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Bussab&Morettin Estatística Básica
Capítulo 05
Problema 01.
Representando por C a ocorrência cara e por V a ocorrência de coroa no arremesso, e também por B a retirada de bola branca e por V a retirada de bola vermelha, um espaço amostral para este experimento pode ser descrito por
Problema 02.
O espaço amostral para esse experimento é um conjunto infinito. Seja 5 a representação da ocorrência da face 5 e Q a representação de outra face qualquer do dado. Então o experimento tem um espaço amostral dado por
Problema 03.
Os resultados possíveis desse torneio de tênis constituem o espaço amostral de um experimento que consiste em verificá-los. Desse modo, podemos representar esse conjunto da seguinte forma:
Problema 04.
Dois possíveis espaços amostram para o experimento podem ser obtidos através de maneiras diferentes de definir os pontos amostrais do experimento:
designando C para cara e R para coroa, temos um primeiro espaço amostral,
;
se cada ponto amostral
representa o número de caras nos lançamentos, um outro espaço amostral é descrito por
.
Podemos representar
como produto cartesiano da seguinte forma:
Problema 05.
Usando a mesma representação dos problemas anteriores,
Problema 06.
Representando por M a ocorrência de uma criança do sexo masculino e por F a ocorrência de uma criança do sexo feminino, temos:
Sendo S (sim) e N (não), segue o espaço amostral do experimento:
O espaço amostral desse experimento é contínuo, dado por
Outro exemplo de espaço amostral dado por um conjunto infinito:
( = {0(, 6(, 12(,
, 354(}
( = [0(, 360() (espaço amostral contínuo)
Denotando cada estado civil por: S (solteiro), Ca (casado) e V (viúvo), temos
Problema 07.
Problema 08.
Problema 09.
(no lugar da vírgula, sinal de união)
�
Problema 10.
Usando o que segue,
Resultado: Se
for uma PG (progressão geométrica) infinita de razão q, |q| < 1, então a soma de seus termos é dada por
,
temos
.
Nesse caso, k = 2, e então
P(face 5 após três lançamentos do dado)
Problema 11.
Problema 12.
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3
Problema 13.
Do Problema 07:
Seja E o evento “ocorrem duas caras”. Então,
Do Problema 12:
Se o espaço amostral do experimento (lançamento de dois dados) tem 36 pontos amostrais, então,
;
;
;
Problema 14.
O dado não deve ser viciado, ou seja, todas as faces estão equilibradas.
Devemos ter para cada alternativa de resposta a mesma quantidade de opiniões de moradores, por exemplo, 50% a favor e 50% contra se existirem apenas duas alternativas.
Problema 15.
Seja P a ocorrência de bola preta, e V a ocorrência de bola vermelha. Então,
Resultado
Probabilidade
PP
PV
VP
VV
Usando a mesma notação,
Resultado
Probabilidade
PP
PV
VP
VV
Problema 16.
Sem reposição:
Com reposição:
�
Sem reposição
Com reposição:
Sem reposição
Com reposição:
Problema 17.
Sejam os eventos A: A resolve o problema, e B: B resolve o problema. Como trabalham independentemente, temos que
e
Problema 18.
Como a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor, digamos que a constante de proporcionalidade é k, e então vamos encontrar o valor de k:
Utilizando o conceito de probabilidade condicional,
Novamente, aplicando probabilidade condicional,
Problema 19.
, pois se A e B são independentes, Ac e Bc também são independentes.
(probabilidade da união de dois eventos independentes).
Problema 20.
Os componentes 2 e 3 funcionam em paralelo entre si e em série com o componente 1. Assim, a confiabilidade desse sistema é dada por
Problema 21.
Dois eventos A e B são independentes se, e somente se,
. Nesse caso,
. Portanto, os eventos A e B não são independentes.
Problema 22.
Os componentes 1 e 2 funcionam em série, bem como os componentes 3 e 4. Os sub-sistemas formados funcionam em paralelo. Assim,
Problema 23.
Sejam os eventos:
D o circuito escolhido não funciona;
I: o circuito escolhido é feito na fábrica I;
II: o circuito escolhido é feito na fábrica II;
III: o circuito escolhido é feito na fábrica III.
