AULA 05 MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA Custo de Capital e Avaliação de Investimentos

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CÁLCULO APLICADO 
Aula 05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ernani João Silva 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá, seja bem-vindo a nossa quinta aula sobre modelagem matemática 
aplicada a finanças. Hoje vamos continuar com nossos estudos sobre os 
movimentos do fluxo de caixa que ocorrem no intervalo entre os momentos VP e 
VF. E, nessa aula em específico, vamos trabalhar com as séries não 
convencionais. Sendo assim, teremos cinco temas de estudo nesse encontro: (1) 
Custo médio ponderado do capital: CMPC; (2) Custo de capital de terceiros e 
custo do capital próprio/CAPM; (3) Taxa interna de retorno; (4) Valor presente 
líquido; (5) Percepção avançada: IBC e ROIA. Com esses cinco temas você será 
capaz de compreender a importância de um fluxo de caixa não uniforme, bem 
como aplicá-lo e interpretá-lo em diferentes momentos de sua vida profissional, 
seja na análise de um projeto operacional, seja nas decisões sobre aplicações 
financeiras. E dito isso, vamos trabalhar. 
CONTEXTUALIZANDO 
Na aula 04 estudamos que um fluxo de caixa pode ser, em relação ao 
período de ocorrência, enquadrado como: antecipado, postecipado ou diferido. 
Agora chegou a hora de destacarmos que além dessa classificação um fluxo 
também pode ser diferenciado, segundo Assaf Neto (2016)1, em relação a outros 
três itens, os quais são: periocidade, duração e valores. No quesito periocidade 
um fluxo pode ser periódico ou não periódico, isto é, ele pode ter entradas e 
saídas ocorrendo de forma padronizada ou não ao longo do tempo. Em relação 
ao aspecto duração ele pode ser finito ou infinito, ou seja, seu fim pode ser 
previamente definido ou desconhecido/indefinido. Por fim, sobre a questão dos 
valores, temos aqui que as entradas e saídas podem ocorrer em quantidades 
monetárias iguais ou diferentes durante o período em que ocorre a análise. 
Pois bem, se consideramos que os períodos são periódicos, os valores 
são iguais e a duração finita, então temos nessas condições os cenários vistos 
na aula 4; ou seja, temos os fluxos convencionais ou uniformes. Agora o que 
teremos se as condições não forem estas? Obviamente, neste caso teremos os 
fluxos não convencionais. Ou seja, fluxos que não podem ser tratados pelos 
comportamentos perfeitamente orquestrados pelas regras vistas até então. 
 
1 ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 13º ed. São Paulo: Atlas, 2016 
 
 
3 
Achou estranho? Pois saiba que no dia-a-dia de uma fábrica ou nas aplicações 
de renda variável esta será a realidade...a realidade do fluxo não convencional! 
TEMA 1 – CUSTO DO CAPITAL: CUSTO MÉDIO PONDERADO 
Na aula 01, quando foi explicado o que era uma taxa de juro, estudamos 
que aqueles que emprestam seu capital a outrem desejam receber uma 
remuneração que compense oportunidades perdidas e os riscos corridos. Nesse 
tópico vamos aprofundar esse conhecimento trabalhando o conceito custo médio 
ponderado do capital (CMPC) e, posteriormente, no tema 2, as formas de 
precificação do capital de terceiros e próprio – nesse último caso, em específico, 
por meio do modelo matemático denominado de Capital Asset Pricing Model 
(CAPM) 2 . 
Se você está lendo essas páginas é porque conquistou tal direito ao 
provar para essa instituição de ensino que sua base matemática lhe permite tal 
feitos, então o conteúdo denominado de “média aritmética ponderada” já é 
matéria consolidada para você. Na mesma forma, o significado acadêmico e 
prático do que vem a ser “custo” também já lhe é algo bem próximo. Todavia, 
acredito que o conceito sobre o que é “capital” talvez ainda precise ser polido, 
pelo menos sobre o que é capital para uma empresa. Para tanto, vamos pedir 
ajuda para Hoji (2006, p.188)3 para suprir essa necessidade, onde 
encontraremos que: “[capital é um] conjunto de bens, créditos e débitos 
colocados à disposição da empresa, com a finalidade de gerar resultados 
econômicos”. Acredito que o professor Hoji deixou bem claro o que é o capital, 
sendo assim, vamos ver agora quem é que disponibiliza esse capital para uma 
empresa. 
Uma empresa só tem duas fontes possíveis para obter capital. Os donos 
– ex.: aporte para constituição da empresa - e os terceiros – ex.: empréstimos, 
compras a prazo, etc. Quando o capital é originário dos donos da empresa ele é 
denominado de “capital próprio”, quando tem origem de outras fontes – por 
exemplo, bancos - é reconhecido como sendo “capital de terceiros”. Ou seja, 
 
2 O “CAPM” no Brasil também é conhecido como “Modelo de Precificação de Ativos Financeiros” e, 
sendo assim, pode ser que você encontre em algum livro o termo “MPAF”. Todavia, saiba que a forma 
mais comum de designá-lo - tanto na prática como na academia - é pela sua sigla em inglês, CAPM. 
 
