04 Distribuições de Poisson, Binomial e Hipergeométrica

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CONTROLE 
ESTATÍSTICO 
DE PROCESSO
Gisele Lozada
Distribuição de Poisson, 
binomial e hipergeométrica
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Reconhecer características e aplicações da distribuição de Poisson.
 De� nir atributos e utilidades da distribuição binomial.
 Identi� car propriedades e destinações da distribuição hipergeométrica.
Introdução
A probabilidade corresponde a uma ciência que se encontra nos bas-
tidores de nosso cotidiano, sendo utilizada em muitas de nossas ações 
rotineiras. Ao consultarmos a previsão de tempo ou realizarmos um jogo 
da loteria, estamos sob os princípios da teoria da probabilidade. Uma de 
suas muitas aplicações está relacionada ao controle de processos, em 
que são formuladas e testadas hipóteses, com a intenção de qualificar o 
processo de tomada de decisões.
O universo da teoria da probabilidade e da estatística lida com uma 
considerável gama de variáveis, sendo uma delas denominada variável 
aleatória. Definida como evento numérico cujo valor é determinado 
por processo acidental, e que pode ser designada discreta ou contínua. 
Especialmente, sobre a variável aleatória discreta, podemos conside-
rar sua característica quantitativa, cujos resultados ocorrem em pontos 
isolados ao longo de uma escala de valores, podendo ser listados em 
sua totalidade, e aplicados em avaliações de probabilidade, às quais são 
destinados diversos modelos probabilísticos discretos.
Neste capítulo, você vai estudar alguns desses modelos, que corres-
pondem a distribuição de Poisson, distribuição binomial e distribuição 
hipergeométrica, conhecendo sobre suas principais características e 
aplicações.
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Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson corresponde a um dos modelos probabilísticos 
discretos, utilizados na teoria da probabilidade e na estatística. Destina-se 
ao estudo de distribuição discreta de uma variável aleatória, que expressa a 
probabilidade de uma série de eventos ocorrerem num determinado intervalo, 
sendo que:
 a probabilidade permite calcular a chance de ocorrência de um número 
em um experimento aleatório;
 o intervalo pode ser o tempo, a distância, o volume, a área ou outra
unidade análoga.
A distribuição de Poisson expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrerem 
num determinado intervalo.
Segundo Becker (2015, p. 236) “[...] a distribuição de Poisson é utilizada 
em processos de contagem ao longo do tempo ou de qualquer outra dimensão 
contínua (p. ex.: linha, superfície, etc.) em que a taxa média é conhecida e as 
ocorrências do fenômeno de interesse ocorrem independentemente”. 
Cabe lembrar que uma variável aleatória é aquela definida como sendo um 
evento numérico cujo valor é determinado por processo acidental, de acordo 
com Kazmier (2008). Esta variável aleatória pode ser denominada discreta 
quando todos os seus resultados possíveis podem ser listados (visto que ocorrem 
em pontos isolados ao longo de uma escala de valores, normalmente originados 
de um processo de contagem e expressos como números inteiros). Ao contrário 
disso, a variável aleatória pode ser denominada contínua, assumindo qualquer 
valor entre outros dois (em qualquer casa decimal ao longo de um intervalo de 
valores, e normalmente gerados a partir de um processo de medição).
Quando utilizar a distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é frequentemente usada para medir o número de 
ocorrências de um evento por certo intervalo, em situações como:
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 número de falhas em componentes manufaturados;
 número de clientes que chegam a um ponto comercial;
 quantidade de pessoas conectadas à internet;
 número de chamadas telefônicas por unidade de tempo.
Em todas estas situações, temos um conjunto de ocorrências que satisfazem 
as seguintes condições:
 a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente 
zero;
 o número de ocorrências de um evento em determinado tempo (espaço) 
é independente do número de ocorrências de eventos em qualquer
outro intervalo;
 o número médio de ocorrências por unidade de tempo (espaço) é cons-
tante ao longo do tempo (espaço);
 o número de ocorrências durante qualquer intervalo depende da dura-
ção ou tamanho do intervalo, quanto maior o intervalo, maior será o
número de ocorrências;
 em intervalos iguais, as probabilidades de ocorrências devem ser iguais.
