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Engenharias AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
Curso: 
Engenharias 
 
 
Engenharias AULA ATIVIDADE TUTOR 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Teleaula: 02 
INTEGRAIS MÚLTIPLAS EM OUTRAS COORDENADAS 
 
Questão 1 
Um pesquisador precisa calcular o volume de um sólido tridimensional utilizando 
integrais triplas e mudança de coordenadas, devido às características da região em 
estudo e a dificuldade em expressá-la segundo o sistema de coordenadas cartesianas. 
Para a resolução de seu problema, o pesquisador adotou uma mudança de coordenadas 
de modo que 𝑥, 𝑦 e 𝑧 deverão ser representados por 
𝑥 = 𝑣 + 𝑤2 
𝑦 = 𝑤 + 𝑢2 
𝑧 = 𝑢 + 𝑣2 
Qual é o jacobiano associado a essa transformação? 
Gabarito: 
O jacobiano de uma transformação 
𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤); 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤); 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤) 
é dado por 
|
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
| =
|
|
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
|
|
 
Calculando as derivadas parciais obtemos: 
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 0; 
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 1; 
𝜕𝑥
𝜕𝑤
= 2𝑤 
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 2𝑢; 
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 0; 
𝜕𝑦
𝜕𝑤
= 1 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
= 1; 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
= 2𝑣; 
𝜕𝑧
𝜕𝑤
= 0 
Desta forma, 
 
 
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|
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
| = |
0 1 2𝑤
2𝑢 0 1
1 2𝑣 0
| = 1 + 8𝑢𝑣𝑤 
Portanto, o jacobiano da transformação é dado por 𝐽 = 1 + 8𝑢𝑣𝑤. 
 
Questão 2 
Quando empregamos a mudança de variáveis utilizando coordenadas esféricas, 
devemos considerar o jacobiano associado, o qual é dado por: 
|
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝜌, 𝜙, 𝜃)
| = 𝜌2 sen(𝜙) 
Partindo das equações de transformação em coordenadas esféricas 
𝑥 = 𝜌 sen(𝜙) cos(𝜃) 
𝑦 = 𝜌 sen(𝜙) sen(𝜃) 
𝑧 = 𝜌 cos(𝜙) 
mostre que o jacobiano associado corresponde à 𝜌2 sen(𝜙). Evidencie todos os 
procedimentos necessários para a obtenção da expressão do jacobiano associado às 
coordenadas esféricas. 
Gabarito: 
Para que possamos determinar o jacobiano associado à transformação em 
coordenadas esféricas precisamos calcular as seguintes derivadas parciais: 
𝜕𝑥
𝜕𝜌
= sen(𝜙) cos(𝜃) 
𝜕𝑥
𝜕𝜙
= 𝜌 cos(𝜙) cos(𝜃) 
𝜕𝑥
𝜕𝜃
= −𝜌 sen(𝜙) sen(𝜃) 
𝜕𝑦
𝜕𝜌
= sen(𝜙) sen(𝜃) 
𝜕𝑦
𝜕𝜙
= 𝜌 cos(𝜙) sen(𝜃) 
𝜕𝑦
𝜕𝜃
= 𝜌 sen(𝜙) cos(𝜃) 
𝜕𝑧
𝜕𝜌
= cos(𝜙) 
𝜕𝑧
𝜕𝜙
= −𝜌 sen(𝜙) 
𝜕𝑧
𝜕𝜃
= 0 
Calculando o jacobiano empregando a estratégia de cálculo de determinantes de 
ordem 3 podemos observar que: 
|
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝜌, 𝜙, 𝜃)
| = |
sen(𝜙) cos(𝜃) 𝜌 cos(𝜙) cos(𝜃) −𝜌 sen(𝜙) sen(𝜃)
sen(𝜙) sen(𝜃) 𝜌 cos(𝜙) sen(𝜃) 𝜌 sen(𝜙) cos(𝜃)
cos(𝜙) −𝜌 sen(𝜙) 0
| 
= (0 + 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) cos2(𝜃) + 𝜌2 sen3(𝜙) sen2(𝜃))
− (−𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) sen2(𝜃) − 𝜌2 sen3(𝜙) cos2(𝜃) + 0) 
 
 
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= 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) cos2(𝜃) + 𝜌2 sen3(𝜙) sen2(𝜃) + 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) sen2(𝜃)
+ 𝜌2 sen3(𝜙) cos2(𝜃) 
= 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) [cos2(𝜃) + sen2(𝜃)] + 𝜌2 sen3(𝜙) [sen2(𝜃) + cos2(𝜃)] 
= 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) + 𝜌2 sen3(𝜙) 
= 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) + 𝜌2 sen(𝜙) sen2(𝜙) 
= 𝜌2 sen(𝜙) [cos2(𝜙) + sen2(𝜙)] 
= 𝜌2 sen(𝜙) 
Portanto, o jacobiano associado às coordenadas esféricas consiste em: 
|
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝜌, 𝜙, 𝜃)
| = 𝜌2 sen(𝜙) 
 
