metodosdeenergia

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CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA
7.1. INTRODUÇÃO
Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões 
internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e 
momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam 
deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento 
estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua 
superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizando-se 
as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um 
modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de 
energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para forças 
e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas.
Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças 
externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O 
trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao 
sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial 
(Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode 
ser desprezada e teremos como resultado:
Ue = Ui
7.2. Teorema de Clapeyron
Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os 
deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de 
cada uma das forças.
Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado 
instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.Pi, onde α varia entre 0 e 1 e Pi é o 
valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são 
colocados sob a forma α.δi.
Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou 
seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e o 
incremento de trabalho será
dU=∑
i=1
n
⋅Pi⋅d ⋅i=∑
i=1
n
Pi⋅i⋅⋅d 
Métodos de Energia - 7.1
P
n
δ
1
δ
i
δnP1
P
i
O trabalho total realizado por todas forças é
U=∑
i=1
n
∫
=0
l
P i⋅ i⋅⋅d =
1
2∑i=0
n
P i⋅i
Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos no sentido “generalizado” ou seja Pi pode ser força 
ou momento e δi deslocamento linear ou angular.
A expressão da energia total para um carregamento de momentos é:
U=1
2∑i=1
n
M i⋅i
TEOREMA DE CLAPEYRON:
“A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos 
Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo 
deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço 
considerado”.
7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples
a) Tração e compressão
dU=12 N⋅d  Energia de deformação em um trecho de comprimento dx
d =x⋅dx=
N x
E⋅A x
dx dU=
N x
2
2⋅E⋅A x
dx
Métodos de Energia - 7.2
AE
LNUcteActeNou
A
dxN
E
U
l
x
x
..2
,
.2
1 2
0
2
==== ∫
N
dx
δ
dδ
N
δdNdU .
2
1
=
δ
N
b) Cisalhamento - distribuição uniforme
δ=γ.L
dδ=γ.dx
Ou, em função da tensão de cisalhamento,
Para distribuição não uniforme, 
Seção retangular: k= 6/5
Seção circular: k= 10/9
c) 
Flexão
Métodos de Energia - 7.3
δ
LQ
Q
Q
dx
GA
QdxQdQdU
..2
..
2
1.
2
1 2
=== γδ
GA
QG
A
Q
.
,., === γγττ
dx
AG
QU
L∫= 0
2
.2
∫= L GdxAU 0
2
.2
..τ
dx
AG
QkU
L∫= 0
2
.2
.
dsdx
dϕ
ρ
x
x
d) Torção
d=
r
⋅dx
e) Esforços simples combinados
Métodos de Energia - 7.4
ϕdMdU .
2
1
=
EI
Mdxdsd =≈=
ρρρ
ϕ 1,
dx
IE
MdUdx
EI
Md
zz ..2
,
2
==ϕ
∫= l
z
dx
IE
MU
0
2
..2
∫⋅=
⋅=
=∴===
=====∴=
⋅=
L
P
P
PP
P
PP
I
dxT
G
U
IG
dxT
dU
IG
dxTd
dx
d
IG
TIGT
IG
rT
GIG
T
rdx
ddrdx
dTdU
0
2
2
.
2
1
.
.
2
1
.
.
.
,..
.
.
.
..
.
2
1
ϕϕθθ
τγγθϕϕγ
ϕ
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅= L
P
L
z
LL
I
dxT
GI
dxM
EA
dxQk
GA
dxN
E
U
0
2
0
2
0
2
0
2 .
2
1.
2
1..
2
1.
2
1
T
A B
B'
r
dx
γ
dϕ
T
7.3. Teorema de Castigliano
“A derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual 
ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força”.
Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não 
permitir movimento de corpo rígido.
Seja U a energia de deformação devido à ação 
das forças externas.
Suponha que seja dado um incremento dPi à 
força Pi.
A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente
Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o 
deslocamento dδi do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela 
força dPi será 
Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será
Pelo princípio de conservação de energia, tem-se
Aplicações:
a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço:
Métodos de Energia - 7.5
P
n
δ
1
δ
i
δnP1
P
i
i
i
dP
P
UUdUU ⋅
∂
∂
+=+
ii ddP δ⋅⋅2
1
iiii dPddPU δδ ⋅+⋅⋅+ 2
1
Sem o fator 1/2 pois δi não é provocado por 
dPi
i
i
iiiii
i
P
U
ddPdPUdP
P
UU
δ
δδ
=∂
∂
⋅++=⋅
∂
∂
+ .
2
1. Infinitésimo de 2
ª ordem
E fica provado o teorema de Castigliano
x
P
M
0
δ
L
Cálculo da flecha e da rotação:
b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga
 