3 HOJI, Masakazu. Administração financeira: uma abordagem prática. 5 ed. São Paulo: Atlas, 
2006. 
 
 
4 
são ditos como terceiros todos aqueles investidores que não aparecem no 
contrato social da entidade e, por sua vez, os donos do capital próprio são 
aqueles reconhecidos como acionistas ou cotistas da empresa. 
Tanto o capital próprio como o capital de terceiros são formados pela 
equação vista na aula 01, isto é: k = Cop + Pr. Ou seja, tanto o custo do capital 
próprio como o de terceiros são definidos como resultados da soma entre “custo 
de oportunidade” e “prêmio de risco”. E como esses dois grupos de autores 
econômicos, por certo, apresentam opiniões distintas sobre as oportunidades 
que estão perdendo e os riscos que estão correndo, o custo de seus capitais, 
por certo, são valores distintos entre si. Sendo assim, como uma empresa pode 
quantificar de forma prática o custo do capital que financia suas operações? Ora 
usando o cálculo da média aritmética ponderada, ou seja: 
k p . CP% + k t . CT% = ke  
k p . 
CP
CTO
 .100 + k t . 
CT
CTO
.100 = ke  
k p . 
CP
CT+CP
 .100 + k t . 
CT
CT+CP
 .100 = ke  
Onde: 
k e ............... : Custo do capital da empresa = CMPC (expresso de forma percentual) 
k p ............... : Custo do capital próprio (expresso de forma percentual) 
k t ................ : Custo do capital de terceiros (expresso de forma percentual) 
CP% ...... : Participação percentual do capital próprio 
CT%....... : Participação percentual do capital de terceiro 
CP.......... : Quantidade de capital próprio (volume de capital) 
CT .......... : Quantidade de capital de terceiro (volume de capital) 
CTO ....... : Quantidade total de capital na empresa, onde CTO = CT + CP 
 
A melhor forma de entender isso é praticando, então vamos trabalhar! 
Considere que uma empresa tem uma estrutura de capital composta por R$ 20 
mil obtidos com terceiros e por R$ 80 mil por aporte dos donos da entidade. 
Sabendo que os terceiros apresentam um custo de capital de 10% ao mês e os 
donos um custo de 5%, informe: Qual o custo de capital da empresa? 
 
 
 
 
 
5 
10% . 
20 mil
80mil + 20mil
 .100 + 5% . 
80 mil
80mil + 20mil
 .100 = ke  
10% . 
20 mil
100 mil
 .100 + 5% . 
80 mil
100 mil 
 . 100 = ke  
10% . 20% + 5% . 80% = 6% é custo , pois 
10/100 . 20/100 + 5/100 . 8/100 = 6/100 = 6% custo 
 
Convenhamos foi bem simples! Com um cálculo básico de ponderação 
descobrimos que a empresa analisada tinha um custo de capital de 6%. Todavia, 
para aplicarmos essa conta no dia-a-dia de uma empresa precisamos saber 
onde encontraremos esses valores que serão inseridos na fórmula. Em geral, 
usamos para esses cálculos os valores de longo prazo, pois eles foram, em 
essência, obtidos a constituírem a estrutura operacional da empresa, são eles: 
passivo não circulante (as dívidas de longo prazo) e o patrimônio líquido. Os 
valores do passivo circulante não são considerados por serem interpretados 
como assuntos financeiros circulantes e,por isso, elementos de constante 
alteração durante as atividades da empresa. Sendo assim, temos a seguinte 
estrutura de financiamento em uma empresa, segundo a ótica contábil: estrutura 
financeira e estrutura de capital. 
 
 
 
E a partir dessa lógica temos que o custo do capital de uma empresa é 
simbolizado, para efeitos da modelagem matemática como sendo: 
 
 
 
 
6 
 
Apenas mais dois assuntos precisão ser explicadas para termos um 
entendimento básico sobre o que vem a ser o custo do capital e como podemos 
obter os dados necessários para seu cálculo, são eles: obtenção dos dados do 
custo do capital de terceiros e a forma de estimação do custo do capital próprio. 
Sendo esses, portanto, os dois próximos temas dessa aula. 
TEMA 2 – CUSTO DO CAPITAL: TERCEIROS E PRÓPRIO 
 Primeiro vamos estudar qual é a diferença em “custo de capitação” e 
“custo de capital de terceiros”. O custo de captação de capital de terceiros, em 
geral, estará explicito em um documento, pois trata-se de uma operação 
contratual de mercado – ex.: empréstimo, desconto de duplicadas, etc. Ou seja, 
ele o custo de captação é um valor nominal e, por consequência, o custo de 
capital de terceiros é o valor efetivo a ser usado para a ponderação do custo do 
capital. 
Quando analisamos uma empresa cujo regime tributário é de lucro 
presumido ou de micro/pequeno porte temos que o custo de captação também é 
o próprio custo do capital de terceiros. Todavia, quando analisamos o custo de 
capital de terceiros em empresas enquadradas no regime tributário de lucro real 
(e somente nelas), precisamos ajustar o valor de captação. Ou seja, precisamos 
transformar o valor do custo de captação em um valor de custo que esteja 
líquido dos efeitos dos benefícios do IR e CSLL (imposto de renda e contribuição 
social sobre lucro líquido). E, para tanto, usamos a seguinte modelagem: 
 
k t = k c . [ 1 – ( IR + CSLL ) ] 
 
