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CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA 7.1. INTRODUÇÃO Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizando-se as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para forças e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas. Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial (Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode ser desprezada e teremos como resultado: Ue = Ui 7.2. Teorema de Clapeyron Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de cada uma das forças. Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.Pi, onde α varia entre 0 e 1 e Pi é o valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são colocados sob a forma α.δi. Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e o incremento de trabalho será dU=∑ i=1 n ⋅Pi⋅d ⋅i=∑ i=1 n Pi⋅i⋅⋅d Métodos de Energia - 7.1 P n δ 1 δ i δnP1 P i O trabalho total realizado por todas forças é U=∑ i=1 n ∫ =0 l P i⋅ i⋅⋅d = 1 2∑i=0 n P i⋅i Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos no sentido “generalizado” ou seja Pi pode ser força ou momento e δi deslocamento linear ou angular. A expressão da energia total para um carregamento de momentos é: U=1 2∑i=1 n M i⋅i TEOREMA DE CLAPEYRON: “A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço considerado”. 7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples a) Tração e compressão dU=12 N⋅d Energia de deformação em um trecho de comprimento dx d =x⋅dx= N x E⋅A x dx dU= N x 2 2⋅E⋅A x dx Métodos de Energia - 7.2 AE LNUcteActeNou A dxN E U l x x ..2 , .2 1 2 0 2 ==== ∫ N dx δ dδ N δdNdU . 2 1 = δ N b) Cisalhamento - distribuição uniforme δ=γ.L dδ=γ.dx Ou, em função da tensão de cisalhamento, Para distribuição não uniforme, Seção retangular: k= 6/5 Seção circular: k= 10/9 c) Flexão Métodos de Energia - 7.3 δ LQ Q Q dx GA QdxQdQdU ..2 .. 2 1. 2 1 2 === γδ GA QG A Q . ,., === γγττ dx AG QU L∫= 0 2 .2 ∫= L GdxAU 0 2 .2 ..τ dx AG QkU L∫= 0 2 .2 . dsdx dϕ ρ x x d) Torção d= r ⋅dx e) Esforços simples combinados Métodos de Energia - 7.4 ϕdMdU . 2 1 = EI Mdxdsd =≈= ρρρ ϕ 1, dx IE MdUdx EI Md zz ..2 , 2 ==ϕ ∫= l z dx IE MU 0 2 ..2 ∫⋅= ⋅= =∴=== =====∴= ⋅= L P P PP P PP I dxT G U IG dxT dU IG dxTd dx d IG TIGT IG rT GIG T rdx ddrdx dTdU 0 2 2 . 2 1 . . 2 1 . . . ,.. . . . .. . 2 1 ϕϕθθ τγγθϕϕγ ϕ ∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅= L P L z LL I dxT GI dxM EA dxQk GA dxN E U 0 2 0 2 0 2 0 2 . 2 1. 2 1.. 2 1. 2 1 T A B B' r dx γ dϕ T 7.3. Teorema de Castigliano “A derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força”. Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não permitir movimento de corpo rígido. Seja U a energia de deformação devido à ação das forças externas. Suponha que seja dado um incremento dPi à força Pi. A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o deslocamento dδi do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela força dPi será Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será Pelo princípio de conservação de energia, tem-se Aplicações: a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço: Métodos de Energia - 7.5 P n δ 1 δ i δnP1 P i i i dP P UUdUU ⋅ ∂ ∂ +=+ ii ddP δ⋅⋅2 1 iiii dPddPU δδ ⋅+⋅⋅+ 2 1 Sem o fator 1/2 pois δi não é provocado por dPi i i iiiii i P U ddPdPUdP P UU δ δδ =∂ ∂ ⋅++=⋅ ∂ ∂ + . 