Se a situação atender a todas estas condições, trata-se de uma distribuição 
de Poisson. E sendo assim, a variável aleatória x será o número de ocorrências 
do evento no intervalo. 
A distribuição de Poisson pode ser utilizada em processos como a contagem de defeitos 
em processos industriais ou a contagem de demandas por canais de telecomunicações, 
segundo Becker (2015, p. 236).
Como aplicar a distribuição de Poisson
A distribuição discreta de probabilidade aplicável às ocorrências de um de-
terminado evento em um intervalo específi co gera uma taxa (normalmente 
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apresentada em percentual), que é apurada através da aplicação de fórmula 
específi ca, geralmente apresentada de seguinte maneira: 
P (X = k) = 
e–λ . λk 
k!
As variáveis integrantes da fórmula da distribuição de Poisson são as 
seguintes:
  P (X) = a probabilidade de X de ocorrências, com ƛ conhecido;
  ƛ = a média do número de eventos que acontecem por unidade de medida;
  X = número esperado de sucessos; 
  e = número de sucessos por unidade (base do sistema logarítmico 
natural, que corresponde a aproximadamente 2,71828);
  k = é dada pela fórmula de distribuição de probabilidade (k! = k fatorial).
Uma empresa que presta serviços de call center recebe, em média, cinco chamadas por 
minuto. Qual a probabilidade de a empresa não receber nenhuma chamada durante 
o intervalo de um minuto?
P (X = 0) = 
50 . e–5
0!
= e–5 = 0,0067 ou 6,7%
Sendo assim, a probabilidade de nenhuma ligação ser recebida no intervalo de um 
minuto é de 6,7%.
Distribuição binomial
Antes de ingressarmos no estudo das distribuições binomial e hipergeométrica, 
cabe chamar atenção para um conceito importante: a diferença entre amostra-
gem com ou sem reposição. Sobre este assunto, Doane e Seward (2014, p. 35) 
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apontam que a “[...] amostragem sem reposição signifi ca que, uma vez que um 
item tenha sido selecionado para ser incluído em uma amostra, ele não pode 
ser selecionado novamente nessa mesma amostra”. Logo, no sentido contrário, 
a amostragem com reposição signifi ca que cada elemento da população tem 
a chance de ser considerado mais de uma vez no processo de amostragem.
Imagine uma urna em que várias fichas estão misturadas, e da qual é retirada uma 
destas fichas. Se a ficha for devolvida à urna e misturada às demais antes da seleção 
seguinte, esta mesma ficha poderá ser escolhida novamente.
A distribuição binomial corresponde a outro modelo probabilístico desti-
nado a variáveis aleatórias discretas, consistindo em uma das alternativas mais 
frequentemente usadas em estatística. Uma variável aleatória tem distribuição 
binomial quando o experimento apresenta apenas dois resultados, que são 
denominados como sucesso ou fracasso.
Neste ponto, cabe ressaltar a conotação de sucesso ou fracasso: sucesso 
significa que a condição ou evento de interesse foram atendidos e, desta forma, 
fracasso não necessariamente significa algo ruim, apenas sinaliza o inverso, 
correspondendo ao não atendimento da condição ou evento de interesse.
Segundo Kazmier (2008, p. 103) “[...] a distribuição binomial é uma distri-
buição de probabilidade discreta que é aplicável como modelo para tomadade 
decisão em situações nas quais o processo de amostragem pode ser assumido 
como em conformidade com um processo de Bernoulli”. 
Na teoria de probabilidades e estatística, o processo de Bernoulli corres-
ponde a um processo de amostragem, indicado para casos em que o mesmo 
ocorrer com reposição, relativo a uma distribuição discreta de espaço amostral 
(0 e 1), que tem o valor 1 com probabilidade de sucesso p e o valor 0 com 
probabilidade de fracasso q = 1 – p.