Onde: 
kt .............. : custo do capital de terceiros 
kc ............. : custo de captação de terceiros 
IR+CSLL .. : Imposto de renda e Contribuição social* 
*Obs.: em geral, usamos IR+CSLL = 25% + 9% = 34%) 
 
Vamos entender por meio de um exemplo: 
Sabendo que uma empresa de lucro real captou no mercado (isto é, com 
terceiros) um capital a juros de 8% ao mês, informe o valor do custo de capital 
de terceiros dessa empresa. 
 
k t = 8% . [ 1 – ( 25% + 9% ) ] 
 
 
7 
k t = 8% . [ 1 – 34% ] 
k t = 8% . 0,66  
k t= 5,28% 
 
Bem agora que já sabemos como calcular o custo de capital de uma 
empresa e, também, o valor do capital de terceiros, precisamos aprender como 
estabelecer o custo do capital próprio. E, dentre as várias formas possíveis, 
vamos estudar aqui a do modelo CAPM. Que nada mais é do que uma forma de 
quantificar o custo do capital próprio tendo como base a diferença percebida 
pelos donos da empresa (os acionistas e cotistas) entre o risco do mercado e o 
risco da empresa. Sua lógica fica bem clara quando entendemos o significado 
presente na fórmula que segue: 
Como foi visto... k p = Cop + Pr 
Se for considerado que... Cop = k lr e que Pr =  . Pr m =  . ( k m - k lr ); 
Então temos que a modelagem do CAPM é... 
k p = k lr +  . ( k m - k lr ) 
Onde: 
k p ............... : Custo de Capital Próprio (basicamente, Ações Ordinárias). 
k lr ............... : Taxa Livre de Risco (em geral, taxa Selic). 
k m ........ : Taxa de Retorno do Mercado (ex.: retorno da Ibovespa). 
 ........... : Beta, nível risco da empresa em relação ao risco do mercado. 
 
Resumindo a ópera, podemos encontrar o custo do capital próprio se 
soubermos quais são os valores que a Economia oferece para (i) o custo de 
oportunidade livre de risco, (ii) o prêmio de risco de mercado e, também, para 
(iii) o nível de risco da empresa frente ao mercado. Por que tudo isso? Simples, 
porque o custo do capital dos donos não está estabelecido em um contrato. Por 
isso, precisamos utilizar uma proxy4, na qual iremos estimar o possível 
comportamento médio presente em um grupo de acionista ou cotista por meio 
desses dados. Fica mais fácil quando vemos um exemplo... 
Uma empresa listada na bolsa de valores apresenta, segundo os analistas do 
mercado financeiro, um beta no valor de 1,2. Sabendo que a Ibovespa 
apresentou no mesmo período um retorno de 13% a.a. e que a Selic teve um 
seu valor fixado em 10,75%; qual é o custo do capital próprio desta empresa? 
 
4 Algoritmo para estimar uma variável que dificilmente poderá ser obtida de forma direta. 
 
 
 
