Exercicios 10 Vigas Estaticamente Indeterminadas - Solucao

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Vigas Estaticamente Indeterminadas – Exercícios 
Exercícios 
1. A viga da figura tem comprimento L = 4 m, uma extremidade engastada e a outra 
apoiada numa articulação móvel. Se o produto de rigidez EI for constante e se o 
carregamento for a força uniformemente distribuída por comprimento de 20 kN/m, 
pede-se determinar: 
a. as reações RA e RB; 
b. o momento fletor positivo máximo (tracionando as fibras inferiores); 
c. o momento fletor negativo máximo (tracionando as fibras superiores). 
q (kN/m)
A
L
B
 
Solução 
a. Reações RA e RB 
q
B
x
B vv = 
EI
xL
v
x
B
3
3
= 
EI
qL
v
q
B
8
4
= 
EI
qL
EI
xL
83
43
= 
3
4
8
3
L
qL
x = 
8
3qL
x = kN
m
m
kN
x 5,4
8
623
=
××
= 
0=Σ yF 
0. =−+ LqRBRA RBLqRA −= . ( ) kNRA 5030420 =−×= 
b. Momento fletor negativo máximo (tracionando as fibras superiores) 
0=Σ BM 0
2
=⋅−−⋅
L
qLMALRA 
0=Σ BM 0
28
5 22
=−−
qL
MA
qL
 
8
2
qL
MA −= kNmMA 40
8
420 2
−=
×
−= 
2 
 
c. Momento fletor positivo máximo (tracionando as fibras inferiores) 
Esforços solicitantes para uma seção x qualquer, onde Lx <≤0 
Equação do esforço cortante qx
qL
V −=
8
5
 
Determinação do ponto onde o esforço cortante é nulo. 
qx
qL
−=
8
5
0 qx
qL
=
8
5
 → 
8
5L
x = mx 5,2
8
45
=
×
= 
Nesse ponto obtém-se o momento fletor positivo máximo. 
Equação do momento fletor 
28
5 x
qxx
qL
MAM −+−=+ → 
28
5
8
22
qx
x
qLqL
M −+−=+ 
O momento fletor positivo máximo ocorre em mx 5,2= , então, 
kNmM 5,22
2
5,220
5,2
8
4205
8
420 22
=
×
−×
××
+
×
−=+ 
Ou 
128
9 2qL
M =+ kNmM 5,22
128
4209 2
=
××
=+ 
 
Respostas: 
a. RA = 50 kN e RB = 30 kN b. kNmM 5,22=+ c. kNmM 0,40−=− 
 
3 
 
2. A viga da figura, de comprimento 8 m, está submetida a um carregamento 
uniformemente distribuído de 2 kN/m. O produto de rigidez EI é constante, as tensões 
admissíveis à compressão e à tração na flexão são iguais MPatc 665,10== σσ e a 
tensão admissível ao cisalhamento é MPac 6,0=τ . Se a seção transversal da viga for 
retangular, com largura b= 10 cm, determinar a altura da viga. 
b=10 cmL = 8 m
q = 2 kN/m
h=?
 
Solução 
a. Flexão 
Momento fletor negativo: 
8
2
qL
MA −= Momento fletor positivo: 
128
9 2qL
M =+ 
Em módulo, o momento fletor negativo é maior do que o momento fletor positivo. 
8
2
qL
MA −= kNmMA 16
8
82 2
=
×
−= 
Tensões normais na flexão 
σ
σ
M
W
W
M
=⇒= 
σ
Mhb
=
⋅
6
2
 
σ⋅
⋅
=
b
M
h f
6
 cm
cmkNcm
cmkN
h f 30
)/(0665,1)(10
).(60016
2
=
×
×
= 
Obs. 
2
0665,1665,10
cm
kN
MPatc === σσ 
b. Cisalhamento 
O esforço cortante máximo ocorre no apoio A, ou seja, 
8
5qL
RAVmáx == . 
kNVmáx 10
8
825
=
××
= 
Tensões de cisalhamento na flexão 
bh
V
5,1=τ → 
τb
V
hc 5,1= cm
cm
kN
cm
kN
hc 25
06,010
10
5,1
2
=
×
= 
Obs. 
2
06,06,0
cm
kN
MPac ==τ 
Altura da viga: 



