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Expressões Booleanas Obtidas de Tabelas da
Verdade
Neste item, será estudada a forma de obter expressões e circuitos a partir de
tabelas da verdade, sendo este o caso mais comum de projetos práticos, pois,
geralmente, necessita-se representar situações através de tabelas da verdade e a
partir destas, obter a expressão booleana e conseqüentemente, o circuito lógico.
Para demonstrar este procedimento, será obtida a expressão da seguinte tabela:
Na tabela, analisa-se onde S=1 e monta-se a expressão adequada.
Para se obter a expressão basta realizar a soma booleana de cada termo acima:
Nota-se que o método permite obter, de qualquer tabela, uma expressão padrão
formada sempre pela soma de produtos. No próximo capítulo, relativo a álgebra
de Boole, será estudado o processo de simplificação de expressões booleanas,
possibilitando a obtenção de circuitos reduzidos.
ÁLGEBRA DE BOOLE
 
Álgebra Booleana é uma parte da Álgebra usada quando tratamos de problemas
de natureza lógica. Em 1847, um matemático inglês chamado George Boole,
desenvolveu as leis básicas e regras matemáticas que poderiam ser aplicadas em
problemas de lógica. Até 1938, estas técnicas ficaram restritas ao uso no campo
de pesquisa lógica-matemática. Nesta período Claude Shannon, um cientista da
Bell Laboratórios, percebeu a utilidade de tal álgebra quando aplicada no
equacionamento e análise de redes de relés. Com o surgimento dos
computadores, o uso da álgebra de Boole no campo da eletrônica cresceu, de
modo que ela é hoje uma ferramenta matemática fundamental no
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desenvolvimento de projetos de circuitos digitais. Inicialmente, a Álgebra de Boole
foi aplicada a problemas que teriam como resultado prosposições falsas ou
verdadeiras. Shannon usou a álgebra de Boole para equacionar uma malha de
relés que poderiam estar abertos ou fechados.
É fácil perceber que a lógica de Boole é extremamente relacionada com o
sistema de numeração binária, já que ambos trabalham com duas variáveis.
Postulados e Teoremas Booleanos
Toda teoria de Boole está fundamentada nos 7 postulados (afirmações que se
admitem serem verdadeiras) apresentados a seguir:
P1 - X = 0 ou X = 1
P2 - 0 . 0 = 0 
P3 - 1 . 1 = 1 
P4 - 0 + 0 = 0
P5 - 1 + 1 = 1
P6 - 1 . 0 = 0 . 1 = 0
P7 - 1 + 0 = 0 + 1 = 1
Compare estes postulados com as definições de adição lógica (operação OU) e
multiplicação lógica (operação E) apresentadas no outro módulo. Fundamentado
nos postulados Booleanos, um número de teoremas pode agora ser apresentado.
O teorema em álgebra de Boole é uma relação fundamental entre as variáveis
Booleanas. O uso dos teoremas irá permitir simplificações nos circuitos lógicos e
manipulações. Abaixo segue os principais teoremas:
Na forma de circuitos lógicos, o teorema de Morgan pode ser apresentado a
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seguir:
Os três primeiros teoremas mostram que as leis básicas de comutação, associação
e distribuição de álgebra convencional são também válidas para as variáveis
Booleanas.
Simplificação Lógica
Aplicando-se os teoremas e postulados Booleanos podemos simplificar equações
lógicas, e com isto minimizar a implementação de circuitos lógicos. Vamos analisar
como pode ser feita a simplificação lógica na série de exemplos a seguir:
Exemplo 1
Considere que a saída de um circuito lógico deve obedecer à seguinte equação:
Se este circuito fosse implementado desta forma através de portas lógicas,
teríamos o circuito da figura 1.
Figura 1.
Utilizando-se teoremas de Boole, vamos simplificar a equação dada.
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A equação resultante pode ser implementada através do circuito da figura 2, ou
seja, uma simples porta OR. Isto significa que os dois circuitos representam a
mesma função lógica.
Figura 2.
Naturalmente o circuito simplificado é o ideal, visto que executa a mesma função
lógica com um número reduzido de portas lógicas.
Exemplo 2:
Simplifique a expressão A . (A . B + C)
Manipulações Lógicas
Os teoremas de Boole são mais úteis na manipulação de variáveis lógicas do que
propriamente na simplificação. Isto porque, um circuito após simplificado pode
não estar em sua forma minimizada, e este processo de minimização se torna
trabalhoso, em determinados casos, quando feito através de simplificações
lógicas. Considere a seguinte equação lógica:
Suponha que seja necessário implementá-la através de portas lógicas NAND.
Aplicando o teorema de de Morgan na equação acima e negando duplamente o
resultado, temos:
Observe a figura 3 :
Figura 3.
Na realidade, qualquer expressão lógica pode ser manipulada de forma a ser
totalmente implementada através de portas NAND ou NOR.
 
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Exercício 1:
Use os postulados, os teoremas da álgebra de Boole para reconhecer a porta lógica correspondente
ao circuito abaixo:
A)
B)
C)
D)
E)
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Exercício 2:
Use os postulados, os teoremas da álgebra de Boole para reconhecer a porta
lógica correspondente ao circuito abaixo:
A)
B)
C)
D)
E)
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Exercício 3:
Use os postulados, os teoremas da álgebra de Boole para reconhecer a porta
lógica correspondente ao circuito abaixo:
A)
B)
C)
D)
E)
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Exercício 4:
Use os postulados, os teoremas da álgebra de Boole para reconhecer a porta lógica correspondente
ao circuito abaixo:
A)
B)
C)
D)
E)
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Exercício 5:
Use os postulados, os teoremas da álgebra de Boole para reconhecer a porta lógica correspondente
ao circuito abaixo:
 
A)
B)
C)
D)
E)
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Exercício 6:
Use os postulados, os teoremas da álgebra de Boole para reconhecer a porta lógica correspondente
ao circuito abaixo:
A)
B)
C)
D)
E)
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Exercício 7:
Simplifique a expressão correspondente ao circuito abaixo e identifique o bloco lógico fundamental
que equivale a este circuito:
 
A)
B)
C)
D)
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E)
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