Tratamento de Dados Experimentais 2021 rev 02

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Tratamento de Dados 
Experimentais 
Prof. Vitoldo Swinka Filho 
Tratamento de Dados Experimentais 
Objetivos: 
Capacitar o mestrando a: 
coletar e organizar dados experimentais; 
analisar os dados e realizar tratamento estatístico; 
representar de forma coerente os resultados utilizando tabelas e gráficos. 
 
Ementa: 
Medidas de grandezas físicas. Conceitos básicos de metrologia (exatidão, 
precisão, resolução, etc) . Erros em medidas e propagação de erros. Tratamento 
estatístico de dados experimentais (média, moda, desvio padrão, assimetria, 
etc) . Representação gráfica de dados experimentais e ajuste de funções. 
 
Bibliografia 
Vuolo, J. H. Fundamentos da teoria de erros. 2ª ed. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1992. 
Otaviano A. M. Helene Vito R. Vanin. Tratamento Estatístico de Dados em 
Física Experimental - 2ªEdição. 
Montgomery, D. C.; Runger, G. C.; Huber, N. F. Estatística aplicada à 
engenharia. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
Levine, D. C. et al. Estatística: Teoria e Aplicações. 5ª ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2008. 
Tratamento de Dados Experimentais 
Conteúdo Programático: 
 
Aula 1 – 03/07/2021 - Vitoldo 
 Conceitos de teoria de erros e metrologia; 
 Expressão de dados experimentais; 
Aula 2 – 17/07/20210 – Vitoldo 
 Propagação de erros e estatística de dados. 
 Correlação e regressão linear; 
 Linearização de gráficos. 
Aula 3 – 24/07/2021 - Vitoldo 
 Correlação e regressão linear; 
 Linearização de gráficos e exercícios de aplicação. 
Aula 4 – 31/07/2021 - Débora 
 Síntese de dados quantitativos; 
 Representação gráfica. 
Aula 5 – 07/08/2021 - Débora 
 Medidas de tendência central e dispersão; 
 Distribuições estatísticas e suas aplicações. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
 
GRANDEZA: Atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser 
qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. 
Exemplos: Temperatura, força, comprimento, volume, pressão, área, etc. 
 
GRANDEZA ESCALARES 
Número multiplicado por uma unidade de medida 
 
Massa m = 5,2 kg Distância d = 25 m 
 
 
GRANDEZAS VETORIAIS 
 
Número (módulo) multiplicado por uma unidade acrescido 
da informação de direção e sentido. 
 
Força 
 
NkjiF )ˆ15ˆ30ˆ50( 

NrF ).2,60(


Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Metrologia 
UNIDADE DE MEDIDA: Grandeza específica, definida e adotada por convenção, com a 
qual outras grandezas de mesma natureza são comparadas para expressar suas 
magnitudes em relação àquela grandeza. 
 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES - SI 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Metrologia 
 
Unidades Derivadas no SI 
Tratamento de Dados Experimentais 
Tratamento de Dados Experimentais 
P = 350.000.000 W = 350 MW 
Exemplos : 
L = 0,00254 m = 2,54 mm 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjt5pvllZXSAhUK1CYKHXrhBfYQjRwIBw&url=https://aprendabem.wordpress.com/2011/06/06/2-multiplos-e-submultiplos/&psig=AFQjCNFNC8Cm0zrjw0KQo20N04AyMtMNng&ust=1487353508092902
Tratamento de Dados Experimentais 
 
BIPM (Bureau Internacional de Pesos e Medidas) 
da 8ª edição internacional de 2006 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Metrologia 
MEDIÇÃO: conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de 
uma grandeza. 
PRINCÍPlO DE MEDIÇÃO: Base científica de uma medição. 
MÉTODO DE MEDIÇÃO: Sequência lógica de operações, descritas 
genericamente, usadas na execução das medições. 
PROCEDIMENTO DE MEDIÇÃO: Conjunto de operações, descritas 
especificamente, usadas na execução de medições particulares, de acordo com 
um dado método. 
MENSURANDO: Objeto da medição. Grandeza específica submetida à medição. 
RESULTADO DE UMA MEDIÇÃO: Valor atribuído a um mensurando obtido por 
medição (medida). 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Metrologia 
MEDIDA E ERRO 
Toda medida está sujeita à erro: 
• erro instrumental, 
• erro na aplicação do teste, 
• variabilidade do que está sendo medido. 
 