=
=
≥
cmh
cmh
h
c
f
25
30
 → cmh 30= 
Resposta: h = 30 cm. 
4 
 
3. A viga da figura possui dois vãos de 8 m de comprimento e está submetida a uma 
carga uniformemente distribuída de 2 kN/m. Se o produto de rigidez EI for constante, 
pede-se determinar: 
a. as reações RA , RB , e RC; 
b. o momento fletor positivo máximo (tracionando as fibras inferiores); 
c. o momento fletor negativo máximo (tracionando as fibras superiores). 
q = 2 kN/m
8 m 8 m
 
 
Solução 
a. Reações RA , RB , e RC 
q
B
x
B vv = 
EI
Lx
v
x
B
48
2 3⋅
−= 
EI
Lq
v
q
B
384
25 4⋅⋅
= 
( ) ( )
0
48
2
384
25
34
=
⋅
−
⋅⋅
EI
Lx
EI
Lq
 
4
5qL
RBx == kNRB 20
4
825
=
××
= 
0=ΣFy → qLRCRBRA 2=++ da simetria, tem-se RCRA = 
qLRA
qL
RA 2
4
5
=++ 
8
3qL
RCRA == kNRCRA 6
8
823
=
××
== 
 
b. Momento fletor negativo máximo (tracionando as fibras superiores) 
Cálculo de MB 
2
2
qL
LRAMB −⋅= 
28
3
22
qLqL
MB −= 
8
2
qL
MB −= kNmMB 16
8
82
2
−=
×
−= 
5 
 
c. Momento fletor positivo máximo (tracionando as fibras inferiores) 
Equação da força cortante no primeiro vão da viga qx
qL
V −=
8
3
 
Determinação do ponto onde a força cortante é nula 
0
8
3
=−= qx
qL
V qx
qL
=
8
3
 
8
3L
x = 
Determinação do momento positivo no primeiro vão da viga 
2
x
qxxRAM −⋅=+ 
2
2
x
qxRAM −⋅=+ 
Para 
8
3L
x = , tem-se o seguinte momento fletor positivo. 
2
8
3
28
3
8
3






−⋅=+
LqLqL
M 
128
9
2
qL
M =+ kNmM 9
128
829
2
=
××
=+ 
 
Respostas: 
a. RA = 6,0 kN, RB = 20,0 kN e RC = 6,0 kN 
b. kNmM 0,9=+ 
c. kNmM 0,16=− (em módulo) 
 
6 
 
4. A viga está pendurada no meio do vão por meio de um tirante com comprimento 
L2=0,60 m e apoiada nas extremidades. O módulo de elasticidade da viga é 
E1=144,68 GPa e o momento de inércia é I=22 500cm
4
. Se o módulo de elasticidade do 
tirante for E2=200 GPa, determinar a área do tirante para que se tenha momento fletor 
nulo em C. 
A
2,5 m
q = 1 kN/m
0
,6
0
 m
2,5 m
C B 
Solução 
Substituir a reação no cabo por uma forca concentrada, transformando a viga 
estaticamente indeterminada em uma viga isostática fundamental. 
A
2,5 m
q = 1 kN/m
C B
2,5 m
X
 
Determinação das reações RA e RB 
22
XLq
RR BA −
⋅
== mL 5= 
22
50,1
X
m
m
kN
RR BA −
×
== 






−==
2
5,2
X
RR BA 
Condição do problema: MC=0 
0
42
.
2
=





⋅−⋅=
LLqL
RM AC 0
4
5
2
5
1
2
5
2
5,2 =





××−×





−=
X
MC 
5,312125 =×X → kNX 5,2= 
7 
 
Equação de compatibilidade dos deslocamentos 
tirante
x
C
q
C vv δ=+ 
AE
LX
IE
LX
IE
Lq
2
2
11
3
1
11
4
1
48384
5 ⋅
=
⋅
−
⋅⋅
 
Cálculo da área do tirante 
A×
×
=
××
×
−
××
××
000.20
605,2
500.22468.1448
5005,2
500.22468.14384
50001,05 34
 → 25,1 cmAtirante = 
Resposta: 25,1 cmAtirante =