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Regra da cadeia

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Aula 03 
Regra da Cadeia 
A regra da cadeia é aplicada na derivação da função composta. 
Seja a função y = x³, sendo que u = x² + 1. Então y = (x² + 1)³ ou y = 
x 6 + 3x 4 + 3x² + 1 onde y’= 6x 5 + 12x³ + 6x. Por outro lado, sabe-se que y’= 
dx
dy e que y’= 
dx
dy
du
du ou que y’= 
du
dy 
dx
du . Assim se y = x³ e u = x² + 1, vem que 
du
dy = 3u² e 
dx
du = 2x. Substituindo-se na expressão acima temos: 
 y ’= 3u². 2x = 3(x² + 1).2x = 6x(x 4 +2x² +1)⇒y’= 6x 5 + 12x³ + 6x 
 
• A partir da regra da cadeia, as regras de derivação passam a ser: 
 
1. y = u m ⇒ y ’ = m. u 1−m . u’ 
 
 
 2. y = a u ⇒ y ’ = a u . ln a . u’ 
 
 
3. y = ln u ⇒ y ’ = 
u
u , 
Exemplos: 
Derivar: 
Questão 1. f(x) = ( x 2 - 1 ) 3 
Solução: Regra y = u m ⇒ y ’ = m.u 1−m . u’ , onde u = x² - 1 
 Aplicando a regra, temos: 
 f ’(x) = 3(x² - 1) 13− .(x² - 1) ’ = 3(x² - 1) 2 . 2x 
 f ’(x) = 6x (x² - 1) 2 
Questão 2. f(x) = ln (x³ - 5x² + 4) 
Solução: Regra y = ln u ⇒ y ’ = 
u
u , , onde u = x³ - 5x² + 4 
 Então: f ’(x) = 
45
)45(
23
,23
+−
+−
xx
xx 
 
 f ’(x) = 
45
103
23
2
+−
−
xx
xx 
 
Questão 3. f(x) = 152 2 −+ xx = (2x 152 −+ x ) 2
1
 
 
Solução: Regra y = u m ⇒ y ’= m . u 1−m . u ’ 
 
 f ’(x) = 
2
1 (2x² +5x – 1) 
1
2
1 −
. (2x² +5x – 1) ’ 
 
 f ’(x) = 
2
1 (2x² + 5x – 1) 2
1−
.(4x + 5 ) ∴ f ’(x) = 
1522
54
2 −+
+
xx
x 
 
Questão 4. f(x) = 2 3
2 −x 
 
 Solução: Regra y = a u ⇒ y ’ = a u . ln a . u ’ 
 
 f ’(x) = 2 3
2 −x . ln 2 . (x² - 3) ’ ∴ f ’(x) = 2 32 −x . ln 2 . (2x) 
 
Questão 5. f(x) = 
4
4
2
2
+
−
x
x ⇒ 


=→+=
=→−=
xvxv
xuxu
24
24
,2
,2
 
 Solução: Regra y = 
v
u ⇒ y ’= 2
,, ..
v
vuvu − 
 f ’(x) = 22
22
)4(
2)4()4(2
+
−−+
x
xxxx ∴ f ’(x) = 22 )4(
16
+x
x 
 
Questão 6. f(x) = e x 
 Solução: Regra y = a u ⇒ y ’= a u . ln a . u ’ 
 f ’(x) = e x . ln e . x ’ ∴ f ’(x) = e x 
• A função f(x) = e x é chamada de perpétua, sua derivada é ela mesma. 
 
• Se f(x) = e x ⇒ f ’(x) = e x 
 
Questão 7. f(x) = e 45
2 +− xx 
 
 Solução: Regra y = a u ⇒ y ’= a u . ln a . u ’ 
 
 f ’(x) = e 45
2 +− xx . ln e . (x² - 5x + 4) ’ 
 
 f ’(x) = e 45
2 +− xx . (2x – 5) 
 
 
Questão 8. f(x) = (x² +1) . e 1
2 −x ⇒ 


=→=
=→+=
−− 1,1
,2
22
.2
21
xx exvev
xuxu 
 
 
 Solução : Regra y = u . v ⇒ y ’= u ’. v + u . v ’ 
 
 
 f ’(x) = 2x . e 1
2 −x + (x² + 1) . 2x . e 1
2 −x 
 f ’(x) = 2x . e 1
2 −x . (x² + 2) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Questão 1. Dada a função f, calcule x para o qual f ’(x) = 0. 
 
1. f(x) = 3x² - 12x + 6 
 
Solução: f ’(x) = 6x – 12 
 
 f ’(x) = 0 ⇒ 6x – 12 = 0 
 
 x = 2 
 
2. f(x) = x³ - 9x² + 15x –1 
 
 
Solução: f ’(x) = 3x² - 18x + 15 
 
 f ’(x) = 0 ⇒ 3x² - 18x + 15 = 0 ⇒ 

=
=
1
5
x
x
 
3. f(x) = e x . x² 
 
Solução: f ’(x) = (e x ) ’. x² + e x . (x²) ’ = e x . x² + e x . 2x 
 
 
 f ’(x) = e x ( x² + 2x ) 
 
 f ’(x) = 0 ⇒ e x ( x² + 2x ) = 0 
 
Como e x ≠ o, para qualquer x real, então: 
 
 x² + 2x = 0 ⇒ 

−=
=
2
0
x
x
 
Acesse a Ferramenta Atividades e realize a Atividade 1.