2 1. Infinitésimo de 2 ª ordem E fica provado o teorema de Castigliano x P M 0 δ L Cálculo da flecha e da rotação: b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga - Cálculo das reações de apoio: - Cálculo dos esforços nas barras: Equilíbrio dos nós: Nó B Nó A Métodos de Energia - 7.6 ∫= −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ −−= L x x EI dxM U M Mx P MMxPM 0 2 0 0 2 . 1,. ( ) ( ) ( ) ( ) +⋅= ⋅−⋅−−⋅=⋅∂ ∂ ⋅⋅=∂ ∂ = +⋅= ⋅−⋅−−⋅=⋅ ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ = ∫∫ ∫∫ LMLP EI dxMxP EI dx M MM EIM U LMLP EI dxxMxP EI dx P MM EIP U LL L o L . 2 .1 1.11 2 . 3 .1 .1.2 2 1 0 2 0 0 0 00 2 0 3 0 0 θ θ δ δ 3L/4 L P A B C D 1 2 3 4 5 α H C R C R D cos α = 0,8 sen α = 0,6 CDDC DCV CH RPRLPLRM RRF PHF ==∴⋅⋅== == == ∑ ∑ ∑ 4 .3 4 3.,0 ,0 ,0 N 2 N 1 N 1 = N 2 = 0 N 1 =0 N 4 α N 5 P 4 .5 0cos.0 5 5 P N NPFH −= =+∴=∑ α Nó C Cálculo da energia de deformação do sistema Barra Ni Li Ai i ii A LN .2 1 0 L A 0 2 0 (3L)/4 A 0 3 P L A (P2L)/A 4 (3P)/4 (3L)/4 A (27P2L)/(64A) 5 -(5P)/4 (5L)/4 A (125P2L)/(64A) Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa: c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada. Métodos de Energia - 7.7 4 .3 5 3 4 5 0sen.0 4 54 PPN NNFV =⋅⋅= =+∴=∑ α H C N 4 R C N 3 4 .3 4 3 PRN PHN C == == EA LP EA LP P U EA LPU A LP EA LN E U n i i ii .375,3 .64 ..216 . 128 216 64 125 64 271. .2 1. .2 1 2 1 22 == ∂ ∂ = ⋅= ++⋅⋅=⋅= ∑ = δ EA LPUU EA LPU ClapeyrondeteoremaPU ei i e . 64 216 . 128 216 )( 2 1 2 ⋅=∴= ⋅= ⋅⋅= δ δ Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga uniformemente distribuída. Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento. Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois fazê-la igual a zero. 7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo) Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas. "As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que tornam mínimo o trabalho armazenado". Aplicações: a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído Métodos de Energia - 7.8 EI Lq EI Lq X Lq X LP X Lq EI xqxPxLq EI dxxxqxPxLq EI P M EI M P U EI dxMU x P MxqxPxLqM xqxRMPLqRR L L x L L xx x x AxBA .384 ..5 128 1 48 1. 168 . 86 . 86 .1 423232 .1 22 . 2 . 2 ..22 .22, 2 .2 2 , 2 . 2 . 2 .. 2 .., 22 . 44 434 2/ 0 433 2/ 0 2 2/ 0 2/ 0 2 2 2 = −⋅= −+= ⋅−⋅+⋅⋅= ⋅ −+⋅= ∂ ∂ ⋅⋅= ∂ ∂ =⋅= =∂ ∂ −+= −=+== ∫ ∫ ∫ δ δ δ δ δ RA RB MA HA Considera-se estrutura isostática correspondente de uma estrutura hiperestática dada, aquela que resulta da supressão de vínculos da estrutura dada x L A B q R A R B P=0 Tomando a incógnita hiperestática RB da estrutura isostática correspondente: b) Viga bi-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído Métodos de Energia - 7.9 R B q x LqR X LqLRdxxqxRdx R M EI M R U x R MxqxRM B B L B L BB B B . 