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Aula 03 Regra da Cadeia A regra da cadeia é aplicada na derivação da função composta. Seja a função y = x³, sendo que u = x² + 1. Então y = (x² + 1)³ ou y = x 6 + 3x 4 + 3x² + 1 onde y’= 6x 5 + 12x³ + 6x. Por outro lado, sabe-se que y’= dx dy e que y’= dx dy du du ou que y’= du dy dx du . Assim se y = x³ e u = x² + 1, vem que du dy = 3u² e dx du = 2x. Substituindo-se na expressão acima temos: y ’= 3u². 2x = 3(x² + 1).2x = 6x(x 4 +2x² +1)⇒y’= 6x 5 + 12x³ + 6x • A partir da regra da cadeia, as regras de derivação passam a ser: 1. y = u m ⇒ y ’ = m. u 1−m . u’ 2. y = a u ⇒ y ’ = a u . ln a . u’ 3. y = ln u ⇒ y ’ = u u , Exemplos: Derivar: Questão 1. f(x) = ( x 2 - 1 ) 3 Solução: Regra y = u m ⇒ y ’ = m.u 1−m . u’ , onde u = x² - 1 Aplicando a regra, temos: f ’(x) = 3(x² - 1) 13− .(x² - 1) ’ = 3(x² - 1) 2 . 2x f ’(x) = 6x (x² - 1) 2 Questão 2. f(x) = ln (x³ - 5x² + 4) Solução: Regra y = ln u ⇒ y ’ = u u , , onde u = x³ - 5x² + 4 Então: f ’(x) = 45 )45( 23 ,23 +− +− xx xx f ’(x) = 45 103 23 2 +− − xx xx Questão 3. f(x) = 152 2 −+ xx = (2x 152 −+ x ) 2 1 Solução: Regra y = u m ⇒ y ’= m . u 1−m . u ’ f ’(x) = 2 1 (2x² +5x – 1) 1 2 1 − . (2x² +5x – 1) ’ f ’(x) = 2 1 (2x² + 5x – 1) 2 1− .(4x + 5 ) ∴ f ’(x) = 1522 54 2 −+ + xx x Questão 4. f(x) = 2 3 2 −x Solução: Regra y = a u ⇒ y ’ = a u . ln a . u ’ f ’(x) = 2 3 2 −x . ln 2 . (x² - 3) ’ ∴ f ’(x) = 2 32 −x . ln 2 . (2x) Questão 5. f(x) = 4 4 2 2 + − x x ⇒ =→+= =→−= xvxv xuxu 24 24 ,2 ,2 Solução: Regra y = v u ⇒ y ’= 2 ,, .. v vuvu − f ’(x) = 22 22 )4( 2)4()4(2 + −−+ x xxxx ∴ f ’(x) = 22 )4( 16 +x x Questão 6. f(x) = e x Solução: Regra y = a u ⇒ y ’= a u . ln a . u ’ f ’(x) = e x . ln e . x ’ ∴ f ’(x) = e x • A função f(x) = e x é chamada de perpétua, sua derivada é ela mesma. • Se f(x) = e x ⇒ f ’(x) = e x Questão 7. f(x) = e 45 2 +− xx Solução: Regra y = a u ⇒ y ’= a u . ln a . u ’ f ’(x) = e 45 2 +− xx . ln e . (x² - 5x + 4) ’ f ’(x) = e 45 2 +− xx . (2x – 5) Questão 8. f(x) = (x² +1) . e 1 2 −x ⇒ =→= =→+= −− 1,1 ,2 22 .2 21 xx exvev xuxu Solução : Regra y = u . v ⇒ y ’= u ’. v + u . v ’ f ’(x) = 2x . e 1 2 −x + (x² + 1) . 2x . e 1 2 −x f ’(x) = 2x . e 1 2 −x . (x² + 2) Exemplo: Questão 1. Dada a função f, calcule x para o qual f ’(x) = 0. 1. f(x) = 3x² - 12x + 6 Solução: f ’(x) = 6x – 12 f ’(x) = 0 ⇒ 6x – 12 = 0 x = 2 2. f(x) = x³ - 9x² + 15x –1 Solução: f ’(x) = 3x² - 18x + 15 f ’(x) = 0 ⇒ 3x² - 18x + 15 = 0 ⇒ = = 1 5 x x 3. f(x) = e x . x² Solução: f ’(x) = (e x ) ’. x² + e x . (x²) ’ = e x . x² + e x . 2x f ’(x) = e x ( x² + 2x ) f ’(x) = 0 ⇒ e x ( x² + 2x ) = 0 Como e x ≠ o, para qualquer x real, então: x² + 2x = 0 ⇒ −= = 2 0 x x Acesse a Ferramenta Atividades e realize a Atividade 1.
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