Para determinar corretamente um valor de uma grandeza é necessário então não 
só conhecer o resultado da medição mas também o erro associado. 
 
VALOR (DE UMA GRANDEZA): Expressão quantitativa de uma grandeza 
específica, geralmente sob a forma de uma unidade de medida multiplicada por um 
número. 
 
 m = 5,2 kg 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Metrologia 
VALOR VERDADEIRO (DE UMA GRANDEZA): Valor consistente com a definição 
de uma dada grandeza específica. 
Idealmente, o objetivo de uma medição é determinar o valor verdadeiro de uma 
grandeza; Mas o resultado de uma medição é o valor observado; Devido ao erro 
no resultado da medição, o valor observado consiste no valor verdadeiro mais o 
valor do erro. 
 
 
 
 
• INCERTEZA DE MEDIÇÃO: Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, 
que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentadamente 
atribuídos a um mensurando. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Metrologia 
TIPOS DE ERRO 
 
ERRO DE MEDIÇÃO: Resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do 
mensurando. 
 
 - ERRO ALEATÓRlO: Resultado de uma medição menos a média que resultaria 
de um infinito número de medições do mesmo mensurando efetuadas sob 
condições de repetitividade. 
 
 - ERRO SISTEMÁTICO: Média que resultaria de um infinito número de medições 
do mesmo mensurando, efetuadas sob condições de repetitividade, menos o valor 
verdadeiro do mensurando. 
 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiylr2yyqfLAhWClJAKHaLaBv8QjRwIBw&url=http://www.calibracaoceime.com.br/erros-de-medicao-iv/&psig=AFQjCNEqCABrVfRCeBCNWUXTi7f-uLqoDw&ust=1457199402773360
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Metrologia 
EXATIDÃO (ACURÁCIA) DE MEDIÇÃO: Grau de concordância entre o resultado 
de uma medição e um valor verdadeiro do mensurando. Exatidão é um conceito 
qualitativo. 
PRECISÃO DE MEDIÇÃO: Grau de concordância entre resultados de medição 
obtidos sob as mesmas condições (repetitividade). Precisão é um conceito 
qualitativo. 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Expressão de Medições Experimentais 
A palavra incerteza, usada em medições, significa dúvida. Expressa a dúvida na 
validade do resultado de uma medição. Em geral, a incerteza consiste de vários 
componentes que podem ser agrupados em duas categorias gerais: 
a) os que podem ser avaliados com auxílio de métodos estatísticos; 
b) os que necessitam de outros meios. 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Na tabela, o valor de u na expressão “ m ± u ” indica a incerteza da medida. O intervalo [m-u, m+u] 
é denominado intervalo de confiança e tem, em geral, uma probabilidade associada de que a 
medida m caia dentro da faixa de valores definida pelo intervalo. 
Qual medida concorda com o padrão ? 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Algarismos Significativos 
 
Denomina-se algarismo significativo o número de algarismos que compõe o valor 
de uma grandeza, excluindo eventuais os zeros à esquerda usados para acerto 
de unidades. Mas atenção: zeros à direita são significativos. 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Diferentes medições de uma mesma grandeza, X com diferente número de 
algarismos significativos. O algarismo significativo mais a direta é denominado 
algarismo significativo duvidoso. É sobre ele que em geral incide nossa 
incerteza.Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
O NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS NO RESULTADO DE UMA 
MEDIÇÃO É DETERMINADO PELA SUA INCERTEZA 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Na leitura do comprimento do objeto AB, podemos afirmar com certeza que ele 
possui 8 cm exatos, mas a fração de 1 cm a mais dos 8 cm não podemos 
afirmar com certeza qual é. Esta fração não se pode medir, mas pode ser 
avaliada ou estimada pelo experimentador dentro de seus limites de percepção. 
 
