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Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Profa. Morganna Diniz
UNIRIO - 2012.1
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Objetivo
• Uso de duas ou mais varia´veis aleato´rias.
• O comportamento de uma das varia´veis pode influenciar o
comportamento da outra varia´vel.
• Estudo de func¸o˜es e medidas que podem ser geradas a partir
das varia´veis.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplo 1: lanc¸amento de uma moeda treˆs vezes.
• X = resultado do primeiro lanc¸amento.
• Y = resultado do segundo lanc¸amento.
• Z = resultado do terceiro lanc¸amento.
• cara = 0 (zero) e coroa = 1 (um).
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
(x , y , z) p(x , y , z)
(0,0,0) 1/8
(0,1,0) 1/8
(0,0,1) 1/8
(0,1,1) 1/8
(1,0,0) 1/8
(1,1,0) 1/8
(1,0,1) 1/8
(1,1,1) 1/8
Tabela: Distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis X , Y e Z .
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplos
P [X = 0] = p(0, 0, 0)+p(0, 1, 0)+p(0, 0, 1)+p(0, 1, 1) = 4×
1
8
=
1
2
e
P [X = 1] = p(1, 0, 0)+p(1, 1, 0)+p(1, 0, 1)+p(1, 1, 1) = 4×
1
8
=
1
2
.
A func¸a˜o massa de probabilidade de X e´ obtida por
P [X = x ] =
∑
y
∑
z
p(x , y , z).
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Para as varia´veis discretas X , Y e Z , a func¸a˜o
de probabilidade conjunta possui as seguintes pro-
priedades:
• p(x , y , z) ≥ 0;
•
∑
x
∑
y
∑
z
p(x , y , z) = 1.
Essas propriedades podem ser generalizadas para
qualquer nu´mero de varia´veis aleato´rias.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Probabilidade condicional
P [X = x |Y = y ] =
P [X = x ,Y = y ]
P [Y = y ]
e
P [X = x |Y = y ,Z = z ] =
P [X = x ,Y = y ,Z = z ]
P [Y = y ,Z = z ]
.
Exemplos (treˆs dados):
P [X = 0|Y = 1] =
P [X = 0,Y = 1]
P [Y = 1]
=
2× 1/8
4× 1/8
=
1
2
.
e
P [X = 0|Y = 1,Z = 1] =
P [X = 0,Y = 1,Z = 1]
P [Y = 1,Z = 1]
=
1/8
2× 1/8
=
1
2
.
Obs: neste caso, as varia´veis X , Y e Z sa˜o independentes.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplo 2: treˆs varia´veis aleato´rias de Bernoulli (X , Y e Z ) com
igual probabilidade p de sucesso (1) e probabilidade 1− p de
fracasso (zero).
(x , y , z) p(x , y , z)
(0,0,0) (1− p)3
(0,1,0) (1− p)2p
(0,0,1) (1− p)2p
(0,1,1) (1− p)p2
(1,0,0) (1− p)2p
(1,1,0) (1− p)p2
(1,0,1) (1− p)p2
(1,1,1) p3
Tabela: Distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis X , Y e Z .
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplos:
• P [X = 0] = (1−p)3+(1−p)2p+(1−p)2p+(1−p)p2 = 1−p.
• P [X = 1] = (1− p)2p + (1− p)p2 + (1− p)p2 + p3 = p.
Obs: neste caso, as varia´veis X , Y e Z sa˜o independentes.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplo 3: Suponha uma comissa˜o formada por treˆs pessoas
ordenadas pela idade, onde a pessoa mais velha e´ escolhida para
chefiar o grupo. A probabilidade de uma pessoa na comissa˜o ser
do sexo feminino e´ igual a 1/3.
• X = nu´mero de pessoas do sexo feminino na comissa˜o.
• Y = 0 se o chefe e´ homem, Y = 1 se o chefe e´ mulher.
Grupo (x , y) p(x , y)
MMM (3,1) 1/27
MMH (2,1) 2/27
MHM (2,1) 2/27
MHH (1,1) 4/27
HHH (0,0) 8/27
HHM (1,0) 4/27
HMH (1,0) 4/27
HMM (2,0) 2/27
Tabela: Distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis X e Y .
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Distribuic¸a˜o marginal de X :
• P [X = 0] =
8
27
.
• P [X = 1] =
4
27
+
4
27
+
4
27
=
12
27
.
• P [X = 2] =
2
27
+
2
27
+
2
27
=
6
27
.
• P [X = 3] =
1
27
.
Distribuic¸a˜o marginal de Y :
• P [Y = 0] =
8
27
+
4
27
+
4
27
+
2
27
=
18
27
=
2
3
.
• P [Y = 1] =
1
27
+
2
27
+
2
27
+
4
27
=
9
27
=
1
3
.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Probabilidade condicional:
• P [X = 2|Y = 0] =
P [X = 2,Y = 0]
P [Y = 0]
=
2/27
2/3
=
1
9
.