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A distribuição binomial expressa a probabilidade de um entre dois resultados (sucesso 
ou fracasso) ocorrer em uma série de tentativas.
Doane e Seward (2014, p. 230), ao compararem as distribuições binomial 
e de Poisson, relatam que no modelo Poisson, “[...] ao contrário da binomial, 
X não tem um limite evidente, isto é, o número de eventos que podem ocorrer 
em uma dada unidade de tempo não é limitado”. 
Quando utilizar a distribuição binomial
A distribuição binomial pode ser empregada na determinação da probabili-
dade quando no evento especifi cado se deseja calcular a probabilidade de um 
acontecimento ou acontecimentos. Neste caso, é importante observar que:
  os eventos que constituem o acontecimento devem ser independentes;
  a ordem dos eventos não influencia o cálculo da probabilidade.
Deve-se observar também que o processo de amostragem de Bernoulli, 
sobre o qual a distribuição binomial é aplicável, considera que:
  a cada tentativa ou observação, somente dois eventos mutuamente 
excludentes são possíveis (sucesso ou fracasso);
  os resultados da série de tentativas ou observações correspondem a 
eventos independentes;
  a probabilidade de sucesso em cada tentativa da série permanece 
constante de uma tentativa para outra, configurando um processo 
estacionário.
Como aplicar a distribuição binomial
Para a aplicação da distribuição binomial, as seguintes considerações devem 
ser observadas:
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  o experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número fi-
nito de vezes (n);
  as provas repetidas devem ser independentes, ou seja, o resultado de 
uma prova não deve afetar os resultados das demais provas;
  como consequência de cada prova, deve-se obter um dos dois possíveis 
resultados: sucesso ou fracasso;
  no decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabi-
lidade q (q = 1 – p) do fracasso são constantes.
Quando o experimento realizado corresponder a uma única tentativa, a 
probabilidade de realização de um evento de sucesso será p, e a probabilidade 
de fracasso será q = 1 – p.
Repetindo-se o mesmo experimento n vezes sucessivas e independentes, 
a probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas é geralmente 
dada pela função:
P (X = k) = 
n
k
= pk qn–k
n!
k! (n – k)!
n
k
= 
Essa função, também denominada lei binomial, define a distribuição bi-
nomial, cujas variáveis integrantes correspondem a:
  P (X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas;
  p é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso;
  q é a probabilidade de que o evento não se realize nesta prova = fracasso;
  (n/k) é o coeficiente binomial, apurado por fórmula específica = n! / 
k! (n-k)!
Para que a fórmula possa ser aplicada, os valores de três variáveis são 
requeridos: o número designado de sucessos (X), o número de tentativas (n) 
e a probabilidade de sucesso a cada tentativa (p).
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Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes. Qual a probabilidade 
de serem obtidas três “caras” nestas cinco tentativas?
Temos:
n = 5 e k = 3
Como “cara” e “coroa” têm a mesma probabilidade de ocorrência, logo:
p = 1/2 (que equivale a 0,50 ou 50%) e q = 1/2 (ou 1–1/2, que também corresponde 
a 0,5)
Resolvendo o coeficiente binomial:
(5/3) = 5! = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 = 10
3! · (5 – 3!) · 3! · 2! (3x2x1) · (2x1) 12
Aplicando a fórmula:
P (X = 3) = (5/3) · 1/23 · 1/25-3 = 10 · 0,53 · 0,52 
= 10 · 0,125 · 0,25 = 0,3125 ou 31,25%
Logo, a probabilidade de se obter três “caras” em cinco tentativas é de 31,25%.
