Aula 01

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AULA 01 
ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA – ANAC E ANCINE 
PROFESSOR CÉSAR FRADE 
Prof. César de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 1 
 
 
E aí galera, tudo bem? 
 
Vamos para a nossa primeira aula de Administração Financeira para a ANAC e 
ANCINE. 
 
Estarei fazendo esse curso da forma mais completa possível, pois o edital é 
vago. Você pode pensar que em 10 páginas eu consiga falar de risco e retorno, 
mas lhe digo que precisaria de uma 150 páginas para esgotar o assunto. 
 
Entretanto, não adianta eu ficar falando de tudo e da forma mais completa 
sobre todos os assuntos, senão faremos um curso de 1.000 páginas e a 
maioria não cairá em prova. Concordam? Portanto, estarei falando toda a parte 
básica e intermediária e, em alguns momentos, um pouco da parte avançada. 
Com isso, não existirá a menor chance de cair algo dentre os itens que serão 
abordados que não tenha sido falado em aula. 
 
Todas as vezes que eu for falar de uma parte avançada, existirá uma nota de 
rodapé dizendo isso. Dessa forma, você poderá saber aquilo que deve 
priorizar. De antemão, falo a vocês que este curso tem a intenção de fazer 
com que vocês acertem 100% das questões. Em geral, me satisfaço com o 
acerto de 80%, mas as questões dessa matéria nas provas recentes para o 
mesmo cargo são simples e não há espaço para erro. Combinado? 
 
Sugestões podem ser encaminhas para o meu mail 
cesar.frade@pontodosconcursos.com.br 
 
E as dúvidas postadas no fórum. 
 
 
César Frade 
MAIO/2012 
 
 
 
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5. Oscilação dos Retornos 
 
A mensuração do risco dos ativos deve ser feita com base em sua oscilação de 
preços. Ou seja, partimos do pressuposto de que quanto mais o preço do ativo 
variar maior a falta de previsibilidade do mesmo e, portanto, maior o risco 
atrelado a ele. Uma boa medida para efetuarmos a análise do risco de um 
ativo pode ser feita com as medidas de dispersão da estatística. 
 
Como medida de dispersão, estudamos tanto o desvio-padrão quanto a 
variância e são essas duas grandezas que irão informar o grau de risco de 
cada um dos ativos. Lembre-se de que o desvio-padrão é a raiz quadrada da 
variância e se um ativo tem uma variância maior do que outro, ele também 
terá um desvio-padrão maior. 
 
 
5.1. Carteira com dois ativos 
 
Na verdade, o risco de uma carteira é medido pela variância ou desvio-padrão 
da mesma e, ao contrário do que muitos podem vir a pensar, não é a média 
aritmética das variâncias ou dos desvios dos ativos. Isto decorre do fato de 
que os ativos que compõem uma carteira têm uma correlação entre eles. 
 
Dessa forma, a variância e o desvio-padrão de um conjunto de ativos 
(carteira) depende ainda da covariância existente entre os ativos que 
compõem a carteira em questão. 
 
No caso de uma carteira com dois ativos (A e B), se levarmos em consideração 
que foi aplicado no ativo A uma parcela1 XA dos recursos e no ativo B uma 
parcela XB dos recursos à disposição do investidor, teremos que a variância da 
carteira é dada por: 
 
BABABABBAAp XXXX ,
22222 2 ρσσσσσ ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅= 
 
 
1 Aplicar uma parcela XA dos recursos no ativo A, significa que de todo o recurso que o investidor possui, XA% foi 
aplicado em A e XB% foi aplicado em B. De forma que a soma de XA e XB seja igual a 100% dos recursos, ou seja, ele 
aplica parte dos recursos disponíveis no ativo A e parte no ativo B. 
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Tendo em vista o fato de que a covariância entre dois ativos é igual ao produto 
entre os desvios dos ativos pela correlação2 entre eles, podemos expressar da 
seguinte forma a variância de uma carteira composta por dois ativos: 
 
BABABBAAp XXXX ,
22222 2 σσσσ ⋅⋅⋅+⋅+⋅= 
 
Sendo assim, como o desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância, o 
desvio-padrão de uma carteira de ativos pode ser representada por: 
 
( ) 21,2222 2 BABABABBAAp XXXX ρσσσσσ ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅= 
 
Você deve estar se perguntando como é que você vai decorar uma fórmula 
deste tamanho. Pois é, vou te dar uma grande dica que nunca mais você vai se 
esquecer dessa fórmula. No entanto, para decorar esta você vai ter que 
lembrar dos seus bons tempos de 6ª Série e da temida matéria chamada de 
“Produtos Notáveis”... Risos... Lembra-se disso? 
 
Pois é. Quanto é o quadrado da soma de dois termos? Lembra que você 
decorava que o quadrado da soma de dois termos era o quadrado do primeiro 
mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo. Ou 
seja, o quadrado da soma de A mais B é: 
 
( ) 222 2 BBAABA +⋅⋅+=+ 
 
Não é isso mesmo? Então. Essa fórmula que estou mostrando a vocês é a 
mesma fórmula do quadrado da soma de dois termos mas com o acréscimo da 
correlação no termo central. Observe a fórmula do quadrado da soma quando 
utilizamos os desvios e a ponderação deles pelo peso aplicado em cada ativo: 
 
( ) BABABBAABBAA XXXXXX σσσσσσ ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ 22222
2
 
 
Observe que se você acrescentar no termo central a correlação entre os dois 
ativos que formam a carteira, você terá desenvolvido a mesma fórmula da 
variância de uma carteira com dois ativos. 
 
2 BABABA ,, ρσσσ ⋅⋅= ou 
BA
BA
BA σσ
σ
ρ
⋅
= ,, 
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Como já sabemos como devemos proceder para decorar a fórmula devemos 
ver como ficará a relação risco x retorno à medida que retiramos parte dos 
recursos de um ativo e colocamos em outro ativo. 
 
Na verdade, a relação entre risco e retorno depende da correlação existente 
entre os ativos ou da covariância entre os mesmos. Apesar de o retorno 
sempre ser a média aritmética dos retornos individuais, sabemos que o mesmo 
não ocorre com o risco3. 
 
 
5.1.1. Correlação perfeita e positiva4 (ρρρ = 1) 
 
Quando a correlação entre os dois ativos que compõem a carteira for perfeita e 
positiva, ou seja, 1, ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a 
formação de uma reta no espaço risco x retorno como mostrado na figura 
abaixo5: 
 
 
Pegamos um exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que eles possuem as 
seguintes características: 
 
 
3 Lembramos que o risco de um ativo ou de uma carteira pode ser representado tanto pelo desvio-padrão quanto pela 
variância. 
4 Os gráficos utilizados em Finanças no espaço risco x retorno mostram o risco medido pelo desvio-padrão no eixo X e 
o retorno no eixo Y. 
5 Estaremos sempre colocando o risco no eixo x e o retorno no eixo y, mesmo que o gráfico não faça a indicação. 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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 Ativos Retorno 
Esperado 
Desvio-Padrão 
 A 30% 35% 
 B 10% 10% 
 
Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retorno 
esperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padrão da mesma 
será 10%. À medida que começarmos a vender o ativo B e com os recursos 
percebidos comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira, 
pois estamos vendendo um ativo com retorno mais baixo e comprando aquele 
com retorno mais alto. 
 
Ao mesmo tempo, tendo em vista que a correlação entre eles é igual a 1, 
haverá um aumento no desvio-padrão da carteira. Observe, conforme equação 
abaixo, que no caso de a correlação entre os ativos da carteiraser igual a 1, o 
desvio-padrão da carteira passa a ser a média ponderada dos desvios. 
 
( )
BBAAp
BBAAp
BABABBAAp
BA
BABABABBAAp
XX
XX
XXXX
Se
XXXX
σσσ
σσσ
σσσσσ
ρ
ρσσσσσ
⋅+⋅=
⋅+⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
22
22222
,
,
22222
12
1 
2
 
 
Abaixo, tabela da evolução do risco e do retorno à medida que transferimos o 
investimento do ativo B para o ativo A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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XA XB Rp σp 
0% 100% 10,00% 10,00% 
10% 90% 12,00% 12,50% 
20% 80% 14,00% 15,00% 
30% 70% 16,00% 17,50% 
40% 60% 18,00% 20,00% 
50% 50% 20,00% 22,50% 
60% 40% 22,00% 25,00% 
70% 30% 24,00% 27,50% 
80% 20% 26,00% 30,00% 
90% 10% 28,00% 32,50% 
100% 0% 30,00% 35,00% 
 
É importante ressaltar que, SOMENTE quando a correlação entre os dois 
ativos for perfeita e positiva, ou seja, igual a 1, o desvio-padrão da carteira 
formada por esses dois ativos será igual à média ponderada dos 
desvios. 
 
