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* * MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 6 PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. Aula 6 FUNÇÕES * * Conteúdo Função de um conjunto S em um conjunto T. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras. Função composta. Conceito de inversa de uma função. Diagrama da definição de função inversa. Função afim Gráfico de uma função. * * Aula 6 – Funções Introdução Intuitivamente, função é uma relação especial entre dois conjuntos na qual todo elemento do primeiro conjunto deve ter, obrigatoriamente, elemento associado no segundo conjunto, e, cada elemento do primeiro conjunto só pode ter um e apenas um elemento associado no segundo conjunto. * * Aula 6 – Funções Introdução Aplicações dentro da área da Ciência da Computação: – Algoritmos são funções; – Compiladores são funções; – Funções de Criptografia; – Funções de Compressão; – Funções de Geração de Chave de Armazenamento; etc * * Aula 6 – Funções Função Definição formal: Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. A relação f de A para B é chamada uma função se para todo a∈A, existe um único b∈B tal que (a,b)∈f, e se lê: “f é função de A em B”. f: A→B * * Aula 6 – Funções Função Exemplos: A B f * * Aula 6 – Funções Função Exemplos: * * Aula 6 – Funções Função Exemplos: * * Aula 6 – Funções Função Exemplos: * * Aula 6 – Funções Função Exemplos: * * Aula 6 – Funções Função Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) são válidos. * * Aula 6 – Funções Função - Imagem de um elemento através do diagrama de flechas Consideremos a função descrita no diagrama de flechas a seguir. Se um elemento y de B estiver associado a um elemento x de A, através de f, então diremos que y é a imagem de x , através de f. Indica-se y = f (x) (lê-se “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de f”). * * Aula 6 – Funções Função - Imagem de um elemento através do diagrama de flechas 6 = f (1) 7 = f (2) 8 = f (3) 8 = f (4) 11 = f (5) D = {1,2,3,4,5}; CD = {6,7,8,9,10,11}; Im = {6,7,8,11} * * Aula 6 – Funções Exemplo: Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}. Representar a relação R = {(x, y) A X B | y = 3x} em diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de R. A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12} R = {(x, y) A X B | y = 3x} * * Aula 6 – Funções D = {-2, -1, 0, 1, 2}; Im = {-6, -3, 0, 3, 6} * * Aula 6 – Funções Função Imagem de um elemento através de y = f(x) Considerando os conjuntos A = [-3, 8] , B = [-10, 20] e a função f : A B, onde cada x, x A, é associado a um único f(x), f(x) B, através da lei f(x) = 2x + 1. A lei f(x) = 2x + 1 nos diz que a imagem de cada x do domínio de f é o número 2x + 1 do contradomínio. * * Aula 6 – Funções Função Imagem de um elemento através de y = f(x) a imagem do elemento 4, através de f, é: f (4) = 2 4 + 1 f (4) = 9; logo, (4, 9) f a imagem do elemento 1/2, através de f, é: f (1/2) = 2 1/2 + 1 f (1/2) = 2; logo, (1/2 , 2) f * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Injetora: Uma função f de A em B é dita de um-para-um ou injetora, se e somente se f(a)≠f(b) sempre a ≠ b. De modo geral, uma função f : A → B é injetora se, e somente se, para todo y B existe um único x A, tal que y = f(x). * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Injetora: Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem. Pode haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função. * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Injetora: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Injetora: Exemplos: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Injetora: Exemplos: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Injetora: Exemplos: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Injetora: Exemplos: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Sobrejetora: Uma função f de A em B é chamada sobrejetora, se e somente se, para todo b∈B existe um elemento a∈A tal que f(a)=b. Uma função f de A em B (f:A→B) é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens dos elementos de A. * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Sobrejetora: Função SOBREJETORA é quando um ou mais de um elemento do conjunto domínio é transformado em um único elemento do conjunto imagem, e não sobra elemento do conjunto imagem. * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Sobrejetora: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Sobrejetora: Exemplo: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Sobrejetora: Exemplo: Função f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros. A função f(x)=x+1 é sobrejetora pois para todo inteiro y, existe um inteiro x, tal que x+1=y. * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Bijetora: Uma função f de A em B é chamada bijetora, se e somente se, ela for injetora e sobrejetora simultaneamente. Todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio. * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Bijetora: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Bijetora: * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Exemplo: Considere três funções f, g e h, tais que: - A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. - A função g atribui a cada país, a sua capital. - A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. Qual dessas funções é injetora? * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Para f: f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade → Duas pessoas distintas podem ter a mesma idade, com isso, f não pode ser injetora! * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Para g: g atribui a cada país, a sua capital → Não existem dois países distintos com a mesma capital, logo g é injetora! * * Aula 6 – Funções Função Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Para h: h atribui a cada número natural, o seu dobro → Dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos, logo h é injetora! * * Aula 6 – Funções Função Funções Compostas São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que, por sua vez, gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. * * Aula 6 – Funções Função Funções Compostas Exemplos: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, determine a função composta g(f(x)) ou gof. - A função f(x) será o x da função g(x)! * * Aula 6 – Funções Função Funções Compostas Basta substituir em g(x) o valor de x por f(x), ou seja, por (2x