CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA

7.1. INTRODUÇÃO
Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões

internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e
momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam
deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento
estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua
superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizando-se
as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um
modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de
energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para forças
e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas.

Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças
externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O
trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao
sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial
(Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode
ser desprezada e teremos como resultado:

Ue = Ui

7.2. Teorema de Clapeyron

Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os
deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de
cada uma das forças.

Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado
instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.Pi, onde α varia entre 0 e 1 e Pi é o
valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são
colocados sob a forma α.δi.

Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou
seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e o
incremento de trabalho será

dU=∑
i=1

n

⋅Pi⋅d ⋅i=∑
i=1

n

Pi⋅i⋅⋅d 

Métodos de Energia - 7.1

P
n

δ
1

δ
i

δnP1

P
i

O trabalho total realizado por todas forças é

U=∑
i=1

n

∫
=0

l

P i⋅ i⋅⋅d =
1
2∑i=0

n

P i⋅i

Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos no sentido “generalizado” ou seja Pi pode ser força
ou momento e δi deslocamento linear ou angular.

A expressão da energia total para um carregamento de momentos é:

U=1
2∑i=1

n

M i⋅i

TEOREMA DE CLAPEYRON:
“A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos

Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo
deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço
considerado”.

7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples

a) Tração e compressão

dU=12 N⋅d  Energia de deformação em um trecho de comprimento dx

d =x⋅dx=
N x
E⋅A x

dx dU=
N x

2

2⋅E⋅A x
dx

Métodos de Energia - 7.2

AE
LNUcteActeNou

A
dxN

E
U

l

x

x

..2
,

.2
1 2

0

2

==== ∫

N

dx
δ

dδ
N

δdNdU .
2
1

=

δ

N

b) Cisalhamento - distribuição uniforme

δ=γ.L
dδ=γ.dx

Ou, em função da tensão de cisalhamento,

Para distribuição não uniforme,

Seção retangular: k= 6/5

Seção circular: k= 10/9

c)
Flexão

Métodos de Energia - 7.3

δ

LQ

Q

Q

dx
GA

QdxQdQdU
..2

..
2
1.

2
1 2

=== γδ

GA
QG

A
Q

.
,., === γγττ

dx
AG

QU
L∫= 0

2

.2

∫= L GdxAU 0
2

.2
..τ

dx
AG

QkU
L∫= 0

2

.2
.

dsdx

dϕ
ρ

x

x

d) Torção

d=
r
⋅dx

e) Esforços simples combinados

Métodos de Energia - 7.4

ϕdMdU .
2
1

=

EI
Mdxdsd =≈=

ρρρ
ϕ 1,

dx
IE

MdUdx
EI
Md

zz ..2
,

2

==ϕ

∫= l
z

dx
IE

MU
0

2

..2

∫⋅=
⋅=

=∴===

=====∴=

⋅=

L

P

P

PP
P

PP

I
dxT

G
U

IG
dxT

dU

IG
dxTd

dx
d

IG
TIGT

IG
rT

GIG
T

rdx
ddrdx

dTdU

0

2

2

.
2
1

.
.

2
1

.

.
.

,..

.
.

.
..

.
2
1

ϕϕθθ

τγγθϕϕγ

ϕ

∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅= L
P

L

z

LL

I
dxT

GI
dxM

EA
dxQk

GA
dxN

E
U

0

2

0

2

0

2

0

2 .
2
1.

2
1..

2
1.

2
1

T

A B

B'

r

dx

γ

dϕ

T

7.3. Teorema de Castigliano

“A derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual
ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força”.

Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não
permitir movimento de corpo rígido.

Seja U a energia de deformação devido à ação
das forças externas.
Suponha que seja dado um incremento dPi à
força Pi.