 
5.1.2. Correlação perfeita e negativa (ρρρ = -1) 
 
Quando a correlação entre os dois ativos que compõem a carteira for perfeita e 
negativa, ou seja, -1, ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a 
formação de duas retas no espaço risco x retorno como mostrado na figura 
abaixo: 
 
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Pegamos um exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que eles possuem as 
seguintes características: 
 
 
 Ativos Retorno 
Esperado 
Desvio-Padrão 
 A 30% 35% 
 B 10% 10% 
 
Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retorno 
esperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padrão da mesma 
será 10%. À medida que começarmos a vender o ativo B e com os recursos 
percebidos comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira, 
mas estaremos reduzindo o risco, pois o termo central da variância é negativo 
dado que a correlação é negativa. Veja no quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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XA XB Rp σp 
0% 100% 10,00% 10,00% 
10% 90% 12,00% 5,50% 
20% 80% 14,00% 1,00% 
21,00% 79,00% 14,20% 0,55% 
22,00% 78,00% 14,40% 0,10% 
22,22% 77,78% 14,44% 0,00% 
23,00% 77,00% 14,60% 0,35% 
24,00% 76,00% 14,80% 0,80% 
30% 70% 16,00% 3,50% 
40% 60% 18,00% 8,00% 
50% 50% 20,00% 12,50% 
60% 40% 22,00% 17,00% 
70% 30% 24,00% 21,50% 
80% 20% 26,00% 26,00% 
90% 10% 28,00% 30,50% 
100% 0% 30,00% 35,00% 
 
 
Observe que em determinado momento, o risco da carteira poderá ser 
igual a zero para uma dada combinação de recursos aplicados em cada 
um dos ativos em questão6. 
 
A partir dessa combinação específica de XA e XB que torna o risco de uma 
carteira igual a zero, para cada unidade adicional de recursos que tirarmos do 
ativo B e passarmos para o ativo A, vamos incrementando o retorno da 
carteira, mas incorrendo em um risco cada vez maior. Observe que o ponto no 
qual temos risco igual a zero, temos o menor risco possível do portfólio com as 
características apresentadas. Dessa forma, chamamos essa carteira de 
CARTEIRA DE MÍNIMA VARIÂNCIA, pois é a carteira que possui a menor 
variância. 
 
 
6 A linha que está em vermelho mostra que o risco vai a zero quando colocamos 22,22% dos recursos no ativo A e o 
restante em B. Isso só é possível quando temos apenas dois ativos. 
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Podemos verificar que no caso de correlação perfeita e negativa, o desvio-
padrão da carteira será igual à raiz quadrada do produto notável dado pelo 
quadrado da diferença, conforme mostrado abaixo. 
 
( )
( )
BBAAp
BBAAp
BABABBAAp
BA
BABABABBAAp
XX
XX
XXXX
Se
XXXX
σσσ
σσσ
σσσσσ
ρ
ρσσσσσ
⋅−⋅=
⋅−⋅=
−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
−=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
22
22222
,
,
22222
12
1 
2
 
 
 
5.1.3. Ativos Independentes (ρρρ = 0) 
 
Quando os dois ativos que compõem a carteira forem independentes, 
significa que possuem correlação igual a zero, ou seja, ausência de 
correlação entre eles. Ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a 
formação de uma curva no espaço risco x retorno como mostrado na figura 
abaixo: 
 
 
Vamos pegar novamente o exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que 
eles possuam as seguintes características: 
 
 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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 Ativos Retorno 
Esperado 
Desvio-Padrão 
 A 30% 35% 
 B 10% 10% 
 
Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retorno 
esperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padrão da mesma 
será 10%. Observe que se aplicarmos em apenas um ativo, o risco e no 
retorno independem da correlação entre esses ativos. Matematicamente, é 
simples notar isso pois os termos que possuem a ponderação do ativo que não 
está recebendo recursos estarão zerados. 
 
À medida que começarmos a vender o ativo B e com os recursos percebidos e 
comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira, mas 
estaremos reduzindo o risco, pois o termo central da variância está anulado e 
valendo zero por causa da correlação. Observe no quadro abaixo essa redução 
de risco no início dessa mudança. 
 
XA XB Rp σp 
0% 100% 10,00% 10,00% 
6% 94% 11,20% 9,63% 
7% 93% 11,40% 9,62% 
8% 92% 11,60% 9,62% 
9% 91% 11,80% 9,63% 
10% 90% 12,00% 9,66% 
20% 80% 14,00% 10,63% 
30% 70% 16,00% 12,62% 
40% 60% 18,00% 15,23% 
50% 50% 20,00% 18,20% 
60% 40% 22,00% 21,38% 
70% 30% 24,00% 24,68% 
80% 20% 26,00% 28,07% 
90% 10% 28,00% 31,52% 
100% 0% 30,00% 35,00% 
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Dessa forma, a variância da carteira vai sendo reduzida a partir do momento 
em que vamos aumentando a participação no ativo A. Entretanto, a partir de 
certo ponto (a partir da carteira de mínima variância7), um incremento na 
participação do ativo A acaba provocando um aumento no risco da carteira 
(aumento da variância do portfólio). 
 
Podemos observar ainda que, quando os ativos forem independentes, o desvio-
padrão da carteira será menor que a média ponderada dos desvios, conforme 
mostrado abaixo: 
 
BBAAp
BBAAp
BABABBAAp
BA
BABABABBAAp
XX
XX
XXXX
Se
XXXX
σσσ
σσσ
σσσσσ
ρ
ρσσσσσ
⋅+⋅<
⋅+⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
22222
22222
,
,
22222
02
0 
2
 
 
 
5.1.4. Correlação positiva (0< ρρρ < 1,0) 
 
Da mesma forma como mostrado quando os ativos são independentes, ou 
seja, correlação igual a zero, quando a correlação é positiva temos uma 
redução inicial da variância (desvio-padrão). Se de início aplicamos os 
recursos, em sua totalidade, no ativo menos arriscado e, posteriormente, 
formos vendendo esse ativo e comprando o mais arriscado, o risco reduzirá até 
certo ponto. A partir de um determinado momento, ele voltará a subir 
 
Sendo assim, vemos que não há motivos para o investidor aplicar a 
totalidade dos recursos no ativo de menor risco se a correlação não for 
positiva e perfeita. E, novamente, apesar de estar imperceptível no gráfico 
abaixo, há uma carteira de mínima variância que ocorre quando a aplicação no 
ativo Aé maior do que zero, ou seja, XA > 0% 
 
 
7 Nesse caso, na carteira de mínima variância estaremos aplicando entre 7% e 8% dos recursos totais no ativo A. 
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Para desenvolver o gráfico abaixo usamos as mesmas premissas anteriores em 
relação a risco e retorno dos ativos A e B. 
 
Se, nesse gráfico, é quase imperceptível notarmos a presença da redução da 
variância, a tabela abaixo nos deixa isso bem claro. Estamos utilizando para a 
confecção da tabela os dados de risco e retorno usuais desse exemplo e uma 
correlação igual a 0,25. 
 
XA XB Rp σp 
0% 100% 10,00% 10,00% 
0,90% 99% 10,18% 9,99341% 
1,00% 99% 10,20% 9,99325% 
1,10% 99% 10,22% 9,99321% 
1,20% 99% 10,24% 9,99328% 
1,30% 99% 10,26% 9,99347% 
10% 90% 12,00% 10,44% 
20% 80% 14,00% 11,87% 
30% 70% 16,00% 14,00% 
40% 60% 18,00% 16,55% 
50% 50% 20,00% 19,36% 
60% 40% 22,00% 22,34% 
70% 30% 24,00% 25,42% 
80% 20% 26,00% 28,57% 
90% 10% 28,00% 31,76% 
100% 0% 30,00% 35,00% 
 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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Observe que sempre que houver correlação menor do que um, por mais 
imperceptível que seja a “barriga” feita pelo gráfico, ela EXISTIRÁ. 
Matematicamente, não é complicado de notarmos, pois se quando a correlação 
entre dois ativos for igual, o desvio-padrão da carteira será a média ponderada 
do risco, quando ele for menor do que um, o termo central do “quadrado 
perfeito” estará sendo multiplicado por um número menor, reduzindo assim o 
risco como um todo. E, dessa forma, o risco da carteira fica menor do que a 
média ponderada dos desvios. Com isso, podemos afirmar que: 
 
BBAApBA XX σσσρ ⋅+⋅<⇔<1, 
 
O que a equação acima afirma é que se a correlação entre dois ativos for 
menor que 1, isso é condição necessária e suficiente para que o desvio-padrão 
da carteira seja menor que a média ponderada dos desvios. E, ao mesmo 
tempo, se o desvio-padrão da carteira for menor que a média ponderada dos 
desvios, isso seria condição necessária e suficiente para que a correlação entre 
os ativos seja menor do que 1. 
 
 
5.1.5. Correlação negativa (-1,0 < ρρρ < 0) 
 
Da mesma forma como mostrado em exemplos anteriores, quando a 
correlação é negativa temos uma redução da variância (desvio-padrão) a partir 
do momento em que o investidor opta por transferir a aplicação de seus 
recursos do ativo de menor risco para o ativo de maior risco. Observe o gráfico 
abaixo. 
 