- Cálculo das reações de apoio:
- Cálculo dos esforços nas barras:
Equilíbrio dos nós:
Nó B 
Nó A
Métodos de Energia - 7.6
∫=
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−−=
L
x
x
EI
dxM
U
M
Mx
P
MMxPM
0
2
0
0
2
.
1,.
( ) ( )
( ) ( )




+⋅=
⋅−⋅−−⋅=⋅∂
∂
⋅⋅=∂
∂
=




+⋅=
⋅−⋅−−⋅=⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
=
∫∫
∫∫
LMLP
EI
dxMxP
EI
dx
M
MM
EIM
U
LMLP
EI
dxxMxP
EI
dx
P
MM
EIP
U
LL
L
o
L
.
2
.1
1.11
2
.
3
.1
.1.2
2
1
0
2
0
0
0 00
2
0
3
0
0
θ
θ
δ
δ
3L/4
L
P A B
C D
1
2
3
4 5
α
H
C
R
C
R
D
cos α = 0,8
sen α = 0,6
CDDC
DCV
CH
RPRLPLRM
RRF
PHF
==∴⋅⋅==
==
==
∑
∑
∑
4
.3
4
3.,0
,0
,0
N
2
N
1 N
1
 = N
2
 = 0
N
1
=0
N
4
α
N
5
P
4
.5
0cos.0
5
5
P
N
NPFH
−=
=+∴=∑ α
Nó C
Cálculo da energia de deformação do sistema
Barra Ni Li Ai
i
ii
A
LN .2
1 0 L A 0
2 0 (3L)/4 A 0
3 P L A (P2L)/A
4 (3P)/4 (3L)/4 A (27P2L)/(64A)
5 -(5P)/4 (5L)/4 A (125P2L)/(64A)
Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa:
c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada.
Métodos de Energia - 7.7
4
.3
5
3
4
5
0sen.0
4
54
PPN
NNFV
=⋅⋅=
=+∴=∑ α
H
C
N
4
R
C
N
3
4
.3
4
3
PRN
PHN
C ==
==
EA
LP
EA
LP
P
U
EA
LPU
A
LP
EA
LN
E
U
n
i i
ii
.375,3
.64
..216
.
128
216
64
125
64
271.
.2
1.
.2
1
2
1
22
==
∂
∂
=
⋅=



++⋅⋅=⋅= ∑
=
δ
EA
LPUU
EA
LPU
ClapeyrondeteoremaPU
ei
i
e
.
64
216
.
128
216
)(
2
1
2
⋅=∴=
⋅=
⋅⋅=
δ
δ
Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga 
uniformemente distribuída.
Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga 
concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento.
Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois 
fazê-la igual a zero.
7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo)
Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas.
"As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que 
tornam mínimo o trabalho armazenado".
Aplicações: 
a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
Métodos de Energia - 7.8
EI
Lq
EI
Lq
X
Lq
X
LP
X
Lq
EI
xqxPxLq
EI
dxxxqxPxLq
EI
P
M
EI
M
P
U
EI
dxMU
x
P
MxqxPxLqM
xqxRMPLqRR
L
L
x
L L
xx
x
x
AxBA
.384
..5
128
1
48
1.
168
.
86
.
86
.1
423232
.1
22
.
2
.
2
..22
.22,
2
.2
2
,
2
.
2
.
2
..
2
..,
22
.
44
434
2/
0
433
2/
0
2
2/
0
2/
0
2
2
2
=