Questão 3 
Considere o sólido S limitado superiormente pela esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, 
inferiormente pelo plano 𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0), no interior do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e cuja 
representação gráfica é dada por: 
 
Empregando a mudança para coordenadas cilíndricas, determine o volume aproximado 
para o sólido S empregando o cálculo de integrais triplas. 
Gabarito: 
Para o cálculo do volume por meio de integrais triplas utiliza-se a expressão 
𝑉 = ∭𝑑𝑉
𝐸
 
O limite inferior para 𝑧 é definido pelo plano 𝑥𝑦 (𝑧 = 0). O limite superior é dado pela 
parte superior da esfera de equação 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, de onde obtemos 
 
 
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𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 
A projeção do sólido sobre o plano 𝑥𝑦 tem representação gráfica dada por 
 
Devido às características da superfície, e de sua projeção sobre o plano 𝑥𝑦, podemos 
calcular a integral tripla por meio de coordenadas cilíndricas. 
Os limites de integração para a variável 𝑧, em coordenadas cilíndricas, correspondem a 
0 ≤ 𝑧 ≤ √4 − 𝑟2 
pois 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. 
A projeção da superfície sobre o plano 𝑥𝑦 fornece os seguintes limites de integração 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
Além disso, 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃. Logo, 
∭𝑑𝑉
𝐸
= ∫ ∫ ∫ 𝑟
√4−𝑟2
0
𝑑𝑧
1
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟 [ ∫ 𝑑𝑧
√4−𝑟2
0
]
1
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟√4 − 𝑟2
1
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃
= ∫ [−
1
3
(4 − 𝑟2)3/2]
𝑟=0
𝑟=1
2𝜋
0
𝑑𝜃 =
1
3
(8 − 3√3) ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
=
2𝜋
3
(8 − 3√3)
≈ 5,87 u. v. 
Observação: note que adotando a mudança 𝑢 = 4 − 𝑟2 então 𝑑𝑢 = −2𝑟 𝑑𝑟, ou 
−
1
2
 𝑑𝑢 = 𝑟 𝑑𝑟, e, assim, 
∫ 𝑟 √4 − 𝑟2 𝑑𝑟 = ∫ −
1
2
√𝑢 𝑑𝑢 = −
1
2
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 = −
1
2
𝑢
3
2
3
2
= −
1
3
(4 − 𝑟2)
3
2 + 𝐶 
 
 
 
 
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Questão 4 
Seja a região 𝐸, no primeiro octante, limitada pelas esferas 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 e 𝑥2 +
𝑦2 + 𝑧2 = 4 cuja representação gráfica é dada no que segue: 
 
Deseja-se calcular a integral tripla da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧 sobre a região 𝐸, descrita 
anteriormente. Qual o valor assumido por ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐸
𝑑𝑉? 
Observação: o primeiro octante corresponde à parte do espaço cartesiano limitada 
pelos planos 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 e 𝑧 = 0. 
Gabarito: 
Devido às características da região de integração podemos calcular a integral tripla por 
meio de coordenadas esféricas. A região 𝐸, descrita em coordenadas esféricas, é dada 
por 
1 ≤ 𝜌 ≤ 2 0 ≤ 𝜙 ≤
𝜋
2
 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
Além disso, 
2𝑧 = 2𝜌 cos(𝜙) 
𝑑𝑉 = 𝜌2 sen(𝜙) 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃 
Sendo assim, 
∭2𝑧
𝐸
𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ (2𝜌 cos(𝜙))𝜌2 sen(𝜙)
2
1
𝑑𝜌
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃
= ∫ ∫ 2 cos(𝜙) sen(𝜙) ∫ 𝜌3
2
1
𝑑𝜌
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃
= ∫ ∫ sen(2𝜙) ∫ 𝜌3
2
1
𝑑𝜌
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃 = ∫ ∫ sen(2𝜙) [
1
4
𝜌4]
1
2𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃 
 
 
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= ∫ ∫ sen(2𝜙) (
15
4
)
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃 = (
15
4
) ∫ ∫ sen(2𝜙)
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃
= (
15
4
) ∫ [−
1
2
cos (2𝜙)]
0
𝜋
2
𝜋
2
0
𝑑𝜃 = (
15
4
) ∫ 𝑑𝜃
𝜋
2
0
=
15𝜋
8
≈ 5,89 
 
Questão 5 
Seja o sólido C limitado superiormente por 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 e inferiormente pelo plano 
𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0). A representação desse sólido é dada na figura apresentada no que segue. 
 