Para desenvolver o gráfico, usamos as mesma premissas do anteriores para os 
ativos A e B. 
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Neste gráfico conseguimos ver de forma mais nítida a formação da carteira de 
mínima variância quando vamos vendendo o ativo B e comprando A, de forma 
gradual. A tabela abaixo mostra os cálculos de risco e retorno para a carteira 
A,B com correlação igual a -0,50. 
 
XA XB Rp σp 
0% 100% 10,00% 10,00% 
10% 90% 12,00% 7,86% 
15% 85% 13,00% 7,43% 
16% 84% 13,20% 7,41% 
17% 83% 13,40% 7,41% 
18% 82% 13,60% 7,43% 
19% 81% 13,80% 7,48% 
20% 80% 14,00% 7,55% 
30% 70% 16,00% 9,26% 
40% 60% 18,00% 12,17% 
50% 50% 20,00% 15,61% 
60% 40% 22,00% 19,31% 
70% 30% 24,00% 23,15% 
80% 20% 26,00% 27,06% 
90% 10% 28,00% 31,01% 
100% 0% 30,00% 35,00% 
 
 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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É muito importante notarmos que SEMPRE que a correlação entre os 
ativos não for perfeita e positiva, não valerá a pena aplicar a totalidade 
de seus recursos naquele ativo que possui menor risco, pois um 
aumento na participação do ativo mais arriscado induzirá a uma 
redução do risco total do portfólio. 
 
Veja como fica o gráfico com todas as correlações juntas. É claro que, como a 
correlação é um cálculo estatístico, não tem como variá-la a não ser ao longo 
do tempo. No entanto, o gráfico abaixo pode nos mostrar o quão eficiente em 
termos de redução de risco pode ser incluirmos em nossa carteira ativos que 
possuam correlação baixa ou negativa. 
 
 
 
Veja que quanto menor for a correlação entre dois ativos, maior a nossa 
chance de ao dimensionarmos a ponderação dos ativos, reduzirmos o risco do 
investidor. Ou seja, se a correlação for menor, a “barriga” formada pela figura 
ficará cada vez mais protuberante. 
 
 
6. Risco de Carteiras – Notação Matricial 
 
6.1. Carteira com dois ativos – Notação Matricial 
 
Podemos mostrar também a notação matricial que pode ser desenvolvida para 
calcularmos a variância de uma carteira. É claro que o resultado e a fórmula 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
Correlação 1 Correlação 0 Correlação -1 Correlação 0,5 Correlação -0,5
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serão os mesmos e não há muita vantagem quando estamos utilizando apenas 
dois ativos. 
 
Entretanto, se você “pegar o jeito” de fazer a notação matricial pode vir uma 
questão com 10 ativos (como já caiu uma vez em prova) que você faz sem 
maiores problemas. 
 
 Ativo A Ativo B 
 Ativo A 22
AAX σ⋅ BABA XX ,σ⋅⋅ 
 Ativo B BABA XX ,σ⋅⋅ 
22
BBX σ⋅ 
 
Utilizamos o seguinte conceito, para montar a matriz: 
 
BABABA
BA
BA
BA ,,
,
, ρσσσσσ
σ
ρ ⋅⋅=⇒
⋅
=
 
 
Temos que o somatório dos elementos da matriz será igual ao risco do 
portfólio em questão, dado pela variância do mesmo: 
 
BABABBAAp XXXX ,
22222 2 σσσσ ⋅⋅⋅+⋅+⋅= 
 
Observe que a diagonal principal da matriz trata das variâncias 
enquanto que as outras células que compõem a matriz trata das 
parcelas que contém covariância. Essa observação é muito importante e 
vai ser necessária mais à frente. 
 
 
6.2. Carteira com três ativos – Notação Matricial 
 
Se utilizarmos uma carteira com três ativos (A, B e C), a notação matricial 
ficará da seguinte forma: 
 
 
 
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 Ativo A Ativo B Ativo C 
Ativo A 22
AAX σ⋅ BABA XX ,σ⋅⋅ CACA XX ,σ⋅⋅ 
Ativo B BABA XX ,σ⋅⋅ 
22
BBX σ⋅ CBCB XX ,σ⋅⋅ 
Ativo C CACA XX ,σ⋅⋅ CBCB XX ,σ⋅⋅ 
22
CCX σ⋅ 
 
Sendo assim, ao somarmos todas as células da matriz teríamos que a variância 
de uma carteira composta por três ativos é dada por: 
 
CBCBCACABABACCBBAAp XXXXXXXXX ,,,
2222222 222 σσσσσσσ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= 
 
Observe que essa matriz possui 9 células, sendo que as três que fazem parte 
da diagonal principal derivam de variâncias e as outras seis derivam de 
covariâncias. Dessa forma, fica nítido que quanto maior for o número de 
ativos de uma carteira menos o risco da certeira dependerá das 
variâncias dos ativos e mais dependerá das covariâncias. 
 
 
6.3. Carteira com N ativos – Notação Matricial 
 
Um carteira com N ativos, terá em sua notação matricial N x N elementos, ou 
seja, N2 elementos. Observe que dessa quantidade de elementos existentes, 
apenas a diagonal principal da matriz dependerá das variâncias dos ativos. 
 
Portanto, no cálculo da variância do portfólio teremos N2 termos, sendo que 
apenas N dependerão da variância e, dessa forma, N2 –N dependerão das 
covariâncias, conforme mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
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 Ativo 1 Ativo 2 Ativo 3 ... Ativo N 
Ativo 1 2
1
2
1 σ⋅X 2,121 σ⋅⋅ XX 3,131 σ⋅⋅ XX ... NNXX ,11 σ⋅⋅ 
Ativo 2 2,121 σ⋅⋅ XX 
2
2
2
2 σ⋅X 3,232 σ⋅⋅ XX ... NNXX ,22 σ⋅⋅ 
Ativo 3 3,131 σ⋅⋅ XX 3,232 σ⋅⋅ XX 
2
3
2
3 σ⋅X ... NNXX ,33 σ⋅⋅ 
M M M M O M 
Ativo N NNXX ,11 σ⋅⋅ NNXX ,22 σ⋅⋅ NNXX ,33 σ⋅⋅ ... 
22
NNX σ⋅ 
 
 
Observe que, se tivermos uma carteira com 2 ativos devemos ter uma matriz 
com 4 elementos, sendo 2 que possuem o risco baseado na variância e outros 
2 na covariância. Se a nossa carteira tiver 3 ativos devemos ter uma matriz 
com 9 elementos, sendo que 3 possuem o risco baseado na variância e 6 na 
covariância. Abaixo segue tabela que mostra a importância da covariância 
entre os ativos na determinação do risco de uma carteira de ativos: 
 
 
 
Dessa forma, fica fácil notarmos que quanto maior o número de ativos que 
compuserem uma carteira menos o risco dessa carteira dependerá da variância 
dos ativos e maior será a dependência da covariância. Isso é chamado em 
Finanças de EFEITO DIVERSIFICAÇÃO e tem o mesmo raciocínio daquele 
conselho que você sempre recebeu de que não deve colocar todos os ovos em 
uma mesma cesta. 
Total Com Varância Com Covariância
1 1 1 - 
2 4 2 2 
3 9 3 6 
4 16 4 12 
5 25 5 20 
10 100 10 90 
50 2.500 50 2.450 
100 10.000 100 9.900 
Parcelas do Risco
Número de 
Ativos
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7. Delineando a Fronteira Eficiente 
 
Há uma mudança considerável no formato do conjunto de possibilidade a partir 
do momento em que aumentamos o número de ativos nos quais podemos 
efetuar nossos investimentos. Quando passamos a ter mais de dois ativos, ao 
invés de termos uma linha (mesmo que não seja uma reta) como sendo o 
“locus” de uma carteira de ativos, passamos a ter uma área como possibilidade 
de localização de qualquer uma das carteiras possíveis. 
 
Todas as carteiras que estão “dentro8” da figura mostrada abaixo são carteiras 
possíveis de serem atingidas, de serem compradas mas não são carteiras, 
necessariamente, eficientes. Isto ocorre porque sempre que adquirirmos uma 
carteira que esteja situada “dentro” da figura haverá uma carteira possível 
sobre a linha azul9 que terá o mesmo risco da carteira em questão mas com 
um retorno superior. 
 
Observe a carteira A na figura abaixo. Essa é uma carteira passível de 
aquisição, assim como as carteiras B, C, D, E, F e MV. No entanto, a carteira G 
estaria fora daquelas que seriam possíveis de serem adquiridas utilizando-se 
os ativos colocados à disposição. 
 
No entanto, será que algum investidor colocaria seus recursos na carteira A? 
 
