metodosdeenergia
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CAPÍTULO VII \u2013 MÉTODOS DE ENERGIA
7.1. INTRODUÇÃO
Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões 
internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e 
momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam 
deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento 
estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua 
superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizando-se 
as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um 
modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de 
energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para forças 
e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas.
Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças 
externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O 
trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao 
sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial 
(Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode 
ser desprezada e teremos como resultado:
Ue = Ui
7.2. Teorema de Clapeyron
Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e \u3b41, \u3b42, ..., \u3b4n os 
deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de 
cada uma das forças.
Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado 
instante, as forças podem ser colocadas sob a forma \u3b1.Pi, onde \u3b1 varia entre 0 e 1 e Pi é o 
valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são 
colocados sob a forma \u3b1.\u3b4i.
Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou 
seja, \u3b1 sofrendo um incremento d\u3b1, o deslocamento genérico (\u3b4i) será (\u3b1+d\u3b1)\u3b4i e o 
incremento de trabalho será
dU=\u2211
i=1
n
\ue0b7\u22c5Pi\u22c5d \ue0b7\u22c5\ue0bai=\u2211
i=1
n
Pi\u22c5\ue0bai\u22c5\ue0b7\u22c5d \ue0b7
Métodos de Energia - 7.1
P
n
\u3b4
1
\u3b4
i
\u3b4nP1
P
i
O trabalho total realizado por todas forças é
U=\u2211
i=1
n
\u222b
\ue0b7=0
l
P i\u22c5\ue0ba i\u22c5\ue0b7\u22c5d \ue0b7=
1
2\u2211i=0
n
P i\u22c5\ue0bai
Obs.: Pi e \u3b4i são forças e deslocamentos no sentido \u201cgeneralizado\u201d ou seja Pi pode ser força 
ou momento e \u3b4i deslocamento linear ou angular.
A expressão da energia total para um carregamento de momentos é:
U=1
2\u2211i=1
n
M i\u22c5\ue0d4i
TEOREMA DE CLAPEYRON:
\u201cA energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos 
Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo 
deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço 
considerado\u201d.
7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples
a) Tração e compressão
dU=12 N\u22c5d \ue0ba Energia de deformação em um trecho de comprimento dx
d \ue0ba=\ue0cfx\u22c5dx=
N x
E\u22c5A x
dx dU=
N x
2
2\u22c5E\u22c5A x
dx
Métodos de Energia - 7.2
AE
LNUcteActeNou
A
dxN
E
U
l
x
x
..2
,
.2
1 2
0
2
==== \u222b
N
dx
\u3b4
d\u3b4
N
\u3b4dNdU .
2
1
=
\u3b4
N
b) Cisalhamento - distribuição uniforme
\u3b4=\u3b3.L
d\u3b4=\u3b3.dx
Ou, em função da tensão de cisalhamento,
Para distribuição não uniforme, 
Seção retangular: k= 6/5
Seção circular: k= 10/9
c) 
Flexão
Métodos de Energia - 7.3
\u3b4
LQ
Q
Q
dx
GA
QdxQdQdU
..2
..
2
1.
2
1 2
=== \u3b3\u3b4
GA
QG
A
Q
.
,., === \u3b3\u3b3\u3c4\u3c4
dx
AG
QU
L\u222b= 0
2
.2
\u222b= L GdxAU 0
2
.2
..\u3c4
dx
AG
QkU
L\u222b= 0
2
.2
.
dsdx
d\u3d5
\u3c1
x
x
d) Torção
d\ue0d4=\ue0b9
r
\u22c5dx
e) Esforços simples combinados
Métodos de Energia - 7.4
\u3d5dMdU .
2
1
=
EI
Mdxdsd =\u2248=
\u3c1\u3c1\u3c1
\u3d5 1,
dx
IE
MdUdx
EI
Md
zz ..2
,
2
==\u3d5
\u222b= l
z
dx
IE
MU
0
2
..2
\u222b\u22c5=
\u22c5=
=\u2234===
=====\u2234=
\u22c5=
L
P
P
PP
P
PP
I
dxT
G
U
IG
dxT
dU
IG
dxTd
dx
d
IG
TIGT
IG
rT
GIG
T
rdx
ddrdx
dTdU
0
2
2
.
2
1
.
.
2
1
.
.
.
,..
.
.
.
..
.
2
1
\u3d5\u3d5\u3b8\u3b8
\u3c4\u3b3\u3b3\u3b8\u3d5\u3d5\u3b3
\u3d5
\u222b\u222b\u222b\u222b \u22c5+\u22c5+\u22c5+\u22c5= L
P
L
z
LL
I
dxT
GI
dxM
EA
dxQk
GA
dxN
E
U
0
2
0
2
0
2
0
2 .
2
1.
2
1..
2
1.
2
1
T
A B
B'
r
dx
\u3b3
d\u3d5
T
7.3. Teorema de Castigliano
\u201cA derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual 
ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força\u201d.
Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não 
permitir movimento de corpo rígido.
Seja U a energia de deformação devido à ação 
das forças externas.