8 
k p = k lr +  . (k m - k lr ) 
k p = 10,75% + 1,2 . (13% – 10,75%) 
k p = 10,75% + 1,2 . 2,25% (Obs: 2,25% =prêmio de risco da Ibovespa) 
k p = 10,75% + 2,70% (Obs: 2,70% =prêmio de risco da empresa) 
k p = 13,45% (Obs.: 13,45%=custo do capital próprio da empresa) 
Ou seja, o CAPM nada mais é do que uma modelagem mais densa do 
custo do capital que foi estudado na aula 01. Onde é possível deduzir que um 
acionista ou cotista somente realiza um aporte de capital ou mantém seu capital 
em determinada empresa se ela pagar uma taxa de retorno que cubra tanto a 
taxa de títulos sem risco como a taxa risco do mercado ajustada ao nível de 
risco da empresa. Portanto, tem-se que se beta (o nível de risco da empresa) 
for: (i) menor que 1, o risco é menor que o mercado; (ii) igual a 1, o risco da 
empresa é igual ao mercado; (iii) maior que 1, o risco é maior que o mercado. 
 Ah! Talvez você esteja ser perguntando: Como saberei os valores de 
beta, do custo de mercado e do capital livre de risco? Pois bem, saiba que tanto 
o beta como o custo de mercado são itens facilmente obtidos em sites 
especializados em investimentos5, já o capital livre de risco, este pode ser obtido 
em sites governamentais como o do Tesouro ou do Banco do Brasil. E dito isso, 
encerramos esse segundo tópico e, assim, podemos iniciar nossa análises sobre 
os fluxos não convencionais, pela ótica da TIR e do VPL. 
TEMA 3 – TAXA INTERNA DE RETORNO: TIR 
Como foi visto no “tema 1” dessa aula, quando um investidor realiza a 
entrega de seu capital para uma empresa ele pretende ter um retorno sobre 
esse investimento em tal volume que este seja no mínimo igual ao valor do custo 
de oportunidade mais o prêmio de risco. Na mesma forma, uma empresa para 
ser viável não pode ter um retorno que seja inferior ao custo de capital que 
carrega para realizar suas operações, o CMPC. Sendo assim, um fluxo de caixa 
precisa ser analisado de modo a constatar se essa taxa mínima de retorno foi 
alcançada. Para tanto, duas análises podem ser feitas a esse respeito: (i) TIR, 
Taxa Interna de Retorno; (ii) VPL, Valor Presente Líquido. Nesse tema vamos 
nos concentrar na primeira, sendo assim, olhe com atenção o fluxo que segue: 
 
5 Como  e Km são calculados já é assunto para outras disciplinas...mas acredite não é nada de outro 
mundo. Caso você tenha curiosidade dê uma olhada em artigos científicos contábeis que abordam o 
CAPM, em geral, no referencial teórico esse tema é desmembrado com bastante cuidado. 
 
 
9 
 
Aqui temos um fluxo de caixa que poderia ser o resultado econômico de 
uma máquina adquirida por uma empresa ou o resultado de uma carteira de 
ações da bolsa de valores. Basicamente temos que no momento 0 (zero) foi 
realizado um investimento de R$ 200,31 (compra da máquina ou das ações); no 
momento 1 ocorreu um retorno de R$ 10 (encaixe: lucro realizado ou dividendos 
recebidos); no momento 2 ocorreu um desencaixe de R$ 1,00 (manutenção na 
operação da máquina ou compra de mais ações); por fim, no momento 3, o fim 
da operação, a entrada de R$ 215 (venda da máquina ou das ações). Para 
saber se a operação foi boa ou não precisamos compará-la com nossa Taxa 
Mínima de Atratividade (TMA) – todo aquele contexto visto no tema 1. 
Vamosdizer que nossa TMA é igual a 3% (eu escolhi esse valor de forma 
arbitraria, somente para ilustrar o que é a TIR, portanto ele poderia ter sido 
qualquer outro valor nesse exemplo). Se a taxa interna do fluxo for igual ou 
maior que 3% então o fluxo será viável, pois atenderá a TMA, agora se ele for 
menor que 3% ele será inviável, pois não atingirá o valor mínimo que torna a 
operação atrativa (interessante financeiramente). Sendo assim, vamos calcular a 
taxa de retorno interna (ou seja, a taxa interna de retorno: TIR) desse 
fluxo....mas como vamos fazer isso? Bem no braço é pelo método da “tentativa e 
do erro”, um método chamado de interpolação linear, vamos entendê-lo no 
passo-a-passo: 
 
1º Passo: Precisamos estabelecer uma equação na qual a soma dos valores 
presentes do fluxo de caixa é igual a zero. Ou seja, que seu Valor Presente 
Líquido (VPL), isto é, o valor presente da operação, líquido das entradas e 
saídas, não apresente nem saldo positivo nem saldo negativo. 
 
𝑉𝑃𝐿 = 𝑉𝑃0 − ∑ 𝑉𝑃𝑗
𝑛
𝑗=1
 = 𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = 0 
Onde: 
 
 
10 
VPL = Valor presente líquido (saldo das entradas e saídas na condição VP) 
VP 0 = Valor presente no momento “0” (zero) 
VP j = Valor presente no momento “j” ( j represente cada momento do fluxo) 
VF j = Valor futuro no momento “j” 
i = Taxa de juro efetiva da operação 
∑ .𝑛𝑗=1 = Simbologia para soma de os valores entre o momento 1 (zero) e o 
momento “n” (o último momento do fluxo) 
 
Sendo assim: 
 𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = −200,31 +
10
(1 + 𝑖)1
+ 
− 1,00
(1 + 𝑖)2
+
215,00
(1 + 𝑖)3
 = 0 
 
2º Passo: Precisamos tentar valores em “i” que zerem a operação. Isso mesmo, 
vamos chutar um valor para “i” e ver o que ocorre. Se nossa tentativa for um 
valor muito alto teremos um resultado de VPL negativo, por sua vez, o chute for 
muito baixo, o VPL será positivo. Essa lógica segue ilustrada no gráfico abaixo: 
 
Ao realizarmos as tentativas é importante obtermos dois números de VPL com 
sinais opostos, isso é, um “VPL +” e outro “VPL –“. Além disso, é importante que 
os chutes sobre o valor de “i” gerem números de VPL pequenos, pois assim o 
nível de exatidão será melhor. 
 
