Prévia do material em texto
Bussab&Morettin Estatística Básica Capítulo 05 Problema 01. Representando por C a ocorrência cara e por V a ocorrência de coroa no arremesso, e também por B a retirada de bola branca e por V a retirada de bola vermelha, um espaço amostral para este experimento pode ser descrito por Problema 02. O espaço amostral para esse experimento é um conjunto infinito. Seja 5 a representação da ocorrência da face 5 e Q a representação de outra face qualquer do dado. Então o experimento tem um espaço amostral dado por Problema 03. Os resultados possíveis desse torneio de tênis constituem o espaço amostral de um experimento que consiste em verificá-los. Desse modo, podemos representar esse conjunto da seguinte forma: Problema 04. Dois possíveis espaços amostram para o experimento podem ser obtidos através de maneiras diferentes de definir os pontos amostrais do experimento: designando C para cara e R para coroa, temos um primeiro espaço amostral, ; se cada ponto amostral representa o número de caras nos lançamentos, um outro espaço amostral é descrito por . Podemos representar como produto cartesiano da seguinte forma: Problema 05. Usando a mesma representação dos problemas anteriores, Problema 06. Representando por M a ocorrência de uma criança do sexo masculino e por F a ocorrência de uma criança do sexo feminino, temos: Sendo S (sim) e N (não), segue o espaço amostral do experimento: O espaço amostral desse experimento é contínuo, dado por Outro exemplo de espaço amostral dado por um conjunto infinito: ( = {0(, 6(, 12(, , 354(} ( = [0(, 360() (espaço amostral contínuo) Denotando cada estado civil por: S (solteiro), Ca (casado) e V (viúvo), temos Problema 07. Problema 08. Problema 09. (no lugar da vírgula, sinal de união) � Problema 10. Usando o que segue, Resultado: Se for uma PG (progressão geométrica) infinita de razão q, |q| < 1, então a soma de seus termos é dada por , temos . Nesse caso, k = 2, e então P(face 5 após três lançamentos do dado) Problema 11. Problema 12. �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 Problema 13. Do Problema 07: Seja E o evento “ocorrem duas caras”. Então, Do Problema 12: Se o espaço amostral do experimento (lançamento de dois dados) tem 36 pontos amostrais, então, ; ; ; Problema 14. O dado não deve ser viciado, ou seja, todas as faces estão equilibradas. Devemos ter para cada alternativa de resposta a mesma quantidade de opiniões de moradores, por exemplo, 50% a favor e 50% contra se existirem apenas duas alternativas. Problema 15. Seja P a ocorrência de bola preta, e V a ocorrência de bola vermelha. Então, Resultado Probabilidade PP PV VP VV Usando a mesma notação, Resultado Probabilidade PP PV VP VV Problema 16. Sem reposição: Com reposição: � Sem reposição Com reposição: Sem reposição Com reposição: Problema 17. Sejam os eventos A: A resolve o problema, e B: B resolve o problema. Como trabalham independentemente, temos que e Problema 18. Como a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor, digamos que a constante de proporcionalidade é k, e então vamos encontrar o valor de k: Utilizando o conceito de probabilidade condicional, Novamente, aplicando probabilidade condicional, Problema 19. , pois se A e B são independentes, Ac e Bc também são independentes. (probabilidade da união de dois eventos independentes). Problema 20. Os componentes 2 e 3 funcionam em paralelo entre si e em série com o componente 1. Assim, a confiabilidade desse sistema é dada por Problema 21. Dois eventos A e B são independentes se, e somente se, . Nesse caso, . Portanto, os eventos A e B não são independentes. Problema 22. Os componentes 1 e 2 funcionam em série, bem como os componentes 3 e 4. Os sub-sistemas formados funcionam em paralelo. Assim, Problema 23. Sejam os eventos: D o circuito escolhido não funciona; I: o circuito escolhido é feito na fábrica I; II: o circuito escolhido é feito na fábrica II; III: o circuito escolhido é feito na fábrica III. São dados do problema: . Assim, Problema 24. Utilizando a mesma notação, temos Problema 25. Sejam os eventos: ; ; Supondo que a primeira e a segunda extrações sejam independentes, temos � Problema 26. Construindo uma tabela com os dados do problema, temos Homens (H) Mulheres (M) Total Salada (A) 0,150 0,175 0,325 Carne (B) 0,600 0,075 0,675 Total 0,750 0,250 1,000 . Problema 27. Abaixo, construímos a tabela com as freqüências relativas: Homens Mulheres Total Usaram o hospital 0,050 0,075 0,125 Não usaram o hospital 0,450 0,425 0,875 Total 0,500 0,500 1,000 P(pessoa segurada use o hospital) = Não, pois Problema 28. Sejam os eventos: A: o motorista A sofre acidente; B: o motorista B sofre acidente; C: o motorista C sofre acidente. Suponha que esses eventos sejam independentes. Tem-se que “todos os três motoristas sofrem acidentes” pode ser escrito como e “pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo” equivale a . Assim, Problema 29. Representando por B uma lâmpada boa e por D uma lâmpada defeituosa, há três configurações possíveis para que a segunda lâmpada defeituosa seja encontrada no quarto teste: Os testes são feitos sem reposição das lâmpadas testadas. Assim, se X for o número de testes necessários para encontrar a segunda lâmpada defeituosa, tem-se que Problema 30. Sejam os eventos Ei = ganhar na loteria i, (i = 1, 2). Suponha que estes eventos sejam independentes. Então = = Problema 31. Foi usada a binomial Seja X o número de segurados vivos daqui a 30 anos. Suponha independência e que o valor 2/3 (probabilidade de cada um deles estar vivo daqui a 30 anos) permaneça por todo o período. Uma combinação possível para que dois estejam vivos daqui a 30 anos é VVMMM, onde V indica estar viva e M que ela está morta. Pelas informações do problema temos que , porém, podemos ter também outras combinações como VMVMM com a mesma probabilidade. Podemos construir 10 dessas combinações, ou seja, as duas letras V podem combinar-se em 10 possibilidades pelas 5 posições. Esse número é representado pela combinação de 5 elementos dois a dois, ou seja, . Desse modo, a resposta final será: Problema 32. Se ele não possui habilidades especiais, pode-se supor que a resposta seja dada para a marca A ou para a marca B com igual probabilidade. Assim, se as tentativas são independentes, a probabilidade de se acertar três vezes em três tentativas é dada por . Se a probabilidade de se distinguir corretamente for de 90% em cada tentativa, e se as tentativas são independentes, a probabilidade de três acertos é (0,90)3 = 0,729. Problema 33. Vamos designar por H o evento “foi sorteado um homem”, e por M o evento “foi sorteada uma mulher”. Problema 34. Sejam os eventos A: ganhar a concorrência da parte elétrica e B: ganhar a concorrência da parte de encanamento. A partir das informações do problema, temos . Com isso, e = = Problema 35. Supondo que as próximas 4 unidades sejam vendidas independentemente, a probabilidade de que duas sejam devolvidas é dada por Problema 36. Seja X o número de alarmes que funcionam quando necessário. Problema37. Sendo D o evento “o parafuso encontrado é defeituoso”, temos = Problema 38 Seja X: número de peças com duração inferior a 20 horas. Usando os mesmos argumentos usados no problema 31 podemos escrever: Problema 39. Vamos indicar a ordem de compra dos carros através de índices ao lado das marcas. São dados . Temos que . Mas = ; = e = Logo, Como e então Problema 40. Problema 41. Problema 42. Os resultados obtidos são muito próximos, pois é grande o número de empregados na empresa, de modo que não faz grande diferença se a seleção for feita com ou sem reposição. Problema 43. Representando o espaço amostral por (, temos . Problema 44. O enunciado fornece os seguintes dados: ; ; . Sendo X = RRRMMMMM, tem-se: ; ; . E logo, , Problema 45 Para que pelo menos um dos dois próximos artigos selecionado seja de segunda qualidade, ou ambos são, ou apenas o próximo artigo é de segunda qualidade, ou apenas o seguinte é de segunda qualidade. Uma vez que já foram retirados b artigos e todos foram de segunda qualidade, atualmente há m itens de primeira qualidade e n - b de segunda, num total de m + n - b itens ainda para inspeção. Para as duas próximas seleções poderia ocorrer uma das seguintes possibilidades : SS, SP, PS ou PP, portanto a resposta será: P(SS) + P(SP) + P(PS) = 