PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO II Prof. Francisco Leal Moreira 2004/2 SUMÁRIO 1. INTEGRAL INDEFINIDA .............................................................................................................................................1 1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO .................................................................................................................................1 1.2. RESPOSTAS .............................................................................................................................................................2 2. INTEGRAÇÃO POR PARTES .....................................................................................................................................3 2.1. RESPOSTAS.............................................................................................................................................................3 3. INTEGRAL DEFINIDA .................................................................................................................................................4 3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS ................................................................................................................................4 3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ..............................................................5 3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS..........................................................................................................................6 3.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .................................................................................................................................7 3.4. RESPOSTAS.............................................................................................................................................................7 4. CÁLCULO SOMATÓRIO.............................................................................................................................................8 4.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO .................................................................................................8 4.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO .................................................................................................................9 4.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃ O FINITA(PIF) ........................................................................................................11 4.4. SOMATÓRIO DUPLO .........................................................................................................................................12 4.5. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................13 5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES ............................................................................................................................................14 5.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................................14 5.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS.................................................................................................................................14 5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA ........................................................................................................................15 5.4. SÉRIES INFINITAS..............................................................................................................................................15 5.5. SOMA DE UMA SÉRIE.......................................................................................................................................17 5.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS....................................................................................................................................17 5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES .........................................................................................................................18 5.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA ...............................................................................................................................19 5.9. TESTE DA INTEGRAL .......................................................................................................................................19 5.10. SÉRIE-P..................................................................................................................................................................19 5.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE......................................................................................................20 5.12. SÉRIES ALTERNADAS.....................................................................................................................................20 5.13. TESTE DE LEIBNIZ............................................................................................................................................20 5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL..............................................21 5.15. TESTE DA RAZÃO.............................................................................................................................................21 5.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS...................................................................................................................................22 5.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA ..............................................................................................................22 5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS............................................................................23 5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS................................................................24 5.20. SÉRIES DE TAYLOR .........................................................................................................................................24 5.21. RESPOSTAS .........................................................................................................................................................26 6. OS CONJUNTOS 2 Â E 3 Â ................................................................................................................................27 6.1. O CONJUNTO 2 Â ...........................................................................................................................................27 6.2. O CONJUNTO 3 Â ............................................................................................................................................27 7. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS......................................................................................................................28 7.2. CURVAS DE NÍVEL............................................................................................................................................29 7.3. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................30 8. DERIVADAS PARCIAIS............................................................................................................................................31 8.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS.......................................................31 8.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ......................................................................................32 8.3. HESSIANO .............................................................................................................................................................32