Vamos testar um valor de i = 3%. 
𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = −200,31 +
10
(1 + 3%)1
+ 
− 1,00
(1 + 3%)2
+
215,00
(1 + 3%)3
 = +5,2116 
 
Bem i=3% foi muito baixo, pois teve VPL +, vamos testar um valor de i = 4,0%. 
𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = −200,31 +
10
(1 + 4%)1
+ 
− 1,00
(1 + 4%)2
+
215,00
(1 + 4%)3
 = −0,4850 
 
 
11 
 
Agora i=4% foi muito alto, pois teve VPL -, porém conseguimos um “VPL +” e 
outro “VPL –“, além de um valor bem próximo de zero...os chutes foram bons. 
 
3º Passo: Vamos aplicar as duas taxas do segundo passo, bem como seus 
respectivos VPL no modelo que segue: 
 
𝑇𝐼𝑅 = 𝑖 = 𝑖 1 + ( 𝑖 2 − 𝑖 1) . 
𝑉𝑃𝐿 1
𝑉𝑃𝐿 1 + |𝑉𝑃𝐿 2|
 
 
Onde: 
TIR ........ : Taxa Interna de retorno, isto é, o valor de “i” que zero o VPL 
i1 ........... : Taxa de juro 1 (aquela que gerou “VPL + “ ) 
i2 ........... : Taxa de juro 2 (aquela que gerou “VPL - “ ) 
VPL 1 .... : Valor presente líquido com i1 
I VPL 2 I . : Valor presente líquido com i2 em módulo (isto é, sem sinal - ) 
 
Sendo assim, 
 
𝑇𝐼𝑅 = 𝑖 = 3% + (4% − 3%) . 
5,2116
5,2116 + 0,485
= 3% + 0,91% ∴ 𝑇𝐼𝑅 = 𝑖 = 3,91% 
 
 
4º Passo: Vamos testar a TIR que encontramos: 
 
𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = −200,31 +
10
(1 + 3,91%)1
+ 
− 1
(1 + 3,91%)2
+
215
(1 + 3,91%)3
 ≅ 0,0 
 
Portanto, i = 3,91% é o valor aproximado da TIR muito bom, pois zerou fluxo 
com uma precisão de 1 casa decimal. E, sendo assim, podemos deduzir que o 
fluxo é viável, pois a TIR (3,91%) é maior que TMA (3%). 
 
Agora vamos ver como resolvemos esse problema na HP 12c: 
 
 F REG (Esse comando limpa os registros, muitos falam F CLX, mas não é) 
 200,31 CHS g CFo (“CHS” muda o sinal ; “g” aciona o comando azul) 
 10 g CF j 
 1 CHS g CF j 
 
 
12 
 215 g CF j 
 F IRR => na tela aparece 3,91  i = 3,91% (o valor da TIR) 
 
Bem vamos agora estudar como analisamos um fluxo não convencional pela 
ótica do VPL. 
TEMA 4 – VALOR PRESENTE LÍQUIDO: VPL 
O processo de análise de um fluxo de caixa não convencional utilizando 
o VPL é muito simples, pois só é preciso adicionar o valor da TMA na operação 
de desconto do fluxo e verificar ser o resultado foi positivo, nulo ou negativo. Se 
for positivo, o fluxo obteve em valores atuais o mesmo que era desejado como 
TMA e mais um valor excedente. Se for nulo, então o fluxo obteve exatamente o 
que a TMA exigia. Por fim, se o resultado for nulo o fluxo teve um retorno inferior 
ao que era exigido pela TMA. Vamos retornar ao nosso fluxo do tema 3: 
 
 
 
Bem, não vamos repetir o que significam esses valores, isso já foi feito 
no tema 3. Vamos então direcionar nossa atenção para a análise do fluxo 
considerando uma TMA de 3%. Sendo assim, antes de tudo precisamos 
estabelecer a função do VPL: 
 
𝑉𝑃𝐿 = 𝑉𝑃0 − ∑ 𝑉𝑃𝑗
𝑛
𝑗=1
 = 𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 
Note que aqui não temos uma equação, mas sim uma função. A 
diferença? Oras, na equação temos uma igualdade já estabelecida para o VPL, 
a qual deve ser alcançada com alterações na variável “i” (lá no estudo da TIR 
era VPL = 0). Já na função vamos informar um valor para a variável “i” (no caso 
i=TMA=3%) e a partir desse fator iremos descobrir qual será o resultado do VPL. 
 
