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CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA
7.1. INTRODUÇÃO
Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões 
internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e 
momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam 
deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento 
estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua 
superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizando-se 
as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um 
modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de 
energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para forças 
e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas.
Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças 
externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O 
trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao 
sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial 
(Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode 
ser desprezada e teremos como resultado:
Ue = Ui
7.2. Teorema de Clapeyron
Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os 
deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de 
cada uma das forças.
Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado 
instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.Pi, onde α varia entre 0 e 1 e Pi é o 
valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são 
colocados sob a forma α.δi.
Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou 
seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e o 
incremento de trabalho será
dU=∑
i=1
n
⋅Pi⋅d ⋅i=∑
i=1
n
Pi⋅i⋅⋅d 
Métodos de Energia - 7.1
P
n
δ
1
δ
i
δnP1
P
i
O trabalho total realizado por todas forças é
U=∑
i=1
n
∫
=0
l
P i⋅ i⋅⋅d =
1
2∑i=0
n
P i⋅i
Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos no sentido “generalizado” ou seja Pi pode ser força 
ou momento e δi deslocamento linear ou angular.
A expressão da energia total para um carregamento de momentos é:
U=1
2∑i=1
n
M i⋅i
TEOREMA DE CLAPEYRON:
“A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos 
Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo 
deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço 
considerado”.
7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples
a) Tração e compressão
dU=12 N⋅d  Energia de deformação em um trecho de comprimento dx
d =x⋅dx=
N x
E⋅A x
dx dU=
N x
2
2⋅E⋅A x
dx
Métodos de Energia - 7.2
AE
LNUcteActeNou
A
dxN
E
U
l
x
x
..2
,
.2
1 2
0
2
==== ∫
N
dx
δ
dδ
N
δdNdU .
2
1
=
δ
N
b) Cisalhamento - distribuição uniforme
δ=γ.L
dδ=γ.dx
Ou, em função da tensão de cisalhamento,
Para distribuição não uniforme, 
Seção retangular: k= 6/5
Seção circular: k= 10/9
c) 
Flexão
Métodos de Energia - 7.3
δ
LQ
Q
Q
dx
GA
QdxQdQdU
..2
..
2
1.
2
1 2
=== γδ
GA
QG
A
Q
.
,., === γγττ
dx
AG
QU
L∫= 0
2
.2
∫= L GdxAU 0
2
.2
..τ
dx
AG
QkU
L∫= 0
2
.2
.
dsdx
dϕ
ρ
x
x
d) Torção
d=
r
⋅dx
e) Esforços simples combinados
Métodos de Energia - 7.4
ϕdMdU .
2
1
=
EI
Mdxdsd =≈=
ρρρ
ϕ 1,
dx
IE
MdUdx
EI
Md
zz ..2
,
2
==ϕ
∫= l
z
dx
IE
MU
0
2
..2
∫⋅=
⋅=
=∴===
=====∴=
⋅=
L
P
P
PP
P
PP
I
dxT
G
U
IG
dxT
dU
IG
dxTd
dx
d
IG
TIGT
IG
rT
GIG
T
rdx
ddrdx
dTdU
0
2
2
.
2
1
.
.
2
1
.
.
.
,..
.
.
.
..
.
2
1
ϕϕθθ
τγγθϕϕγ
ϕ
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅= L
P
L
z
LL
I
dxT
GI
dxM
EA
dxQk
GA
dxN
E
U
0
2
0
2
0
2
0
2 .
2
1.
2
1..
2
1.
2
1
T
A B
B'
r
dx
γ
dϕ
T
7.3. Teorema de Castigliano
“A derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual 
ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força”.
Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não 
permitir movimento de corpo rígido.
Seja U a energia de deformação devido à ação 
das forças externas.
Suponha que seja dado um incremento dPi à 
força Pi.
A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente
Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o 
deslocamento dδi do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela 
força dPi será 
Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será
Pelo princípio de conservação de energia, tem-se
Aplicações:
a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço:
Métodos de Energia - 7.5
P
n
δ
1
δ
i
δnP1
P
i
i
i
dP
P
UUdUU ⋅
∂
∂
+=+
ii ddP δ⋅⋅2
1
iiii dPddPU δδ ⋅+⋅⋅+ 2
1
Sem o fator 1/2 pois δi não é provocado por 
dPi
i
i
iiiii
i
P
U
ddPdPUdP
P
UU
δ
δδ
=∂
∂
⋅++=⋅
∂
∂
+ .
2
1. Infinitésimo de 2
ª ordem
E fica provado o teorema de Castigliano
x
P
M
0
δ
L
Cálculo da flecha e da rotação:
b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga
 