 
8 Quando me refiro a estar “dentro” da figura, estou fazendo referência a toda essa área que está sombreada. 
9 Para aqueles que não estão utilizando uma impressão colorida, esclarecemos que a linha não tracejada no gráfico é a 
linha azul. 
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Observe que a carteira A tem o mesmo risco da carteira C, no entanto, esta 
última dá ao investidor um retorno maior que aquele obtido em A. Em 
situações como essa, fica claro que ninguém colocará seus recursos em A, pois 
C tem o mesmo risco e um retorno maior. Falamos que a carteira C domina a 
carteira A. O mesmo podemos falar da carteira D, ou seja, o portfólio D tem o 
mesmo risco e um retorno menor do que o encontrado em C. Dessa forma, os 
investidores preferem C a D e, portanto, a carteira D é dominada por C. 
 
Observe que, de maneira análoga, ninguém colocaria recurso algum na 
carteira B. Isto porque a carteira B tem risco maior e retorno menor que a 
carteira de Mínima Variância (carteira MV). Com isso fica muito claro que todas 
as carteiras no intervalo [A,MV)10 apesar de serem carteiras possíveis de serem 
compradas, nenhum investidor as adquirirá. 
 
Vamos agora comparar as carteiras C e MV. Será que seria razoável um 
investidor colocar seus recursos em MV? E na carteira C? A resposta para as 
duas perguntas é sim, pois de C para MV, com o intuito de receber um retorno 
maior, o investidor incorre em um maior risco. 
 
Importante compreendermos que faz sentido se um investidor optar por 
receber mais risco com o intuito de gerar um maior retorno. No entanto, seria 
racional o investidor aplicar tanto na carteira com maior retorno (carteira C) 
como na carteira de menor risco (carteira MV). Tudo isso dependeria do quanto 
aquele investidor estaria disposto a correr risco. 
 
Análise semelhante àquela feita entre as carteiras MV e C pode ser feitas entre 
essas duas e as carteiras E e F. Na figura apresentada todas essas carteiras 
são possíveis e eficientes. Podemos dizer que uma carteira é eficiente quando 
para um dado nível de risco, ela apresentar o maior retorno possível. 
 
No entanto, observe. É muito comum em prova o examinador afirmar que uma 
carteira é eficiente quando para um dado nível de retorno, ela possuir o menor 
nível de risco. Observe a figura abaixo: 
 
 
 
10 Lembre-se que quando estivermos falando de intervalos, o colchete indica que o intervalo é fechado e o parênteses 
que aquele intervalo é aberto naquele ponto. 
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Ao optarmos por um risco de magnitude σ1, vemos que a única carteira 
possível de ser adquirida é a carteira MV. E ela é uma carteira eficiente pois 
para esse dado nível de risco não conseguimos comprar uma carteira com 
retorno maior. 
 
Se a escolha do risco for do tipo σ2, podemos escolher todas as carteiras 
existentes no segmento de reta que une a carteira B à H. No entanto, observe 
que a carteira H dominará todas essas carteiras pois possuirá o mesmo nível 
de risco (σ2) mas um retorno maior que qualquer outra carteira. A carteira H 
tem um retorno de magnitude R3, enquanto que todas as outras possuem 
retorno no intervalo [R1, R3). Com isso, podemos afirmar que a carteira H é a 
única carteira eficiente com risco σ2. 
 
Raciocínio análogo podemos fazer para os níveis de risco σ3 e σ4. Com o nível 
de risco igual a σ3 vemos que a carteira C domina todas as outras carteiras 
com o mesmo nível de risco e, portanto, é considerada eficiente. Para o nível 
de risco σ4 vemos que a carteira E é que dominará todas as outras carteiras de 
mesmo risco, sendo, então, uma carteira eficiente. 
 
Com isso, concluímos que para um dado nível de risco, TODA carteira que 
possuir o maior retorno será considerada eficiente. 
 
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Vamos agora, com base na figura, analisar a afirmativa que para um dado 
nível de retorno, a carteiraque possuir o menor nível de risco será eficiente. 
Sei que de cara, você tem a idéia de que isso é verdadeiro, mas não se deixe 
enganar. Essa afirmativa é falsa. 
 
Imagine um nível de retorno de magnitude R3. Existem infinitas carteiras 
possíveis de serem adquiridas e que dariam como retorno esse valor. Para 
exemplificar, mostramos as carteiras H, I e J. Observe que todas as três 
possuem o mesmo retorno. Entretanto, ninguém optaria por colocar seus 
recursos nem na carteira J nem na I, pois a carteira H possui o mesmo retorno 
R3 mas um nível de risco menor, nesse caso, σ2. Além disso, é razoável que 
alguém opte por aplicar em H pois essa carteira não é dominada por nenhuma 
outra carteira. Logo, H é uma carteira eficiente. 
 
Imagine que tenhamos um retorno R2. Você concorda que a carteira K tem o 
menos retorno de MV mas o investidor incorre em um maior risco? Então, com 
isso, ninguém optará por aplicar em K, mas podem aplicar em MV. Como para 
o nível de risco de MV não há nenhuma carteira que proporcione uma retorno 
maior que o dado pela carteira de Miníma Variância, podemos afirmar que MV 
é eficiente. 
 
Passemos ao último caso. Suponha uma carteira com retorno R1. Existem 
infinitas carteiras que proporcionam um retorno dessa magnitude ao 
investidor. Optamos por selecionar duas delas, as carteiras B e L. Ao adquirir a 
carteira L, o investidor perceberá o mesmo retorno que o obtido na carteira B, 
mas incorrerá em um nível maior de risco. Logo, o investidor nunca optará por 
adquirir a carteira L. E a única carteira factível com retorno R1 será a carteira 
B. Entretanto, se um investidor opta por incorrer no risco σ2 proporcionado 
pela carteira B, ele poderá obter um retorno R3 aplicando em H ao invés de 
aplicar em B. Logo, como R3 é maior que R1, o investidor nunca aplicará seus 
recursos em uma carteira que possua retorno R1. Como B é dominada por H, B 
não é considerada eficiente. 
 
Com isso, vimos que para um dado nível de risco, a carteira que proporciona o 
maior retorno é eficiente. E para um dado nível de retorno, a carteira que 
proporciona o menor risco nem sempre é eficiente. Será eficiente se o retorno 
for maior ou igual ao retorno da carteira de mínima variância. 
 
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Portanto devemos considerar que: 
 
• Fronteira eficiente é a união de todas as carteiras eficientes. 
 
• Uma carteira é eficiente se para um dado nível de risco, possuir o 
maior retorno possível dentre as carteiras possíveis. 
 
Ressalta-se que devemos tomar um cuidado. Você acha que uma carteira 
eficiente pode ser aquela que possua o menor risco possível para um dado 
retorno? 
 
A resposta a essa pergunta é NÃO. NÃO NECESSARIAMENTE! Se uma 
carteira possuir o menor risco para um dado nível de retorno, ela somente 
pode ser considerada eficiente se seu retorno for maior ou igual ao retorno de 
mínima variância. 
 
Não estou ficando louco, não. Repeti isso para que vocês consigam gravar e se 
ainda não conseguiram, faça da mesma forma que você fez no início da aula 
de derivativos, saia falando essa regra pela sua casa (em voz alta óbvio). 
Assim todos irão decorar e poderão te ajudar. Cai SEMPRE. 
 
Dessa forma, chamamos de fronteira eficiente a união de todas as carteiras 
eficientes. Portanto, a FRONTEIRA EFICIENTE é o conjunto de carteiras 
compreendidas entre as carteiras MV e F, sendo que essas duas são eficientes 
e fazem parte da FRONTEIRA. 
 
A linha vermelha do gráfico abaixo é a união de todas as carteiras eficientes e, 
portanto, a FRONTEIRA EFICIENTE. 
 
A carteira de mínima variância é a carteira que possui o menor risco possível e 
está, exatamente, na junção da linha vermelha com a linha azul no desenho 
abaixo. 
 
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A carteira de mínima variância é a carteira que possui o menor retorno 
dentro da fronteira eficiente. 
 
Concluindo o que foi explicado anteriormente: 
 
Uma carteira é considerada eficiente quando para um dado nível de risco 
possuir o maior retorno possível. Caso contrário, a carteira não será 
considerada eficiente. 
 
Cuidado com a hipótese de o examinador falar que para um dado nível de 
retorno, será eficiente a carteira que possuir o menor o menor nível de risco. 
Essa afirmativa é FALSA, a menos que ele diga que: 
 
• para um dado nível de retorno, será eficiente a carteira que possuir o 
menor o menor nível de risco, desde que o retorno seja superior ao 
retorno da carteira de mínima variância. 
 
Chega! Não vou mais repetir isso. Vocês já devem ter decorado. 
 
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8. Minimização de Riscos11 
 
Devemos sempre ter atenção em relação ao risco. Apesar de o gráfico 
mostrado não poder ser considerado uma função12, para determinarmos a 
carteira de mínima variância podemos fazer a sua derivada13 e igualar a zero, 
conforme demonstrado a seguir. 
 
