Relatório - Análise do Oscilador Mass-Mola, do Pêndulo Simples e do Pêndulo Físico

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Análise do Oscilador Mass-Mola, do 
Pêndulo Simples e do Pêndulo Físico 
Sumário 
1. Objetivos: ............................................................................................................. 2 
2. Introdução: ............................................................................................................ 3 
3. Materiais Utilizados: ............................................................................................ 4 
4. Procedimento Experimental: ................................................................................ 5 
5. Resultados: ........................................................................................................... 8 
i. Tabelas 
ii. Gráficos 
iii. Cálculos 
6. Análises e Conclusões: ....................................................................................... 16 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: .............................................................. 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
Objetivos: 
Os objetivos da realização destes experimentos são que ao final do experimento 
deveremos ser capazes de: 
 
Para o Oscilador Massa-Mola: 
 
 Reconhecer o MHS executado pelo oscilador massa-mola como o movimento de 
um ponto material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional à 
elongação da mola; 
 Determinar, pelo processo dinâmico, a constante elástica k da mola helicoidal. 
 
Para o Pêndulo Simples: 
 
 Reconhecer o MHS executado pelo pêndulo simples como o movimento de um 
ponto material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional ao seu 
deslocamento angular; 
 Determinar as relações entre o período da oscilação e: 1 – a amplitude da 
oscilação, 2 – a massa pendurada, 3 – o comprimento da corda; 
 Determinar o valor da gravidade local por meio da medida do comprimento do 
fio e do período de oscilação. 
 
Para o Pêndulo Físico: 
 
 Reconhecer o MHS executado pela régua com seu movimento de um corpo 
extenso sujeito à ação de um torque restaurador proporcional ao seu 
deslocamento angular e ao momento de inércia com relação ao eixo de giro; 
 Determinar, pelo processo dinâmico, o valor de momentos de inércia com 
relação a diferentes eixos de giro. 
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Introduçã o: 
Os movimentos harmônicos simples estão presentes em vários aspectos de 
nossas vidas, como nos movimentos do pêndulo de um relógio, de uma corda de violão 
ou de uma mola. Esses mecanismos realizam movimentos de “vai e vem” em torno de 
uma posição de equilíbrio, sendo caracterizados por um período e por uma frequência. 
Um movimento é dito oscilatório ou vibratório quando o móvel se desloca 
periodicamente sobre uma mesma trajetória, indo e vindo de um lado para outro em 
relação a uma posição média de equilíbrio. Essa posição é o ponto sobre a trajetória, 
para o qual a resultante das forças que agem sobre o móvel, quando o mesmo passa, é 
nula. O Pêndulo Simples é composto de uma partícula suspensa em uma das 
extremidades de um fio de massa desprezível e com a outra extremidade fixa. A massa 
oscila no plano tendendo a voltar sempre à posição de equilíbrio (Onde o pêndulo 
ficaria em repouso se não estivesse oscilando) devido a uma força restauradora que é a 
decomposição da força peso relativa ao eixo x. 
Neste experimento será verificado que em um sistema massa-mola, o período 
de oscilação depende da massa do corpo suspenso. Serão medidas grandezas físicas 
diretas e, a partir de gráficos, serão determinadas outras grandezas. Contudo, será 
analisado o comportamento de um sistema massa-mola suspenso e dos pêndulos simples 
e físico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Mãteriãis Utilizãdos: 
Para a execução do experimento, foi necessária a utilização dos seguintes materiais: 
 
 01 Sistema de sustentação principal Arete formado por tripé triangular, 
haste, sapatas niveladoras; Painel com fixação integrada; 
 02 Massas pendulares de mesmo volume e massas diferentes; 
 01 Cronômetro; 
 01 Mola helicoidal; 
 01 Conjunto de três massas acopláveis de (50 ± 1)g cada; 
 01 Gancho lastro de massa (8 ± 1)g; 
 01 Trena 
 01 Transferidor de 180° 
 01 Régua milimetrada com dois orifícios (o maior na extremidade e o menor 
na posição 4,0 cm da escala) 
 
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Procedimento Experimentãl: 
 Parte 1: 
Monta-se o conjunto (conforme a Figura 1), dependurando a mola, o gancho e 
as três massas acopláveis, puxa-se o gancho lastro 10 mm além da posição de equilíbrio 
e o solta novamente, repetindo o processo três vezes, para assim encontrar a media do 
tempo de 10 oscilações. Pondo o sistema para oscilar novamente, mede-se o intervalo 
de tempo que ele leva para executar 10 oscilações completas. Agora refazendo a medida 
anterior pendurando apenas duas massas no gancho lastro e, na sequência, pendurando 
somente uma massa. Completa-se a Tabela 1. 
Com os dados obtidos na Tabela 1, foi feito um gráfico do período versus 
massa pendurada na mola (segue em anexo o Gráfico 1) que ilustra o comportamento do 
MHS com o acréscimo das massas. 
 