São dados do problema:
.
Assim,
Problema 24.
Utilizando a mesma notação, temos
Problema 25.
Sejam os eventos:
;
;
Supondo que a primeira e a segunda extrações sejam independentes, temos
�
Problema 26.
Construindo uma tabela com os dados do problema, temos
Homens (H)
Mulheres (M)
Total
Salada (A)
0,150
0,175
0,325
Carne (B)
0,600
0,075
0,675
Total
0,750
0,250
1,000
.
Problema 27.
Abaixo, construímos a tabela com as freqüências relativas:
Homens
Mulheres
Total
Usaram o hospital
0,050
0,075
0,125
Não usaram o hospital
0,450
0,425
0,875
Total
0,500
0,500
1,000
P(pessoa segurada use o hospital) =
Não, pois
Problema 28.
Sejam os eventos:
A: o motorista A sofre acidente;
B: o motorista B sofre acidente;
C: o motorista C sofre acidente.
Suponha que esses eventos sejam independentes. Tem-se que “todos os três motoristas sofrem acidentes” pode ser escrito como
e “pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo” equivale a
. Assim,
Problema 29.
Representando por B uma lâmpada boa e por D uma lâmpada defeituosa, há três configurações possíveis para que a segunda lâmpada defeituosa seja encontrada no quarto teste:
Os testes são feitos sem reposição das lâmpadas testadas. Assim, se X for o número de testes necessários para encontrar a segunda lâmpada defeituosa, tem-se que
Problema 30.
Sejam os eventos Ei = ganhar na loteria i, (i = 1, 2). Suponha que estes eventos sejam independentes. Então
=
=
Problema 31. Foi usada a binomial
Seja X o número de segurados vivos daqui a 30 anos. Suponha independência e que o valor 2/3 (probabilidade de cada um deles estar vivo daqui a 30 anos) permaneça por todo o período.
Uma combinação possível para que dois estejam vivos daqui a 30 anos é VVMMM, onde V indica estar viva e M que ela está morta. Pelas informações do problema temos que
, porém, podemos ter também outras combinações como VMVMM com a mesma probabilidade. Podemos construir 10 dessas combinações, ou seja, as duas letras V podem combinar-se em 10 possibilidades pelas 5 posições. Esse número é representado pela combinação de 5 elementos dois a dois, ou seja,
. Desse modo, a resposta final será:
Problema 32.
Se ele não possui habilidades especiais, pode-se supor que a resposta seja dada para a marca A ou para a marca B com igual probabilidade. Assim, se as tentativas são independentes, a probabilidade de se acertar três vezes em três tentativas é dada por
.
Se a probabilidade de se distinguir corretamente for de 90% em cada tentativa, e se as tentativas são independentes, a probabilidade de três acertos é (0,90)3 = 0,729.
Problema 33.
Vamos designar por H o evento “foi sorteado um homem”, e por M o evento “foi sorteada uma mulher”.
Problema 34.
Sejam os eventos A: ganhar a concorrência da parte elétrica e B: ganhar a concorrência da parte de encanamento. A partir das informações do problema, temos
.
Com isso,
e
=
=
Problema 35.
Supondo que as próximas 4 unidades sejam vendidas independentemente, a probabilidade de que duas sejam devolvidas é dada por
Problema 36.
Seja X o número de alarmes que funcionam quando necessário.
Problema37.
Sendo D o evento “o parafuso encontrado é defeituoso”, temos
=
Problema 38
Seja X: número de peças com duração inferior a 20 horas. Usando os mesmos argumentos usados no problema 31 podemos escrever:
Problema 39.
Vamos indicar a ordem de compra dos carros através de índices ao lado das marcas. São dados
.
Temos que
.
Mas
=
;
=
e
=
Logo,
Como
e
então
Problema 40.
Problema 41.
Problema 42.
Os resultados obtidos são muito próximos, pois é grande o número de empregados na empresa, de modo que não faz grande diferença se a seleção for feita com ou sem reposição.
Problema 43.
Representando o espaço amostral por (, temos
.
Problema 44.
O enunciado fornece os seguintes dados:
;
;
.
Sendo X = RRRMMMMM, tem-se:
;
;
.