8 3 42 . 3 . 2 ..0 , 2 .. 43 0 3 2 0 2 ⋅= −=⋅ −=⋅ ∂ ∂ ⋅== ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∫∫ q R B q x M B ∫ ∫ ∫ = ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ = −=∂ ∂ =∂ ∂ −−= L BB L BB L BB BB M M EI M M U R M EI M R U EI dxM U M M x R Mxq MxRM 0 0 0 2 2 0 0 , 2 1,, 2 . . c) Determinar as reações de apoio de viga de seção uniforme com o carregamento indicado Estrutura isostática correspondente d) A viga em balanço BC é ligada ao cabo de aço AB como indicado. Sabe-se que o cabo de aço inicialmente está esticado sem apresentar tensões. Determinar a tração no cabo provocada pela carga distribuída. Métodos de Energia - 7.10 12 ., 2 . :Re 0 32 . 2 . ).1( 2 ..0 0 422 . 3 .. 2 ..0 2 32 0 2 423 0 2 LqMLqR ssimultâneaequaçõesdesistemaosolvendo LqLM LR dxxqMxR M U LqLMLRdxxxqMxR R U BB B B L BB B BB L BB B == =⋅−+−=− −−==∂ ∂ =⋅−−= −−== ∂ ∂ ∫ ∫ q L/2 L/2 A B C q L/2 L/2 A R B C x RCR A LqR LqLqRLqLRLLq xqxRxLqdxxxqxRxLq EI x R MxqxRxLqM RLqRxqxRM dx R M EI Mdx R M EI M R U EI dxMU B BB L B L B B B B AA L L B L BB ⋅⋅= −=∴=⋅+⋅+⋅− = ⋅+⋅+⋅−= −⋅ −−⋅= −= ∂ ∂ −−= −=−= ⋅ ∂ ∂ ⋅⋅=⋅ ∂ ∂ ⋅== ∂ ∂ = ∫ ∫ ∫∫ 8 5 16 . 6 . 6 0 1648382 . 0 423232 . 22 . 2 . 2 ..20 2 , 2 . 2 . 2 .. 22 ., 2 .. 20, 2 433 2/ 0 4332/ 0 2 2 2 0 2/ 00 2 4 incógintas (reações de apoio) e 3 equações (equações da estática para estruturas planas) Liberando o vínculo A a aplicando RA como carga eposteriormente aplica-se o teorema de Menabréa. A energia de deformação da estrutura é a soma da energia de deformação do cabo (UT) com a a energia de deformação da viga (UV). Métodos de Energia - 7.11 W410x46,1 I = 156,1x106 mm4L=6m L 1 =3m R A R C H C M C A B C kNR vemvaloresosdosubstituin EI L EA LEI LqR EI Lq EI LR EA L R LqLR EIEA LR dxxxqxR EIEA LR R U R U R UUUU x R MxqxRM EI dxMU EA LR R U EA LR U A A A A AAL A A A V A T A VT A A L V A A TA T 88,43 , 3 1 8 .0 8 . 3 . 423 .1.. 2 ..1 . 0 0, , 2 .., 2 . . , 2 . 3 1 443 1 43 1 0 2 1 2 0 2 11 2 = + ⋅=∴=−+⋅ ⋅−⋅+= −⋅+= ∂ ∂ + ∂ ∂ == ∂ ∂ += =∂ ∂ −== =∂ ∂ = ∫ ∫ 18mm de diâmetro 7.5. Teoremas de Betti-Maxwell (teoremas de reciprocidade) Seja um corpo elástico com uma força P1 aplicada em A e outra força P2 aplicada em B. Aplicando inicialmente P1 em A, o trabalho realizado será (δA1 = deslocamento do ponto A na direção de P1 devido a P1). Aplicando-se, posteriormente P2 em B, P2 realizará o trabalho . A força P1 realizará também um trabalho pois, ao ser aplicada a força P2 o ponto A sofrerá um deslocamento δA2 (deslocamento do ponto A devido a uma força aplicada em B) resultando em um trabalho igual a P1.δA2 (sem o fator 1/2 porque δA2 não é provocado por P1). Assim, o trabalho total armazenado será Invertendo a ordem de aplicação das forças, encontra-se Como o trabalho total independe da ordem de aplicação das forças, U1 = U2 P1.δA2 = P2.