BABA
BABABBAAp
XXXX
XXXX
−=⇒=+
⋅⋅⋅+⋅+⋅=
11
2 ,
22222 σσσσ
 
Determinamos a carteira de mínima variância fazendo: 0
2
=
∂
∂
B
p
X
σ
 
( ) ( )
( )
BAABABBBAB
BAABABBBAB
BABBABBABA
B
p
BABBABBBABABAp
BABBABBBABBp
BABBBBABp
XXX
XXX
oXXX
X
XXXXX
XXXXX
XXXX
,
2
,
22
,
2
,
22
,,
222
2
,
2
,
2222222
,
2
,
22222
,
22222
2
22422
42222
222
2221
121
:õessubstituiç devidas asfazer devemos antes ,Entretanto
σσσσσ
σσσσσ
σσσσσ
σ
σσσσσσσ
σσσσσ
σσσσ
−=⋅⋅−⋅+⋅
⋅−⋅=⋅−⋅⋅+⋅⋅
=⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−=
∂
∂
⋅−⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅−=
⋅−⋅⋅+⋅+⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅+⋅+⋅−=
 
 
 
11 As pessoas que não possuem conhecimento matemático sobre Derivada e Integral não deverão passar para este item, 
pois apenas as pessoas que possuem este conhecimento entenderam essa metodologia de cálculo. Essas pessoas deverão 
decorar a resposta final. Além disso, essa é uma parte avançada e com probabilidade pequena de cair em prova. 
12 O gráfico em questão é chamado de correspondência. 
13 A derivada tem, nesse caso, o intuito de determinar quanto a carteira alterará sua variância em decorrência de 
pequenas mudanças no percentual aplicado em cada um dos ativos. Sempre que derivarmos e igualarmos a zero a 
equação, estaremos encontrando um ponto de máximo ou mínimo. 
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( )
BABA
BAA
BAABABA
,
22
,
2
B
,
2
,
22
B
B
2
X
2X
: temosevidência, em X Colocando
σσσ
σσ
σσσσσ
⋅−+
−
=
−=⋅−+⋅
 
 
BABA
BAB
,
22
,
2
A
2
X
: temosanáloga, forma De
σσσ
σσ
⋅−+
−
=
 
 
Portanto, essa equação para XA e para XB determina a quantidade de recursos 
que devemos colocar nos ativos A e B, respectivamente, para que formemos a 
carteira de mínima variância. 
 
 
9. Carteira de Renda Variável com Risco Zero 
 
Vimos que uma carteira de renda variável contendo dois ativos pode ser 
“transformada” em um ativo livre de risco desde que apliquemos corretamente 
os recursos entre dois ativos. 
 
Entretanto, há uma condição. A condição é que a correlação entre os dois 
ativos seja igual a -1. Veja o gráfico e a tabela abaixo: 
 
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Nesse gráfico acima e na tabela abaixo, utilizamos além dos dados abaixo, o 
fato de a correlação entre os ativos ser igual a -1. 
 
 
 
 Ativos Retorno 
Esperado 
Desvio-Padrão 
 A 30% 35% 
 B 10% 10% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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XA XB Rp σp 
0% 100% 10,00% 10,00% 
10% 90% 12,00% 5,50% 
20% 80% 14,00% 1,00% 
21,00% 79,00% 14,20% 0,55% 
22,00% 78,00% 14,40% 0,10% 
22,22% 77,78% 14,44% 0,00% 
23,00% 77,00% 14,60% 0,35% 
24,00% 76,00% 14,80% 0,80% 
30% 70% 16,00% 3,50% 
40% 60% 18,00% 8,00% 
50% 50% 20,00% 12,50% 
60% 40% 22,00% 17,00% 
70% 30% 24,00% 21,50% 
80% 20% 26,00% 26,00% 
90% 10% 28,00% 30,50% 
100% 0% 30,00% 35,00% 
 
 
Matematicamente, temos o seguinte: 
 
( )
BBAAp
BABABBAAp
BA
BABABABBAAp
XX
XXXX
Se
XXXX
σσσ
σσσσσ
ρ
ρσσσσσ
⋅−⋅=
−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
−=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
12
1 
2
22222
,
,
22222
 
 
Para continuar devemos aplicar o conceito de que a totalidade dos recursos são 
aplicados nos ativos A e B. Sendo assim, temos: 
 
BA
BA
XX
XX
−=
=+
1
1
 
 
Fazendo a substituição dessa equação na anterior, temos: 
 
( ) BBABp XX σσσ ⋅−⋅−= 1 
 
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No ponto em que o risco é igual a zero, temos que: σp = 0 
 
( )
( )
 e 
0
10
BA
B
A
BA
A
B
ABAB
BBABA
BBAB
XX
X
XX
XX
σσ
σ
σσ
σ
σσσ
σσσ
σσ
+
=
+
=
=+⋅
⋅−⋅−=
⋅−⋅−=
 
 
 
Vamos verificar com os dados e a fórmula recentemente calculada se os 
valores de XA e XB da Tabela coincidem com os valores em vermelho. 
 
Efetuando a substituição nas equações de XA e XB14, temos, respectivamente: 
 
%22,222222,0
45
10
1035
10
%78,777778,0
45
35
1035
35
===
+
=
+
=
===
+
=
+
=
BA
A
B
BA
B
A
X
X
σσ
σ
σσ
σ
 
 
 
Observe que os dados calculados estão exatamente iguais aos mostrados pela 
tabela acima e ressaltados de vermelho. 
 
 
 
14 Podemos usar tanto os dados em valores percentuais ou não. Nesse ponto, não alterará o resultado pois estamos 
multiplicando por 100 tanto o numerador quanto o denominador no momento em que retiramos o percentual. 
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QUESTÕES PROPOSTAS 
 
 
Questão 2 
 
(ESAF – BACEN – 2001) – Uma carteira de ações é formada por dois papéis: A 
e B. Foram feitas as seguintes estimativas para taxas de retorno das duas 
ações: retorno esperado de A = 10%; retorno esperado de B = 14%; desvio-
padrão do retorno de A = 6%; desvio-padrão do retorno de B = 7%; 
correlação entre os retornos de A e de B = 0,20. Sabendo-se que o peso da 
ação A na carteira é igual a 40%, então o desvio-padrão estimado para o 
retorno da carteira é igual a: 
 
a) 6,36% 
b) 12,60% 
c) 5,24% 
d) 6,60% 
e) 12,00% 
 
 
Questão 3 
 
(ESAF – BACEN – 2002) – Uma carteira de ações é formada pelos seguintes 
ativos: 
 
 
 Investimento Retorno 
Espera
do 
Desvio-
Padrão 
do 
Retorno 
Beta 
 A 18% 16% 1,10 
 B 22% 15% 0,90 
 
 
Também se sabe que o coeficiente de correlação entre os retornos das duas 
ações é igual a 0,40. Como a carteira é formada por uma posição comprada na 
ação A e uma posição vendida na ação B, nas proporções de -30% e 130%, 
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respectivamente, então o par de valores inteiros mais próximos do retorno 
esperado e do risco total da carteira é formado, nessa ordem, por: 
 
a) 25% e 18% 
b) 23% e 18% 
c) 28% e 16% 
d) 25% e 12% 
e) 20% e 15% 
 
 
Questão 4 
 
(ESAF – INSS – 2002) – Uma carteira é formada por dois investimentos, A e B, 
com pesos iguais a 75% e 25%, respectivamente. Sabe-se que os retornos 
esperados de A e B são estimados em 15% e 18%, e os respectivos desvios-
padrão dos retornos são estimados em 25% e 30%, também respectivamente. 
Sabendo-se que o coeficiente de correlação entre os retornos de A e B é igual 
a 0,50, então o risco da carteira, medido pelo desvio-padrão de seu retorno, 
está estimado em: 
 
a) 26,25% 
b) 15,77% 
c) 27,50% 
d) 23,42% 
e) 52,94% 
 
 
Questão 5 
 
(Cesgranrio – Petrobrás – Contador Junior – 2010) – A ideia de risco, 
especificamente, está diretamente associada às probabilidades de ocorrência 
de determinados resultados em relação a um valor médio esperado. É um 
conceito voltado para o futuro, revelando uma possibilidade de perda. A 
medida estatística que representa o risco, utilizada na maioria das vezes no 
mercado financeiro, é o(a) 
 
a) desvio padrão. 
b) espaço amostral. 
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c) distribuição binomial. 
d) regressão exponencial linear. 
e) taxa de aderência. 
 
 
Enunciado para as questões 6 a 8 
 
Questão 6 
 
(CESPE – BACEN – 1997) – Fronteira eficiente é aquela composta dos ativos e 
carteiras que têm risco mínimo para cada nível de retorno esperado. 
 
 
Questão 7 
 
(CESPE – BACEN – 1997) – Quando dois ativos são positivamente 
correlacionados, o risco de carteiras formadas com eles é sempre menor que o 
risco do ativo com menor risco entre os dois. 
 