1- P(PP) Calculando obtém-se Problema 46. Temos, por hipótese, que . Então, = = = Problema 47. = = Problema 48. Os componentes 1 e 2, bem como os componentes 4 e 5, estão ligados em série. Esses dois sub-sistemas estão em paralelo com o componente 3. Assim, a confiabilidade do sub-sistema formado pelos componentes 1, 2 e 3 é dada por . Logo, a confiabilidade total do sistema é dada por = Problema 49. Como mostra a figura abaixo, esse evento está delimitado por um semi-círculo de raio 1, cuja origem é o ponto (0,0). Representação gráfica do evento A. A probabilidade P(A) equivale à área da região A dividida pela área do quadrado todo. Como a área do quadrado é 1, temos que P(A) é a área da região A, ou seja, O evento B está representado na figura seguinte: Representação gráfica do evento B Vamos então calcular P(B), o que equivale a calcular a área da região B. Uma maneira simples de calcular a área de B é retirar a área do quadrado de lado b da área total, que é 1. Desse modo,. O evento Bc está representado na figura seguinte: Representação gráfica do evento Bc. Utilizando a definição de probabilidades de eventos complementares, Problema 50. Representação gráfica do evento A Representação gráfica do evento B Problema 51. A probabilidade de um evento qualquer A seria definida como a área da região no plano (ou seja, a área de A) dividida pela área do quadrado. Problema 52. Problema 53. Esta probabilidade (representada aqui por p) é o quociente entre o número de amostras em que não há repetição sobre o número total de amostras com reposição. Do problema anterior, tem-se que o número de amostras de tamanho n (obtidas de uma população de tamanho N) em que não ocorrem repetições é dado por (N)n. Assim, Problema 54. Considere o caso particular em que N = 5 e n = 2. Do conjunto , retiram-se amostras de tamanho 2, sem reposição. Os resultados possíveis são: Como se vê, nesse caso existem 10 = amostras sem reposição. Problema 55. Problema 56. Portanto, os eventos A e B não podem ser mutuamente exclusivos, pois . Problema 57. O enunciado indica que os componentes 2 e 3 estão ligados em paralelo entre si e em série com o componente 1. Desse modo, Problema 58. Os eventos V e podem ser escritos como Assim, (1) (2) A partir disso, subtraindo (2) de (1), temos e logo Problema 59. De acordo com o enunciado, tem-se . Assim, Os conjuntos indicados são os seguintes: . Desse modo, ; ; ; Portanto, os eventos são mutuamente independentes, ou seja, são independentes dois a dois, mas não são independentes. Problema 60. Para n eventos quaisquer A1, ..., An, (5.10) pode ser escrita como Problema 61. Os eventos A1, ..., An são independentes se, e somente se, Problema 62. Como já foi visto no problema anterior, a probabilidade de uma amostra ordenada com reposição, de tamanho k, ter todos os elementos distintos é igual a . Logo, no caso, ou seja, . Problema 63. , desprezando os produtos com denominadores (365)2, (365)3, etc. Problema 64. Temos que P(A) = 0,20 , P(B) = 0,50 , P(C) = 0,30, P(F | A) = 0,20, P(F | B) = 0,05, P(F | C) = 0,02, sendo F o evento “contrato futuro em dólares”. Então, = Segue que e �PAGE � �PAGE �18� Cap.05 – Pág.� PAGE �18� _1077311741.unknown _1078602849.unknown _1078607337.unknown _1078608274.unknown _1078608665.unknown _1078653632.unknown _1078659305/ole-[42, 4D, FE, 22, 01, 00, 00, 00] _1079541147.unknown _1079541605.unknown _1079542862.unknown _1078659831/ole-[42, 4D, 12, 24, 01, 00, 00, 00] _1078659954.unknown _1078654320.unknown _1078654387.unknown _1078654576.unknown _1078653710.unknown _1078651194.unknown _1078651863/ole-[42, 4D, BA, 39, 01, 00, 00, 00] _1078653216/ole-[42, 4D, BA, 39, 01, 00, 00, 00] _1078652874.unknown _1078651238.unknown _1078609224.unknown _1078609234.unknown _1078650934/ole-[42, 4D, B2, 2C, 01, 00, 00, 00] _1078609230.unknown _1078609166.unknown _1078608401.unknown _1078608642.unknown _1078608658.unknown _1078608615.doc ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , {( b c a c b a c c a a c a c a a b b a a b a b a a a a a _1078608296.unknown _1078608375.unknown _1078608288.unknown _1078608083.unknown _1078608168.unknown _1078608257.unknown _1078608122.unknown _1078607639.unknown _1078607923.unknown _1078607934.unknown _1078607627.unknown _1078605034.unknown _1078607111.unknown _1078607299.unknown _1078607305.unknown _1078607127.unknown _1078605448.unknown _1078607105.unknown _1078605093.unknown _1078603371.unknown _1078603508.unknown _1078604961.unknown _1078603492.unknown _1078602856.unknown _1078603353.unknown _1078602853.unknown _1077321483.unknown _1077342317.unknown _1077346070.unknown _1078562436.unknown _1078602163.unknown _1078602823.unknown _1078602832.unknown _1078602835.unknown _1078602829.unknown _1078602342.unknown _1078562562.unknown _1078601806.unknown _1078562504.unknown _1078562542.unknown _1077346857.unknown _1077813139.unknown _1078562212.unknown_1078562278.unknown _1078562327.unknown _1078562228.unknown _1077813276.unknown _1077953723.unknown _1077347172.unknown _1077347605.unknown _1077347818.unknown _1077347921.unknown _1077348648.unknown _1077347646.unknown _1077347395.unknown _1077346931.unknown _1077346958.unknown _1077346917.unknown _1077346180.unknown _1077346616.unknown _1077346745.unknown _1077346378.unknown _1077346127.unknown _1077346140.unknown _1077346094.unknown _1077344573.unknown _1077344815.unknown _1077345351.unknown _1077346061.unknown _1077345181.unknown _1077344729.unknown _1077344759.unknown _1077344706.unknown _1077342615.unknown _1077344309.unknown _1077344321.unknown _1077343647.unknown _1077342486.unknown _1077342521.unknown _1077342428.unknown _1077340717.unknown _1077341469.unknown _1077341610.unknown _1077342186.unknown _1077341536.unknown _1077341223.unknown _1077341339.unknown _1077341125.unknown _1077339650.unknown _1077340182.unknown _1077340596.unknown _1077340081.unknown _1077339280.unknown _1077339479.unknown _1077321640.unknown _1077316174.unknown _1077316807.unknown _1077321215.unknown _1077321323.unknown _1077321462.unknown _1077321313.unknown _1077319939.unknown _1077320267.unknown _1077316919.unknown _1077316445.unknown _1077316747.unknown _1077316792.unknown _1077316458.unknown _1077316176.unknown _1077316417.unknown _1077316175.unknown _1077314166.unknown _1077314445.unknown _1077314647.unknown _1077314655.unknown _1077314568.unknown _1077314247.unknown _1077314344.unknown _1077314214.unknown _1077312687.unknown _1077313456.unknown _1077314102.unknown _1077313028.unknown _1077312473.unknown _1077312509.unknown _1077312249.unknown _1077057834.unknown _1077271243.unknown _1077309835.unknown _1077310499.unknown _1077311238.unknown _1077311611.unknown _1077311009.unknown _1077310325.unknown _1077310433.unknown _1077310095.unknown _1077271521.unknown _1077309336.unknown _1077309567.unknown _1077309022.unknown _1077271480.unknown _1077271514.unknown _1077271295.unknown _1077061300.unknown _1077088366.unknown _1077090149.unknown _1077091721.unknown _1077269602.unknown _1077270296.unknown _1077271235.unknown _1077270525.unknown _1077269998.unknown _1077091916.unknown _1077269164.unknown _1077091730.unknown _1077090986.unknown _1077091632.unknown _1077090833.unknown _1077088760.unknown _1077088989.unknown _1077088689.unknown _1077063641.unknown _1077063806.unknown _1077088280.unknown _1077063680.unknown _1077062063.unknown _1077063478.unknown _1077062047.unknown _1077059876.unknown _1077060274.unknown _1077060440.unknown _1077060193.unknown _1077059340.unknown _1077059442.unknown _1077058503.unknown _1076279747.unknown _1077055841.unknown _1077057189.unknown _1077057435.unknown _1077057685.unknown _1077057428.unknown _1077057200.unknown _1077056381.unknown _1077056828.unknown _1077056325.unknown _1077056290.unknown _1077055481.unknown _1077055677.unknown _1077055755.unknown _1077055639.unknown _1076280429.unknown _1077055252.unknown _1076280326.unknown _1076280258.unknown _1076273702.unknown _1076277811.unknown _1076277906.unknown _1076278232.unknown _1076279100.unknown _1076277884.unknown _1076275797.unknown _1076276493.unknown _1076277757.unknown _1076277739.unknown _1076276240.unknown _1076275417.unknown _1076275477.unknown _1076275385.unknown _1076272109.unknown _1076273059.unknown _1076273623.unknown _1076273041.unknown _1076271719.unknown _1076271933.unknown _1076270194.unknown