δB1 - teorema de Betti "Em uma estrutura, isostática ou hiperestática, solicitada sucessivamente por dois sistemas de forças, P1 e P2, a soma dos produtos dos deslocamentos das forças P1 pelos deslocamentos correspondentes devidos às forças P2 é igual à soma dos produtos dos esforços P2 pelos deslocamentos correspondentes devidos aos esforços P1". P1.δA2 = P2.δB1 Métodos de Energia - 7.12 P 1 P 2 A B 112 1 AP δ⋅⋅ 222 1 BP δ⋅⋅ 2122111 2 1 2 1 ABA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1222112 2 1 2 1 BBA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅= Fazendo P1 = P2 , a expressão fica δA2 = δB1 - teorema de Maxwell "O deslocamento do ponto A originado pela força aplicada no ponto B é igual ao deslocamento do ponto B originado pela mesma força, mas aplicada no ponto A". Se P1 = P2 , então δB1 = δA2 7.6. Recalques de apoio Neste tópico serão mostrados alguns exemplos de estruturas em que o apoio sofre, por algum motivo, um deslocamento. Exemplos: a) Quando a viga está descarregada, a folga entre o apoio central e a superfície inferior da viga de madeira mostrada na figura é 36 mm. Determinar a reação no apoio central qunado a viga suporta uma carga uniformemente distribuída de 12 kN/m. E=11 GPa Métodos de Energia - 7.13 A P 1 δ B1 P 1 A B δ B1 L/2 L/2 δ 0 q 150mm 250mm L = 6 m R B q 22 . , 2 . . 2 .2 2 2/ 0 2 0 B AA L B RLq R xq xRM EI dxMU R U −=−= ⋅= −=∂ ∂ ∫ δ b) Calcular as reações de apoio da estrutura abaixo: Métodos de Energia - 7.14 kNR valoresosdosubstituin L LqEIR LRLq EI LqLRLq EI xqxRxLq EI dx xxqxRxLq EI x R MxqxRxLqM B B BB L B L B B B 8,27 , 48 384 ..5. 24 . 192 ..5 2 1 64 . 24 . 24 . 2 1 4 . 3 . 3 .. 2 1 22 . 2 . 2 ..2 2 , 2 . 2 . 2 .. 3 4 0 34434 0 2/ 0 433 0 2/ 0 2 0 2 = ⋅ +−= −⋅= −−⋅= −−⋅−=− ⋅ −⋅ −−⋅=− −= ∂ ∂ −−= ∫ δ δ δ δ L k P x ( ) x R M xPRM = ∂ ∂ −= . R ( ) ( ) 3 3 3333 3 0 0 22 . 31 1 . 3 3 . 3 10 3 . 3 . 3 1 ... 1 0, 2 ., 2 1 Lk EI PRP Lk EIR EI LP EI L k R EI LP EI LR k R L PR EIk R dxxxPR EIk R R U UUU EI dxMU k RU L VM L VM + =∴= + = +∴=−+ −+=−+==∂ ∂ += == ∫ ∫ c) Calcular as reações de apoio d) Calcular as reações de apoio Métodos de Energia - 7.15 q A C B k 1 k 2 R A RC R BL/2 L/2 I = 60,89 x 10-6 m4 E = 200 GPa L = 6 m k 1 = 1,4 MN/m k 2 = 2,1 MN/m kNR EI L kk kkEI LqR EI Lq EI L kk R k R k RLqLRLlq EI k R k RxqxRxLq EI k R k R dxxxq xRxLq EIR U x R MxqxRxLqM xqxRM RLqR B BB BBB BB L B BBL B B B xB x Ax B A 11,7 48. 384 ..5 384 ..5 48 11 0 1688686 .1 0 423232 .1 22 . 2 . 2 ..20 2 , 2 . 22 . 2 .., 22 . 3 21 21 443 21 21 433 21 2/ 0 433 21 2/ 0 2 2 2 = − + =∴= −+ =++ ⋅−⋅−⋅− =++ ⋅−⋅−⋅− ++ − −−==∂ ∂ −= ∂ ∂ −⋅−⋅= −=−= ∫ δ 0 q o L k L xqo . x E = 210 GPa I = 20 x 106 m4 L = 5 m q o = 3 kN/m δ o = 5 mm k = 1,2 MN/m R 7.7. Princípio dos trabalhos virtuais "O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas" Força virtual: é uma força "fictícia" que não altera o estado de tensões, deformações, deslocamentos, esforços internos, etc de uma estrutura real. Esforço interno virtual: esforço externo produzido por um carregamento virtual. Trabalho virtual de uma força externa: produto da força (virtual) pelo