 
13 
 
𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = −200,31 +
10
(1 + 3%)1
+ 
− 1,00
(1 + 3%)2
+
215,00
(1 + 3%)3
 = +5,2116 
 
VPL = + R$ 5,2116 
 
Ou seja, o fluxo em questão cobriu o que queríamos como retorno 
mínimo para três períodos de aplicação e, além disso, forneceu um ganho extra 
de R$5,2116. Sendo assim, o presente fluxo é viável pela ótica da modelagem 
financeira. Convenhamos é bem mais fácil que a TIR. Agora vamos ver como 
fazemos o mesmo cálculo na HP 12c. 
 
 F REG (Esse comando limpa os registros, muitos falam F CLX, mas não é) 
 200,31 CHS g CFo (“CHS” muda o sinal ; “g” aciona o comando azul) 
 10 g CF j 
 1 CHS g CF j 
 215 g CF j 
 3 i (só muda isso em relação aos lançamentos dos dados) 
 F NPV => na tela aparece 5,2116  VPL = R$ 5,2116* 
*Obs.: para ver 5,2216 ajuste as casas decimais da tela da Hp 12c com f 4 
 
Bem antes de encerramos vamos ver uma das facilidades no uso da HP 12c, por 
meio do seguinte fluxo de caixa cuja TMA é de 0,5%: 
 
 
 
 
 
14 
Olhar esse fluxo é um tanto assustador, pois ele tem 53 lançamentos. 
No momento zero saiu $218.720,00 e entre o momento 1 e 16 (inclusos esses) 
são 16 momentos de lançamentos com valor zero (16 = 16 - 1 + 1). No momento 
17 entrou R$ 28 mil e entre o momento 18 e 27 (incluso esses) temos 10 
lançamentos com valor zero (10 = 27 - 18 + 1) e assim por diante. Imagine ficar 
digitando 16 ou 10 vezes o comando “0 g CFj”, com certeza sua chance de errar 
um dos lançamentos é gigantesca, por isso a HP 12c trouxe para nós um 
comando útil para esses casos de repetição sequencial de valores, o Nj. Vamos 
testá-lo nesse fluxo gigantesco que acabamos de ver: 
 
 
 
Resultado: VPL = - R$ 29.240,44 (fluxo inviável para i = 0,5%) 
 
Entendeu? Ao invés de digitar 16, 10, 5 e 18 vezes o “0 g CFj”, basta 
digitar uma vez a cada repetição de valores e em seguida lançar quantas vezes 
esse fato ocorrerá. Por exemplo, entre o momento 18 e 27 temos 10 
lançamentos do valor zero e entre o momento 35 e 52 temos 18 lançamentos, 
sendo assim: 
 
0 g CFj 
10 Nj 
É a mesma coisa que lançar 
10 vezes o comando 0 (Zero) g CFj 
 
 
15 
0 g CFj 
18 Nj 
É a mesma coisa que lançar 
18 vezes o comando 0 (Zero) g CFj 
 
Bem legal, não acha? Bem com isso encerramos a pauta básica de VPL e 
TIR e agora podemos partimos para nosso último tema,o da percepção avançada 
em um processo de análise de um fluxo de caixa não convencional. 
 
TEMA 5 – UMA PERCEPÇÃO MAIS DENSA SOBRE UM FLUXO DE CAIXA 
Nesse último tópico iremos conhecer dois itens que nos permite utilizar 
com mais densidade os dados presentes em um fluxo de caixa não 
convencional. Vamos estudar o “Índice Benefício-Custo” e o “Retorno Adicional 
sobre o Investimento”. 
 
5.1. Índice Benefício-Custo: IBC 
 
O Índice Benefício-Custo nada mais é o do que uma razão entre o “valor 
presente” da soma dos encaixes com “valor presente” da soma dos desencaixes. 
Isso mesmo! Vamos aproveitar os dados que obtivermos no calculo do VPL 
(tema 4). O somatório dos encaixes será interpretado como sendo benefício e o 
somatório dos desencaixes como sendo o custo. 
 
𝐼𝐵𝐶 = 
𝑉𝑃 𝑒𝑛𝑐𝑎𝑖𝑥𝑒𝑠
𝑉𝑃 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑐𝑎𝑖𝑥𝑒𝑠
 = 
𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓í𝑐𝑖𝑜
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜
 
 
Portanto, nestes termos a análise IBC nos fornecer qual o volume médio 
de benefício monetário que a operação gera a cada 1 unidade monetária de 
custo. E, sendo assim, nos é possível extrair que: 
 
 IBC > 1 (benefício supera o custo), 
 IBC = 1 (beneficio iguala o custo), 
 IBC < 1 (benefício é inferior ao custo). 
 
