Aula 10 - Exercícios Deflexão Vigas

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Mecânica dos Sólidos 3
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
• Exemplo 2: Determine a equação para estimar os deslocamentos e o
deslocamento máximo da viga abaixo.
νmax
x
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• Exemplo 2:
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
W L W x
M W L x
W
M L L x x
⋅ ⋅
= − + ⋅ ⋅ −
= − ⋅ − ⋅ ⋅ +
W · L
W·L²
2
W·x²
2
� Integrando em relação a x:
� Considerando condições de contorno tem-se que para
Logo,
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• Exemplo 2:
W · L
W·L²
2
W·x²
2
� Integrando em relação a x:
� Considerando condições de contorno tem-se
que para . Logo,
� Assim, a curva de deflexão da viga fica:
� A deflexão máxima ocorre para . Logo:
νmax
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• Exemplo 3: Determine a equação para estimar os deslocamentos e o
deslocamento máximo da viga abaixo.
x
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• Exemplo 3:
( )2
2 2
2
L x
M w x w x
w
M L x x
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ −
� Integrando em relação a x:
� Considerando condições de contorno tem-se que para x= L/2 . Logo:
x
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• Exemplo 3:
� Integrando novamente em relação a x:
� Tínhamos que:
…
� Substituindo-se chega-se ao valor de:
� Considerando condições de contorno tem-se que para ou para
Logo:
� O deslocamento será máximo para . Logo:
x
νmax
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• Exemplo 4: Uma viga bi-apoiada de aço com seção (W 12 x 35) está
submetida a uma carga distribuída em um vão L = 14 ft. Calcular a deflexão
máxima e os ângulos de rotação nos para os dados abaixo. Usar as equações
desenvolvidas no exemplo anterior.
Dados de Entrada 
do Problema:
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• Exemplo 4:
a) Deslocamento Máximo
b) Ângulo de Rotação nos Apoios
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• Exemplo 5: Calcule a deflexão máxima da viga bi-apoiada com
comprimento de 2,0 m submetida a uma carga uniformemente distribuída de
2,0 kN/m, sabendo-se que a tensão normal máxima admissível é de 60 MPa.
A viga tem seção transversal quadrada e é feita de alumínio com módulo de
elasticidade de 70 GPa.
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• Exemplo 5:
Dados de 
Entrada do 
Problema:
Tensão Normal (provocada pela flexão)
Deslocamento Máximo
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• Exemplo 6: Determine a equação da linha elástica e a deflexão máxima
da viga abaixo.
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• Exemplo 6:
 ; válida para 0 2
2
P
M x x L= ⋅ < <
P/2 P/2
x ''
2
P
EI xν⋅ = ⋅
� Integrando em relação a x:
2
2
1 1
2 2
1 1
2
2
'
2 2 4
' 0 para 2
0
4 2 16
'
4 16
P x P
EI C x C
x L
P L P L
C C
P P L
EI x
ν
ν
ν
⋅ = ⋅ + = ⋅ +
= =
⋅ = ⋅ + ∴ = − 
 
⋅
⋅ = ⋅ −
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• Exemplo 6:
P/2 P/2
x
� Integrando em relação a x:
2
2'
4 16
P P L
EI xν
⋅
⋅ = ⋅ −
3 2
2
2
3
2
4 3 16
12 16
P x P L
EI x C
P P L
EI x x C
ν
ν
⋅
⋅ = ⋅ − ⋅ +
⋅
⋅ = ⋅ − ⋅ +
( )
2
2
3
2 2
0 para 0 0
12 16
4 3
48
x C
P P L
EI x x
P x
x L
EI
ν
ν
ν
= = ∴ =
⋅
⋅ = ⋅ − ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅
⋅
2
2
max
3
max
max para 2
4 3
96 2
48
x L
P L L
L
EI
P L
EI
ν
ν
ν
= =
 ⋅  = ⋅ ⋅ − ⋅   ⋅   
⋅
= −
⋅
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• Exemplo 7: Para conter um aterro de 3 m de altura são utilizadas estacas
de concreto justapostas quadradas com lado de 200 mm. Se a pressão do solo
varia de zero no topo ao máximo de 18 kN/m na extremidade inferior A, qual
o deslocamento no topo? Econc = 28 GPa.
3 m
18 kN/m
B
A
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• Exemplo 7:
3 m
18 kN/m
B
A
0
3 3
8 4
3 m 3.000 mm
18 kN/m 18 N/mm
28 GPa 28.000 N/mm²
200 200
1,333 x 10 mm
12 12
conc
L
q
E
b h
I
= =
= =
= =
⋅ ⋅
= = =
� Sabendo-se que:
� Dados de entrada:
� Deslocamento em B:
( )44
0
8
18 3000
30 30 28000 1,33 10
13 mm
B
B
q L
E I
ν
ν
⋅⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ×
=
� Inclinação em B:
( )33
0
8
18 3000
24 24 28000 1,33 10
0,0054 rad
B
B
q L
E I
ν
ν
⋅⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ×
=
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• Exemplo 8: Uma viga bi-apoiada de aço com perfil W310 X 33 está
submetida a uma carga uniformemente distribuída q = 25 kN/m em um vão de
L = 5 m. Sendo E = 200 GPa, determine: a) a deflexão máxima da viga e b) a
tensão máxima de flexão.
L
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• Exemplo 8:
L
6 4
4
max
5 m 5.000 mm
25 kN/m 25 N/mm
200 GPa 200.000 N/mm²
65 x 10 mm
313 mm
5
384
L
q
E
I
h
q L
E I
δ
= =
= =
= =
=
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
� Dados de entrada:
� Deslocamento máximo:
( )44
max 6
max
5 25 5.0005
384 384 200.000 65 10
15,65 mm
q L
E I
δ
δ
⋅ ⋅⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
� Tensão Máxima de Flexão:
( )
2
max
max
2
max 6
max
8 2
25 5.000 313
8 2 65 10
188,1 MPa
M y q L h
I I
σ
σ
σ
⋅ ⋅
= = ⋅
⋅
⋅
= ⋅
⋅ ⋅
=
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• Exemplo 9: Qual a máxima tensão de flexão em uma viga engastada e
livre submetida a uma carga uniformemente distribuída caso possua uma
altura h = 250 mm, deflexão máxima δ = 5 mm, vão L = 3 m e módulo de
elasticidade E = 70 GPa.
L
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• Exemplo 9:
L
max
4
max
3 m 3.000 mm
70 GPa 70.000 N/mm²
250 mm
5 mm
8
L
E
h
q L
E I
δ
δ
= =
= =
=
=
⋅
=
⋅ ⋅
� Dados de entrada:
� Inércia da viga:
44
max
max 2
2
max max
max max 2
max max2
4
8 8
2
2
2 70.000 250 5
19,44 MPa
3.000
q Lq L
E I E q L h
L E h
E h L
σ
δ
σ δ
δ σ
σ σ
⋅ ⋅ ⋅⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ∴ =
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ∴ =
� Tensão Máxima de Flexão:
2
max
max
2
max
2
max
2 2
4
4
M y q L h
I I
q L h
I
q L h
I
σ
σ
σ
⋅ ⋅
= = ⋅
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
⋅ ⋅
=
⋅