8,6 8,7 ou 8,8 ? - > (8,7 ± 0,2) cm 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
O NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS NO RESULTADO DE UMA 
MEDIÇÃO É DETERMINADO PELA SUA INCERTEZA 
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Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Podemos afirmar que a metade da menor divisão da escala é uma estimativa da 
nossa incerteza: portanto tamanho do besouro: Tb = 1,55±0,05 (cm) 
Medindo o tamanho de um besouro. 
Uma vez decidido o que caracteriza o 
tamanho do besouro, qual das alternativas 
abaixo melhor caracteriza a medida do 
tamanho do besouro? 
a) Entre 0 e 1 cm 
b) Entre 1 e 2 cm 
c) Entre 1,5 e 1,6 cm 
d) Entre 1,54 e 1,56 cm 
e) Entre 1,546 e 1,547 cm 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Como expressar a incerteza no resultado de uma medição? Ou, posto 
de outra forma: quantos significativos devem ter a incerteza de uma 
medida? 
Usaremos a seguinte convenção: 
Podemos usar dois significativos para expressar a incerteza. 
Mas atenção: quando a incerteza for resultado de uma estimativa ou 
apenas indicativa, tal como: 
a metade da menor divisão de um instrumento; 
a variação do último dígito de um indicador digital, 
sugerimos usar apenas UM dígito significativo. 
Não tem sentido, por exemplo, expressar a incerteza de uma régua 
milimetrada com DOIS significativos (0,50mm), basta escrever 0,5 mm. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
EXPRESSÃO DO VALOR DE UMA GRANDEZA 
 
O resultado de uma medição pode ser expresso como um valor, seguido de sua 
incerteza, ambos multiplicados por uma potência de dez e a unidade de medida 
física correspondente: 
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Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
por exemplo X = (1,34 ± 0,04) 102 km. 
 
Usar a mesma potência de dez tanto para o valor da grandeza como para sua 
incerteza; 
O número de algarismos significativos da incerteza é dado pela 
convenção (1 ou 2); 
O número de casas decimais no resultado de uma medição tem que 
ser o mesmo que na incerteza; 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Exercício 1: 
 
Medir e expressar os resultados: 
 
 
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Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de Erros de Medidas 
 
Se M é função de x, y,z,....,t -> M(x,y,z,...,t) 
 
