Regra da cadeia
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Regra da cadeia

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Aula 03
Regra da Cadeia

A regra da cadeia é aplicada na derivação da função composta.

Seja a função y = x³, sendo que u = x² + 1. Então y = (x² + 1)³ ou y =

x 6 + 3x 4 + 3x² + 1 onde y’= 6x 5 + 12x³ + 6x. Por outro lado, sabe-se que y’=

dx
dy e que y’=

dx
dy

du
du ou que y’=

du
dy

dx
du . Assim se y = x³ e u = x² + 1, vem que

du
dy = 3u² e

dx
du = 2x. Substituindo-se na expressão acima temos:

 y ’= 3u². 2x = 3(x² + 1).2x = 6x(x 4 +2x² +1)⇒y’= 6x 5 + 12x³ + 6x

• A partir da regra da cadeia, as regras de derivação passam a ser:

1. y = u m ⇒ y ’ = m. u 1−m . u’

 2. y = a u ⇒ y ’ = a u . ln a . u’

3. y = ln u ⇒ y ’ =
u
u ,

Exemplos:
Derivar:

Questão 1. f(x) = ( x 2 - 1 ) 3

Solução: Regra y = u m ⇒ y ’ = m.u 1−m . u’ , onde u = x² - 1
 Aplicando a regra, temos:

 f ’(x) = 3(x² - 1) 13− .(x² - 1) ’ = 3(x² - 1) 2 . 2x

 f ’(x) = 6x (x² - 1) 2

Questão 2. f(x) = ln (x³ - 5x² + 4)

Solução: Regra y = ln u ⇒ y ’ =
u
u , , onde u = x³ - 5x² + 4

 Então: f ’(x) =
45
)45(

23

,23

+−
+−

xx
xx

 f ’(x) =
45

103
23

2

+−
−
xx

xx

Questão 3. f(x) = 152 2 −+ xx = (2x 152 −+ x ) 2
1

Solução: Regra y = u m ⇒ y ’= m . u 1−m . u ’

 f ’(x) =
2
1 (2x² +5x – 1)

1
2
1 −

. (2x² +5x – 1) ’

 f ’(x) =
2
1 (2x² + 5x – 1) 2

1−
.(4x + 5 ) ∴ f ’(x) =

1522
54

2 −+
+

xx
x

Questão 4. f(x) = 2 3
2 −x

 Solução: Regra y = a u ⇒ y ’ = a u . ln a . u ’

 f ’(x) = 2 3
2 −x . ln 2 . (x² - 3) ’ ∴ f ’(x) = 2 32 −x . ln 2 . (2x)

Questão 5. f(x) =
4
4

2

2

+
−

x
x ⇒




=→+=
=→−=

xvxv
xuxu

24
24

,2

,2

 Solução: Regra y =
v
u ⇒ y ’= 2

,, ..
v

vuvu −

 f ’(x) = 22
22

)4(
2)4()4(2

+
−−+

x
xxxx ∴ f ’(x) = 22 )4(

16
+x
x

Questão 6. f(x) = e x

 Solução: Regra y = a u ⇒ y ’= a u . ln a . u ’
 f ’(x) = e x . ln e . x ’ ∴ f ’(x) = e x
• A função f(x) = e x é chamada de perpétua, sua derivada é ela mesma.

• Se f(x) = e x ⇒ f ’(x) = e x

Questão 7. f(x) = e 45
2 +− xx

 Solução: Regra y = a u ⇒ y ’= a u . ln a . u ’

 f ’(x) = e 45
2 +− xx . ln e . (x² - 5x + 4) ’

 f ’(x) = e 45
2 +− xx . (2x – 5)

Questão 8. f(x) = (x² +1) . e 1
2 −x ⇒




=→=
=→+=

−− 1,1

,2

22

.2
21
xx exvev
xuxu

 Solução : Regra y = u . v ⇒ y ’= u ’. v + u . v ’

 f ’(x) = 2x . e 1
2 −x + (x² + 1) . 2x . e 1

2 −x

 f ’(x) = 2x . e 1
2 −x . (x² + 2)

Exemplo:
Questão 1. Dada a função f, calcule x para o qual f ’(x) = 0.

1. f(x) = 3x² - 12x + 6

Solução: f ’(x) = 6x – 12

 f ’(x) = 0 ⇒ 6x – 12 = 0

 x = 2

2. f(x) = x³ - 9x² + 15x –1

Solução: f ’(x) = 3x² - 18x + 15

 f ’(x) = 0 ⇒ 3x² - 18x + 15 = 0 ⇒ 


=
=

1
5

x
x

3. f(x) = e x . x²

Solução: f ’(x) = (e x ) ’. x² + e x . (x²) ’ = e x . x² + e x . 2x

 f ’(x) = e x ( x² + 2x )

 f ’(x) = 0 ⇒ e x ( x² + 2x ) = 0

Como e x ≠ o, para qualquer x real, então:

 x² + 2x = 0 ⇒ 


−=
=

2
0

x
x

Acesse a Ferramenta Atividades e realize a Atividade 1.