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MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 6
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.
Aula 6
FUNÇÕES
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Conteúdo
Função de um conjunto S em um conjunto T.
Domínio, contradomínio e imagem de uma função.
Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
Função composta.
Conceito de inversa de uma função.
Diagrama da definição de função inversa.
Função afim
Gráfico de uma função.
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Aula 6 – Funções
Introdução
Intuitivamente, função é uma relação especial entre dois conjuntos na qual todo elemento do primeiro conjunto deve ter, obrigatoriamente, elemento associado no segundo conjunto, e, cada elemento do primeiro conjunto só pode ter um e apenas um elemento associado no segundo conjunto.
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Aula 6 – Funções
Introdução
Aplicações dentro da área da Ciência da Computação:
– Algoritmos são funções;
– Compiladores são funções;
– Funções de Criptografia;
– Funções de Compressão;
– Funções de Geração de Chave de Armazenamento; etc
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Aula 6 – Funções
Função
Definição formal:
Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. A relação f de A para B é chamada uma função se para todo a∈A, existe um único b∈B tal que (a,b)∈f, e se lê: “f é função de A em B”.
f: A→B
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Aula 6 – Funções
Função
Exemplos:
A B
f
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Aula 6 – Funções
Função
Exemplos:
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Aula 6 – Funções
Função
Exemplos:
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Aula 6 – Funções
Função
Exemplos:
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Aula 6 – Funções
Função
Exemplos:
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Aula 6 – Funções
Função
Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) são válidos.
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Aula 6 – Funções
Função - Imagem de um elemento através do diagrama de flechas
Consideremos a função descrita no diagrama de flechas a seguir. Se um elemento y de B estiver associado a um elemento x de A, através de f, então diremos que y é a imagem de x , através de f.
Indica-se y = f (x) (lê-se “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de f”).
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Aula 6 – Funções
Função - Imagem de um elemento através do diagrama de flechas
6 = f (1)
7 = f (2)
8 = f (3)
8 = f (4)
11 = f (5)
D = {1,2,3,4,5}; CD = {6,7,8,9,10,11}; Im = {6,7,8,11}
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Aula 6 – Funções
Exemplo: Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}. Representar a relação R = {(x, y) A X B | y = 3x} em diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de R.
A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}
R = {(x, y) A X B | y = 3x}
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Aula 6 – Funções
D = {-2, -1, 0, 1, 2}; Im = {-6, -3, 0, 3, 6}
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Aula 6 – Funções
Função
Imagem de um elemento através de y = f(x)
Considerando os conjuntos A = [-3, 8] , B = [-10, 20] e a função f : A B, onde cada x, x A, é associado a um único f(x), f(x) B, através da lei f(x) = 2x + 1.
A lei f(x) = 2x + 1 nos diz que a imagem de cada x do domínio de f é o número 2x + 1 do contradomínio.
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Aula 6 – Funções
Função
Imagem de um elemento através de y = f(x)
a imagem do elemento 4, através de f, é:
f (4) = 2 4 + 1 f (4) = 9; logo, (4, 9) f
a imagem do elemento 1/2, através de f, é:
f (1/2) = 2 1/2 + 1 f (1/2) = 2; logo, (1/2 , 2) f
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Uma função f de A em B é dita de um-para-um ou injetora, se e somente se f(a)≠f(b) sempre a ≠ b.
De modo geral, uma função f : A → B é injetora se, e somente se, para todo y B existe um único x A, tal que
y = f(x).
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem.
Pode haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Exemplos:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Exemplos:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Exemplos:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Exemplos:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
Uma função f de A em B é chamada sobrejetora, se e somente se, para todo b∈B existe um elemento a∈A tal que f(a)=b.
Uma função f de A em B (f:A→B) é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens dos elementos de A.
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
Função SOBREJETORA é quando um ou mais de um elemento do conjunto domínio é transformado em um único elemento do conjunto imagem, e não sobra elemento do conjunto imagem.
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
Exemplo:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
Exemplo: Função f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros.
A função f(x)=x+1 é sobrejetora pois para todo inteiro y, existe um inteiro x, tal que x+1=y.
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Bijetora:
Uma função f de A em B é chamada bijetora, se e somente se, ela for injetora e sobrejetora simultaneamente.
Todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.
O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Bijetora:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Bijetora:
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Exemplo: Considere três funções f, g e h, tais que:
- A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. - A função g atribui a cada país, a sua capital. - A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Qual dessas funções é injetora?
