metodosdeenergia
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CAPÍTULO VII \u2013 MÉTODOS DE ENERGIA

7.1. INTRODUÇÃO
Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões

internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e
momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam
deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento
estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua
superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizando-se
as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um
modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de
energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para forças
e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas.

Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças
externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O
trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao
sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial
(Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode
ser desprezada e teremos como resultado:

Ue = Ui

7.2. Teorema de Clapeyron

Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e \u3b41, \u3b42, ..., \u3b4n os
deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de
cada uma das forças.

Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado
instante, as forças podem ser colocadas sob a forma \u3b1.Pi, onde \u3b1 varia entre 0 e 1 e Pi é o
valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são
colocados sob a forma \u3b1.\u3b4i.

Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou
seja, \u3b1 sofrendo um incremento d\u3b1, o deslocamento genérico (\u3b4i) será (\u3b1+d\u3b1)\u3b4i e o
incremento de trabalho será

dU=\u2211
i=1

n

\ue0b7\u22c5Pi\u22c5d \ue0b7\u22c5\ue0bai=\u2211
i=1

n

Pi\u22c5\ue0bai\u22c5\ue0b7\u22c5d \ue0b7

Métodos de Energia - 7.1

P
n

\u3b4
1

\u3b4
i

\u3b4nP1

P
i

O trabalho total realizado por todas forças é

U=\u2211
i=1

n

\u222b
\ue0b7=0

l

P i\u22c5\ue0ba i\u22c5\ue0b7\u22c5d \ue0b7=
1
2\u2211i=0

n

P i\u22c5\ue0bai

Obs.: Pi e \u3b4i são forças e deslocamentos no sentido \u201cgeneralizado\u201d ou seja Pi pode ser força
ou momento e \u3b4i deslocamento linear ou angular.

A expressão da energia total para um carregamento de momentos é:

U=1
2\u2211i=1

n

M i\u22c5\ue0d4i

TEOREMA DE CLAPEYRON:
\u201cA energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos

Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo
deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço
considerado\u201d.

7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples

a) Tração e compressão

dU=12 N\u22c5d \ue0ba Energia de deformação em um trecho de comprimento dx

d \ue0ba=\ue0cfx\u22c5dx=
N x
E\u22c5A x

dx dU=
N x

2

2\u22c5E\u22c5A x
dx

Métodos de Energia - 7.2

AE
LNUcteActeNou

A
dxN

E
U

l

x

x

..2
,

.2
1 2

0

2

==== \u222b

N

dx
\u3b4

d\u3b4
N

\u3b4dNdU .
2
1

=

\u3b4

N

b) Cisalhamento - distribuição uniforme

\u3b4=\u3b3.L
d\u3b4=\u3b3.dx

Ou, em função da tensão de cisalhamento,

Para distribuição não uniforme,

Seção retangular: k= 6/5

Seção circular: k= 10/9

c)
Flexão

Métodos de Energia - 7.3

\u3b4

LQ

Q

Q

dx
GA

QdxQdQdU
..2

..
2
1.

2
1 2

=== \u3b3\u3b4

GA
QG

A
Q

.
,., === \u3b3\u3b3\u3c4\u3c4

dx
AG

QU
L\u222b= 0

2

.2

\u222b= L GdxAU 0
2

.2
..\u3c4

dx
AG

QkU
L\u222b= 0

2

.2
.

dsdx

d\u3d5
\u3c1

x

x

d) Torção

d\ue0d4=\ue0b9
r
\u22c5dx

e) Esforços simples combinados

Métodos de Energia - 7.4

\u3d5dMdU .
2
1

=

EI
Mdxdsd =\u2248=

\u3c1\u3c1\u3c1
\u3d5 1,

dx
IE

MdUdx
EI
Md

zz ..2
,

2

==\u3d5

\u222b= l
z

dx
IE

MU
0

2

..2

\u222b\u22c5=
\u22c5=

=\u2234===

=====\u2234=

\u22c5=

L

P

P

PP
P

PP

I
dxT

G
U

IG
dxT

dU

IG
dxTd

dx
d

IG
TIGT

IG
rT

GIG
T

rdx
ddrdx

dTdU

0

2

2

.
2
1

.
.

2
1

.

.
.

,..

.
.

.
..

.
2
1

\u3d5\u3d5\u3b8\u3b8

\u3c4\u3b3\u3b3\u3b8\u3d5\u3d5\u3b3

\u3d5

\u222b\u222b\u222b\u222b \u22c5+\u22c5+\u22c5+\u22c5= L
P

L

z

LL

I
dxT

GI
dxM

EA
dxQk

GA
dxN

E
U

0

2

0

2

0

2

0

2 .
2
1.

2
1..

2
1.

2
1

T

A B

B'

r

dx

\u3b3

d\u3d5

T

7.3. Teorema de Castigliano

\u201cA derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual
ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força\u201d.

Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não
permitir movimento de corpo rígido.

Seja U a energia de deformação devido à ação
das forças externas.
Suponha que seja dado um incremento dPi à
força Pi.

A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente

Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o
deslocamento d\u3b4i do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela
força dPi será

Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será

Pelo princípio de conservação de energia, tem-se

Aplicações:
a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço:

Métodos de Energia - 7.5

P
n

\u3b4
1

\u3b4
i

\u3b4nP1

P
i

i
i

dP
P
UUdUU \u22c5

\u2202
\u2202

+=+

ii ddP \u3b4\u22c5\u22c52
1

iiii dPddPU \u3b4\u3b4 \u22c5+\u22c5\u22c5+ 2
1

Sem o fator 1/2 pois \u3b4i não é provocado por
dPi

i
i

iiiii
i

P
U

ddPdPUdP
P
UU

\u3b4

\u3b4\u3b4

=\u2202
\u2202

\u22c5++=\u22c5
\u2202
\u2202

+ .
2
1. Infinitésimo de 2

ª ordem

E fica provado o teorema de Castigliano

x

P
M

0

\u3b4

L

Cálculo da flecha e da rotação:

b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga

- Cálculo das reações de apoio:

- Cálculo dos esforços nas barras:
Equilíbrio dos nós:

Nó B

Nó A

Métodos de Energia - 7.6

\u222b=
\u2212=

\u2202
\u2202

\u2212=

\u2202
\u2202

\u2212\u2212=

L
x

x

EI
dxM

U

M
Mx

P
MMxPM

0

2

0
0

2
.

1,.

( ) ( )

( ) ( )

\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6

\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb

+\u22c5=

\u22c5\u2212\u22c5\u2212\u2212\u22c5=\u22c5\u2202
\u2202

\u22c5\u22c5=\u2202
\u2202

=

\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6

\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb

+\u22c5=

\u22c5\u2212\u22c5\u2212\u2212\u22c5=\u22c5

\u2202
\u2202

\u22c5=

\u2202
\u2202

=

\u222b\u222b

\u222b\u222b

LMLP
EI

dxMxP
EI

dx
M
MM

EIM
U

LMLP
EI

dxxMxP
EI

dx
P
MM

EIP
U

LL

L

o

L

.
2
.1

1.11

2
.

3
.1

.1.2
2

1

0

2

0
0

0 00

2
0

3

0
0

\u3b8

\u3b8

\u3b4

\u3b4

3L/4

L

P A B

C D

1

2

3

4 5

\u3b1

H
C

R
C

R
D

cos \u3b1 = 0,8
sen \u3b1 = 0,6

CDDC

DCV

CH

RPRLPLRM

RRF

PHF

==\u2234\u22c5\u22c5==

==

==

\u2211
\u2211
\u2211

4
.3

4
3.,0

,0

,0

N
2

N
1 N

1
 = N

2
 = 0

N
1
=0

N
4

\u3b1
N

5

P

4
.5

0cos.0

5

5

P
N

NPFH

\u2212=

=+\u2234=\u2211 \u3b1

Nó C

Cálculo da energia de deformação do sistema

Barra Ni Li Ai
i

ii

A
LN .2

1 0 L A 0
2 0 (3L)/4 A 0
3 P L A (P2L)/A
4 (3P)/4 (3L)/4 A (27P2L)/(64A)
5 -(5P)/4 (5L)/4 A (125P2L)/(64A)

Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa:

c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada.

Métodos de Energia - 7.7

4
.3

5
3

4
5

0sen.0

4

54

PPN

NNFV

=\u22c5\u22c5=

=+\u2234=\u2211 \u3b1

H
C

N
4

R
C

N
3

4
.3

4

3

PRN

PHN

C ==

==

EA
LP

EA
LP

P
U

EA
LPU

A
LP

EA
LN

E
U

n

i i

ii

.375,3
.64

..216

.
128
216

64
125

64
271.

.2
1.

.2
1

2

1

22

==

\u2202
\u2202

=

\u22c5=

\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed

\uf8eb
++\u22c5\u22c5=\u22c5= \u2211

=

\u3b4

EA
LPUU

EA
LPU

ClapeyrondeteoremaPU

ei

i

e

.
64

216

.
128
216

)(
2
1

2

\u22c5=\u2234=

\u22c5=

\u22c5\u22c5=

\u3b4

\u3b4

Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga
uniformemente distribuída.

Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga
concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento.

Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois
fazê-la igual a zero.

7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo)

Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas.

"As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que
tornam mínimo o trabalho armazenado".

Aplicações:
a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído

Métodos de Energia - 7.8

EI
Lq

EI
Lq

X
Lq

X
LP

X
Lq

EI

xqxPxLq
EI

dxxxqxPxLq
EI

P
M

EI
M

P
U

EI
dxMU

x
P
MxqxPxLqM

xqxRMPLqRR

L

L

x
L L

xx

x
x

AxBA

.384
..5

128
1

48
1.

168
.

86
.

86
.1

423232
.1

22
.

2
.

2
..2
Cristiane
Cristiane fez um comentário
oi, você poderia me dizer quem é o autor dessa apostila?
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