Distribuição hipergeométrica
Assim como a distribuição binomial, a distribuição hipergeométrica destina-
-se a expressão da probabilidade de ocorrência de um entre dois resultados 
possíveis, relativo a uma distribuição discreta de espaço amostral. Cada item 
da amostra a ser analisada apresentará um dos dois resultados possíveis, 
sendo denominados evento ou não evento, podendo representar situações 
como sucesso ou fracasso, defeito ou não defeito, entre outras. O resultado 
objeto de estudo desta distribuição é denominado característica de interesse.
Contudo, em determinadas situações, uma considerável diferença poderá 
ser observada, no que diz respeito à forma como a amostra é retirada da po-
pulação, podendo a primeira impactar sensivelmente a segunda na apuração 
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das probabilidades. E isso, inevitavelmente, traz implicações sobre o modelo 
a ser adotado para o estudo das probabilidades.
Segundo Kazmier (2008, p. 106), “[...] quando uma amostragem é feita 
sem reposição de cada item amostrado, tomada de uma população de itens 
finitos, o processo de Bernoulli não se aplica devido a uma sistemática mu-
dança na probabilidade de sucessos à medida em que os itens são retirados 
da população”.
Nesta situação, o estudo de probabilidades através da distribuição binomial 
(que é frequentemente aplicada ao processo de Bernoulli) passa a não ser o 
mais indicado, tendo em vista que a retirada de amostra sem reposição irá 
impactar na população. Assim, um modelo específico de distribuição deve 
ser utilizado, como a hipergeométrica, que corresponde à distribuição de 
probabilidade discreta apropriada para casos em que uma amostragem sem 
reposição é adotada.
A distribuição hipergeométrica expressa a probabilidade de ocorrência de um entre 
dois resultados possíveis, em situações em que a amostra é retirada da população 
sem reposição. 
Na teoria das probabilidades e estatística, a distribuição hipergeométrica 
corresponde a uma distribuição discreta que descreve a probabilidade de se 
retirar X elementos do tipo A, numa sequência de n extrações de uma popu-
lação finita de tamanho N, com K elementos do tipo A e N-K elementos do 
tipo B, sem reposição. 
As amostras a serem analisadas são retiradas de sua população sem repo-
sição ou substituição, de modo que cada item da amostra é diferente. Desta 
forma, quando um item é escolhido na população, ele não será escolhido 
novamente. Assim, a chance de outro item ser selecionado aumenta a cada 
tentativa, supondo que ainda não tenha sido selecionado.
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Considere um conjunto de 10 bolinhas (cinco vermelhas e cinco azuis), do qual são 
selecionados aleatoriamente duas bolinhas, sem reposição. Com este experimento, 
a probabilidade de seleção de bolinhas vermelhas ou azuis muda a cada tentativa. 
No início, a probabilidade de selecionar uma bolinha de qualquer uma das cores é 
de 5/10. Se na primeira tentativa for selecionada uma bolinha azul, a probabilidade 
de selecionar uma bolinha azul na segunda tentativa já será de 4/9, enquanto que a 
probabilidade de selecionar uma bolinha vermelha será de 5/9.
Caso as bolinhas selecionadas sejam devolvidas ao conjunto, a probabilidade de 
sucesso não mudaria, seria de 5/10 em cada tentativa, representando um experimento 
binomial.
A distribuição hipergeométrica é normalmente descrita por três parâmetros: 
tamanho da população,contagem de eventos em população e tamanho da 
amostra. Além disso, dado o potencial efeito da amostragem sem reposição, 
a distribuição hipergeométrica apresenta estreito relacionamento com a teoria 
das combinações ou análise combinatória.
Leia mais sobre análise combinatória na obra Teoria e problemas de estatística aplicada 
à administração e economia (KAZMIER, 2008).
Quando utilizar a distribuição hipergeométrica
Kazmier (2008, p. 106) comenta que “[...] quando uma população é grande e 
a amostra é relativamente pequena, o fato de que a amostragem é feita sem 
reposição tem uma pequena infl uencia na probabilidade de sucesso em cada 
tentativa”. 