Figura 1: Sistema Massa-Mola 
 Parte 2: 
Foi montado o experimento (conforme a Figura 2) com o prumo de maior 
massa, ajustando o pêndulo para 20,0cm do centro de massa do prumo até o topo do 
sistema de sustentação. Fez-se o deslocamento de 5° da sua posição de equilíbrio e 
assim determinou-se o intervalo de tempo em que o pêndulo leva para realizar 10 
oscilações completas, reproduzindo-se o processo três vezes para assim, encontrar a 
média do mesmo. Encontrando assim, o período (T= t/n), onde t é o intervalo de tempo 
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das oscilações completas e n o número de oscilações completas. Refez-se o experimento 
para as amplitudes de 10°, 15° e 20°. Preenchendo assim, a Tabela 2. 
Com o prumo de menor massa o pêndulo foi deslocado com uma pequena 
amplitude (≤5º), no caso, utilizou-se 4º e 5º, encontrando o tempo de 10 oscilações 
completas. Utilizando dessa informação definiu o período e a frequência. Preenchendo 
assim, a Tabela 3. 
Com o prumo de maior massa, variou-se o comprimento do pêndulo em 20, 40, 
60, 80, 100 cm e o ângulo em 10º, mediu o tempo de 10 oscilações, repetindo o 
procedimento 3 vezes, em cada comprimento, para assim encontrar a média. Utilizando 
essa informação encontrou-se o período e a frequência. Completando-se a Tabela 4. 
 
Figura 2: Pêndulo Simples 
 Parte 3: 
Montou-se o experimento (conforme a Figura 3) com a régua fixada em um 
ponto fora do centro de massa. Essa foi deslocada em 5° da sua posição de equilíbrio e 
assim determinou-se o intervalo de tempo em que o pêndulo leva para realizar 10 
oscilações completas, repetindo o procedimento para assim encontrar a media e a partir 
dela encontrar o período (𝑇 =
𝑡
𝑛
), onde t é o intervalo de tempo das oscilações 
completas e n o número de oscilações completas. Realizou-se o experimento para as 
distâncias 18,3 cm e 9,3 cm do centro de massa. Preenchendo assim a Tabela 5. 
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Figura 3: Pêndulo Físico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resultãdos: 
i. Tabelas: 
OSCILADOR MASSA-MOLA
Massa(g)
1º Tempo de 
10 oscilações 
(s)
2º Tempo de 
10 oscilações 
(s)
3º Tempo de 
10 oscilações 
(s)
Media (s)
Desvio 
Padrão (s)
Periodo 
(s)
Frequência 
(Hz)
1 58 3,84 2,94 3,68 3,49 0,48 0,349 2,86
2 108 4,4 3,84 3,94 4,06 0,30 0,406 2,46
3 158 4,32 4,15 4,35 4,27 0,11 0,427 2,34
Tabela 1: Oscilador Massa-Mola. 
Pêndulo Simples: maior massa
Deslocamento 
inicial (º)
1º Tempo de 
10 oscilações 
(s)
2º Tempo de 
10 oscilações 
(s)
3º Tempo de 
10 oscilações 
(s)
Média 
(s)
Desvio 
Padão (s)
Periodos 
(s)
Frequência 
(Hz)
1 5 8,28 8,28 8,78 8,45 0,29 0,845 1,18
2 10 8,31 9,30 8,82 8,81 0,50 0,881 1,13
3 15 8,75 8,73 8,87 8,78 0,08 0,878 1,14
4 20 8,88 9,90 8,88 9,22 0,59 0,922 1,08
Tabela 2: Pêndulo Simples com maior massa. 
Pêndulo Simples: menor massa
Deslocamento 
inicial (º)
Tempode 10 
oscilações (s)
Período (s)
Frequência 
(Hz)
4 8,69 0,869 1,15
5 8,78 0,878 1,14 
Tabela 3: Pêndulo Simples com menor massa. 
 