−⋅=




−+=



⋅−⋅+⋅⋅=



⋅



−+⋅=
∂
∂
⋅⋅=
∂
∂
=⋅=
=∂
∂
−+=
−=+==
∫
∫ ∫
δ
δ
δ
δ
δ
RA RB
MA
HA
Considera-se estrutura isostática 
correspondente de uma estrutura 
hiperestática dada, aquela que resulta da 
supressão de vínculos da estrutura dada
x
L
A B
q
R
A
R
B
P=0
Tomando a incógnita hiperestática RB da estrutura isostática correspondente:
b) Viga bi-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
Métodos de Energia - 7.9
R
B
q
x
LqR
X
LqLRdxxqxRdx
R
M
EI
M
R
U
x
R
MxqxRM
B
B
L
B
L
BB
B
B
.
8
3
42
.
3
.
2
..0
,
2
..
43
0
3
2
0
2
⋅=
−=⋅



−=⋅
∂
∂
⋅==
∂
∂
=
∂
∂
−=
∫∫
q
R
B
q
x
M
B
∫
∫
∫
=
∂
∂
⋅=
∂
∂
=
∂
∂
⋅=
∂
∂
=
−=∂
∂
=∂
∂
−−=
L
BB
L
BB
L
BB
BB
M
M
EI
M
M
U
R
M
EI
M
R
U
EI
dxM
U
M
M
x
R
Mxq
MxRM
0
0
0
2
2
0
0
,
2
1,,
2
.
.
c) Determinar as reações de apoio de viga de seção uniforme com o carregamento indicado
Estrutura isostática correspondente
d) A viga em balanço BC é ligada ao cabo de aço AB como indicado. Sabe-se que o cabo de 
aço inicialmente está esticado sem apresentar tensões. Determinar a tração no cabo 
provocada pela carga distribuída.
Métodos de Energia - 7.10
12
.,
2
.
:Re
0
32
.
2
.
).1(
2
..0
0
422
.
3
..
2
..0
2
32
0
2
423
0
2
LqMLqR
ssimultâneaequaçõesdesistemaosolvendo
LqLM
LR
dxxqMxR
M
U
LqLMLRdxxxqMxR
R
U
BB
B
B
L
BB
B
BB
L
BB
B
==
=⋅−+−=−



−−==∂
∂
=⋅−−=



−−==
∂
∂
∫
∫
q
L/2 L/2
A
B
C
q
L/2 L/2
A
R
B
C
x RCR
A
LqR
LqLqRLqLRLLq
xqxRxLqdxxxqxRxLq
EI
x
R
MxqxRxLqM
RLqRxqxRM
dx
R
M
EI
Mdx
R
M
EI
M
R
U
EI
dxMU
B
BB
L
B
L
B
B
B
B
AA
L L
B
L
BB
⋅⋅=
−=∴=⋅+⋅+⋅−
=


