais quando têm:
Um lado e dois ângulos adjacentes
Dois lados e o ângulo entre eles iguais
Os três lados são respectivamente iguais
Atenção
: Não são considerados iguais se tiverem os três ângulos iguais. Isso ocorre porque os triângulos só são considerados iguais quando tiverem ângulos adjacentes e lados respectivamente iguais.
) (
GEOMETRIA PLANA – 
Exercício
Observe os 
2
 Triângulos
a) Eles são semelhantes? Justifique 
b)
 Qual é o ângulo que não aparece nas figuras?
a) São semelhantes porque têm dois ângulos iguais.
b) A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º. Logo:
72º + 35º = 107º
180º - 107º = 73º
Resposta: O ângulo é 73º
O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m b) 2 m
 
c) 2,4 m
d) 3 m e) 2 √6 m
Letra C
)
 (
GEOMETRIA PLANA 
FÓRMULAS 
dos Perímetros
 - 
Para calcular cada uma das figuras planas apresentadas acima, utilizam-se as seguintes fórmulas:
Os 
perímetros de figuras planas
 indicam o valor da medida do contorno da figura. Ou seja, o conceito de perímetro corresponde à soma de todos os lados de uma figura geométrica plana.
Perímetros de Figuras Planas
) (
GEOMETRIA PLANA 
– 
Área e 
Perímetro 
Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas de alguma figura.
Área
equivale
 a medida da superfície de uma figura geométrica
 
para
 encontrar a área de uma figura basta multiplicar 
a
 base (b) pela altura (h)
Perímetro
corresponde
 
 a soma dos segmentos de retas que formam 
a figura, chamados de lados (l)
O 
perímetro do triângulo
 Lembre-se que o triângulo é um polígono (figura plana e fechada) que possui três lados. Assim, para calcular o perímetro do 
triângulo basta
 somar as medidas de seus lados.
Fórmula do PERÍMETRO
Ainda que existam diversos tipos de triângulos, a fórmula para encontrar o perímetrodo triângulo é a mesma para todos eles:
P = L+L+L
 ou 
P = 3L
 
onde,
P
: perímetro
 
L
: lados
a
 
ÁREA
 representa a medida da superfície da figura e 
é sempre calculada em cm
2
 (centímetro quadrado) ou m
2 
(metro quadrado) ou Km
2
 (quilômetro quadrado).
o
 perímetro
, corresponde 
a soma de todos os lados
 da figura e 
é calculado em cm (centímetros), m (metros) ou km (quilômetro).
)
 (
GEOMETRIA PLANA
)
 (
GEOMETRIA PLANA
 - Perímetro do Quadrado 
) (
GEOMETRIA PLANA
 - Área do Quadrado 
GEOMETRIA PLANA
Triângulo Retângulo
Trigonometria do Triangulo Retângulo 
)
 (
GEOMETRIA PLANA
 - Perímetro do 
Retângulo
 
) (
GEOMETRIA PLANA
 
(
Umesp
-
SP
) O perímetro do quadrilátero BDEF é igual a: 
a
)12 
 
b) 10 
 
c) 16
 
 d)
 
20
 
 e)
 
24
 
)
 (
GEOMETRIA PLANA
 
Um pentágono é formado pela 
justaposição de um triângulo isósceles
 e de um quadrado, conforme a figura a abaixo.
Sabendo-se que o perímetro desse triângulo mede 32 m, que a sua base e o lado do quadrado têm a mesma dimensão e que a diagonal do quadrado mede 
8
√2 m, qual é a medida da área desse pentágono?
) (
GEOMETRIA PLANA
 - Perímetro do 
Círculo
 
Sabendo que ABCD é um quadrado e que o triângulo CDE é 
equilátero
, a medida
  
x do ângulo AÊD é
)
 (
GEOMETRIA PLANA
 
No quadrilátero ABCD da figura a seguir, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE mede 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se ainda que AB = CD = √
3
 e BC = 1. Determine a medida de AD.
Primeiramente, observe na figura a seguir que podemos traçar o triângulo BCD:
Através do Teorema de Pitágoras, podemos determinar o comprimento do lado 
BD = x
:
(BD)² = (BC)² + (CD)
²
 
x²
 = 1² + (√3)²
 
x²
 = 1 + 3
 
x = √4
 
x = 2
Vamos verificar a medida do ângulo 
α 
formado pelos segmentos de reta 
BD
 e 
BC 
através da fórmula da tangente:
tg
 α = 
   cateto oposto a α   
         cateto adjacente a α
tg
 α = 
√3
          1
tg
 α = √3
 