A incerteza de M pode ser determinada por: 
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Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
∆𝑀 =
𝜕𝑀
𝜕𝑥
. ∆𝑥 +
𝜕𝑀
𝜕𝑦
. ∆𝑦 +
𝜕𝑀
𝜕𝑧
. ∆𝑧 +..... + 
𝜕𝑀
𝜕𝑡
. ∆𝑡 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de desvios: adição. 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Sejam: 
Para a adição destas 
grandezas temos: 
Desvio 
𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 
𝑆 = 𝐴 + 𝐵 = 𝑠 ± ∆𝑠 
𝑠 = 𝑎 + 𝑏 
∆𝑠 =
𝜕𝑠
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕𝑠
𝜕𝑏
. ∆𝑏 𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏 
∆𝑠 =
𝜕 𝑎 + 𝑏
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕 𝑎 + 𝑏
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
∆𝑠 =
𝜕𝑎
𝜕𝑎
+
𝜕𝑏
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕𝑎
𝜕𝑏
+
𝜕𝑏
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
∆𝑠 = 1 + 0 . ∆𝑎 + 0 + 1 . ∆𝑏 
∆𝑠 = ∆𝑎 + ∆𝑏 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de desvios: subtração. 
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Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Sejam: 
Para a subtração destas 
grandezas temos: 
Desvio 
𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 
𝐷 = 𝐴 − 𝐵 = 𝑑 ± ∆𝑑 
𝑑 = 𝑎 − 𝑏 
∆𝑑 =
𝜕𝑑
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕𝑑
𝜕𝑏
. ∆𝑏 𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏 
∆𝑑 =
𝜕 𝑎 − 𝑏
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕 𝑎 − 𝑏
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
∆𝑑 =
𝜕𝑎
𝜕𝑎
−
𝜕𝑏
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕𝑎
𝜕𝑏
−
𝜕𝑏
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
∆𝑑 = 1 − 0 . ∆𝑎 + 0 − 1 . ∆𝑏 
∆𝑑 = ∆𝑎 + ∆𝑏 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de desvios: multiplicação. 
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Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Sejam: 
Para a multiplicação destas 
grandezas temos: 
Desvio 
𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 
𝑀 = 𝐴. 𝐵 = 𝑚 ± ∆𝑚 
𝑚 = 𝑎. 𝑏 
∆𝑚 =
𝜕𝑚
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕𝑚
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏 
∆𝑚 =
𝜕 𝑎. 𝑏
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕 𝑎. 𝑏
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
∆𝑚 = 𝑏.
𝜕𝑎
𝜕𝑎
. ∆𝑎 + 𝑎.
𝜕𝑏
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
∆𝑚 = 𝑏. 1 . ∆𝑎 + 𝑎. 1 . ∆𝑏 
∆𝑚
𝑚
=
𝑏. ∆𝑎
𝑎. 𝑏
+
𝑎. ∆𝑏
𝑎. 𝑏
 
∆𝑚 = 𝑏. ∆𝑎 + 𝑎. ∆𝑏 ÷ 𝑚 
∆𝑚
𝑚
=
∆𝑎
𝑎
+
∆𝑏
𝑏
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de desvios: divisão. 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Sejam: 
Para a divisão destas 
grandezas temos: 
Desvio 
𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 
𝑄 = 𝐴/𝐵 = 𝑞 ± ∆𝑞 
𝑞 = 𝑎/𝑏 
∆𝑞 =
𝜕𝑞
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕𝑞
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏 
∆𝑞 =
𝜕 𝑎/𝑏
𝜕𝑎
. ∆𝑎 +
𝜕 𝑎/𝑏
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
∆𝑞 =
1
𝑏
.
𝜕𝑎
𝜕𝑎
. ∆𝑎 + 𝑎.
𝜕(𝑏−1)
𝜕𝑏
. ∆𝑏 
∆𝑞 =
1
𝑏
. 1 . ∆𝑎 + 𝑎. 𝑏−2 . ∆𝑏 
∆𝑞
𝑞
=
∆𝑎
𝑏
.
𝑏
𝑎
+
𝑎. ∆𝑏
𝑏2
.
𝑏
𝑎
 
÷ 𝑞 
∆𝑞
𝑞
=
∆𝑎
𝑎
+
∆𝑏
𝑏
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de desvios: potenciação. 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Seja: 
Para a potenciação desta 
grandeza temos: 
Desvio 
𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 
𝑃 = 𝐴𝑛 = 𝑝 ± ∆𝑝 
𝑝 = 𝑎𝑛 
∆𝑝 =
𝜕𝑝
𝜕𝑎
. ∆𝑎 
∆𝑝 =
𝜕 𝑎𝑛
𝜕𝑎
. ∆𝑎 
∆𝑝 = 𝑛. 𝑎 𝑛−1 . ∆𝑎 ÷ 𝑝 
∆𝑝
𝑝
= 𝑛.
𝑎 𝑛−1
𝑎𝑛
. ∆𝑎 
∆𝑝
𝑝
= 𝑛.
∆𝑎 
𝑎
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de desvios: radiciação. 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São PauloGuia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Seja: 
Para a radiciação desta 
grandeza temos: 
Desvio 
𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 
𝑅 = 𝐴1/𝑛 = 𝑟 ± ∆𝑟 
𝑟 = 𝑎1/𝑛 
∆𝑟 =
𝜕𝑟
𝜕𝑎
. ∆𝑎 
∆𝑟 =
𝜕 𝑎1/𝑛
𝜕𝑎
. ∆𝑎 
∆𝑟 =
1
𝑛
. 𝑎
1
𝑛−1 . ∆𝑎 ÷ 𝑟 
∆𝑟
𝑟
=
1
𝑛
.
𝑎
1
𝑛−1
𝑎1/𝑛
. ∆𝑎 
∆𝑟
𝑟
=
1
𝑛
.
∆𝑎 
𝑎
 
