EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ANÁLISE COMBINATÓRIA

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ANÁLISE COMBINATÓRIA
Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre análise combinatória, todos retirados dos mais diversos concursos públicos aplicados no Brasil.
Trata-se de uma matéria muito extensa, por isso recomendamos que o aluno acesse primeiro as nossas páginas sobre o assunto.
Bom estudo!
Questão 1 (PM SC – Cesiep 2011). Em uma corrida com 10 atletas competindo pergunta-se: de quantos modos distintos (combinações) podem ser conquistadas as medalhas de Ouro, Prata e Bronze?
a) 800
b) 1000
c) 720
d) 300
Resolução
Considerando que a ordem importa, temos um arranjo simples com 10 atletas, tomados 3 a 3:
Resposta: C
Questão 2 (TRT ES – CESPE 2013). Considerando que, na fruteira da casa de Pedro, haja 10 uvas, 2 maçãs, 3 laranjas, 4 bananas e 1 abacaxi, julgue os próximos itens.
a) Há mais de 1.330 maneiras distintas de Pedro escolher pelo menos uma fruta entre aquelas que estão em sua fruteira.
Resolução
Pedro vai escolher algumas frutas. Ele tem a opção de pegar uma, duas ou várias.
Vamos analisar quantas opções ele tem para cada fruta:
· Uva: Pode pegar de 0 a 10, ou seja, 11 opções.
· Maçã: Pode pegar de 0 a 2, ou seja, 3 opções.
· Laranja: Pode pegar de 0 a 3, ou seja, 4 opções.
· Banana: Pode pegar de 0 a 4, ou seja, 5 opções.
· Abacaxi: Pode pegar 0 ou 1, ou seja, 2 opções.
Total de opções: 11 x 3 x 4 x 5 x 2 = 1320
Basta descontar a possibilidade de Pedro não pegar nenhuma fruta:
1320 – 1 = 1319
Há 1319 maneiras distintas, ou seja, menos de 1330.
Resposta: ERRADO
b) Se, para fazer uma salada de frutas, Pedro deve escolher pelo menos dois tipos de frutas, em qualquer quantidade, então há menos de 1.000 maneiras distintas de Pedro escolher frutas para compor sua salada.
Resolução
Na letra b vimos que ele tem 1319 opções para escolher pelo menos uma.
O que muda quando falamos em ‘pelo menos duas’ é que devemos descartar as opções que ele teria de escolher uma fruta apenas.
Para pegar apenas uva uma ele tem 10 opções. Apenas uma, apenas duas, apenas três, …, ou todas as 10 uvas.
Da mesma forma, duas opções pegando apenas maçãs, 3 para apenas laranjas, 4 para apenas bananas e uma para o abacaxi.
Total:
10 + 2 + 3 + 4 + 1 = 20 opções
Temos:
1319 – 20 = 1299 opções
Há 1299 maneiras distintas, ou seja, mais de 1000.
Resposta: ERRADO
c) Se Pedro desejar comer apenas bananas, haverá quatro maneiras de escolher algumas frutas para comer.
Resolução
Se ele quer apenas bananas, ele poderia pegar uma, duas, três ou quatro, ou seja, ele tem 4 opções.
Resposta: CERTO
Obs: A questão pode ter outra interpretação, repare que ele vai escolher algumas frutas, ou seja, poderíamos eliminar a opção de comer apenas uma banana e ter apenas 3 opções.
d) Se Pedro desejar comer apenas um tipo de fruta, a quantidade de maneiras de escolher frutas para comer será superior a 100.
Resolução
· Se ele comer apenas Uva ele terá 10 opções
· Se ele comer apenas Maçã ele terá 2 opções
· Se ele comer apenas Laranja ele terá 3 opções
· Se ele comer apenas Banana ele terá 4 opções
· Se ele comer apenas Abacaxi ele terá apenas 1 opção
Total de 20 opções, ou seja, inferior a 100.
Resposta: ERRADO
Questão 3 (PF – CESPE 2012). Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
a) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100.
Resolução
Temos uma permutação de 5 pessoas (5 pessoas e 5 lugares para sentar).
Pn = n!
P5 = 5!
P5 = 5.4.3.2.1
P5 = 120 maneiras
Resposta: CERTO
b) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.
Resolução
Temos
· duas opções para delegados
· duas opções para peritos
· duas opções para escrivães
· duas entre quatro opções para agentes
Para escolher os dois agentes temos uma combinação de 4, tomados 2 a 2:
Total: 2 x 2 x 2 x 6 = 48
Resposta: ERRADO
Questão 4 (BB – Cesgranrio 2010). Uma artesã de bijuterias fabrica um colar de contas no qual utiliza 16 contas pequenas e duas contas grandes, cujo modelo é apresentado abaixo.
Os critérios que ela utiliza para montar cada colar são os seguintes:
· as contas pequenas são todas da mesma cor;
· contas grandes devem ter cores diferentes;
· se as contas pequenas forem da cor “x”, nenhuma conta grande pode ser da cor “x”.
Sabendo-se que a artesã dispõe de contas pequenas brancas, pretas, azuis e laranjas e de contas grandes brancas, vermelhas, verdes, azuis e rosas, de quantos modos distintos ela pode escolher as cores das contas que irão compor um colar?
a) 28
b) 30
c) 32
d) 40
e) 42
Resolução
Cores para as contas pequenas: branca, preta, azul e laranja
Cores para as contas grandes: branca, vermelha, verde, azul e rosa
Se escolhermos branca ou azul para as contas pequenas, cores comuns as duas, para escolhermos as cores das contas grandes teremos uma combinação de 2 em 4, logo:
2 x C(2,4) = 2 x 6 = 12
Se escolhermos preta ou laranja para as contas pequenas, cores que não podem ser usadas nas contas grandes, para escolhermos as cores das contas grandes teremos uma combinação de 2 em 5, logo:
2 x C(2,5) = 2 x 10 = 20
Total: 12 + 20 = 32
Resposta: C
Questão 5 (TRT ES – CESPE 2009). Em 2007, no estado do Espírito Santo, 313 dos 1.472 bacharéis em direito que se inscreveram no primeiro exame do ano da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB) conseguiram aprovação. Em 2008, 39 dos 44 bacharéis provenientes da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) que fizeram a primeira fase do exame da OAB foram aprovados.
Com referência às informações contidas nos textos acima, julgue a seguinte afirmação:
“Com relação à primeira fase do exame da OAB de 2008, caso se deseje formar uma comissão composta por 6 bacharéis provenientes da UFES, sendo 4 escolhidos entre os aprovados e 2 entre os reprovados, haverá mais de 9 × 10^5 maneiras diferentes de se formar a referida comissão.”
Resolução
Temos uma combinação de 4 em 39 para os aprovados e uma combinação de 2 em 5 para os reprovados.
C4,39 x C2,5
C4,39 = 39!/[4!.(39-4)!]= 39!/4!.35! = 39.38.37.36/4.3.2.1 = 82251
C2,5 = 5!/[2!.(5-2)!] = 5!/2.3! = 5.4/2 = 10
C4,39 x C2,5 = 82251 x 10 = 822510 = 8,2 x 10^5 < 9,5 x 10^5
Resposta: ERRADO
Questão 6 (RFB – ESAF 2009). Sabe-se que os pontos A,B,C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:
a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32
Resolução
Vejamos na figura abaixo como estão dispostos os pontos:
A questão pode ser resolvida de duas formas distintas:
Resolução 1
Temos que dois pontos bastam para determinar uma reta, então basta fazer a combinação dos 7 pontos tomados 2 a 2, subtraindo a combinação dos 4 pontos (colineares) tomados 2 a 2, somando a reta que passa pelos 4 pontos colineares.
C7,2 – C4,2 + 1 = 7!/(7-2)!2! – 4!/(4-2)!2! + 1 = 21 – 6 + 1 = 16
Resolução 2
Cada um dos 3 pontos não colineares pode ser ligado nos 4 pontos colineares, ou seja, cada um forma 4 retas, daí, temos 3 x 4 = 12 retas.
Podemos também formar 3 retas utilizando apenas os 3 pontos não colineares.
Por último, uma reta que passa pelos 4 pontos colineares.
Logo, 12 + 3 + 1 = 16
Resposta: A
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre o famoso Princípio Fundamental da Contagem, também conhecido como PFC.
O tema é bem tranquilo mas exige muita atenção dosestudantes, como todo o conteúdo de Análise Combinatória.
Bom estudo!
 