 
Questão 8 
 
(CESPE – BACEN – 1997) – Se dois ativos com mesmo retorno esperado têm 
variâncias iguais a 15 e 7, então um investidor bem diversificado e avesso ao 
risco pode optar por investir no ativo com variância 15, em vez de fazê-lo no 
outro. 
 
 
Questão 9 
 
(Cesgranrio – EPE – Finanças e Orçamento– 2007) – Considerando o conceito 
de fronteira eficiente, que busca otimizar a relação risco e retorno, um 
investidor estará sendo racional e eficiente somente quando sua escolha: 
a) minimizar retorno. 
b) maximizar risco. 
c) maximizar risco e minimizar retorno ao mesmo tempo. 
d) maximizar risco para dado retorno ou minimizar retorno para dado risco. 
e) minimizar risco para dado retorno ou maximizar retorno para dado risco. 
 
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Questão 10 
 
(ESAF – INSS – 2002) – No caso de encontrar alternativas de investimento 
com retornos esperados iguais, supõe-se que a escolha a ser feita por um 
investidor com aversão a risco consistirá em optar pela alternativa que 
apresente: 
 
a) risco igual a zero. 
b) variância mínima. 
c) desvio-padrão menor que o retorno esperado. 
d) probabilidade nula de retornos negativos. 
e) retornos positivos mais prováveis do que retornos negativos. 
 
 
Questão 11 
 
(ESAF – BACEN – 2001) – Diz-se que uma carteira de ações é eficiente quando 
a) todos os títulos nela contidos são negociados a preços justos. 
b) tem risco mínimo para o nível de retorno esperado. 
c) tem máximo retorno esperado para o nível de risco. 
d) está situada à direita da fronteira eficiente. 
e) é a melhor carteira disponível para qualquer investidor com aversão a risco. 
 
 
Questão 12 
 
(ESAF – BACEN – 2001) – A variância média das ações de uma carteira é igual 
a 100, e a média das co-variâncias entre os retornos das ações na carteira é 
igual a 36. Indique a proporção entre os riscos totais das seguintes carteiras 
alternativas: 
uma carteira formada por 10 ações com essas características, 
uma carteira formada por 5 ações com essas características, supondo que o 
risco total de uma carteira seja medido pela variância de seu retorno. 
 
a) A carteira contendo 10 ações tem risco total duas vezes maior que o da 
carteira com 5 ações. 
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b) A carteira contendo 10 ações tem risco total sete vezes maior que o da 
carteira com 5 ações.c) A carteira contendo 10 ações tem risco total aproximadamente dez vezes 
maior que o da carteira com 5 ações. 
d) A carteira contendo 10 ações tem risco total quase quatro vezes maior que 
o da carteira com 5 ações. 
e) As duas carteiras têm o mesmo risco total. 
 
 
Enunciado para as questões 13 e 14 
 
Com relação a práticas bancárias, julgue os itens seguintes. 
 
Questão 13 
 
(CESPE – BACEN – 2000) – Visando construir um portfólio eficiente, em 
consonância com o modelo de Markowitz, a teoria associada requer a validação 
de algumas premissas sobre o ambiente de seleção de ativos pelo investidor, 
assumindo que os únicos dois parâmetros que afetam uma decisão do 
investidor são a taxa de retorno esperada do investimento e o risco, que o 
investidor é avesso ao risco e que o investidor objetiva alcançar o máximo 
retorno esperado a um dado nível de risco. 
 
 
Questão 14 
 
(CESPE – BACEN – 2000) – Como regra geral, a diversificação nas aplicações 
de um investidor aumenta o risco geral, mas, por outro lado, para uma 
empresa, a diversificação aumenta o valor dela mais que proporcionalmente ao 
resultado esperado de cada segmento, mesmo considerando o risco inerente a 
cada negócio. 
 
 
Questão 15 
 
(VUNESP – BACEN – 1998) – No diagrama Risco x Retorno a seguir, temos 5 
ativos de risco. 
 
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Então, para um investidor racional, 
 
a) A é preferível a B, pois ambos têm o mesmo retorno e o risco de A é maior. 
b) D é preferível a E. 
c) E é preferível a C, pois tem maior retorno e menor risco. 
d) C e A são equivalentes, pois ambos têm o mesmo coeficiente de variação. 
e) A é preferível a todos os outros, pois no gráfico é o que se situa mais longe 
da origem. 
 
 
 
 
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QUESTÕES RESOLVIDAS 
 
 
Questão 2 
 
(ESAF – BACEN – 2001) – Uma carteira de ações é formada por dois papéis: A 
e B. Foram feitas as seguintes estimativas para taxas de retorno das duas 
ações: retorno esperado de A = 10%; retorno esperado de B = 14%; desvio-
padrão do retorno de A = 6%; desvio-padrão do retorno de B = 7%; 
correlação entre os retornos de A e de B = 0,20. Sabendo-se que o peso da 
ação A na carteira é igual a 40%, então o desvio-padrão estimado para o 
retorno da carteira é igual a: 
 
a) 6,36% 
b) 12,60% 
c) 5,24% 
d) 6,60% 
e) 12,00% 
 
Resolução: 
 
Para fazermos essa questão devemos usar, exatamente, as mesmas técnicas 
de arredondamento que sempre gosto de utilizar. 
 
Vamos aos cálculos, então. Observe que precisamos calcular apenas o desvio-
padrão. 
 
2,44,850,0
4,82,0422,076
50,025,026,04,02
185036,04936,0
4,58,16,33615,03616,0
:
2,0766,04,024936,03616,0
2,0766,04,0276,064,0
2
2
22222
,
22222
≅⋅



≅⋅≅⋅⋅
≅⋅≅⋅⋅
≅⋅≅⋅
≅+=⋅≅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
ndoSimplifica
XXXX
p
p
BABABABBAAp
σ
σ
ρσσσσσ
 
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6,272,4184,5
:completa equação à Voltemos
2 =++=pσ
 
 
Dicas: 
 
• Se não aplicarmos mais de 100% dos recursos em nenhum dos 
ativos, logo o desvio-padrão da carteira deverá ser menor do o 
maior dos desvios dos ativos; 
 
• Se, além disso, a correlação entre os ativos também for menor do 
que 1, o desvio-padrão será menor do que a média aritmética dos 
desvios dos ativos. 
 
Como a questão atende aos dois itens acima, sabemos que o desvio-padrão da 
carteira é, NECESSARIAMENTE, menor que a média aritmética dos desvios 
dos ativos. Sendo assim: 
 
6,6
2,44,2
76,064,0
<
+<
⋅+⋅<
p
p
p
σ
σ
σ
 
 
Dessa forma, só temos duas opções como resposta. Seriam as letras a e c. Ao 
elevarmos ao quadrado 6,362, teremos um valor entre 36 (62) e 49 (72). 
Portanto, para que a resposta seja a letra a, o resultado do cálculo da variância 
teria que ser próximo de 40. 
 
Por outro lado, 5,242 está entre 25 (52) e 36 (62). E o resultado deve ser bem 
próximo de 27 ou 28. 
 
Logo, o gabarito é a letra C. 
 
Você pode falar assim: “Professor, acho que isso não adianta nada. Eu sei 
fazer conta.” 
 
Logo, você deve fazer todas as contas e pode saltar essas minhas informações. 
 
Gabarito: C 
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Questão 3 
 
(ESAF – BACEN – 2002) – Uma carteira de ações é formada pelos seguintes 
ativos: 
 
 
 Investimento Retorno 
Espera
do 
Desvio-
Padrão 
do 
Retorno 
Beta 
 A 18% 16% 1,10 
 B 22% 15% 0,90 
 
 
 
Também se sabe que o coeficiente de correlação entre os retornos das duas 
ações é igual a 0,40. Como a carteira é formada por uma posição comprada na 
ação A e uma posição vendida na ação B, nas proporções de -30% e 130%, 
respectivamente, então o par de valores inteiros mais próximos do retorno 
esperado e do risco total da carteira é formado, nessa ordem, por: 
 
a) 25% e 18% 
b) 23% e 18% 
c) 28% e 16% 
d) 25% e 12% 
e) 20% e 15% 
 
Resolução: 
 
O retorno esperado de uma carteira é a média ponderada dos retornos. 
 
Sabemos que a carteira é formada por – 30% de A e 130% de B. Com isso, 
temos: 
 
%130
%30
=
−=
B
A
X
X
 
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O retorno esperado deve ser calculado utilizando a seguinte equação: 
 
( ) ( )∑
=
⋅=
n
i
iic RXRE
1 
 
Como temos apenas duas ações, a fórmula passa a ser a seguinte: 
 
( )
( )
( )
( ) %20,23
%60,28%40,5
%2230,1%1830,0
=
+−=
⋅+⋅−=
⋅+⋅=
c
c
c
BBAAc
RE
RE
RE
RXRXRE
 
 
Observe que se utilizássemos a forma decimal, o resultado seria o mesmo: 
 
( )
( )
( )
( ) %20,232320,0
2860,00540,0
22,030,118,030,0
==
+−=
⋅+⋅−=
⋅+⋅=
c
c
c
BBAAc
RE
RE
RE
RXRXRE
 
 
Com esse cálculo apenas, podemos ver que a única resposta possível é a letra 
b. Observe que as respostas estão sem nenhuma casa decimal, portanto, 
como sabemos que 23,20% é arredondado para 23%, o gabarito é a letra b. 
 