𝑟 = 𝑎𝑛 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de desvios: RESUMO 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Operação Expressão Erro 
Soma 𝑆 = 𝐴 + 𝐵 
 
∆𝑠 = ∆𝑎 + ∆𝑏 
Subtração 𝐷 = 𝐴 − 𝐵 
 
∆𝑑 = ∆𝑎 + ∆𝑏 
Multiplicação 𝑀 = 𝐴. 𝐵 ∆𝑚
𝑚
=
∆𝑎
𝑎
+
∆𝑏
𝑏
 
Divisão 𝑄 = 𝐴/𝐵 
 
∆𝑞
𝑞
=
∆𝑎
𝑎
+
∆𝑏
𝑏
 
Potenciação 𝑃 = 𝐴𝑛 ∆𝑝
𝑝
= 𝑛.
∆𝑎 
𝑎
 
Radiciação 𝑅 = 𝐴1/𝑛 ∆𝑟
𝑟
=
1
𝑛
.
∆𝑎 
𝑎
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de desvios: Exemplo 
 
Um objeto se desloca numa distância X num tempo de T segundos. 
Determine a velocidade média desenvolvida no percurso. 
Dados: 
 
X = 5,33 ± 0,01 𝑚 
T = 3,2 ± 0,1 𝑠 
X = 𝑥 ± ∆𝑥 
T = 𝑡 ± ∆𝑡 
Calculando a velocidade: 
𝑣 =
𝑥
𝑡
 
Calculando o erro da velocidade: 
∆𝑣
𝑣
=
∆𝑥
𝑥
+
∆𝑡
𝑡
 
∆𝑣 = 𝑣.
∆𝑥
𝑥
+
∆𝑡
𝑡
 
∆𝑣 = 1,665625.
0,01
5,33
+
0,1
3,2
 
𝑣 =
5,33
3,2
 
𝑣 = 1,665625 𝑚/𝑠 
∆𝑣 = 0,0551757813 
Regra -> Dois algarismos significativos 
∆𝑣 = 0,055 𝑚/𝑠 
𝑣 = 1,666 𝑚/𝑠 
𝐕 = 𝟏, 𝟔𝟔𝟔 ± 𝟎, 𝟎𝟓𝟓 𝒎/𝒔 
Resultado: 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Exercício 2: Cálculo de grandezas com propagação de erros: 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Estatística de um conjunto de medidas 
 
a média é a melhor estimativa do valor mais provável de um conjunto de medidas 
 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Estatística de um conjunto de medidas 
 
O desvio padrão é utilizado para avaliar a dispersão das medias. 
 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
 Estatística de um conjunto de medidas 
 
 Incerteza Combinada 
 
 
 
 Incerteza do instrumento de medição 
 
 Incerteza do processo de medição 
 
 Incerteza Combinada 
 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
22
imc e 
c
m
ie
Exercício Prático 3: 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de Incertezas 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Propagação de erros 
 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
 
Representação de incertezas em gráficos – barra de erros 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Representação em forma de gráficos 
Barra de erros – nas duas variáveis 
 
 
 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Representação em forma de gráficos 
Barra de erros – erro proporcional ao valor da medida 
 
 
 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Representação em forma de gráficos 
Barra de erros – erro constante 
 
 
 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Representação em forma de gráficos 
Barra de erros – característico de cada medida 
 
 
 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Conceitos de Teoria de Erros 
Exercício 4 
Determinar a densidade da amostra cilíndrica. 
Elaborar Relatório Técnico 1 com os resultados. 
 