Deste modo, para a escolha do modelo de distribuição a ser utilizado, o 
autor sugere a análise da relação entre a amostra e o tamanho da população, 
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considerando que, quando a amostra for superior a 5% da população, o modelo 
de distribuição hipergeométrico passa a ser o mais indicado.
A distribuição ou função hipergeométrica de probabilidade fornece f(x), a 
probabilidade de se obter x sucessos em uma amostra de tamanho n, em que 
os ensaios não são independentes e a probabilidade de sucesso muda de ensaio 
para ensaio. (ANDERSON; SWEENEY; WILLLIANS, 2002)
Segundo Becker (2015, p. 239), a distribuição hipergeométrica pode ser aplicada 
a estudos que envolvam comportamento do consumidor, controle de qualidade, 
bibliometria, sensoriamento remoto, epidemiologia, biologia, genética e auditoria. 
Como aplicar a distribuição hipergeométrica
Becker (2015, p. 238) relata que “[...] a distribuição hipergeométrica emerge 
em processos de amostragem de populações fi nitas onde cada indivíduo da 
população apresenta ou não uma determinada característica”.
Para ilustrar, o autor supõe que uma população seja formada por N indiví-
duos, m dos quais apresentam uma determinada característica, enquanto que 
os demais não a apresentam. Retira-se, então, uma amostra de tamanho n desta 
população, em um processo sem reposição (indivíduos retirados aleatoriamente, 
um a um e em sequência, em que um indivíduo selecionado não mais retorna 
à população ou ao processo de seleção nela realizado).
Nestas condições, assume-se que:
  a variável X é definida pelo número de indivíduos na amostra que 
apresentam a característica de interesse;
  X não pode ser maior do que o tamanho da amostra, n, nem maior do 
que o número de indivíduos na população que apresenta a característica 
de interesse, m;
  X ≥ 0, pois X é uma variável de contagem;
  n ≤ N, pois o tamanho da amostra é menor que a população;
  m ≤ N, pois o número de indivíduos que apresentam a característica de 
interesse é menor que o tamanho da população;
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 N – m corresponde ao total de indivíduos da população que não apresenta 
a característica de interesse.
Assim, uma variável aleatória hipergeométrica X corresponde ao número 
de sucessos que resulta de um experimento hipergeométrico. A distribuição 
de probabilidades de uma variável aleatória hipergeométrica é chamada de 
função de distribuição hipergeométrica, apurada por fórmula específica, como 
a apresentada abaixo:
Pk = 
r
k
N – r
n – k
N
n
As variáveis integrantes da fórmula da distribuição hipergeométrica cor-
respondem a:
 N = número de elementos da população avaliada;
 r = número de elementos que apresentam um determinado atributo;
 N – r = número de elementos que apresentam o outro atributo possível;
 n = número de elementos da amostra (sem reposição);
 k = número de elementos que apresentam a variável (atributo) de
interesse;
 (r/k) e N/n correspondem coeficientes binomiais, apurados por fórmula 
específica = r! / k! (r-k)! e N!/n! (N-n)!, respectivamente.
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Considere um lote de N = 100 peças e r = 10 peças defeituosas. Selecionando-se 
cinco peças aleatórias (sem reposição), qual a probabilidade de não se obter peças 
defeituosas?
P0 = 
10
0
90
5
100
5
= 
90
5
100
5
≈ 0,584
Neste caso, a probabilidade de não se obter peças defeituosas será de aproxima-
damente 58,4%.
Leia mais sobre as distribuições de Poisson, binomial e hipergeométrica na obra Teoria 
e problemas de estatística aplicada à administração e economia (KAZMIER, 2008).
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ANDERSON, D. R.; SWEENEY, O. J.; WILLLIANS, T. A. Estatística aplicada à administração 
e economia. 2. ed. São Paulo: Pioneira, 2002.
BECKER, J. L. Estatística básica: transformando dados em informação. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. Porto 
Alegre: AMGH, 2014.
KAZMIER, L. Teoria e problemas de estatística aplicada à administração e economia. 4. 
ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. (Coleção Schaum).
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