Vamos retornar ao nosso primeiro fluxo de caixa visto nessa aula 
(aquele do tema 3), só que agora vamos desmembrar o VPL com TMA=3% em 
benefícios e custos: 
 
 
16 
 
 
𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = −200,31 +
10
(1 + 3%)1
+ 
− 1,00
(1 + 3%)2
+
215,00
(1 + 3%)3
 = +5,2116 
 
𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 =
10
(1 + 3%)1
+
215,00
(1 + 3%)3
+ −200,31 + 
− 1,00
(1 + 3%)2
 = +5,2116 
 
𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = 9,7087 + 196,7555 − 200,31 − 0,9426 = +5,2116 
 
𝑉𝑃0 − ∑
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=1
 = 206,4642 (𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓í𝑐𝑖𝑜) − 201,2526 (𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜) = +5,2116 (VPL) 
 
Sendo assim, temos que: 
IBC = VP encaixe / VP desencaixe 
IBC = R$206,4642 / R$201,2526 (obs.: não usamos o sinal “-“ no desencaixe) 
IBC = 1,02590 / 1,00 
IBC = 1,02590 
 
Interpretando este índice obtemos que nesse fluxo de caixa a cada R$1 
de custo (desencaixe) tem-se o valor R$1,0259 de benefício (=encaixe). Ou seja, 
em valor presente, os encaixes além de cobrir os desencaixes, ainda os 
excedem, na média, em R$ 0,2590 por unidade monetária. 
Logicamente, não faz sentido algum utilizar o IBC em um fluxo que tem 
VPL negativo, pois nesse caso já foi identificado que o investimento ou aplicação 
financeira é inviável segundo a ótica financeira. Portanto, o uso do IBC é um 
refinamento das informações presentes no VPL...todavia, podemos refiná-las 
ainda mais utilizando o ROIA. 
 
 
 
17 
5.2 Retorno Adicional sobre o Investimento: ROIA 
 
O ROIA, segundo Souza e Clemente (2008)6, significa “Retorno 
Adicionado sobre o investimento”, sobre a qual podemos interpretar como sendo 
uma análise complementar do IBC, uma vez que nos apresenta o 
comportamento da renda residual do fluxo de caixa, por meio da seguinte 
fórmula: 
ROIA = √IBC
𝑛
 ─ 1  ROIA = IBC 1/n ─ 1 
 
Ou seja, esta modelagem nos informa qual o ganho relativo gerado acima 
do valor da TMA e assim.... Uh! Acho melhor demonstrar o que isso significa. 
Para tanto, vamos resgatar o fluxo de caixa do tema 3, aquele com TMA=3%: 
 
 
 
Como vimos no tema anterior, este fluxo de n=3 períodos tem um IBC de 
1,0259, sendo assim, se aplicarmos a fórmula do ROIA teremos que: 
 
ROIA = √1,0259
3
 ─ 1 
ROIA = 1,00856 ─ 1 
ROIA = 0,00856  
ROIA = 0,856% 
 
Bem agora que temos o valor do ROIA vamos entender o que ele 
significa. Para tanto, vamos realizar uma explicação de cinco passos: 
 
 
6 SOUZA, Alceu e CLEMENTE, Ademir Decisões financeiras e análise de investimentos: fundamentos, 
técnicas e aplicações. 6. Ed. São Paulo: Atlas, 2008. 
 
 
18 
1º Passo: por uma questão didática, vamos rescrever o fluxo de caixa de modo 
que todos os desencaixes estejam no momento zero (basta relembrar o valor do 
custo que foi utiliza no IBC). 
 
Assim podemos interpretar que em valor presente (VP) foi investido R$ 201,25 
nesse fluxo e esse fato gerou um encaixe de R$ 10 no momento 1 e de R$ 215 
no momento 3. 
 
2º Passo: vamos imaginar agora que a TMA e o fluxo não são decisões 
excludentes entre si, ou seja, que a escolha pelo fluxo não nos impede de aplicar 
na TMA os R$ 10 e os R$ 215 que foram gerados pelo fluxo. Portanto, ao 
término do período do fluxo teríamos que: 
 
VF = PV10 . ( 1 + i ) n - 1 + PV215 . ( 1 + i ) n - 3 
VF = R$ 10 . ( 1 + 3%) 3-1 + 215 . ( 1 + 3%) 3-3 
VF = R$ 10,61 + 215 
VF = R$ 225,61 
 
A lógica é a seguinte, se compramos uma máquina por R$ 201,25 e ela gera um 
encaixe de R$10 no ano 1. Então esse valor precisa ser aplicado em algum 
lugar, e como não pode ser aplicado na própria máquina, então o melhor lugar 
será na carteira que representa nossa TMA (ex., CDB7). A escolha do fluxo 
aliada à possibilidade de aplicar os encaixes na TMA gera a renda residual. 
 
3º Passo: vamos quantificar o que representa essa renda residual, por meio da 
lógica que se faz presente no fluxo que segue: 
 
7 CDB = Certificado de depósito bancário 
 
 
19 
 
 
A operação “fluxo de caixa com TMA”, de forma sistêmica, transformou 
R$201,25 em R$225,61. Sendo assim, vamos encontrar a taxa de capitalização 
dessa operação. 
 
VF = VP . ( 1 + i )n  225,61 = 201,25 . (1 + i ) 3  225,61/ 201,25 = (1 + i ) 3 
(1 + i ) 3 = 1,1210  1 + i = √1,1210
3
  1 + i = 1,03882  i = 3,882% 
 
Agora se a escolha tivesse sido feita somente pela TMA então teríamos obtido 
apenas 3% de rentabilidade. 
 