⋅+⋅+⋅−=


−⋅



−−⋅=
−=
∂
∂
−−=
−=−=
⋅
∂
∂
⋅⋅=⋅
∂
∂
⋅==
∂
∂
=
∫
∫ ∫∫
8
5
16
.
6
.
6
0
1648382
.
0
423232
.
22
.
2
.
2
..20
2
,
2
.
2
.
2
..
22
.,
2
..
20,
2
433
2/
0
4332/
0
2
2
2
0
2/
00
2
4 incógintas (reações de apoio) e 3 equações (equações da estática para estruturas planas)
Liberando o vínculo A a aplicando RA como carga eposteriormente aplica-se o teorema de 
Menabréa.
A energia de deformação da estrutura é a soma da energia de deformação do cabo (UT) com a 
a energia de deformação da viga (UV).
Métodos de Energia - 7.11
W410x46,1
I = 156,1x106 mm4L=6m
L
1
=3m
R
A
 R
C
 H
C
 M
C
A
B
C
kNR
vemvaloresosdosubstituin
EI
L
EA
LEI
LqR
EI
Lq
EI
LR
EA
L
R
LqLR
EIEA
LR
dxxxqxR
EIEA
LR
R
U
R
U
R
UUUU
x
R
MxqxRM
EI
dxMU
EA
LR
R
U
EA
LR
U
A
A
A
A
AAL
A
A
A
V
A
T
A
VT
A
A
L
V
A
A
TA
T
88,43
,
3
1
8
.0
8
.
3
.
423
.1..
2
..1
.
0
0,
,
2
..,
2
.
.
,
2
.
3
1
443
1
43
1
0
2
1
2
0
2
11
2
=








+
⋅=∴=−+⋅




⋅−⋅+=



−⋅+=
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+=
=∂
∂
−==
=∂
∂
=
∫
∫
18mm de 
diâmetro
7.5. Teoremas de Betti-Maxwell (teoremas de reciprocidade)
Seja um corpo elástico com uma força P1 aplicada em A e outra força P2 aplicada em B.
Aplicando inicialmente P1 em A, o trabalho realizado será (δA1 = deslocamento do 
ponto A na direção de P1 devido a P1). Aplicando-se, posteriormente P2 em B, P2 realizará o 
trabalho . A força P1 realizará também um trabalho pois, ao ser aplicada a força P2 o 
ponto A sofrerá um deslocamento δA2 (deslocamento do ponto A devido a uma força aplicada 
em B) resultando em um trabalho igual a P1.δA2 (sem o fator 1/2 porque δA2 não é provocado 
por P1). Assim, o trabalho total armazenado será
Invertendo a ordem de aplicação das forças, encontra-se
Como o trabalho total independe da ordem de aplicação das forças, U1 = U2 
P1.δA2 = P2.δB1
- teorema de Betti
"Em uma estrutura, isostática ou hiperestática, solicitada sucessivamente por dois 
sistemas de forças, P1 e P2, a soma dos produtos dos deslocamentos das forças P1 pelos 
deslocamentos correspondentes devidos às forças P2 é igual à soma dos produtos dos esforços 
P2 pelos deslocamentos correspondentes devidos aos esforços P1".
P1.δA2 = P2.δB1
Métodos de Energia - 7.12
P
1
P
2
A B
112
1
AP δ⋅⋅
222
1
BP δ⋅⋅
2122111 2
1
2
1
ABA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅=
1222112 2
1
2
1
BBA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Fazendo P1 = P2 , a expressão fica
δA2 = δB1
- teorema de Maxwell
"O deslocamento do ponto A originado pela força aplicada no ponto B é igual ao 
deslocamento do ponto B originado pela mesma força, mas aplicada no ponto A".
Se P1 = P2 , então δB1 = δA2
7.6. Recalques de apoio
Neste tópico serão mostrados alguns exemplos de estruturas em que o apoio sofre, por algum 
motivo, um deslocamento.
Exemplos:
a) Quando a viga está descarregada, a folga entre o apoio central e a superfície inferior da viga 
de madeira mostrada na figura é 36 mm. Determinar a reação no apoio central qunado a viga 
suporta uma carga uniformemente distribuída de 12 kN/m. E=11 GPa
Métodos de Energia - 7.13
A
P
1
δ
B1
P
1
A B
δ
B1
L/2 L/2
δ
0
q
150mm
250mm
L = 6 m
R
B
q
22
.
,
2
.
.
2
.2
2
2/
0
2
0
B
AA
L
B
RLq
R
xq
xRM
EI
dxMU
R
U
−=−=
⋅=
−=∂
∂
∫
δ
b) Calcular as reações de apoio da estrutura abaixo:
Métodos de Energia - 7.14
kNR
valoresosdosubstituin
L
LqEIR
LRLq
EI
LqLRLq
EI
xqxRxLq
EI
dx
xxqxRxLq
EI
x
R
MxqxRxLqM
B
B
BB
L
B
L
B
B
B
8,27
,
48
384
..5.
24
.
192
..5
2
1
64
.
24
.
24
.
2
1
4
.
3
.
3
..
2
1
22
.
2
.
2
..2
2
,
2
.
2
.
2
..
3
4
0
34434
0
2/
0
433
0
2/
0
2
0
2
=