E logo,
,
Problema 45
Para que pelo menos um dos dois próximos artigos selecionado seja de segunda qualidade, ou ambos são, ou apenas o próximo artigo é de segunda qualidade, ou apenas o seguinte é de segunda qualidade. Uma vez que já foram retirados b artigos e todos foram de segunda qualidade, atualmente há m itens de primeira qualidade e n - b de segunda, num total de
m + n - b itens ainda para inspeção. Para as duas próximas seleções poderia ocorrer uma das seguintes possibilidades : SS, SP, PS ou PP, portanto a resposta será:
P(SS) + P(SP) + P(PS) = 1- P(PP)
Calculando obtém-se
Problema 46.
Temos, por hipótese, que
. Então,
=
=
=
Problema 47.
=
=
Problema 48.
Os componentes 1 e 2, bem como os componentes 4 e 5, estão ligados em série. Esses dois sub-sistemas estão em paralelo com o componente 3. Assim, a confiabilidade do sub-sistema formado pelos componentes 1, 2 e 3 é dada por
. Logo, a confiabilidade total do sistema é dada por
=
Problema 49.
Como mostra a figura abaixo, esse evento está delimitado por um semi-círculo de raio 1, cuja origem é o ponto (0,0).
Representação gráfica do evento A.
A probabilidade P(A) equivale à área da região A dividida pela área do quadrado todo. Como a área do quadrado é 1, temos que P(A) é a área da região A, ou seja,
O evento B está representado na figura seguinte:
Representação gráfica do evento B
Vamos então calcular P(B), o que equivale a calcular a área da região B. Uma maneira simples de calcular a área de B é retirar a área do quadrado de lado b da área total, que é 1. Desse modo,.
O evento Bc está representado na figura seguinte:
Representação gráfica do evento Bc.
Utilizando a definição de probabilidades de eventos complementares,
Problema 50.
Representação gráfica do evento A
Representação gráfica do evento B
Problema 51.
A probabilidade de um evento qualquer A seria definida como a área da região no plano (ou seja, a área de A) dividida pela área do quadrado.
Problema 52.
Problema 53.
Esta probabilidade (representada aqui por p) é o quociente entre o número de amostras em que não há repetição sobre o número total de amostras com reposição. Do problema anterior, tem-se que o número de amostras de tamanho n (obtidas de uma população de tamanho N) em que não ocorrem repetições é dado por (N)n. Assim,
Problema 54.
Considere o caso particular em que N = 5 e n = 2. Do conjunto
, retiram-se amostras de tamanho 2, sem reposição. Os resultados possíveis são:
Como se vê, nesse caso existem 10 =
amostras sem reposição.
Problema 55.
Problema 56.
Portanto, os eventos A e B não podem ser mutuamente exclusivos, pois
.
Problema 57.
O enunciado indica que os componentes 2 e 3 estão ligados em paralelo entre si e em série com o componente 1. Desse modo,
Problema 58.
Os eventos V e
podem ser escritos como
Assim,
(1)
(2)
A partir disso, subtraindo (2) de (1), temos
e logo
Problema 59.
De acordo com o enunciado, tem-se
.
Assim,
Os conjuntos indicados são os seguintes:
.
Desse modo,
;
;
;
Portanto, os eventos são mutuamente independentes, ou seja, são independentes dois a dois, mas não são independentes.
Problema 60.
Para n eventos quaisquer A1, ..., An, (5.10) pode ser escrita como
Problema 61.
Os eventos A1, ..., An são independentes se, e somente se,
Problema 62.
Como já foi visto no problema anterior, a probabilidade de uma amostra ordenada com reposição, de tamanho k, ter todos os elementos distintos é igual a
. Logo, no caso,
ou seja,
.
Problema 63.
,
desprezando os produtos com denominadores (365)2, (365)3, etc.
Problema 64.
Temos que P(A) = 0,20 , P(B) = 0,50 , P(C) = 0,30, P(F | A) = 0,20, P(F | B) = 0,05, P(F | C) = 0,02, sendo F o evento “contrato futuro em dólares”. Então,
=
Segue que
e
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,
,
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),
,
,
(
),
,
,
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,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
{(
b
c
a
c
b
a
c
c
a
a
c
a
c
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
a
a
a
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