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Pêndulo simples: variação do comprimento
Comprimento 
do pêndulo 
(cm)
1º Tempo 
de 10 
oscilações 
(s)
2º Tempo 
de 10 
oscilações 
(s)
3º Tempo 
de 10 
oscilações 
(s)
Média (s)
Desvio 
Padrão 
(s)
Periodo 
(s)
Frequência 
(Hz)
1 20 8,28 9,16 8,53 8,66 0,45 0,87 1,15
2 40 11,85 11,41 10,33 11,20 0,78 1,12 0,89
3 60 14,90 14,75 14,66 14,77 0,12 1,48 0,68
4 80 16,87 16,82 16,81 16,83 0,03 1,68 0,59
5 100 19,56 19,22 19,30 19,36 0,18 1,93 0,52
Tabela 4: Pêndulo Simples com variação do comprimento. 
Pêndulo Físico
Distância do 
ponto O para o 
centro de 
massa (cm)
1º Tempo 
de 10 
oscilações 
(s)
2º Tempo 
de 10 
oscilações 
(s)
3º Tempo 
de 10 
oscilações 
(s)
Média (s)
Desvio 
Padrão (s)
Periodo 
(s)
1 18,3 9,16 8,97 8,97 9,03 0,11 0,903
2 9,3 8,18 8,84 8,53 8,52 0,33 0,852
Tabela 5: Pêndulo Físico 
 
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ii. Gráficos: 
 Tabela 1: 
 
Gráfico 1: Período versus Massa. 
 Tabela 2: 
 
Gráfico 2: Período versus Amplitude. 
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Gráfico 3: Frequência versus Amplitude. 
 Tabela 4: 
 
Gráfico 4: Período versus Comprimento do Fio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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iii. Cálculos: 
 Tabela 1: 
 
Massa 1: 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
3,49
10
= 0,349 𝑠 
𝐹 =
1
0,349
= 2,87 𝐻𝑧 
𝜎 = √
(3,84 − 3,49)2 + (2,94 − 3,49)2 + (3,68 − 3,49)2
10,46
= 0,48 
 
Massa 2: 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
4,06
10
= 0,406 𝑠 
𝐹 =
1
0,406
= 2,46 𝐻𝑧 
 
𝜎 = √
(4,4 − 4,06)2 + (3,84 − 4,06)2 + (3,94 − 4,06)2
12,18
= 0,30 
 
Massa 3: 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
4,27
10
= 0,427 
𝐹 =
1
0,427
= 2,34 𝐻𝑧 
 
𝜎 = √
(4,32 − 4,27)2 + (4,15 − 4,27)2 + (4,35 − 4,27)2
12,82
= 0,11 
 
Determinar o valor da constante elástica k graficamente. 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 ⇒ 𝑇2 =4𝜋2 ∙ 
𝑚
𝑘
 ⇒ 𝑘 =
4𝜋2
𝑇2
m 
Baseados na Tabela 1 e no Gráfico 1, podemos encontrar quatro pontos: 
P1 (0,058, 0,349) 
P2 (0,108, 0,406) 
P3 (0,158, 0,427) 
 
P1 ⇒ 𝑘 =
4𝜋2. 0,058
(0,349)2
⇒ 𝑘 = 18,80 N/m 
P2 ⇒ 𝑘 =
4𝜋2. 0,108
(0,406)2
⇒ 𝑘 = 25,87 N/m 
P3 ⇒ 𝑘 =
4𝜋2. 0,158
(0,427)2
⇒ 𝑘 = 34,21 N/m 
Considerando o P1 como o melhor ponto do gráfico, temos que o valor da constante 
elástica obtida graficamente é k = 18,80 N/m. 
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 Tabela 2: 
 
Deslocamento inicial 5°: 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
8,45
10
= 0,845 𝑠 
𝐹 =
1
0,845
= 1,18 𝐻𝑧 
𝜎 = √
(8,28 − 8,45)2 + (8,28 − 8,45)2 + (8,78 − 8,45)2
25,34
= 0,29 
 
Deslocamento inicial 10°: 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
8,81
10
= 0,881 𝑠 
𝐹 =
1
0,881
= 1,13 𝐻𝑧 
 
𝜎 = √
(8,31 − 8,81)2 + (9,3 − 8,81)2 + (8,82 − 8,81)2
26,43
= 0,50 
 
Deslocamento 15°: 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
8,78
10
= 0,878 
𝐹 =
1
0,878
= 1,14 𝐻𝑧 
 
𝜎 = √
(8,75 − 8,78)2 + (8,78 − 8,78)2 + (8,87 − 8,78)2
26,4
= 0,08 
Deslocamento 20°: 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
9,22
10
= 0,922 
𝐹 =
1
0,922
= 1,08 𝐻𝑧 
 
𝜎 = √
(8,88 − 9,22)2 + (9,90 − 9,22)2 + (8,88 − 9,22)2
12,82
= 0,59 
 
 Tabela 3: 
 
Deslocamento inicial 4°: 
 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
8,69
10
= 0,869 𝑠 
𝐹 =
1
0,869
= 1,15 𝐻𝑧 
 