Entretanto, façamos o cálculo do risco da carteira: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
41,328
88,7425,38004,23
88,7422569,125609,0
40,0151630,130,021530,11630,0
2
2
2
2
22222
,
22222
=
−++=
−⋅+⋅−=
⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅+⋅−=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
carteira
carteira
carteira
carteira
BABABABBAAcarteira XXXX
σ
σ
σ
σ
ρσσσσσ
 
 
Com isso, vemos que o desvio-padrão da carteira é a raiz quadrada do número 
que foi encontrado (observe que o número encontrado não é a variância da 
carteira): 
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( )
( )
%12,18
41,328 2
1
2
1
2
=
=
=
carteira
carteira
carteiracarteira
σ
σ
σσ
 
 
Assim sendo, confirmamos que o gabarito é a letra b. No entanto, cabe 
ressaltar que o resultado encontrado utilizando caso utilizássemos números 
decimais, seria o mesmo, sendo, entretanto, muito mais trabalhoso, conforme 
mostrado abaixo: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
%12,181812,0
032841,0
032841,0
007490,0038025,0002304,0
40,015,016,030,130,0215,030,116,030,0
2
2
1
2
2
22222
,
22222
==
=
=
−+=
⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅+⋅−=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
carteira
carteira
carteira
carteira
carteira
BABABABBAAcarteira XXXX
σ
σ
σ
σ
σ
ρσσσσσ
 
 
Dessa forma, concluímos que o gabarito é a letra B. Cabe observar ainda que o 
beta das ações foi colocado na questão apenas para confundir o concursando. 
 
Gabarito: B 
 
 
Questão 4 
 
(ESAF – INSS – 2002) – Uma carteira é formadapor dois investimentos, A e B, 
com pesos iguais a 75% e 25%, respectivamente. Sabe-se que os retornos 
esperados de A e B são estimados em 15% e 18%, e os respectivos desvios-
padrão dos retornos são estimados em 25% e 30%, também respectivamente. 
Sabendo-se que o coeficiente de correlação entre os retornos de A e B é igual 
a 0,50, então o risco da carteira, medido pelo desvio-padrão de seu retorno, 
está estimado em: 
 
a) 26,25% 
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b) 15,77% 
c) 27,50% 
d) 23,42% 
e) 52,94% 
 
Resolução: 
 
Essa questão seria uma mera aplicação da fórmula. 
( ) ( ) ( ) ( )
%42,2344,548
44,548
63,14025,5656,351
625,1409000625,06255625,0
50,0302525,075,023025,02575,0
2
2
2
2
22222
,
22222
==
=
++=
+⋅+⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
carteira
carteira
carteira
carteira
carteira
BABABABBAAcarteira XXXX
σ
σ
σ
σ
σ
ρσσσσσ
 
 
Assim sendo, a resposta é a letra D. 
 
Gabarito: D 
 
 
Questão 5 
 
(Cesgranrio – Petrobrás – Contador Junior – 2010) – A ideia de risco, 
especificamente, está diretamente associada às probabilidades de ocorrência 
de determinados resultados em relação a um valor médio esperado. É um 
conceito voltado para o futuro, revelando uma possibilidade de perda. A 
medida estatística que representa o risco, utilizada na maioria das vezes no 
mercado financeiro, é o(a) 
 
a) desvio padrão. 
b) espaço amostral. 
c) distribuição binomial. 
d) regressão exponencial linear. 
e) taxa de aderência. 
 
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Resolução: 
 
Essa é uma questão apenas informativa. Em geral, usamos o desvio-padrão 
como medida de risco, mas nada impede que seja usada outra medida desde 
que tenha aderência. A variância também pode ser usada. Com ela 
encontraremos valores diferentes mas manteremos a proporção necessária 
para avaliarmos o risco de uma aplicação. 
 
Sendo assim, o gabarito é a letra A. 
 
Gabarito: A 
 
 
Enunciado para as questões 6 a 8 
 
Questão 6 
 
(CESPE – BACEN – 1997) – Fronteira eficiente é aquela composta dos ativos e 
carteiras que têm risco mínimo para cada nível de retorno esperado. 
 
Resolução: 
 
Observe que para qualquer nível de risco, a carteira que possui o maior 
retorno é a escolhida e, portanto, faz parte da fronteira eficiente. Entretanto, 
se optarmos por um nível qualquer de retorno, nem sempre a carteira com 
menor risco será eficiente. Ele somente será eficiente se o retorno for maior 
que o retorno da carteira de mínima variância. 
 
 
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Portanto, podemos afirmar que: 
 
• Fronteira eficiente é aquela composta dos ativos e carteiras que têm 
retorno máximo para cada nível de risco esperado; e 
• Fronteira eficiente é aquela composta dos ativos e carteiras que têm 
risco mínimo para cada nível de retorno esperado, desde que esse 
retorno seja maior que o retorno da carteira de mínima variância. 
 
Sendo assim, informamos que este item está ERRADO. 
 
Gabarito: E 
 
 
Questão 7 
 
(CESPE – BACEN – 1997) – Quando dois ativos são positivamente 
correlacionados, o risco de carteiras formadas com eles é sempre menor que o 
risco do ativo com menor risco entre os dois. 
 
 
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Resolução: 
 
Lembre-se que podemos medir o risco tanto pela variância quanto pelo desvio-
padrão. Sabemos que ao aplicarmos os valores de risco de cada um dos ativos 
haverá a formação de uma “barriga” na figura, desde que a correlação não 
seja perfeita, como abaixo: 
 
 
 
Com isso vemos que há a possibilidade de o risco da carteira, dependendo da 
ponderação em cada um dos ativos ser menor do que o risco do ativo com 
menor risco. Entretanto, não existe a obrigatoriedade de isto ocorrer. Dessa 
forma, o gabarito da questão é ERRADO, uma vez que ela ressalta que 
sempre isto ocorre. 
 
Gabarito: E 
 
 
Questão 8 
 
(CESPE – BACEN – 1997) – Se dois ativos com mesmo retorno esperado têm 
variâncias iguais a 15 e 7, então um investidor bem diversificado e avesso ao 
risco pode optar por investir no ativo com variância 15, em vez de fazê-lo no 
outro. 
AULA 01 
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Resolução: 
 
O que importa na tomada de decisão quando o investidor é bem diversificado, 
não é a variância do ativo, mas sim a covariância que este ativo tem com os 
ativos que já fazem parte da carteira. 
 
Isso significa que se tivermos dois ativos com mesmo retorno mas com riscos 
diferentes, é racional colocar o ativo de maior risco na carteira se a correlação 
entre esse ativo e aqueles que já estão carteira for menor que a que poderia 
ser obtida pelo ativo de menor risco. 
 
Sendo assim, o gabarito é CERTO. 
 
Gabarito: C 
 
 
Questão 9 
 
(Cesgranrio – EPE – Finanças e Orçamento– 2007) – Considerando o conceito 
de fronteira eficiente, que busca otimizar a relação risco e retorno, um 
investidor estará sendo racional e eficiente somente quando sua escolha: 
a) minimizar retorno. 
b) maximizar risco. 
c) maximizar risco e minimizar retorno ao mesmo tempo. 
d) maximizar risco para dado retorno ou minimizar retorno para dado risco. 
e) minimizar risco para dado retorno ou maximizar retorno para dado risco. 
 
Resolução: 
 
Questão semelhante já foi resolvida e sabemos que este tipo é bem recorrente 
em prova. Lembre-se que o investidor só estará sendo racional se optar por 
maximizar seu retorno dado um nível de risco. No entanto, se o retorno for 
superior ao retorno de mínima variância, ele poderá também minimizar o risco 
dado um nível de retorno. 
 
No entanto, a resposta a esse tipo de questão é: Maximizar retorno dado 
um nível de risco. 
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Entretanto, vejam que a questão cabe recurso. Ela não foi bem formulada. Mas 
como sei que vocês entenderam a matéria, marcariam a letra E sem 
questionar e depois faríamos o recurso. 
 
Galera, é comum o examinador, qualquer que seja ele, cometer erros. Não 
percam tempo reclamando dos erros que ele está cometendo. Faça a sua 
prova o mais rápido possível para que tenha tempo de revisar e depois 
reclamamos com os recursos. Combinado? 
 
Gabarito: E 
 
 
Questão 10 
 
(ESAF – INSS – 2002) – No caso de encontrar alternativas de investimento 
com retornos esperados iguais, supõe-se que a escolha a ser feita por um 
investidor com aversão a risco consistirá em optar pela alternativa que 
apresente: 
 
a) risco igual a zero. 
b) variância mínima. 
c) desvio-padrão menor que o retorno esperado. 
d) probabilidade nula de retornos negativos. 
e) retornos positivos mais prováveis do que retornos negativos. 
 
