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Universidade Federal de Pernambuco

Lista de exerc´\u131cios de A´lg. Linear - 2011.1

CCEN - Depto Matema´tica - A´rea II

Questa\u2dco 1. Considere o seguinte sistema de equac¸o\u2dces lineares:

\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
3x\u2212 5y = 1
2x+ z = 3

5x+ y \u2212 z = 0

a) Escreva o sistema acima na forma de uma equac¸a\u2dco matricial e exiba a
matriz ampliada (associada) do sistema;

b) Reduza a matriz ampliada a` sua forma escada reduzida por linhas. De-
termine o posto da matriz ampliada, e o posto e a nulidade da matriz de
coeficientes.

c) Escreva o sistema de equac¸o\u2dces lineares correspondente a` matriz obtida no
item anterior e resolva este sistema.

Questa\u2dco 2. Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a
para os quais o sistema na\u2dco tem soluc¸a\u2dco, tem soluc¸a\u2dco u´nica e tem infinitas
soluc¸o\u2dces.

a)

\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x+ 2y + 3z = 4

3x+ y + 5z = 2

4x+ y + (a2 \u2212 14)z = a+ 2
b)

\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x+ y + z = 2

2x+ 3y + 2z = 5

2x+ 3y + (a2 \u2212 1)z = a+ 1

Questa\u2dco 3. Encontre as condic¸o\u2dces sobre os bi\u2019s para que cada um dos sistemas
tenha soluc¸a\u2dco:

a)

\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x1 \u2212 2x2 + 5x3 = b1
4x1 \u2212 5x2 + 8x3 = b2
\u22123x1 + 3x2 \u2212 3x3 = b3

b)

\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x1 \u2212 2x2 \u2212 x3 = b1
\u22124x1 + 5x2 + 2x3 = b2
\u22124x1 + 7x2 + 4x3 = b3

Questa\u2dco 4. Considere um sistema linear cuja matriz ampliada A e´ da forma

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abaixo, onde a e b sa\u2dco nu´meros reais.\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 3 2

1 2 4 3

1 3 a b

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
a) Para que valores de a e b o sistema possui infinitas soluc¸o\u2dces?
b) Para que valores de a e b o sistema e´ incompat´\u131vel?

Questa\u2dco 5. O benzeno l´\u131quido queima na atmosfera. Se um objeto frio e´
colocado diretamente sobre o benzeno, havera´ condensac¸a\u2dco de a´gua no objeto
e tambe´m se formara´ um depo´sito de fuligem (carbono) sobre o objeto. A
reac¸a\u2dco qu´\u131mica para esta reac¸a\u2dco e´ da forma

x1C6H6 + x2O2 \u2192 x3C + x4H2O.
Determine valores de x1, x2, x3 e x4 para balancear a equac¸a\u2dco.

Questa\u2dco 6. Sejam A e B matrizes 3 × 3 com determinante detA = 4 e
detB = 6, e seja E uma matriz elementar obtida pela operac¸a\u2dco permutac¸a\u2dco
de linhas. Considere AT a matriz transposta de A. Determine:

a) det(1
2
A)

b) det(B\u22121AT )
c) det(EA2)

Questa\u2dco 7. Dizemos que uma matriz e´ singular quando na\u2dco e´ invers´\u131vel,
e na\u2dco singular se e´ invers´\u131vel. Usando as propriedades de determinantes,
responda:

a) Se A e´ uma matriz na\u2dco singular n × n, mostre que ATA e´ na\u2dco singular e
det(ATA) > 0.

b) Seja A uma matriz n× n. Mostre que se B = S\u22121AS para alguma matriz
na\u2dco singular S, enta\u2dco det(B) = det(A).

c) Sejam A e B matrizes n × n e seja C = AB. Mostre que se A ou B e´
singular, enta\u2dco C deve ser singular.

Questa\u2dco 8. Calcule a matriz inversa, se existir, de dada matriz abaixo:

a)

\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2 3

1 1 2

0 1 2

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb b)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0

2 1 0 0

1 0 \u22121 1
0 1 1 1

\u22121 0 0 3

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
c)

\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0

4 \u22121 2 \u22122
3 \u22121 0 0
2 3 1 0

0 7 1 1

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
d)

\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 x

1 1 x2

2 2 x2

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb,

x 6= 0.

2

Questa\u2dco 9. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operac¸o\u2dces
indicadas e´ um espac¸o vetorial sobre R, justifique.

a) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) e \u3b1(x1, y1) = (\u3b1x1, \u3b1y1).
b) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e \u3b1(x1, y1) = (\u3b1x1, y\u3b11 ).

(OBS.:Caso na\u2dco sejam especificadas, as operac¸o\u2dces sa\u2dco as usuais.)

Questa\u2dco 10. Verifique se em cada um dos itens o subconjunto W e´ subespac¸o
vetorial do espac¸o V .

a) V = R4; W = {(x, x, y, y);x, y \u2208 R}.
b) V = Pn(R); W = {p \u2208 Pn(R); p\u2032(t0) = 0}, para um t0 \u2208 R fixado.
c) V = Mn×n(R); W = {A \u2208Mn×n(R);AT = A}.