• P [X = 2|Y = 1] =
P [X = 2,Y = 1]
P [Y = 1]
=
4/27
1/3
=
4
9
.
• P [Y = 0|X = 1] =
P [Y = 0,X = 1]
P [X = 1]
=
8/27
12/27
=
2
3
.
• P [Y = 1|X = 1] =
P [Y = 1,X = 1]
P [X = 1]
=
4/27
12/27
=
1
3
.
• P [Y = 0|X = 2] =
P [Y = 0,X = 2]
P [X = 2]
=
2/27
6/27
=
1
3
.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplo: treˆs varia´veis independentes de Bernoulli com p = 0, 6
(x , y , z) X + Y + Z XYZ p(x , y , z)
(0,0,0) 0 0 0,064
(0,1,0) 1 0 0,096
(0,0,1) 1 0 0,096
(0,1,1) 2 0 0,144
(1,0,0) 1 0 0,096
(1,1,0) 2 0 0,144
(1,0,1) 2 0 0,144
(1,1,1) 3 1 0,216
Tabela: Distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis X ,Y e Z .
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Distribuic¸a˜o de X + Y + Z :
• P [X + Y + Z = 0] = 0, 064.
• P [X + Y + Z = 1] = 0, 288.
• P [X + Y + Z = 2] = 0, 432.
• P [X + Y + Z = 3] = 0, 216.
Distribuic¸a˜o de XYZ :
• P [XYZ = 0] = 0, 784.
• P [XYZ = 1] = 0, 216.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X1,X2, . . . ,Xn varia´veis aleato´rias discretas.
Teorema 1: E [X1+X2+. . .+Xn] = E [X1]+E [X2]+. . .+E [Xn].
Teorema 2: Se X1,X2, . . . ,Xn sa˜o varia´veis aleato´rias in-
dependentes, enta˜o E [X1X2 . . .Xn] = E [X1]E [X2] . . .E [Xn].
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
• E [X ] = 0× 0, 4 + 1× 0, 6 = 0, 6.
• E [Y ] = 0× 0, 4 + 1× 0, 6 = 0, 6.
• E [Z ] = 0× 0, 4 + 1× 0, 6 = 0, 6.
• E [X ] + E [Y ] + E [Z ] = 0, 6 + 0, 6 + 0, 6 = 1, 8.
• E [X+Y+Z ] = 0x0, 064+1x0, 288+2x0, 432+3x0, 216 = 1, 8.
• E [X ]E [Y ]E [Z ] = 0, 6× 0, 6 × 0, 6 = 0, 216.
• E [XYZ ] = 0× 0, 784 + 1× 0, 216 = 0, 216.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias independentes e que
possuem distribuic¸a˜o de Poisson com me´dias, respectivamente, λx
e λy . A func¸a˜o massa de probabilidade de X + Y e´
P [X + Y = n] =
e−(λx+λy )
n!
(λx + λy )
n.
Note que X + Y possui distribuic¸a˜o Poisson com me´dia λx + λy .
Portanto, a soma de duas ou mais varia´veis aleato´rias de Poisson
corresponde a uma varia´vel aleato´ria que tambe´m tem distribuic¸a˜o
de Poisson.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Covariaˆncia entre as varia´veis X e Y :
Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ].
Em relac¸a˜o ao sinal da covaria˜ncia:
• Positivo - as duas varia´veis se movem na mesma direc¸a˜o.
• Negativo - as duas varia´veis se movem em direc¸o˜es opostaa.
Quando Cov(X ,Y ) = 0, as varia´veis X e Y na˜o sa˜o
correlacionadas.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Observac¸o˜es:
1 Quando as varia´veis X e Y sa˜o independentes, temos
Cov(X ,Y ) = 0, pois E [XY ] = E [X ]E [Y ]. Entretanto, o fato
da covariaˆncia ser nula na˜o implica que as varia´veis aleato´rias
sa˜o independentes. Apenas que na˜o ha´ relac¸a˜o linear entre
elas.
2 Se Y = X , enta˜o Cov(X ,X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = Var [X ].
Isto significa que a variaˆncia corresponde a` covariaˆncia da
varia´vel com ela mesma.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Correlac¸a˜o:
ρX ,Y =
cov(X ,Y )
σXσY
.
A correlac¸a˜o corresponde a um valor em [−1, 1] e e´ classificada
como
• Fraca ou Nula quando ρX ,Y = 0 (neste caso, na˜o existe
nenhuma relac¸a˜o entre as duas varia´veis).
• Negativa forte quando ρX ,Y varia entre -1 e 0 (neste caso, as
duas varia´veis se movem em direc¸o˜es opostas e a relac¸a˜o entre
elas sera´ mais forte quanto mais ρX ,Y se