Suponha que a densidade em um ponto P do sólido C é proporcional à distância de P ao 
plano 𝑥𝑂𝑦, ou seja, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑧, 𝑘 ∈ ℝ. Determine o momento de inércia do sólido 
C em relação ao eixo 𝑧. 
Gabarito: 
Sabemos que o momento de inércia de S em relação ao eixo z é dado por 
𝐼𝑧 = ∭(𝑥
2 + 𝑦2)
𝐶
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)dV = 𝑘 ∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑧
𝐶
𝑑𝑉 
Em coordenadas cilíndricas, o sólido S pode ser representado por 
0 ≤ 𝑟 ≤ 2 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
0 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 𝑥2 − 𝑦2 = 4 − 𝑟2 
pois sabemos que 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. 
Portanto, o momento de inércia pode ser calculado da seguinte forma 
 
 
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𝐼𝑧 = 𝑘 ∫ ∫ ∫ 𝑟
2
4−𝑟2
0
𝑧 𝑟
2
0
𝑑𝑧
2𝜋
0
𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 𝑘 ∫ ∫ 𝑟3 ∫ 𝑧 𝑑𝑧
4−𝑟2
0
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃
= 𝑘 ∫ ∫ 𝑟3 [
1
2
𝑧2]
0
4−𝑟2
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 
=
𝑘
2
∫ ∫ 𝑟3(4 − 𝑟2)2
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 =
𝑘
2
∫ ∫ 𝑟3(16 − 8𝑟2 + 𝑟4)
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 
= 8𝑘 ∫ ∫ 𝑟3
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 − 4𝑘 ∫ ∫ 𝑟5
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 +
𝑘
2
∫ ∫ 𝑟7
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 
= 8𝑘 ∫ [
1
4
𝑟4]
0
2
2𝜋
0
𝑑𝜃 − 4𝑘 ∫ [
1
6
𝑟6]
0
2
2𝜋
0
𝑑𝜃 +
𝑘
2
∫ [
1
8
𝑟8]
0
2
2𝜋
0
𝑑𝜃 
= 32𝑘 ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
−
128
3
𝑘 ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
+ 16𝑘 ∫𝑑𝜃
2𝜋
0
= 64𝑘𝜋 −
256
3
𝑘𝜋 + 32𝑘𝜋 =
32
3
𝑘𝜋 
 
Questão 6 
Quando desejamos representar sólidos geométricos como esferas ou cones, os quais 
possuem partes que não se ajustam adequadamente ao sistema de coordenadas 
cartesianas, podemos empregar as coordenadas esféricas visando a simplificação dos 
cálculos e da representação dessas figuras. 
Nesse sentido, considere o sólido 𝑆 localizado no interior da folha superior do cone 
descrito pela equação 𝜙 =
𝜋
3
 e limitado entre as esferas 𝜌 = 1 e 𝜌 = 2. 
Com base nesse sólido, responda: 
a) Construa um esboço para o sólido 𝑆. 
b) Calcule o volume do sólido 𝑆 por meio de integrais triplas. 
Gabarito: 
a) O esboço construído para o sólido 𝑆 deve apresentar as seguintes características: 
 
 
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Parte externa 
 
Parte interna 
b) O sólido 𝑆, em coordenadas esféricas, pode ser descrito como segue: 
1 ≤ 𝜌 ≤ 2 0 ≤ 𝜙 ≤
𝜋
3
 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
Sendo assim, o volume de 𝑆 pode ser calculado como segue: 
𝑉 = ∭𝑑𝑉
𝑆
= ∫ ∫ ∫ 𝜌2 sen(𝜙)
2
1
𝑑𝜌
𝜋
3
0
𝑑𝜙
2𝜋
0
𝑑𝜃 = ∫ ∫ sen(𝜙) ∫ 𝜌2 
2
1
𝑑𝜌
𝜋
3
0
𝑑𝜙
2𝜋
0
𝑑𝜃
= ∫ ∫ sen(𝜙) [
1
3
𝜌3]
1
2𝜋
3
0
𝑑𝜙
2𝜋
0
𝑑𝜃 =
7
3
∫ ∫ sen(𝜙)
𝜋
3
0
𝑑𝜙
2𝜋
0
𝑑𝜃
=
7
3
∫ [− cos(𝜙)]0
𝜋
3
2𝜋
0
𝑑𝜃 =
7
6
∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
=
7𝜋
3
≈ 7,33 u. v.