⋅



+−=




−⋅=



−−⋅=




−−⋅−=−
⋅


−⋅



−−⋅=−
−=
∂
∂
−−=
∫
δ
δ
δ
δ
L
k
P
x
( )
x
R
M
xPRM
=
∂
∂
−= .
R
( ) ( )
3
3
3333
3
0
0
22
.
31
1
.
3
3
.
3
10
3
.
3
.
3
1
...
1
0,
2
.,
2
1
Lk
EI
PRP
Lk
EIR
EI
LP
EI
L
k
R
EI
LP
EI
LR
k
R
L
PR
EIk
R
dxxxPR
EIk
R
R
U
UUU
EI
dxMU
k
RU
L
VM
L
VM
+
=∴=


+
=



+∴=−+
−+=−+==∂
∂
+=
==
∫
∫
c) Calcular as reações de apoio
d) Calcular as reações de apoio
Métodos de Energia - 7.15
q
A C
B
k
1
k
2
R
A RC
R
BL/2 L/2
I = 60,89 x 10-6 m4
E = 200 GPa
L = 6 m
k
1
 = 1,4 MN/m
k
2
 = 2,1 MN/m
kNR
EI
L
kk
kkEI
LqR
EI
Lq
EI
L
kk
R
k
R
k
RLqLRLlq
EI
k
R
k
RxqxRxLq
EI
k
R
k
R
dxxxq
xRxLq
EIR
U
x
R
MxqxRxLqM
xqxRM
RLqR
B
BB
BBB
BB
L
B
BBL B
B
B
xB
x
Ax
B
A
11,7
48.
384
..5
384
..5
48
11
0
1688686
.1
0
423232
.1
22
.
2
.
2
..20
2
,
2
.
22
.
2
..,
22
.
3
21
21
443
21
21
433
21
2/
0
433
21
2/
0
2
2
2
=




−
+
=∴=



−+
=++



⋅−⋅−⋅−
=++


⋅−⋅−⋅−
++


−



−−==∂
∂
−=
∂
∂
−⋅−⋅=
−=−=
∫
δ
0
q
o
L
k
L
xqo .
x
E = 210 GPa
I = 20 x 106 m4
L = 5 m
q
o
 = 3 kN/m
δ
o
 = 5 mm
k = 1,2 MN/m
R
7.7. Princípio dos trabalhos virtuais
"O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas"
Força virtual: é uma força "fictícia" que não altera o estado de tensões, deformações, 
deslocamentos, esforços internos, etc de uma estrutura real.
Esforço interno virtual: esforço externo produzido por um carregamento virtual.
Trabalho virtual de uma força externa: produto da força (virtual) pelo deslocamento (real) de 
seu ponto de aplicação.
Trabalho virtual das forças internas: trabalho (virtual) produzido pelos esforços internos 
virtuais (os deslocamentos são reais).
Seja a viga bi-apoiada 
deseja-se calcular a flecha em C.
Aplicando em C uma carga virtual unitária (esta carga, conforme já foi dito, não altera o 
estado de deformação nem os esforços internos na viga)
O trabalho virtual das forças externas será:
Métodos de Energia - 7.16
NR
EI
L
k
EI
Lq
R
EI
Lq
EI
L
k
R
L
L
qLR
EIk
Rdxx
L
xq
xR
EIk
R
R
U
x
R
M
L
xq
xRxx
L
q
xRMo
o
o
o
oL o
o
oo
82,918
3
1
30
.
30
.
3
1
563
.1.
6
.
.1
,
6
.
.
32
.
3
4
43
53
0
3
3
=