 
 
Medição Massa 
(g) 
Diâmetro 
(mm) 
Altura 
(mm) 
1 9,94 29,9 12,0 
2 9,93 30,1 12,0 
3 9,94 29,9 11,9 
4 9,93 30,0 11,9 
5 9,93 30,0 12,1 
6 9,92 29,9 12,0 
7 9,92 30,0 12,0 
8 9,92 30,1 12,0 
9 9,92 29,9 12,0 
10 9,92 29,9 12,0 
Anotações das medidas 
Materiais: 
• Amostra cilíndrica de material elastômero 
• Paquímetro digital – Resolução 0,1 mm 
• Balança Digital – Resolução 0,01 g 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Relação Linear 
coeficiente angular 
bxaY  .
tg
x
y
a 


 0 xbY
coeficiente linear 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Interpolação de Dados em Tabelas 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Qual é a pressão de vapor a 90oC? 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Interpolação de Dados em Tabelas 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
tan (𝛼) =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 
tan (𝛼) =
𝑦𝑖 − 𝑦0
𝑥𝑖 − 𝑥0
 
Triângulo maior 
Triângulo menor 
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
=
𝑦𝑖 − 𝑦0
𝑥𝑖 − 𝑥0
 
𝑦𝑖 − 𝑦0 = 𝑥𝑖 − 𝑥0 .
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 𝑦𝑖 = 𝑦0 + 𝑥𝑖 − 𝑥0 .
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 
Igualando 
𝛼 
Colocando 𝑦𝑖 em função de 𝑥𝑖 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Interpolação de Dados em Tabelas 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Exercício Prático 5 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Correlação Linear 
Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação 
estatística diz-se que existe uma correlação entre elas. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Coeficiente de correlação linear 
Para avaliar o grau de correlação linear entre duas variáveis, ou seja, medir o grau de 
ajustamento dos valores em torno de uma reta, usaremos o coeficiente de correlação 
de Pearson. 
      
  



2222 . yynxxn
yxxyn
r
onde n é o número de observações. 
O valor do coeficiente de correlação r sempre deverá estar entre -1 e +1. Geralmente 
multiplicamos o valor encontrado por 100%, dando a resposta em porcentagem. 
 
Se 
r=+1 – correlação perfeita e positiva; 
r=-1 – correlação perfeita e negativa; 
r=0 – ou não há correlação ou a relação é não-linear. 
 
Para podermos tirar algumas conclusões significativassobre o comportamento 
simultâneo das variáveis analisadas, então 0,6  r  1. Se 0,3  r  0,6 a correlação é 
relativamente fraca; se 0  r  0,3 nada podemos concluir. 
Exemplo: Em oito cidades brasileiras foi feita uma pesquisa para saber se as pessoas 
que morriam de câncer de pulmão eram fumantes ou não. Obteve-se, durante o 
período da pesquisa, os seguintes dados: 
Cidade n de mortes 
por câncer de 
pulmão 
n de fumantes entre os 
mortos por câncer de 
pulmão 
A 12 9 
B 27 20 
C 14 10 
D 18 15 
E 31 24 
F 24 19 
G 35 30 
H 10 8 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Coeficiente de correlação linear 
Diagrama de dispersão 
 
 
X Y X.Y X2 Y2 
9 12 108 81 144 
20 27 540 400 729 
10 14 140 100 196 
15 18 270 225 324 
24 31 744 576 961 
19 24 456 361 576 
30 35 1050 900 1225 
8 10 80 64 100 
 135 171 3388 2707 4255 
  