4º Passo: vamos agora calcular qual foi o ganho percentual que foi acrescido ao 
valor da TMA em decorrência dessa operação 
 
ROIA = 
1+3,882%
1+3,0%
 ─ 1 = 
1,03882
1,03
 ─ 1 = 1,008556 – 1 = 0,008556  
 
 ROIA=0,8856%* 
 
*Obs.: aqui está o valor encontrado com a fórmula: ROIA = √𝐼𝐵𝐶
𝑛
 ─ 1 
 
Ou seja, sobre o valor da TMA o ganho foi de 0,8856%, portanto, aqui fica claro 
que não podemos simplesmente subtrair dos 3,882% os 3% de TMA para achar 
o valor do ROIA. 
 
5º Passo: vamos testar o ROIA. 
 
VF = VP.(1 + i )n  VF = 201,25.( 1 + 3%) 3 = 219,91 (ganho só com TMA) 
VF = VP.(1 + i )n  VF = 219,91.(1 +0,8856%) 3 = 225,61 (TMA+ ganho residual) 
 
20 
Como você pode observar o valor encontrado confere com o VF do Fluxo de 
caixa sistêmico visto no 3º passo... Convenhamos, é bem legal esse indicador! 
Bem para os fins da ementa de nossa disciplina, já basta por hoje. 
Todavia, gostaria de alertá-lo que existem muitas outras modelagens sobre o 
tema “fluxo de caixa”, o que vimos aqui foram alguns dos seus elementos 
essências. O que ocorre é que se tentarmos nos aprofundar ainda mais do que 
já foi visto acabaremos invadindo pautas de outras disciplinas, tais como 
Engenharia Econômica, Administração Financeira, etc. Resumindo a ópera, um 
bom analista na área de finanças nunca pode parar de estudar, pois são 
inúmeras as possibilidades para a visualização de uma operação financeira. 
Cada qual com sua qualidade impar de informação. E dito isso, desejo-lhe bons 
estudos e nos vemos na aula 06. 
TROCANDO IDEIAS 
Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos vários 
conceitos sobre os fluxos de caixa não convencionais, dentre outros, TIR, IBC e 
ROIA. Agora entre no fórum da disciplina e usando este conhecimento geral 
adquirido reflita com seus pares sobre: Será que os profissionais locados no 
mercado brasileiro realmente sabem interpretar os significados desses artefatos 
financeiros? E como isso deve impactar no sucesso da Economia? 
NA PRÁTICA 
A) Leitura do caso.
Um investidor retirou de uma carteira de renda fixa com rendimento de 20% a.a. o 
valor de R$ 1.000, pois acreditavaque obteria mais resultado investido na bolsa e 
valores. Sendo assim, ele investiu os R$ 1000 em ações e durante 4 anos foi 
vendendo suas ações até zerar sua posição, como demonstra o fluxo que segue: 
 
 
21 
 
 
B) Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o 
problema 
 
Para resolver esse problema podemos aplicar a fórmula vista no tema 3 (TIR) ou 
no tema 4 (VPL). Nessas páginas vamos resolver usando a TIR com o uso da 
HP 12c, mas lembre-se também seria viável resolver pelo VPL com o uso da 
fórmula, só daria um pouco mais de trabalho. Quanto ao resultado, um VPL + a 
vantagem seria para as ações, já VPL – a vantagem seria a carteira. 
 
C) Apresentação da solução do problema. 
 
 F REG 
 1000 CHS g CFo 
 70 g CF j 
 200 g CF j 
 600 g CF j 
 700 g CF j 
 F IRR => na tela aparece 15,25  i = 15,25% (o valor da TIR) 
 
Conclusão: O investidor fez um péssimo negócio em retirar o dinheiro da renda 
fixa, pois lá tinha 20% ao ano e em sua operação na bolsa de valores só 
conseguir 15,25% 
FINALIZANDO 
Nesta rota estudamos os elementos básicos do fluxo de caixa não 
convencionais, ou seja, aqueles que apresentam entradas e saídas não 
regulares quanto à periodicidade “e/ou” aos valores movimentados. Sobre essa 
pauta foi aprofundado o que vem a ser o custo do capital e como ele está 
presente na análise de um fluxo de caixa, nesse sentido foi visto: TMA, CMPC e 
CAPM. Também estudamos o processo de avaliação dos fluxos frente a TMA 
pela ótica do VPL e da TIR, além disso, igualmente, aprofundamentos nossas 
análises por meio dos artefatos IBC e ROIA. 
 
 
 
22 
REFERÊNCIAS 
 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W., Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: Intersaberes, 2013 
CASTANHEIRA, N.P; MACEDO, L.R.D.Matemática financeira aplicada. Curitiba: 
Ibpex, 2010 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011