α = 60°
Se na primeira figura o ângulo formado pelos segmentos 
EB
 e 
BC
 mede
 90°, o ângulo formado por 
EB
 e 
BD
 é de 30°, o que nos garante que o triângulo 
ABD
 é retângulo, como podemos ver na figura a seguir:
Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras:
(AD)² = (AB)² + (BD)²
y²
 = (√
3
)² + 2²
 
y²
 = 3 + 4
 
y = √7
Portanto, o lado 
AD
 mede 
√
7
.
) (
GEOMETRIA PLANA
Em um terreno, que tem a forma de um triângulo retângulo com catetos medindo 30 m e 40 m, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura que segue. Nessas condições, para que a área ocupada pela casa seja a maior possível, o valor de seu 
semiperímetro
, em metros, deverá ser igual a:
Temos que 
, assim, podemos escrever:
 
 
 
 
(I
)
A área da casa é dada por:
 
Substituindo I na expressão acima:
 
Para que a área seja máxima temos que ter:
 
De I:
O 
semi-perímetro
 
é dado por:
)
 (
GEOMETRIA PLANA
Uma piscina olímpica tem formato retangular e possui 25 metros de largura e 50 metros de comprimento. Qual é 
a
 distância percorrida por um nadador que a atravessa diagonalmente?
Se a piscina possui formato retangular, os lados que medem 25 e 50 metros formam um ângulo reto entre si. O caminho diagonal traçado pelo nadador é a hipotenusa. Consideremos que 
d 
seja 
a
 distância percorrida pelo nadador. Pelo Teorema de Pitágoras, teremos:
Concluímos então que o nadador percorreu 
25√5 metros 
em sua trajetória.
d²
 = 25² + 50²
d²
 = 625 + 2500
d²
 = 3125
d = √3125 d = 25√5
Uma pista retangular para caminhada mede 100 por 250 metros. Deseja-se marcar um ponto P, conforme figura a seguir, de modo que o comprimento do percurso ABPA seja a metade do comprimento total da pista. Calcule a distância entre os pontos B e P.
Observe
 na imagem a seguir as medidas 
x 
e 
y 
que precisamos identificar:
Se o objetivo é que o comprimento de ABPA seja a metade do comprimento total da pista, isso é o mesmo que afirmarmos que:
AB + BP + PA = 
(100 + 100 + 250 + 250)
                          2
100 + x + y = 350
x + y = 350 – 100
x + y = 250
y = 250 – x
A intenção é determinar o valor do comprimento 
BP = x.
 Para isso, em vez de utilizar 
PA = y
, utilizaremos 
PA = 250 – x
 para que tenhamos uma única variável. Aplicaremos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABPA para descobrir o valor de 
x
:
(PA)² = (AB)² + (BP)
²
 
(250 – x)² = 100² + 
x²
62500 – 500x + 
x²
 = 10000 + 
x²
 
– 
500x = 10000 – 62500
– 
500x = – 52500
 
500x = 52500
x = 
52500
      500
x = 105
Portanto, o comprimento 
BP
 vale 
105 metros
.
) (
GEOMETRIA 
PLANA
 - Quadrilátero
Do quadrilátero ABCD da figura a seguir sabe-se que: 
os
 ângulos internos de vértices A e C são retos; Os ângulos CDB e ADB medem respectivamente 45 graus e 30 graus ; o lado CD mede 2 cm. 
Então, os lados AD e AB 
medem,
 respectivamente em cm:
a) √
6
 e √3. 
 
b) √5 e √3.
 
c) √
6
 e √2.
 
d) √
6
 e √5.
 
