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Matemática Financeira
Moderna
Capítulo 1
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Regime de capitalização: juros
P: principal, valor aplicado ou valor presente.
J: juros ou remuneração do dinheiro.
S: montante, valor acumulado, valor capitalizado ou valor futuro.
Juros
Taxa de juros é de 20% por período.
Há várias formas e convenções utilizadas para expressar a taxa de juros. Por exemplo, um ano pode ser de 360 dias (comercial), 365 dias (exato) ou 252 dias úteis.
Juros
Um capital de $ 10000.00 rendeu, após um ano de aplicação, o montante de $ 25000.00. Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?
Juros
Capitalização periódica
Juros simples: a taxa de juros incide sobre o valor do principal.
Juros compostos: os juros é incorporado ao principal sobre o qual incide novamente a taxa de juros. Portanto, os juros devidos também rendem juros, ou seja, os juros são capitalizados. 
Juros contínuos: são os juros compostos capitalizados de forma instantânea.
Juros simples
Uma aplicação rendeu, após 3 anos, o montante de $ 250000.00, a uma taxa de juros anual de 25%. Calcular o valor aplicado.
Juros simples
Proporcionalidade de taxas a juros
Situações possíveis a serem consideradas:
O período da taxa de juros coincide com o período de capitalização. 
O período da taxa de juros é menor que o período de capitalização. Capitalização é de um ano e a taxa de juros é cotada mensalmente. 
O período da taxa de juros é maior que o período de capitalização. A taxa de juros é cotada anualmente e o período de capitalização é mensal.
 it: taxa de juros referente a determinado período.
	k: número de períodos de capitalização contidos no período t.
 	ik: taxa de juros referente a cada período de capitalização.
Proporcionalidade de taxas a juros
Calcular a taxa de juros mensal, bimestral e semestral, sabendo-se que a taxa de juros anual é 10%. 
Proporcionalidade de taxas a juros
Juros compostos
Taxa de juros maior, preço menor. 
Juros compostos
Juros compostos
Equivalência de taxas a juros compostos
Suponha que $ 100.00 tenham sido aplicados por um período de 7 meses a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano, com capitalização mensal. Calcular o montante ao final do sétimo mês de aplicação.
Juros contínuos
Juros contínuos: juros compostos capitalizados de forma instantânea.
r = juros contínuos.
Um capital de $ 15000.00 é aplicado durante 2 anos e meio a uma taxa de juros contínuos de 1.5% ao mês. Calcular o montante acumulado nesse período. 
Juros contínuos
Calcular a taxa de juros contínuos mensal contínua que, aplicada a um capital de $ 100000.00, produz um montante de $ 350000.00 após 3 anos.
Juros contínuos
Juros contínuos
Calcular o tempo de aplicação de um capital de $ 150000.00 que, aplicado a uma taxa contínua de 2% ao mês com capitalização contínua, produz um montante de $ 600000.00.
Juros contínuos
Proporcionalidade de taxas a juros contínuos
Calcular a taxa de juros contínuos bimestral, semestral e anual, sabendo-se que a taxa mensal é 1.5%. 
Juros variáveis 
Juros simples
Juros compostos
Juros contínuos
Inconsistência do regime de juros simples
Em juros compostos, é sempre válida a seguinte igualdade:
Isso não ocorre em regime de juros simples, por causa da seguinte diferença:
Ou seja, se aplicarmos $ 100.00, por exemplo, a uma taxa de juros mensal de 2%, obteremos, após um ano, o montante de $ 124.00. Se aplicarmos a mesma quantia por um período de 6 meses, à mesma taxa de juros e, posteriormente, voltarmos a aplicar esse montante por mais 6 meses, obteremos, ao final de um ano, um montante que é maior que o que seria obtido caso tivéssemos aplicado os $ 100.00 pelo prazo de um ano.
Inconsistência do regime de juros simples
Em regime de juros simples não se pode fracionar o prazo da aplicação, ou seja, o prazo não é cindível.
O capital aplicado e resgatado ao final de 6 meses não incorpora os juros da aplicação.
Podemos determinar a discrepância, D, entre essa duas estratégias de investimento como:
Inconsistência do regime de juros simples
Desenvolvendo, obtemos:
Podemos observar que Pin1 é o juro obtido no primeiro período da aplicação que, multiplicado por in2, dá-nos o quanto de juros renderam no segundo período os juros obtidos no primeiro período. Logo, a discrepância se deve à incidência de juros sobre juros. 
Inconsistência do regime de juros simples
Assim, no regime de juros simples, o conceito de equivalência de capitais fica prejudicado, dependendo do prazo definido da aplicação. No limite, o regime de juros simples é inconsistente, pois o investidor fugiria de prazos mais longos para prazos mais curtos.
Inconsistência do regime de juros simples
Suponha que a quantia de $ 200.00 seja aplicada por um período de 5 meses, à taxa de juros simples de 10% ao mês. Após 5 meses, qual será o montante acumulado? Suponha, no entanto, que, ao final do 3º mês, a quantia aplicada seja resgatada. Qual o montante acumulado nesse período? Qual o valor atual, ao final do 3º mês, da quantia que seria resgatada após 5 meses de aplicação?
Inconsistência do regime de juros simples
X-Axis
P=100
J=20
S=P+J=100+20
X-Axis
P
S=P+(iP+...+iP)
iP
iP
iP
iP
1
2
3
...
n
iP
X-Axis
P
S=P+[iP+i(P+iP)+...]
iP
i(P+iP)
1
2
3
...
n
iP
Text
Y-Axis
X-Axis
0.3
 juros simples
 juros compostos.
�
P
i
0.2
0.1
Valor presente capitalizado a juros simples e compostos:
 60
Text
Y-Axis
X-Axis
�
Valor presente capitalizado em períodos discreto e contínuo
P
i