Calculo II - resumo com exerc-cios
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Calculo II - resumo com exerc-cios


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA 
DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Francisco Leal Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2004/2 
 
SUMÁRIO 
1. INTEGRAL INDEFINIDA .............................................................................................................................................1 
1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO .................................................................................................................................1 
1.2. RESPOSTAS .............................................................................................................................................................2 
2. INTEGRAÇÃO POR PARTES .....................................................................................................................................3 
2.1. RESPOSTAS.............................................................................................................................................................3 
3. INTEGRAL DEFINIDA .................................................................................................................................................4 
3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS ................................................................................................................................4 
3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ..............................................................5 
3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS..........................................................................................................................6 
3.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .................................................................................................................................7 
3.4. RESPOSTAS.............................................................................................................................................................7 
4. CÁLCULO SOMATÓRIO.............................................................................................................................................8 
4.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO .................................................................................................8 
4.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO .................................................................................................................9 
4.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃ O FINITA(PIF) ........................................................................................................11 
4.4. SOMATÓRIO DUPLO .........................................................................................................................................12 
4.5. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................13 
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES ............................................................................................................................................14 
5.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................................14 
5.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS.................................................................................................................................14 
5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA ........................................................................................................................15 
5.4. SÉRIES INFINITAS..............................................................................................................................................15 
5.5. SOMA DE UMA SÉRIE.......................................................................................................................................17 
5.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS....................................................................................................................................17 
5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES .........................................................................................................................18 
5.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA ...............................................................................................................................19 
5.9. TESTE DA INTEGRAL .......................................................................................................................................19 
5.10. SÉRIE-P..................................................................................................................................................................19 
5.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE......................................................................................................20 
5.12. SÉRIES ALTERNADAS.....................................................................................................................................20 
5.13. TESTE DE LEIBNIZ............................................................................................................................................20 
5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL..............................................21 
5.15. TESTE DA RAZÃO.............................................................................................................................................21 
5.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS...................................................................................................................................22 
5.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA ..............................................................................................................22 
5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS............................................................................23 
5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS................................................................24 
5.20. SÉRIES DE TAYLOR .........................................................................................................................................24 
5.21. RESPOSTAS .........................................................................................................................................................26 
6. OS CONJUNTOS 
2
 E 
3
 ................................................................................................................................27 
6.1. O CONJUNTO 
2
 ...........................................................................................................................................27 
6.2. O CONJUNTO 
3
 ............................................................................................................................................27 
7. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS......................................................................................................................28 
7.2. CURVAS DE NÍVEL............................................................................................................................................29 
7.3. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................30 
8. DERIVADAS PARCIAIS............................................................................................................................................31 
8.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS.......................................................31 
8.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ......................................................................................32 
8.3. HESSIANO .............................................................................................................................................................32