Suponha que seja dado um incremento dPi à 
força Pi.
A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente
Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o 
deslocamento d\u3b4i do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela 
força dPi será 
Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será
Pelo princípio de conservação de energia, tem-se
Aplicações:
a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço:
Métodos de Energia - 7.5
P
n
\u3b4
1
\u3b4
i
\u3b4nP1
P
i
i
i
dP
P
UUdUU \u22c5
\u2202
\u2202
+=+
ii ddP \u3b4\u22c5\u22c52
1
iiii dPddPU \u3b4\u3b4 \u22c5+\u22c5\u22c5+ 2
1
Sem o fator 1/2 pois \u3b4i não é provocado por 
dPi
i
i
iiiii
i
P
U
ddPdPUdP
P
UU
\u3b4
\u3b4\u3b4
=\u2202
\u2202
\u22c5++=\u22c5
\u2202
\u2202
+ .
2
1. Infinitésimo de 2
ª ordem
E fica provado o teorema de Castigliano
x
P
M
0
\u3b4
L
Cálculo da flecha e da rotação:
b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga
 
- Cálculo das reações de apoio:
- Cálculo dos esforços nas barras:
Equilíbrio dos nós:
Nó B 
Nó A
Métodos de Energia - 7.6
\u222b=
\u2212=
\u2202
\u2202
\u2212=
\u2202
\u2202
\u2212\u2212=
L
x
x
EI
dxM
U
M
Mx
P
MMxPM
0
2
0
0
2
.
1,.
( ) ( )
( ) ( )
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+\u22c5=
\u22c5\u2212\u22c5\u2212\u2212\u22c5=\u22c5\u2202
\u2202
\u22c5\u22c5=\u2202
\u2202
=
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+\u22c5=
\u22c5\u2212\u22c5\u2212\u2212\u22c5=\u22c5
\u2202
\u2202
\u22c5=
\u2202
\u2202
=
\u222b\u222b
\u222b\u222b
LMLP
EI
dxMxP
EI
dx
M
MM
EIM
U
LMLP
EI
dxxMxP
EI
dx
P
MM
EIP
U
LL
L
o
L
.
2
.1
1.11
2
.
3
.1
.1.2
2
1
0
2
0
0
0 00
2
0
3
0
0
\u3b8
\u3b8
\u3b4
\u3b4
3L/4
L
P A B
C D
1
2
3
4 5
\u3b1
H
C
R
C
R
D
cos \u3b1 = 0,8
sen \u3b1 = 0,6
CDDC
DCV
CH
RPRLPLRM
RRF
PHF
==\u2234\u22c5\u22c5==
==
==
\u2211
\u2211
\u2211
4
.3
4
3.,0
,0
,0
N
2
N
1 N
1
 = N
2
 = 0
N
1
=0
N
4
\u3b1
N
5
P
4
.5
0cos.0
5
5
P
N
NPFH
\u2212=
=+\u2234=\u2211 \u3b1
Nó C
Cálculo da energia de deformação do sistema
Barra Ni Li Ai
i
ii
A
LN .2
1 0 L A 0
2 0 (3L)/4 A 0
3 P L A (P2L)/A
4 (3P)/4 (3L)/4 A (27P2L)/(64A)
5 -(5P)/4 (5L)/4 A (125P2L)/(64A)
Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa:
c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada.
Métodos de Energia - 7.7
4
.3
5
3
4
5
0sen.0
4
54
PPN
NNFV
=\u22c5\u22c5=
=+\u2234=\u2211 \u3b1
H
C
N
4
R
C
N
3
4
.3
4
3
PRN
PHN
C ==
==
EA
LP
EA
LP
P
U
EA
LPU
A
LP
EA
LN
E
U
n
i i
ii
.375,3
.64
..216
.
128
216
64
125
64
271.
.2
1.
.2
1
2
1
22
==
\u2202
\u2202
=
\u22c5=
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
++\u22c5\u22c5=\u22c5= \u2211
=
\u3b4
EA
LPUU
EA
LPU
ClapeyrondeteoremaPU
ei
i
e
.
64
216
.
128
216
)(
2
1
2
\u22c5=\u2234=
\u22c5=
\u22c5\u22c5=
\u3b4
\u3b4
Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga 
uniformemente distribuída.
Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga 
concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento.
Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois 
fazê-la igual a zero.
7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo)
Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas.
"As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que 
tornam mínimo o trabalho armazenado".
Aplicações: 
a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
Métodos de Energia - 7.8
EI
Lq
EI
Lq
X
Lq
X
LP
X
Lq
EI
xqxPxLq
EI
dxxxqxPxLq
EI
P
M
EI
M
P
U
EI
dxMU
x
P
MxqxPxLqM
xqxRMPLqRR
L
L
x
L L
xx
x
x
AxBA
.384
..5
128
1
48
1.
168
.
86
.
86
.1
423232
.1
22
.
2
.
2
..2
Cristiane
Cristiane fez um comentário
oi, você poderia me dizer quem é o autor dessa apostila?
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