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CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA 7.1. INTRODUÇÃO Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizando-se as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para forças e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas. Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial (Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode ser desprezada e teremos como resultado: Ue = Ui 7.2. Teorema de Clapeyron Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de cada uma das forças. Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.Pi, onde α varia entre 0 e 1 e Pi é o valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são colocados sob a forma α.δi. Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e o incremento de trabalho será dU=∑ i=1 n ⋅Pi⋅d ⋅i=∑ i=1 n Pi⋅i⋅⋅d Métodos de Energia - 7.1 P n δ 1 δ i δnP1 P i O trabalho total realizado por todas forças é U=∑ i=1 n ∫ =0 l P i⋅ i⋅⋅d = 1 2∑i=0 n P i⋅i Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos no sentido “generalizado” ou seja Pi pode ser força ou momento e δi deslocamento linear ou angular. A expressão da energia total para um carregamento de momentos é: U=1 2∑i=1 n M i⋅i TEOREMA DE CLAPEYRON: “A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço considerado”. 7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples a) Tração e compressão dU=12 N⋅d Energia de deformação em um trecho de comprimento dx d =x⋅dx= N x E⋅A x dx dU= N x 2 2⋅E⋅A x dx Métodos de Energia - 7.2 AE LNUcteActeNou A dxN E U l x x ..2 , .2 1 2 0 2 ==== ∫ N dx δ dδ N δdNdU . 2 1 = δ N b) Cisalhamento - distribuição uniforme δ=γ.L dδ=γ.dx Ou, em função da tensão de cisalhamento, Para distribuição não uniforme, Seção retangular: k= 6/5 Seção circular: k= 10/9 c) Flexão Métodos de Energia - 7.3 δ LQ Q Q dx GA QdxQdQdU ..2 .. 2 1. 2 1 2 === γδ GA QG A Q . ,., === γγττ dx AG QU L∫= 0 2 .2 ∫= L GdxAU 0 2 .2 ..τ dx AG QkU L∫= 0 2 .2 . dsdx dϕ ρ x x d) Torção d= r ⋅dx e) Esforços simples combinados Métodos de Energia - 7.4 ϕdMdU . 2 1 = EI Mdxdsd =≈= ρρρ ϕ 1, dx IE MdUdx EI Md zz ..2 , 2 ==ϕ ∫= l z dx IE MU 0 2 ..2 ∫⋅= ⋅= =∴=== =====∴= ⋅= L P P PP P PP I dxT G U IG dxT dU IG dxTd dx d IG TIGT IG rT GIG T rdx ddrdx dTdU 0 2 2 . 2 1 . . 2 1 . . . ,.. . . . .. . 2 1 ϕϕθθ τγγθϕϕγ ϕ ∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅= L P L z LL I dxT GI dxM EA dxQk GA dxN E U 0 2 0 2 0 2 0 2 . 2 1. 2 1.. 2 1. 2 1 T A B B' r dx γ dϕ T 7.3. Teorema de Castigliano “A derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força”. Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não permitir movimento de corpo rígido. Seja U a energia de deformação devido à ação das forças externas. Suponha que seja dado um incremento dPi à força Pi. A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o deslocamento dδi do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela força dPi será Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será Pelo princípio de conservação de energia, tem-se Aplicações: a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço: Métodos de Energia - 7.5 P n δ 1 δ i δnP1 P i i i dP P UUdUU ⋅ ∂ ∂ +=+ ii ddP δ⋅⋅2 1 iiii dPddPU δδ ⋅+⋅⋅+ 2 1 Sem o fator 1/2 pois δi não é provocado por dPi i i iiiii i P U ddPdPUdP P UU δ δδ =∂ ∂ ⋅++=⋅ ∂ ∂ + . 2 1. Infinitésimo de 2 ª ordem E fica provado o teorema de Castigliano x P M 0 δ L Cálculo da flecha e da rotação: b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga - Cálculo das reações de apoio: - Cálculo dos esforços nas barras: Equilíbrio dos nós: Nó B Nó A Métodos de Energia - 7.6 ∫= −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ −−= L x x EI dxM U M Mx P MMxPM 0 2 0 0 2 . 1,. ( ) ( ) ( ) ( ) +⋅= ⋅−⋅−−⋅=⋅∂ ∂ ⋅⋅=∂ ∂ = +⋅= ⋅−⋅−−⋅=⋅ ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ = ∫∫ ∫∫ LMLP EI dxMxP EI dx M MM EIM U LMLP EI dxxMxP EI dx P MM EIP U LL L o L . 2 .1 1.11 2 . 3 .1 .1.2 2 1 0 2 0 0 0 00 2 0 3 0 0 θ θ δ δ 3L/4 L P A B C D 1 2 3 4 5 α H C R C R D cos α = 0,8 sen α = 0,6 CDDC DCV CH RPRLPLRM RRF PHF ==∴⋅⋅== == == ∑ ∑ ∑ 4 .3 4 3.,0 ,0 ,0 N 2 N 1 N 1 = N 2 = 0 N 1 =0 N 4 α N 5 P 4 .5 0cos.0 5 5 P N NPFH −= =+∴=∑ α Nó C Cálculo da energia de deformação do sistema Barra Ni Li Ai i ii A LN .2 1 0 L A 0 2 0 (3L)/4 A 0 3 P L A (P2L)/A 4 (3P)/4 (3L)/4 A (27P2L)/(64A) 5 -(5P)/4 (5L)/4 A (125P2L)/(64A) Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa: c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada. Métodos de Energia - 7.7 4 .3 5 3 4 5 0sen.0 4 54 PPN NNFV =⋅⋅= =+∴=∑ α H C N 4 R C N 3 4 .3 4 3 PRN PHN C == == EA LP EA LP P U EA LPU A LP EA LN E U n i i ii .375,3 .64 ..216 . 128 216 64 125 64 271. .2 1. .2 1 2 1 22 == ∂ ∂ = ⋅= ++⋅⋅=⋅= ∑ = δ EA LPUU EA LPU ClapeyrondeteoremaPU ei i e . 64 216 . 128 216 )( 2 1 2 ⋅=∴= ⋅= ⋅⋅= δ δ Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga uniformemente distribuída. Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento. Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois fazê-la igual a zero. 7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo) Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas. "As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que tornam mínimo o trabalho armazenado". Aplicações: a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído Métodos de Energia - 7.8 EI Lq EI Lq X Lq X LP X Lq EI xqxPxLq EI dxxxqxPxLq EI P M EI M P U EI dxMU x P MxqxPxLqM xqxRMPLqRR L L x L L xx x x AxBA .384 ..5 128 1 48 1. 168 . 86 . 86 .1 423232 .1 22 . 2 . 2 ..2