99,0
17142558.13527078
17113533888
22




xx
xx
r
Calculando: 
Logo, 
Correlação forte 
• Tratamento de Dados Experimentais 
- Coeficiente de correlação linear 
      
  



2222 . yynxxn
yxxyn
r
Tratamento de Dados Experimentais 
- Coeficiente de correlação linear 
Exercício Prático 6 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Regressão Linear 
Considerando que a relação entre as variáveis x e y é linear a regressão linear é 
utilizada para encontrar a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos 
experimentais. 
 
Método dos Mínimos Quadrados 
 
 
    
   22.
...





xxn
yxyxn
a
bxaYc  .
   
n
xay
b
 

.
  mínimoyy ci 
2
Tratamento de Dados Experimentais 
- Regressão Linear 
Exercício Prático 7 
 
Ajustar a reta aos dados experimentais. 
 
 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Regressão Linear 
Exercício Prático 8 
Determinar a densidade de um líquido. 
Elaborar Relatório Técnico 2 com os resultados. 
Volume Massa 
(ml) (g)
20 74,29
30 81,92
40 93,85
50 101,46
60 111,83
70 120,10
80 129,47
• Becker de 100 ml 
• Balança Digital – Resolução 0,01 g 
• Óleo de silicone 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Linearização de Gráficos 
Conhecemos a função que rege o comportamento do fenômeno 
 
 
BXAYc  .
2.xky 
Realizamos uma mudança de variável 
zx 2
Encontramos a equação da reta utilizando a regressão linear 
zky .
yYc 
zX 
kA 
0B
Potência conhecida 
 
 
Constante desconhecida 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Linearização de Gráficos 
CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE ERROS - Prof. Dr. Manfredo Harri Tabacniks Instituto de Física da Universidade de São Paulo 
Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998”. 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Linearização de Gráficos e Regressão Linear 
Exercício Prático 9 
 
Linearizar e ajustar a reta aos dados experimentais para determinar parâmetros 
 
 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Linearização de Gráficos 
Conhecemos a função que rege o comportamento do fenômeno 
 
 
 
XABYc .
mxky .
Realizamos um mudança de variável aplicando a operação logarítmica na base 10 
Encontramos a equação da reta utilizando a regressão linear 
  ).log(log mxky 
Potência e constante desconhecidas 
 
 
Função potência 
 
 
  )log()log(log mxky 
  )log(.)log(log xmky 
)log(kB 
)log(yYc 
)log(xX 
mA 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Linearização de Gráficos e Regressão Linear 
Exercício Prático 10 
 
Linearizar e ajustar a reta aos dados experimentais para determinar parâmetros 
 
 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Linearização de Gráficos 
Conhecemos a função que rege o comportamento do fenômeno 
 
 
 
)ln(yYc 
xk
eyy ..0
Realizamos um mudança de variável aplicando a operação logarítmica na base e 
Encontramos a equação da reta utilizando a regressão linear 
)ln()ln()ln( .0
xk
eyy 
Função exponencial 
 
 
Constantes desconhecidas 
 
 
xkyy .)ln()ln( 0 
xX 
kA 
)ln( 0yB 
XABYc .
).ln()ln( .0
xk
eyy 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Linearização de Gráficos e Regressão Linear 
Exercícios Práticos 11 e 12 
 
Linearizar e ajustar a reta aos dados experimentais para determinar parâmetros 
 
 
 
 
Tratamento de Dados Experimentais 
- Linearização de Gráficos 
Exercício 13 
 
Representar o gráfico dos dados medidos. 
Determinar a constante de tempo durante a descarga do capacitor. 
Representar o gráfico da curva da função calculada. 
 
Elaborar Relatório Técnico com os resultados. 
/
0.
tevv 
Capacitor 
 
 
Multímetro/ 
Voltímetro 
 
 
Bateria