- Cálculo das reações de apoio:
- Cálculo dos esforços nas barras:
Equilíbrio dos nós:
Nó B 
Nó A
Métodos de Energia - 7.6
∫=
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−−=
L
x
x
EI
dxM
U
M
Mx
P
MMxPM
0
2
0
0
2
.
1,.
( ) ( )
( ) ( )




+⋅=
⋅−⋅−−⋅=⋅∂
∂
⋅⋅=∂
∂
=




+⋅=
⋅−⋅−−⋅=⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
=
∫∫
∫∫
LMLP
EI
dxMxP
EI
dx
M
MM
EIM
U
LMLP
EI
dxxMxP
EI
dx
P
MM
EIP
U
LL
L
o
L
.
2
.1
1.11
2
.
3
.1
.1.2
2
1
0
2
0
0
0 00
2
0
3
0
0
θ
θ
δ
δ
3L/4
L
P A B
C D
1
2
3
4 5
α
H
C
R
C
R
D
cos α = 0,8
sen α = 0,6
CDDC
DCV
CH
RPRLPLRM
RRF
PHF
==∴⋅⋅==
==
==
∑
∑
∑
4
.3
4
3.,0
,0
,0
N
2
N
1 N
1
 = N
2
 = 0
N
1
=0
N
4
α
N
5
P
4
.5
0cos.0
5
5
P
N
NPFH
−=
=+∴=∑ α
Nó C
Cálculo da energia de deformação do sistema
Barra Ni Li Ai
i
ii
A
LN .2
1 0 L A 0
2 0 (3L)/4 A 0
3 P L A (P2L)/A
4 (3P)/4 (3L)/4 A (27P2L)/(64A)
5 -(5P)/4 (5L)/4 A (125P2L)/(64A)
Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa:
c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada.
Métodos de Energia - 7.7
4
.3
5
3
4
5
0sen.0
4
54
PPN
NNFV
=⋅⋅=
=+∴=∑ α
H
C
N
4
R
C
N
3
4
.3
4
3
PRN
PHN
C ==
==
EA
LP
EA
LP
P
U
EA
LPU
A
LP
EA
LN
E
U
n
i i
ii
.375,3
.64
..216
.
128
216
64
125
64
271.
.2
1.
.2
1
2
1
22
==
∂
∂
=
⋅=



++⋅⋅=⋅= ∑
=
δ
EA
LPUU
EA
LPU
ClapeyrondeteoremaPU
ei
i
e
.
64
216
.
128
216
)(
2
1
2
⋅=∴=
⋅=
⋅⋅=
δ
δ
Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga 
uniformemente distribuída.
Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga 
concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento.
Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois 
fazê-la igual a zero.
7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo)
Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas.
"As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que 
tornam mínimo o trabalho armazenado".
Aplicações: 
a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
Métodos de Energia - 7.8
EI
Lq
EI
Lq
X
Lq
X
LP
X
Lq
EI
xqxPxLq
EI
dxxxqxPxLq
EI
P
M
EI
M
P
U
EI
dxMU
x
P
MxqxPxLqM
xqxRMPLqRR
L
L
x
L L
xx
x
x
AxBA
.384
..5
128
1
48
1.
168
.
86
.
86
.1
423232
.1
22
.
2
.
2
..2