Provinha II - Gabarito

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Micro I - EAE 0203 - Noturno
1o Semestre 2012
Prof. Ricardo Madeira
Monitor: Bruno Kawaoka Komatsu
Provinha #1 - Restric¸a˜o Orc¸amenta´ria e Prefereˆncias
Questa˜o 1 (50 pontos) Considere um indiv´ıduo com uma func¸a˜o utilidade dada por U(x1, x2, x3) =
min {x1, x2}+ x3. A restric¸a˜o do indiv´ıduo e´ dada por p1x1 + p2x2 + p3x3 = m.
i) (30 pontos) Encontre as demandas Marshalliana pelos bens 1, 2 e 3. Considere todos os cena´rios
poss´ıveis.
Resposta:
Podemos observar que a func¸a˜o utilidade e´ uma concatenac¸a˜o de duas outras: seria uma func¸a˜o
utilidade de bens substitutos perfeitos que escolhe entre o bem x3 e um bem composto pelos bens x1 e
x2, que e´ expresso pelo termo min {x1, x2}. Podemos enta˜o resolver o problema em dois passos.
Em primeiro lugar, como o bem composto e x3 sa˜o substitutos perfeitos, enta˜o o consumidor gastara´
toda a sua renda n obem que for mais barato; ou, no caso de os bens possu´ırem prec¸os iguais, o consu-
midor achara´ igualmente prefer´ıveis quaisquer cestas que se situem sobre a restric¸a˜o orc¸amenta´ria. Para
encontrarmos o prec¸o do bem composto, no entanto, e´ preciso resolver o problema da alocac¸a˜o de x1 e
x2 dentro do bem composto.
Se o bem x3 for mais barato, o consumidor escolhera´ x3 =
m
p3
, x1 = x2 = 0. Se ocorrer o contra´rio, o
consumidor gastara´ toda a sua renda no bem composto. Nesse caso, o problema sera´:
max
x1,x2
min {x1, x2} (1)
s.t. p1x1 + p2x2 = m (2)
que e´ o problema de bens complementares perfeitos. A soluc¸a˜o do problema e´ dada por: x∗1 =
m
p1+p2
= x∗2
(a resoluc¸a˜o desse problema se encontra no gabarito da lista 2).
A partir dessa soluc¸a˜o, vamos encontrar o prec¸o do bem composto. O prec¸o de um bem e´ a quantidade
de dinheiro que se gasta para comprar 1 unidade daquele bem. Quando alguma quantidade positiva do
bem composto e´ consumida, o valor gasto e´ m. Portanto, o prec¸o sera´ dado por: mmin {x1,x2} =
m
x∗1
=
m
m/(p1+p2)
= p1 + p2.
1
Enta˜o, a soluc¸a˜o sera´ dada por:

p3 < p1 + p2 =⇒ x∗1 = 0, x∗2 = 0, x∗3 = mp3
p3 > p1 + p2 =⇒ x∗1 = mp1+p2 , x∗2 = mp1+p2 , x∗3 = 0
p3 = p1 + p2 =⇒ x∗1 = α mp1+p2 , x∗2 = α mp1+p2 , x∗3 = (1− α)mp3 , para α ∈ [0, 1]
ii) (20 pontos) Encontre a func¸a˜o utilidade indireta, V (p1, p2, p3,m), como func¸a˜o dos prec¸os dos
bens e da renda (tambe´m considere todos os cena´rios poss´ıveis). Mostre que no cena´rio em que a
demanda Marshalliana pelo bem 1 e´ positiva temos que −
∂V (p1,p2,p3,m)
∂p1
∂V (p1,p2,p3,m)
∂m
= x∗1, onde x
∗
1 denota a demanda
Marshalliana pelo bem 1. (Dica: Voceˆ na˜o precisa esar o Teorema do Envelope para mostrar essa
relac¸a˜o)
A func¸a˜o utilidade indireta V (·) e´ dada pelo valor da func¸a˜o utilidade calculada nos pontos o´timos.
Enta˜o, temos:
V (x1, x2, x3,m) =