deslocamento (real) de seu ponto de aplicação. Trabalho virtual das forças internas: trabalho (virtual) produzido pelos esforços internos virtuais (os deslocamentos são reais). Seja a viga bi-apoiada deseja-se calcular a flecha em C. Aplicando em C uma carga virtual unitária (esta carga, conforme já foi dito, não altera o estado de deformação nem os esforços internos na viga) O trabalho virtual das forças externas será: Métodos de Energia - 7.16 NR EI L k EI Lq R EI Lq EI L k R L L qLR EIk Rdxx L xq xR EIk R R U x R M L xq xRxx L q xRMo o o o oL o o oo 82,918 3 1 30 . 30 . 3 1 563 .1. 6 . .1 , 6 . . 32 . 3 4 43 53 0 3 3 = + +− = −= + ⋅−+= −+−=−=∂ ∂ =∂ ∂ −=⋅⋅−= ∫ δ δ δ A B δ C δ.PU e = A B δ (real) C P = 1 (virtual) O trabalho virtual das forças internas será dϕ e dy são devidos ao carregamento real Normalmente pode-se fazer algumas simplificações - Em peças que não trabalhem fundamentalmente a tração ou compressão, a parcela correspondente ao esforço normal pode ser desprezada sem erro considerável. - Normalmente pode-se desprezar também as deformações relativas ao esforço cortante. Tais simplificações devem ser analisadas com critério para evitar possíveis erros grosseiros. Métodos de Energia - 7.17 ∫∫ += LLi dyVdMU 00 ϕ real real virtual virtual ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ +++= += == += == L P LL o L LL o ie L i dx GI TTdx GA VVkdx EI MMdx EA NN geralcasonoou dx GA VVkdx EI MM PUU dx GA VVkdx EI MMU dx EA kQ dydx EI M d 000 0 0 ,, 1, , δ δ ϕ A B C P = 1 4 .LP DMF DEC V A V B Aplicações 1) Calcular o deslocamento horizontal do apoio D do quadro da figura. EI = 2,0x104 tf.m2 para todas as barras. Diagrama de momentos fletores Barra 1: M1 = HA.x1 = 5.x1 Barra 2: M2 = HA.3 - VA.x2 = 15 - 3.x2 Como se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio D, deve-se aplicar, naquele ponto, uma carga virtual unitária e utilizar o princípio dos trabalhos virtuais. Métodos de Energia - 7.18 Cálculo das reações de apoio: tVtV VM VVF tHF BA DA BAV Ax 3,3 5.350 0 50 == =×∴= =∴= =∴= ∑ ∑ ∑ C 5t 3m 5m A B C H A V A V B x 1 x 2 1 2 3 15 A B H A V A x 1 x 2 1 2 3 P=1 V B Momentos fletores 2) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço com carga uniformemente distribuída. Cálculo da flecha: Métodos de Energia - 7.19 1,0 === ABA HVV 33. 2 . 1 2 11 == = A A HM Barra xHM Barra ( ) mm xxx EI dx EI xdx EI xxdx EI MM D D D H H H 88,7 2 .9.45 3 .51 3..315..5 5 0 23 0 3 5 0 3 0 = −+ = − +== ∫∫∫ δ δ δ 3 DMF q x 2 . 2xqM −= L 2 . 2xqM −= M = -P.x = -x P = 1 Para cálculo da flecha aplica- se uma carga virtual unitária enquanto que para o cálculo da rotação aplica-se um momento fletor virtual unitário (sempre no ponto em que se deseja realizar o cálculo. M = 1 M = -1 Cálculo da rotação: Métodos de Energia - 7.20 EI Lqx EI qxdx EI xqdx EI MM L LL 8 . 422 .. 4 0 4 0 2 0 =⋅=== ∫∫δ EI Lqdx EI xqdx EI MM LL 6 . 2 .. 3 0 2 0 === ∫∫θ CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA
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