Questa\u2dco 11. Responda justificando:

a) R3 = [(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)]?
Considere nas letras b) e c):

v1 =

\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u22121
2

3

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb, v2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0

3

4

2

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb, u =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0

2

6

6

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb e w =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u22129
\u22122
5

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
b) u \u2208 [v1, v2]?
c) w \u2208 [v1, v2]?
d) P3(R) = [x+ 2, x+ 1, x2 \u2212 1]?

Questa\u2dco 12. Seja C = {x1, · · · , xk} um conjunto gerador para o espac¸o ve-
torial V , V = [x1, · · · , xk].

a) Se adicionarmos outro vetor xk+1 \u2208 V ao conjunto C, ainda teremos um
conjunto gerador de V ? Explique.

b) Se retirarmos um vetor de C, digamos xk, ainda sera´ gerador? Explique.

Questa\u2dco 13. Determine se sa\u2dco conjuntos linearmente independentes em V :

a) {x+ 2, x\u2212 1, x2 \u2212 1} em P2(R).

b)

\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
\uf8eb\uf8ec\uf8ed 1 \u22121

2 0

\uf8f6\uf8f7\uf8f8 ,
\uf8eb\uf8ec\uf8ed 3 \u22121

5 2

\uf8f6\uf8f7\uf8f8 ,
\uf8eb\uf8ec\uf8ed\u22123 \u22121
\u22124 \u22124

\uf8f6\uf8f7\uf8f8 ,
\uf8eb\uf8ec\uf8ed 2 \u22121

0 \u22121

\uf8f6\uf8f7\uf8f8
\uf8fc\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8fe em V = M2×2(R).

Questa\u2dco 14. Seja C = {x1, · · · , xn} um conjunto linearmente independente
de V espac¸o vetorial.

a) Se adicionarmos outro vetor xk+1 \u2208 V ao conjunto C, ainda teremos um
conjunto linearmente independente em V ? Explique.

3

b) Se retirarmos um vetor de C, digamos xk, ainda sera´ linearmente indepen-
dente? Explique.

Questa\u2dco 15. Justifique porque, independente do espac¸o vetorial V , sa\u2dco ver-
dadeiras as afirmac¸o\u2dces:

a) Qualquer conjunto finito de vetores que contenha o vetor nulo deve ser
linearmente dependente.

b) Se acrescentarmos qualquer vetor a um conjunto gerador de V , este con-
junto torna-se linearmente dependente.

c) Se retirarmos qualquer vetor de um conjunto linearmente independente de
V , este conjunto na\u2dco pode ser gerador de V .

Questa\u2dco 16. Determine uma base e a dimensa\u2dco dos espac¸os vetoriais seguintes:

a) U = {(a+ b, a\u2212 b+ 2c, b, c); a, b e c \u2208 R}
b) W = {p \u2208 P3(R); p(x) = ax2 + bx+ 2a+ 3b; a, b \u2208 R}
c) S = [x, x\u2212 1, x2 + 1, x2 \u2212 1]

Questa\u2dco 17. Em cada item abaixo, determine uma base o subespac¸o U+W e
outra para o subespac¸o U \u2229W , onde U e W sa\u2dco subespac¸os do espac¸o vetorial
V indicado.

a) V = R4;
U = {(x, y, z, t) \u2208 R4; x\ufffd\ufffd\ufffd y + z = 0 e y + z = 0} e
W = {(x, y, z, t) \u2208 R4; 2x+ y + 2z \u2212 3t = 0}.

b) V = Mn×n(R);

U =

\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
\uf8eb\uf8ec\uf8ed a b
c d

\uf8f6\uf8f7\uf8f8 / a\u2212 2b = 0
\uf8fc\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8fe e W =

\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
\uf8eb\uf8ec\uf8ed 0 e

0 f

\uf8f6\uf8f7\uf8f8 / e, f \u2208 R
\uf8fc\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8fe .

c) V = P3(R); U = {p \u2208 P3(R); p\u2032\u2032(t) = 0} e W = {q \u2208 P3(R); q\u2032(t) = 0}.

Questa\u2dco 18. Sejam W e U os subespac¸os de R4 definidos abaixo:

W = {(x, y, z, t) \u2208 R4 / x+ y + 2t = 0 e z \u2212 3t = 0} e

U = [(0, 1, 2, 1), (1,\u22121, 7, 3)].

a) Calcule uma base e a dimensa\u2dco de W .
b) Calcule uma base e a dimensa\u2dco de W \u2229 U .
Obs.: Justifique para cada base (nas letras a e b) porque seus vetores sa\u2dco
de fato linearmente independentes (LI).

c) Verifique que W + U 6= R4 (na\u2dco e´ preciso calcular W + U).

Questa\u2dco 19. Seja V = P2 = {a0 + a1x+ a2x2 | ai \u2208 R, i = 1, 2, 3}. Dadas as
bases: \u3b1 = {1\u2212 x2, 1\u2212 x, 1 + x+ x2} e \u3b2 = {1 + x, x+ x2, 1 + x2}.

4

Seja v \u2208 V o polino\u2c6mio tal que [v]\u3b1 =

\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3

1

2

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
a) Determine o polino\u2c6mio v.
b) Calcule a matriz mudanc¸a de base apropriada para encontrar as coorde-

nadas [v]\u3b2 a partir das coordenadas [v]\u3b1. A seguir calcule as coordenadas
[v]\u3b2 usando esta matriz.

5