+
+−
=
−=



+




⋅−+=



−+−=−=∂
∂
=∂
∂
−=⋅⋅−=
∫
δ
δ
δ
A B
δ
C
δ.PU e =
A B
δ (real)
C
P = 1 (virtual)
O trabalho virtual das forças internas será
dϕ e dy são devidos ao carregamento real
Normalmente pode-se fazer algumas simplificações
- Em peças que não trabalhem fundamentalmente a tração ou compressão, a parcela 
correspondente ao esforço normal pode ser desprezada sem erro considerável.
- Normalmente pode-se desprezar também as deformações relativas ao esforço cortante.
Tais simplificações devem ser analisadas com critério para evitar possíveis erros grosseiros.
Métodos de Energia - 7.17
∫∫ += LLi dyVdMU 00 ϕ
real
real
virtual
virtual
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
+++=
+=
==
+=
==
L
P
LL
o
L
LL
o
ie
L
i
dx
GI
TTdx
GA
VVkdx
EI
MMdx
EA
NN
geralcasonoou
dx
GA
VVkdx
EI
MM
PUU
dx
GA
VVkdx
EI
MMU
dx
EA
kQ
dydx
EI
M
d
000
0
0
,,
1,
,
δ
δ
ϕ
A B
C
P = 1
4
.LP
DMF
DEC
V
A
V
B
Aplicações
1) Calcular o deslocamento horizontal do apoio D do quadro da figura. EI = 2,0x104 tf.m2 para 
todas as barras.
Diagrama de momentos fletores
Barra 1: M1 = HA.x1 = 5.x1
Barra 2: M2 = HA.3 - VA.x2 = 15 - 3.x2
Como se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio D, deve-se aplicar, naquele 
ponto, uma carga virtual unitária e utilizar o princípio dos trabalhos virtuais.
Métodos de Energia - 7.18
Cálculo das reações de apoio:
tVtV
VM
VVF
tHF
BA
DA
BAV
Ax
3,3
5.350
0
50
==
=×∴=
=∴=
=∴=
∑
∑
∑
C
5t
3m
5m
A
B C
H
A
V
A V
B
x
1
x
2
1
2
3
15
A
B
H
A
V
A
x
1
x
2
1
2
3
P=1
V
B
Momentos fletores
2) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço com carga uniformemente 
distribuída.
Cálculo da flecha:
Métodos de Energia - 7.19
1,0 === ABA HVV
33.
2
.
1
2
11
==
=
A
A
HM
Barra
xHM
Barra
( )
mm
xxx
EI
dx
EI
xdx
EI
xxdx
EI
MM
D
D
D
H
H
H
88,7
2
.9.45
3
.51
3..315..5
5
0
23
0
3
5
0
3
0
=









−+


=
−
+== ∫∫∫
δ
δ
δ
3 DMF
q
x 2
. 2xqM −=
L
2
. 2xqM −=
M = -P.x = -x
P = 1
Para cálculo da flecha aplica-
se uma carga virtual unitária 
enquanto que para o cálculo 
da rotação aplica-se um 
momento fletor virtual 
unitário (sempre no ponto em 
que se deseja realizar o 
cálculo.
M = 1
M = -1
Cálculo da rotação:
Métodos de Energia - 7.20
EI
Lqx
EI
qxdx
EI
xqdx
EI
MM
L
LL
8
.
422
.. 4
0
4
0
2
0
=⋅=== ∫∫δ
EI
Lqdx
EI
xqdx
EI
MM LL
6
.
2
.. 3
0
2
0
=== ∫∫θ
	CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA