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Universidade Federal de Pernambuco Lista de exerc´ıcios de A´lg. Linear - 2011.1 CCEN - Depto Matema´tica - A´rea II Questa˜o 1. Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares: 3x− 5y = 1 2x+ z = 3 5x+ y − z = 0 a) Escreva o sistema acima na forma de uma equac¸a˜o matricial e exiba a matriz ampliada (associada) do sistema; b) Reduza a matriz ampliada a` sua forma escada reduzida por linhas. De- termine o posto da matriz ampliada, e o posto e a nulidade da matriz de coeficientes. c) Escreva o sistema de equac¸o˜es lineares correspondente a` matriz obtida no item anterior e resolva este sistema. Questa˜o 2. Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es. a) x+ 2y + 3z = 4 3x+ y + 5z = 2 4x+ y + (a2 − 14)z = a+ 2 b) x+ y + z = 2 2x+ 3y + 2z = 5 2x+ 3y + (a2 − 1)z = a+ 1 Questa˜o 3. Encontre as condic¸o˜es sobre os bi’s para que cada um dos sistemas tenha soluc¸a˜o: a) x1 − 2x2 + 5x3 = b1 4x1 − 5x2 + 8x3 = b2 −3x1 + 3x2 − 3x3 = b3 b) x1 − 2x2 − x3 = b1 −4x1 + 5x2 + 2x3 = b2 −4x1 + 7x2 + 4x3 = b3 Questa˜o 4. Considere um sistema linear cuja matriz ampliada A e´ da forma Preprint submitted to Elsevier 31 de marc¸o de 2011 abaixo, onde a e b sa˜o nu´meros reais. 1 1 3 2 1 2 4 3 1 3 a b a) Para que valores de a e b o sistema possui infinitas soluc¸o˜es? b) Para que valores de a e b o sistema e´ incompat´ıvel? Questa˜o 5. O benzeno l´ıquido queima na atmosfera. Se um objeto frio e´ colocado diretamente sobre o benzeno, havera´ condensac¸a˜o de a´gua no objeto e tambe´m se formara´ um depo´sito de fuligem (carbono) sobre o objeto. A reac¸a˜o qu´ımica para esta reac¸a˜o e´ da forma x1C6H6 + x2O2 → x3C + x4H2O. Determine valores de x1, x2, x3 e x4 para balancear a equac¸a˜o. Questa˜o 6. Sejam A e B matrizes 3 × 3 com determinante detA = 4 e detB = 6, e seja E uma matriz elementar obtida pela operac¸a˜o permutac¸a˜o de linhas. Considere AT a matriz transposta de A. Determine: a) det(1 2 A) b) det(B−1AT ) c) det(EA2) Questa˜o 7. Dizemos que uma matriz e´ singular quando na˜o e´ invers´ıvel, e na˜o singular se e´ invers´ıvel. Usando as propriedades de determinantes, responda: a) Se A e´ uma matriz na˜o singular n × n, mostre que ATA e´ na˜o singular e det(ATA) > 0. b) Seja A uma matriz n× n. Mostre que se B = S−1AS para alguma matriz na˜o singular S, enta˜o det(B) = det(A). c) Sejam A e B matrizes n × n e seja C = AB. Mostre que se A ou B e´ singular, enta˜o C deve ser singular. Questa˜o 8. Calcule a matriz inversa, se existir, de dada matriz abaixo: a) 1 2 3 1 1 2 0 1 2 b) 2 1 0 0 1 0 −1 1 0 1 1 1 −1 0 0 3 c) 4 −1 2 −2 3 −1 0 0 2 3 1 0 0 7 1 1 d) 1 0 x 1 1 x2 2 2 x2 , x 6= 0. 2 Questa˜o 9. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operac¸o˜es indicadas e´ um espac¸o vetorial sobre R, justifique. a) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) e α(x1, y1) = (αx1, αy1). b) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e α(x1, y1) = (αx1, yα1 ). (OBS.:Caso na˜o sejam especificadas, as operac¸o˜es sa˜o as usuais.) Questa˜o 10. Verifique se em cada um dos itens o subconjunto W e´ subespac¸o vetorial do espac¸o V . a) V = R4; W = {(x, x, y, y);x, y ∈ R}. b) V = Pn(R); W = {p ∈ Pn(R); p′(t0) = 0}, para um t0 ∈ R fixado. c) V = Mn×n(R); W = {A ∈Mn×n(R);AT = A}. Questa˜o 11. Responda justificando: a) R3 = [(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)]? Considere nas letras b) e c): v1 = −1 2 3 , v2 = 3 4 2 , u = 2 6 6 e w = −9 −2 5 . b) u ∈ [v1, v2]? c) w ∈ [v1, v2]? d) P3(R) = [x+ 2, x+ 1, x2 − 1]? Questa˜o 12. Seja C = {x1, · · · , xk} um conjunto gerador para o espac¸o ve- torial V , V = [x1, · · · , xk]. a) Se adicionarmos outro vetor xk+1 ∈ V ao conjunto C, ainda teremos um conjunto gerador de V ? Explique. b) Se retirarmos um vetor de C, digamos xk, ainda sera´ gerador? Explique. Questa˜o 13. Determine se sa˜o conjuntos linearmente independentes em V : a) {x+ 2, x− 1, x2 − 1} em P2(R). b) 1 −1 2 0 , 3 −1 5 2 , −3 −1 −4 −4 , 2 −1 0 −1 em V = M2×2(R). Questa˜o 14. Seja C = {x1, · · · , xn} um conjunto linearmente independente de V espac¸o vetorial. a) Se adicionarmos outro vetor xk+1 ∈ V ao conjunto C, ainda teremos um conjunto linearmente independente em V ? Explique. 3 b) Se retirarmos um vetor de C, digamos xk, ainda sera´ linearmente indepen- dente? Explique. Questa˜o 15. Justifique porque, independente do espac¸o vetorial V , sa˜o ver- dadeiras as afirmac¸o˜es: a) Qualquer conjunto finito de vetores que contenha o vetor nulo deve ser linearmente dependente. b) Se acrescentarmos qualquer vetor a um conjunto gerador de V , este con- junto torna-se linearmente dependente. c) Se retirarmos qualquer vetor de um conjunto linearmente independente de V , este conjunto na˜o pode ser gerador de V . Questa˜o 16. Determine uma base e a dimensa˜o dos espac¸os vetoriais seguintes: a) U = {(a+ b, a− b+ 2c, b, c); a, b e c ∈ R} b) W = {p ∈ P3(R); p(x) = ax2 + bx+ 2a+ 3b; a, b ∈ R} c) S = [x, x− 1, x2 + 1, x2 − 1] Questa˜o 17. Em cada item abaixo, determine uma base o subespac¸o U+W e outra para o subespac¸o U ∩W , onde U e W sa˜o subespac¸os do espac¸o vetorial V indicado. a) V = R4; U = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y + z = 0 e y + z = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ R4; 2x+ y + 2z − 3t = 0}. b) V = Mn×n(R); U = a b c d / a− 2b = 0 e W = 0 e 0 f / e, f ∈ R . c) V = P3(R); U = {p ∈ P3(R); p′′(t) = 0} e W = {q ∈ P3(R); q′(t) = 0}. Questa˜o 18. Sejam W e U os subespac¸os de R4 definidos abaixo: W = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x+ y + 2t = 0 e z − 3t = 0} e U = [(0, 1, 2, 1), (1,−1, 7, 3)]. a) Calcule uma base e a dimensa˜o de W . b) Calcule uma base e a dimensa˜o de W ∩ U . Obs.: Justifique para cada base (nas letras a e b) porque seus vetores sa˜o de fato linearmente independentes (LI). c) Verifique que W + U 6= R4 (na˜o e´ preciso calcular W + U). Questa˜o 19. Seja V = P2 = {a0 + a1x+ a2x2 | ai ∈ R, i = 1, 2, 3}. Dadas as bases: α = {1− x2, 1− x, 1 + x+ x2} e β = {1 + x, x+ x2, 1 + x2}. 4 Seja v ∈ V o polinoˆmio tal que [v]α = 3 1 2 a) Determine o polinoˆmio v. b) Calcule a matriz mudanc¸a de base apropriada para encontrar as coorde- nadas [v]β a partir das coordenadas [v]α. A seguir calcule as coordenadas [v]β usando esta matriz. 5
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