e) √
3
 e √5.3
Dividindo a figura com uma diagonal ao meio, formara 
2
 triângulos
Usando o angulo de 45° 
cos
 45=x/2 = 2raiz de 
2
.
Usando o angulo de 30° para calcular os 
2
 lados, observe: 
cos30=x/2raiz de2=
raiz de 6
 
e o outro valor é: 
sen30=x/2raizde2=
raiz de 2
No quadrilátero ABCD da figura 
abaixo,
E é um ponto sobre o lado AD tal que o angulo ABE mede 60 ° e os 
angulos
 EBC e BCD são retos.Sabe-se ainda que AB=CD=√3 e BC=1.Determine a medida de AD. Traçando o seguimento BD na figura acima obtemos o triângulo retângulo BDC. Dele vemos que a tangente do ângulo DBC é √
3
, logo o ângulo em questão é 60º.
Utilizando 
pitágoras
 vemos que 
BD=2
Como DBC é 60º, EBD será 30º, logo o triângulo ABD é retângulo. Utilizando 
pitágoras
 nesse último, temos:
AD²
=3+4
 
AD=√7
A + D + 2b + 2c = 360
A + D + 2(b + c) = 360
A + D + 2(180 - alfa) = 360
A + D + 360 - 
2.
alfa = 360
A + D = 2.alfa
No quadrilátero ABCD da figura, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo α
 .
 A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: 
Resolvendo: 
o
 ângulo B foi dividido em b e b
o ângulo C foi dividido em c e c
alfa + b + c = 180 ==> b + c = 180 - alfa
no quadrilátero A + D + B + C = 360
)
 (
GEOMETRIA PLANA
 – Resposta Exercício 
1
Perímetro e Área de Figuras Planas
Resposta a:
Retângulo amarelo:
2*3 = 6
Retângulo verde:
2*6 = 12
Retângulo azul:
10*3 = 30
A soma de todos eles:
6 + 12 + 30 = 
48cm²
Resposta b:
Área do triângulo:
(3*3
)
/2 = 4,5
Retângulo laranja
:
4* (3+3) = 24
Retângulo rosa:
2*5 = 10
A soma de 
todas
 figuras:
4,5 + 24 + 10 = 
38,5
cm²
Resposta c:
Área do trapézio:
(15 + 10) * 6/2
25*6/2 =
150/2 = 75
Área do retângulo:
8*2 = 16
75 + 16 = 
91cm²
Resposta d:
(20*15
)
/2 =
300 / 2 = 
150cm²
Resposta e:
Figura azul:
4
 cm
Se observarmos bem, vemos que a parte de baixo da figura roxa se encaixa na parte branca de cima da figura. Logo, temos um retângulo
4*2 = 8
4 + 8 = 
12cm²
) (
GEOMETRIA PLANA
 
Perímetro e Área de Figuras Planas
Exercício 
1
 
 Determine a área das seguintes figuras (em cm):
a
)
b)
  
 
c)
 
d)
 
e
) 
)
 (
GEOMETRIA PLANA
 
– Exercício
2
) Temos um triângulo 
equilátero
 de lado 6cm. 
 
Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?
3
) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?
4
) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?
5
) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:
a) a = 25 e b = 12
 
b) a = 14 e b = 10
6
) A área da figura abaixo é?
7
) Em um retângulo de perímetro igual a  60, a 
basa
 é duas vezes a altura. Então a área desse retângulo é?
8
) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo é de?
9
) 
Aplicando a fórmula da área do trapézio calcula a área de cada uma das figuras seguintes.
) (
GEO
METRIA PLANA
 – Resposta Exercício 
2
) Perímetro:
6*3 = 18cm
Área:
3
)
4
) Vamos descobrir o lado do quadrado:
x*x = 36
x = 
x = 6
Entãoseu perímetro é 6*4 =
 2
4cm
.
5
) Resposta a:
Área:
25*12 = 300m²
Perímetro:
25+25+12+12 = 
74m
Resposta b:
Área:
14*10 = 140m²
Perímetro:
14+14+10+10 =
 48m
6
)
 
30 
cm²
7
)
 
200
8
) 11 
cm²
9
)
 
2.1)
 A=27 dm
2
 
2.2)
 A=7623 cm
2
)
 (
GEOMETRIA PLANA
 
ÁREA
DIAGONAL
PERÍMETRO 
Triângulo Eqüilátero
) (
GEOMETRIA PLANA
 
Utilizando Teorema de Pitágoras
 
escreva a expressão da Altura, área e perímetro de um triângulo eqüilátero em função do seu lado
 l
ALTURA (H)
)
 (
GEOMETRIA PLANA
 
) (
GEOMETRIA PLANA
 
)