p3 < p1 + p2 =⇒ V (x1, x2, x3,m) = x∗3 = mp3
p3 > p1 + p2 =⇒ V (x1, x2, x3,m) = min {x∗1, x∗2} = x∗1 = mp1+p2
p3 = p1 + p2 =⇒ V (x1, x2, x3,m) = min {x∗1, x∗2}+ x∗3 = α mp1+p2 + (1− α)mp3 , para α ∈ [0, 1]
No caso em que a demanda Marshalliana e´ certamente positiva, temos:
V (p1, p2, p3,m) = min {x∗1, x∗2} = x∗1 =
m
p1 + p2
(3)
Portanto,
−
∂V (p1,p2,p3,m)
∂p1
∂V (p1,p2,p3,m)
∂m
= − (−1)(p1 + p2)
−2m
1
p1+p2
=
(p1 + p2)
−2m
(p1 + p2)−1
=
m
p1 + p2
= x∗1 (4)
Questa˜o 2 (25 pontos) Considere um consumidor com uma func¸a˜o utilidade dada por U(x1, x2) =
√
x1 + x2. Suponha que este indiv´ıduo deseja obter um n´ıvel de utilidade dado por uˆ, i.e. U(x1, x2)− uˆ.
Os prec¸os dos bens 1 e 2 sa˜o dados por p1 e p2 respectivamente. Monte o problema de minimizac¸a˜o
de dispeˆndio associado ao n´ıvel de utilidade uˆ e encontre as demandas Hicksianas pelos bens 1 e 2.
Considere todos os cena´rios poss´ıveis.
Resposta:
O problema de minimizac¸a˜o de dispeˆndio e´ caracterizado como:
min
{x1,x2}
p1x1 + p2x2 s.t.
√
x1 + x2 = uˆ (5)
2
Pelo me´todo do lagrangiano, temos as CPO:
i)
∂L
∂x1
= 0 =⇒ p1 − λ
2
x
− 12
1 = 0
ii)
∂L
∂x2
= 0 =⇒ p2 − λ = 0
iii)
∂L
∂λ
= 0 =⇒ √x1 + x2 = uˆ
(6)
Substituindo ii) em i), temos:
p1 =
p2
2
x
− 12
1 =⇒ x∗1 =
(
1
2
p2
p1
)2
(7)
Substituindo em iii) temos:
√
x1 + x2 = uˆ =⇒ 1
2
p2
p1
+ x2 = uˆ =⇒ x∗2 = uˆ−
1
2
p2
p1
(8)
O me´todo do lagrangiano nos fornece soluc¸o˜es interiores. A func¸a˜o utilidade expressa prefereˆncias
quase-lineares, de modo que sabemos que se reduzirmos o n´ıvel de utilidade uˆ o suficiente, chegaremos
a uma soluc¸a˜o de canto em que consumimos somente o bem x1. O n´ıvel de utilidade a partir do qual o
consumo de x2 passa a ser positivo e´ dado pela condic¸a˜o:
x∗2 > 0 =⇒ uˆ−
1
2
p2
p1
> 0 =⇒ uˆ > 1
2
p2
p1
(9)
Quando x2 = 0, o consumo de x1 e´ dado por:
√
x1 + x2 = uˆ =⇒ √x1 = uˆ =⇒ x∗1 = uˆ2 (10)
Portanto as demandas hicksianas sa˜o dadas por:
 uˆ >
1
2
p2
p1
=⇒ x∗1 =
(
1
2
p2
p1
)2
, x∗2 = uˆ− 12 p2p1
uˆ ≤ 12 p2p1 =⇒ x∗1 = uˆ2, x∗2 = 0
Questa˜o 3 (25 pontos) A tabela abaico traz informac¸o˜es sobre o consumo de cestas de bens distintas
em 4 momentos diferentes do tempo por um mesmo consumidor. Na tabela, a ce´lula associada a` Cesta
em i e Prec¸os em j indica o valor da cesta consumida no per´ıodo i se os prec¸os dos bens fossem os do
per´ıodo j, para i e j ∈ {1, 2, 3, 4}. Portanto os valores efetivamente pagos pelas cestas no per´ıodo em que
elas foram adquiridas se encontram nas ce´lulas da diagonal da tabela (marcadas em negrito).
3
Cesta em 1 Cesta em 2 Cesta em 3 Cesta em 3
Prec¸os em 1 11 8 21 12
Prec¸os em 2 20 15 15 17
Prec¸os em 3 40 40 32 28
Prec¸os em 4 5 9 12 5
Suponha que o consumidor em questa˜o possui prefereˆncias estritamente convexas e que suas prefe-
reˆncias na˜o se alteraram ao longo do tempo. Com base na tabela responda:
i)(10 pontos) As escolhas deste consumidor satisfaz ao Axioma Fraco da Prefereˆncia Revelada?
Justifique sua resposta.
Vamos chamar as cestas consumidas em 1, 2, 3 e 4 respectivamente de x1, x2, x3 e x4. Aos prec¸os
do per´ıodo 1, x1 foi escolhida e valia $11. Note que aos prec¸os desse per´ıodo x2 estava dispon´ıvel e na˜o
foi escolhida. Portanto sabemos que x1 foi revelada preferida a x2: x1 �∗ x2. Pelo mesmo racioc´ınio,
podemos observar que: x2 �∗ x3, x3 �∗ x4 e x4 �∗ x1.
Para tratar de prefereˆncia revelada, supo˜e-se monotonicidade das prefereˆncias. Dessa forma, o indi-
v´ıduo consome toda a sua renda em cada per´ıodo e, portanto, em cada per´ıodo ele possui pois somente
dois elementos em seu conjunto orc¸amenta´rio, ja´ que os demais bens na˜o se encontram dispon´ıveis. Note
que em dois per´ıodos diferentes na˜o temos a comparac¸a˜o entre as mesmas duas cestas; por exemplo, no
per´ıodo 1, x1 e´ comparada com x2 e essas duas cestas na˜o se encontram dispon´ıveis ao mesmo tempo
nos demais per´ıodos. Portanto, para cada i ∈ {1, 2, 3, 4}, o conjunto orc¸amenta´rio do per´ıodo i possui xi
e xj (j = i+ 1 se i ∈ {1, 2, 3} e x = 1 se i = 4) e a relac¸a˜o de prefereˆncia revelada xi �∗ xj . Para cada i,
como na˜o existe um outro conjunto orc¸amenta´rio em que haja xi e xj tal que xj seja revelada preferida
a xi, enta˜o o Axioma Fraco da Prefereˆncia Revelada e´ satisfeito.
ii)(15 pontos) As escolhas deste consumidor satisfaz ao Axioma Forte da Prefereˆncia Revelada?
Justifique sua resposta.
As escolhas desse consumidor na˜o podem satisfazer ao Axioma Forte da Prefereˆncia Revelada (AFoPR),
porque as prefereˆncias na˜o sa˜o racionais. Pelas prefereˆncias reveladas vistas no item i) temos: x1 �∗ x2,
x2 �∗ x3, x3 �∗ x4. Para satisfazer ao AFoPR na˜o poder´ıamos ter x4 �∗ x1, que e´ exatamente o que
nos mostra a linha 4 da tabela. Isso contradiz diretamente o AFoPR, de modo que ele na˜o e´ satisfeito.
4