Resolução: 
 
Caso dois investimentos possuam o mesmo retorno esperado, o investidor 
deverá optar por aquele que gerar menos risco. Sendo assim, o investidor 
optará pelo investimento que tiver a menor variância (medida de risco), 
portanto, optará por aquele que apresentar variância mínima. 
 
Assim sendo, a resposta é a letra B. 
 
Gabarito: B 
 
 
Questão 11 
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(ESAF – BACEN – 2001) – Diz-se que uma carteira de ações é eficiente quandoa) todos os títulos nela contidos são negociados a preços justos. 
b) tem risco mínimo para o nível de retorno esperado. 
c) tem máximo retorno esperado para o nível de risco. 
d) está situada à direita da fronteira eficiente. 
e) é a melhor carteira disponível para qualquer investidor com aversão a risco. 
 
Resolução: 
 
Podemos afirmar que uma carteira é eficiente quando tem máximo retorno 
esperado para o nível de risco. É simples visualizarmos esse conceito por meio 
de um gráfico, conforme o desenhado abaixo: 
 
 
 
Vemos que dado um certo nível de risco, por exemplo, 2σ , podemos encontrar 
as carteiras B e H. No entanto, somente a carteira H faz parte do conjunto 
eficiente, sendo, portanto, uma carteira eficiente. Isso é devido ao fato de que 
ela possui um retorno superior ao dado por B, tendo o mesmo risco. 
 
O mesmo raciocínio podemos utilizar a respeito das carteiras A e C. Somente C 
é eficiente. Raciocínio análogo pode ser feito para os mais variados níveis de 
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risco e sempre será eficiente a carteira que tiver o maior nível de retorno dado 
um nível de risco. 
 
No entanto, você pode estar em dúvida com relação à resposta da letra B. Ela 
é falsa, pois se compararmos as carteiras H e J, vemos que dado um mesmo 
retorno, somente a de menor risco é eficiente, nesse caso, H. Mas essa 
afirmativa só é verdadeira se o retorno for maior que o da carteira de mínima 
variância. Veja as carteiras B e L. Elas possuem o mesmo retorno, portanto, 
pela afirmativa contida na letra B, a carteira B (a de menor risco) deveria ser 
eficiente. No entanto, isso não é verdade pois ela encontra-se no “hall” das 
carteiras dominadas (dominada pela carteira H), possuindo um retorno inferior 
ao da carteira de mínima variância. 
 
Com isso, vemos que o gabarito correto seria letra C. 
 
Gabarito: C 
 
 
Questão 12 
 
(ESAF – BACEN – 2001) – A variância média das ações de uma carteira é igual 
a 100, e a média das co-variâncias entre os retornos das ações na carteira é 
igual a 36. Indique a proporção entre os riscos totais das seguintes carteiras 
alternativas: 
uma carteira formada por 10 ações com essas características, 
uma carteira formada por 5 ações com essas características, supondo que o 
risco total de uma carteira seja medido pela variância de seu retorno. 
 
a) A carteira contendo 10 ações tem risco total duas vezes maior que o da 
carteira com 5 ações. 
b) A carteira contendo 10 ações tem risco total sete vezes maior que o da 
carteira com 5 ações. 
c) A carteira contendo 10 ações tem risco total aproximadamente dez vezes 
maior que o da carteira com 5 ações. 
d) A carteira contendo 10 ações tem risco total quase quatro vezes maior que 
o da carteira com 5 ações. 
e) As duas carteiras têm o mesmo risco total. 
 
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Resolução: 
 
Uma vez que a questão não informa qual a ponderação que deverá ser 
usada em cada uma das ações, iremos supor15 que será alocada a mesma 
quantidade de recurso em cada uma das ações. Sabemos ainda que a variância 
de um portfolio igualmente ponderado com a aplicação da proporção 
N
1
 em 
covvar
cada uma das ações, dará o seguinte resultado: 
 
112 ⋅




 −+⋅




=
N
N
N
pσ
 
 
Como o risco de um portfolio é seu desvio padrão, devemos comparar a 
fórmula abaixo quando N = 10 e N =5. 
 
2
1
cov
1
var
1






⋅




 −
+⋅





=
N
N
N
pσ
 
 
Se efetuarmos os cálculos, encontraremos os seguintes resultados: 
 
( ) ( )
( ) ( ) 2121
2
1
5
2
1
2
1
2
1
10
8,48368,02036
5
4
100
5
1
4,42369,01036
10
9
100
10
1
=⋅+=





⋅




+⋅




=
=⋅+=





⋅




+⋅




=
σ
σ
 
 
99,6
51,6
5
10
=
=
σ
σ
 
 
No entanto, o exercício diz que nesse caso devemos considerar a variância 
como medida de risco. Dessa forma, temos que: 
 
( )
( ) 8,4899,6
4,4251,6
22
5
22
10
==
==
σ
σ
 
 
15 É claro que uma questão como essa tem que ser anulada, pois não mostra a quantidade de recursos a ser alocado em 
cada um dos ativos. O pior é que o candidato fica desesperado sem saber o que fazer. Calma, isso é comum em questões 
de Finanças. Ou seja, nunca fiquem desesperados porque o examinador erra com muita freqüência. 
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Portanto, não existe resposta correta para esta questão. E por esse motivo foi 
solicitada a anulação da questão, e essa fora aceita. 
 
Gabarito: Anulada 
 
 
Enunciado para as questões 13 e 14 
 
Com relação a práticas bancárias, julgue os itens seguintes. 
 
Questão 13 
 
(CESPE – BACEN – 2000) – Visando construir um portfólio eficiente, em 
consonância com o modelo de Markowitz, a teoria associada requer a validação 
de algumas premissas sobre o ambiente de seleção de ativos pelo investidor, 
assumindo que os únicos dois parâmetros que afetam uma decisão do 
investidor são a taxa de retorno esperada do investimento e o risco, que o 
investidor é avesso ao risco e que o investidor objetiva alcançar o máximo 
retorno esperado a um dado nível de risco. 
 
Resolução: 
 
A definição está correta com o que aprendemos e essas são as premissas 
necessárias para que se construa um portfolio eficiente. 
 
A questão está CERTA. 
 
Gabarito: C 
 
 
Questão 14 
 
(CESPE – BACEN – 2000) – Como regra geral, a diversificação nas aplicações 
de um investidor aumenta o risco geral, mas, por outro lado, para uma 
empresa, a diversificação aumenta o valor dela mais que proporcionalmente ao 
resultado esperado de cada segmento, mesmo considerando o risco inerente a 
cada negócio. 
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Resolução: 
 
Como regra geral a diversificação reduz o risco. 
 
A questão está ERRADA. 
 
Gabarito: E 
 
 
Questão 15 
 
(VUNESP – BACEN – 1998) – No diagrama Risco x Retorno a seguir, temos 5 
ativos de risco. 
 
 
 
Então, para um investidor racional, 
 
a) A é preferível a B, pois ambos têm o mesmo retorno e o risco de A é maior. 
b) D é preferível a E. 
c) E é preferível a C, pois tem maior retorno e menor risco. 
d) C e A são equivalentes, pois ambos têm o mesmo coeficiente de variação. 
e) A é preferível a todos os outros, pois no gráfico é o que se situa mais longe 
da origem. 
 
Resolução: 
 
Façamos o comentário de cada um dos itens: 
 
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Dado um mesmo retorno, o investidor racional prefere aquele que possui 
menor risco, portanto, B é preferível a A e, portanto, o primeiro item é falso; 
 
Esse item é claramente falso, pois o ativo E além de possuir menor risco, 
possui um retorno maior, fazendo com que o investidor racional opte sempre 
por E e nunca por D quando estiver que escolher entre essas opções; 
 
Comparando os ativos E e C, o investidor deverá preferir o E, pois além de 
possuir um retorno maior, possui um risco menor. O que o investidor procura é 
retorno maior e redução de risco. Esse seria o gabarito; 
 
Nada podemos afirmar nada com relação a esse item, além do mais os 
coeficientes de variação são diferentes; 
 
Podemos mostrar que B é preferível a A, pois possui o mesmo retorno e um 
risco menor, portanto, A não é preferível a todos os outros, sendo o item falso. 
 
Com isso, chegamosà conclusão de que o gabarito seria a letra C. 
 
Gabarito: C 
 
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GABARITO 
 
2- C 3- B 4- D 5- A 6- E 
7- E 8- C 9- E 10- B 11- C 
12- Anulada 13- C 14- E 15- C 
 
 
Galera, 
 
Acabamos a nossa primeira aula. Espero que tenham gostado. Vamos fazer o 
seguinte: mandem uma mensagem pelo fórum dizendo se está legal ou não. 
Se a aula está muito profunda e com isso ficando chata e tal. Pode ser? Estou 
aguardando a manifestação de todos vocês. 
 
Abraços, 
 
César Frade