Deslocamento inicial 5°: 
𝑇 =
𝑡
𝑛
=
8,78
10
= 0,878 𝑠 
𝐹 =
1
0,878
= 1,14𝐻𝑧 
 
14 
 
 Tabela 4: 
 
Comprimento do pêndulo 20 cm: 
 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
8,66
10
= 0,866 𝑠 
𝐹 =
1
0,866
= 1,15 𝐻𝑧 
 
Comprimento do pêndulo 40 cm: 
 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
11,20
10
= 1,12 𝑠 
𝐹 =
1
1,12
= 0,89 𝐻𝑧 
 
Comprimento do pêndulo 60 cm: 
 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
14,77
10
= 1,477 𝑠 
𝐹 =
1
1,477
= 0,68𝐻𝑧 
 
Comprimento do pêndulo 80 cm: 
 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
16,83
10
= 1,683 𝑠 
𝐹 =
1
1,683
= 0,59 𝐻𝑧 
 
Comprimento do pêndulo 100 cm: 
 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
19,36
10
= 1,936 𝑠 
𝐹 =
1
1,936
= 0,52 𝐻𝑧 
 
Cálculo da aceleração da gravidade no experimento. Utilizando o MMQ (Método dos 
Mínimos Quadrados), aplicamos a função logarítmica na função do período T = 2π√
l
g
, 
teremos assim que log T = log2π – 
1
2 
 log g + 
1
2
log 𝐿, onde log T = y e log L = x, usados 
na equação y = ax + b. Onde obtemos a, b por: 
a = 
𝑛 ∑ (𝑥.𝑦) − ∑ 𝑥 ∑ 𝑦
𝑛 ∑ 𝑥² − (∑ 𝑥)²
; e b = 
 ∑𝑦 ∑ 𝑥2− ∑𝑥 ∑ (𝑥.𝑦)
𝑛 ∑ 𝑥² − (∑ 𝑥)²
 b = log 2π - 
1
2 
log 𝑔; 
Temos: a = 0,485 e b = 0,263, substituindo b em b = log 2π - 
1
2 
log 𝑔, onde encontramos 
g = 12,370 m/s². 
 
 Tabela 5: 
 
Medida 1: 
 𝑇 =
𝑡
𝑛
=
9,03
10
= 0,903 𝑠 
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Medida 2: 
𝑇 =
𝑡
𝑛
=
8,52
10
= 0,852 𝑠 
 
Valor de Inércia: 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝑑
, 
d1  𝐼 = 1,4 𝑋 10−3 d2  𝐼 = 5,76 𝑋 10−4 
Os valores esperados para as distâncias eram: 
d1  𝐼 = 1,66 𝑋 10−3 d2  𝐼 = 3,6 𝑋 10−4 
 
 
16 
 
Anã lises e Concluso es: 
A partir da realização desse experimento foi possível comprovarmos na prática o 
que já havíamos estudado na teoria. 
Verificamos que as oscilações realizadas pelo sistema massa-mola, têm 
propriedades de um movimento harmônico simples, pois percebemos a existência de 
uma força restauradora proporcional à elongação da mola (no caso do oscilador massa-
mola). 
Foi possível determinarmos, através de processos dinâmicos, a constante elástica 
k da mola helicoidal, a gravidade local e o valor de momentos de inércia com relação ao 
eixo de giro. Além de constatarmos que a frequência dos movimentos aqui tratados é 
inversamente proporcional ao período de oscilação. 
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que 
permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada 
pela gravidade. O período de um pêndulo simples é independe de sua massa ou da 
substância que a constitui. A análise de um pêndulo simples nos mostra que, para 
pequenas oscilações, um pêndulo simples descreve um MHS. 
O pêndulo físico não tem uma distribuição uniforme de massa. Ele consiste em 
um objeto que oscila em torno de um eixo de rotação perpendicular ao plano em que se 
movimenta. Para determinar o período de um pêndulo físico, é necessário considerar seu 
comprimento, massa e momento de inércia. 
 
 
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REFERE NCIAS BIBLIOGRA FICAS: 
 
 HALLIDAY, David. RESNICK, Jearl Walker. Fundamentos da Física 2.8ª 
edição; tradução e revisão técnica: Ronaldo Sérgio de Biasi – Rio de Janeiro: 
LTC, 2009. 
 TIPLER, P. A, Física: Mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica, vol1, 4 
ed., Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
 YOUNG & FREEDMAN. Física II: Termodinâmica e Ondas. 10. ed. v.2. São 
Paulo: PEARSON ADDISON WESLEY, 2002.