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Para f: f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade
→ Duas pessoas distintas podem ter a mesma idade, com isso, f não pode ser injetora!
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Para g: g atribui a cada país, a sua capital
→ Não existem dois países distintos com a mesma capital, logo g é injetora!
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Para h: h atribui a cada número natural, o seu dobro
→ Dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos, logo h é injetora!
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Compostas
São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que, por sua vez, gera um conjunto imagem A.
A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A.
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Compostas
Exemplos: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, determine a função composta g(f(x)) ou gof.
- A função f(x) será o x da função g(x)!
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Compostas
Basta substituir em g(x) o valor de x por f(x), ou seja, por (2x
+ 3):
g(x) = x – 1 f(x) = 2x + 3
Então: g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Compostas
Exemplos: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4. Determine as funções compostas:
f(g(x)) e g(f(x)).
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Aula 6 – Funções
Função
Funções Compostas
f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4
1 - f(g(x)) → g(x) é o u da f(u)
f(g(x)) = 4.(7x-4) + 2 = 28x-14
2- g(f(x)) → f(u) é o x da g(x)
g(fx)) = 7 (4u+2) – 4 = 28u+10
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Aula 6 – Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B.
Denotamos a função inversa de f por f -1.
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Aula 6 – Funções
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Aula 6 – Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
f(x)=2x
f-1 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e colocando o y em evidência novamente:
y = 2x
x = 2y
2y = x
y=x/2 = g(x)
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Aula 6 – Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
g(x)=x/2
g-1 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e colocando o y em evidência novamente:
y = x/2
x = y/2
y/2 = x
y=2x = f(x)
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x R.
A lei que define função afim é:
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
Na f(x) = ax + b, a e b são números reais e a ≠ 0.
O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante.
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
Exemplos:
f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = -7
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
Casos Particulares: funções linear e constante.
Função linear
Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
Função constante
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R.
A lei que define uma função constante é:
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.
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Aula 6 – Funções
Função - Função afim
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.
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Aula 6 – Funções
Função - Gráficos
O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x - 1
Atribuímos valores para x e calculamos o valor de y. Desta maneira obtemos diversos pares ordenados que podem ser plotamos no plano cartesiano.
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Aula 6 – Funções
Função - Gráficos
y = 3x – 1
Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8)
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Aula 6 – Funções
Função - Gráficos
y = 3x - 1
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Aula 6 – Funções
Função
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
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Aula 6 – Funções
Função
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal.
Quando y=0, a reta corta o eixo x:
0 = ax+b
ax = -b
x = -b/a
Neste ponto, y=0
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Aula 6 – Funções
Função
Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da função.
1º Caso: a>0 – Função Crescente
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Aula 6 – Funções
Função
Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da função.
1º Caso: a<0 – Função Decrescente
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Aula 6 – Funções
Função
Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x-1
a = 2 → a > 0 – função crescente!
Raiz: 2x-1=0 → x= ½
- Para x>1/2, y é positivo
- Para x<1/2, y é negativo
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Aula 6 – Funções
Função
Exemplo: Estudar o sinal da função y = -2x + 5
a = -2 → a < 0 – função decrescente!
Raiz: -2x+5=0 → x= 5/2
- Para x>5/2, y é negativo
- Para x<5/2, y é positivo
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f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade
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Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
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Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade
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Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade
não existem dois países distintos com a mesma capital.
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Para f: pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade
não existem dois países distintos com a mesma capital. dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
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f(x) = ax + b onde a e b são números reais e a 0.
O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante.
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Exemplos:
f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = 7
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
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O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
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O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
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O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
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Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar
seu sinal. Sabemos que essa função se anula para
x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
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Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar
seu sinal. Sabemos que essa função se anula para
x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
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Há dois casos possíveis:
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz.
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
0
y<0
●
x
y>0
y
-b/a
+
-
x>-b/a
X<-b/a
x
y
y<0
y>0
+
-
0
x>-b/a
X<-b/a
-b/a
●
1°) a > 0 (função crescente) y > 0 ax + b > 0 x > -b/a
y < 0 ax + b < 0 x < -b/a
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Há dois casos possíveis:
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz.
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
0
y<0
●
x
y>0
y
-b/a
+
-
x>-b/a
X<-b/a
x
y
y<0
y>0
+
-
0
x>-b/a
X<-b/a
-b/a
●
1°) a > 0 (função crescente) y > 0 ax + b > 0 x > -b/a
y < 0 ax + b < 0 x < -b/a
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Estudar o sinal das funções:
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Estudar o sinal das funções:
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