A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente

Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o
deslocamento dδi do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela
força dPi será

Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será

Pelo princípio de conservação de energia, tem-se

Aplicações:
a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço:

Métodos de Energia - 7.5

P
n

δ
1

δ
i

δnP1

P
i

i
i

dP
P
UUdUU ⋅

∂
∂

+=+

ii ddP δ⋅⋅2
1

iiii dPddPU δδ ⋅+⋅⋅+ 2
1

Sem o fator 1/2 pois δi não é provocado por
dPi

i
i

iiiii
i

P
U

ddPdPUdP
P
UU

δ

δδ

=∂
∂

⋅++=⋅
∂
∂

+ .
2
1. Infinitésimo de 2

ª ordem

E fica provado o teorema de Castigliano

x

P
M

0

δ

L

Cálculo da flecha e da rotação:

b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga

- Cálculo das reações de apoio:

- Cálculo dos esforços nas barras:
Equilíbrio dos nós:

Nó B

Nó A

Métodos de Energia - 7.6

∫=
−=

∂
∂

−=

∂
∂

−−=

L
x

x

EI
dxM

U

M
Mx

P
MMxPM

0

2

0
0

2
.

1,.

( ) ( )

( ) ( )







+⋅=

⋅−⋅−−⋅=⋅∂
∂

⋅⋅=∂
∂

=







+⋅=

⋅−⋅−−⋅=⋅

∂
∂

⋅=

∂
∂

=

∫∫

∫∫

LMLP
EI

dxMxP
EI

dx
M
MM

EIM
U

LMLP
EI

dxxMxP
EI

dx
P
MM

EIP
U

LL

L

o

L

.
2
.1

1.11

2
.

3
.1

.1.2
2

1

0

2

0
0

0 00

2
0

3

0
0

θ

θ

δ

δ

3L/4

L

P A B

C D

1

2

3

4 5

α

H
C

R
C

R
D

cos α = 0,8
sen α = 0,6

CDDC

DCV

CH

RPRLPLRM

RRF

PHF

==∴⋅⋅==

==

==

∑
∑
∑

4
.3

4
3.,0

,0

,0

N
2

N
1 N

1
 = N

2
 = 0

N
1
=0

N
4

α
N

5

P

4
.5

0cos.0

5

5

P
N

NPFH

−=

=+∴=∑ α

Nó C

Cálculo da energia de deformação do sistema

Barra Ni Li Ai
i

ii

A
LN .2

1 0 L A 0
2 0 (3L)/4 A 0
3 P L A (P2L)/A
4 (3P)/4 (3L)/4 A (27P2L)/(64A)
5 -(5P)/4 (5L)/4 A (125P2L)/(64A)

Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa:

c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada.

Métodos de Energia - 7.7

4
.3

5
3

4
5

0sen.0

4

54

PPN

NNFV

=⋅⋅=

=+∴=∑ α

H
C

N
4

R
C

N
3

4
.3

4

3

PRN

PHN

C ==

==

EA
LP

EA
LP

P
U

EA
LPU

A
LP

EA
LN

E
U

n

i i

ii

.375,3
.64

..216

.
128
216

64
125

64
271.

.2
1.

.2
1

2

1

22

==

∂
∂

=

⋅=





++⋅⋅=⋅= ∑

=

δ

EA
LPUU

EA
LPU

ClapeyrondeteoremaPU

ei

i

e

.
64

216

.
128
216

)(
2
1

2

⋅=∴=

⋅=

⋅⋅=

δ

δ

Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga
uniformemente distribuída.

Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga
concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento.

Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois
fazê-la igual a zero.

7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo)

Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas.

"As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que
tornam mínimo o trabalho armazenado".

Aplicações:
a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído

Métodos de Energia - 7.8

EI
Lq

EI
Lq

X
Lq

X
LP

X
Lq

EI

xqxPxLq
EI

dxxxqxPxLq
EI

P
M

EI
M

P
U

EI
dxMU

x
P
MxqxPxLqM

xqxRMPLqRR

L

L

x
L L

xx

x
x

AxBA

.384
..5

128
1

48
1.

168
.

86
.

86
.1

423232
.1

22
.

2
.

2
..2