 
Questão 1. Arnaldo planeja ir à praia e deseja utilizar uma camiseta, uma bermuda e um chinelo. Sabe-se que ele possui 5 camisetas, 6 bermudas e 3 chinelos. De quantas maneiras distinta Arnaldo poderá vestir-se?
a) 18
b) 30
c) 90
d) 108
 
Resolução
Número de opções de camisetas: 5
Número de opções de bermudas: 6
Número de opções de chinelos: 3
Pelo Principio Fundamental da Contagem:
5 x 6 x 3 = 90
Resposta: C
 
 
Questão 2. Uma prova possui 5 questões de múltipla escolha, onde cada uma possui 4 opções distintas. De quantas maneiras a prova pode ser resolvida?
a) 512
b) 1024
c) 525
d) 2056
 
Resolução
Cada uma das 5 questões possui 4 opções distintas.
Pelo PFC:
4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024
Resposta: B
 
 
Questão 3. Quantos números de três algarismos distintos existem?
a) 648
b) 981
c) 936
d) 999
 
Resolução
Para que o número tenha 3 algarismos, o zero não pode ser utilizado nas centenas. Podemos então utilizar qualquer dos algarismos de 1 a 9, ou seja, temos 9 opções.
Analisando as dezenas, podemos utilizar o zero e qualquer um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas centenas. Temos então 9 opções.
Analisando agora o algarismo das unidades, podemos utilizar um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas dezenas ou nas centenas. Temos então 8 opções.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC):
9 x 9 x 8 = 648
Resposta: A
 
 
Questão 4 (Petrobras – Cesgranrio 2014). Uma senha de 5 caracteres distintos deve ser formada usando as letras A e O e os números 0, 1, 2. As senhas devem começar e terminar com letras, mas não é permitido usar o 0 (zero) ao lado do O (letra o).
Quantas senhas podem-se formar atendendo às regras estabelecidas?
A) 12
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
Resolução
Devemos formar a senha da seguinte forma:
Letra – Número – Número – Número – Letra
 
Como só podemos utilizar duas letras, temos duas opções Veja:
A _ _ _ O
O _ _ _ A
 
O próximo passo é organizar os números. A única restrição que temos é que o zero e a letra O não podem ficar juntos. Desta forma, temos duas opções para o algarismo zero. Exatamente as duas posições não adjacentes a letra O. Veja:
A 0 _ _ O
A _ 0 _ O
 
Basta agora localizarmos os algarismos 1 e 2. Como restam duas posições, o primeiro a ser incluído tem duas opções, enquanto o segundo tem apenas uma.
Daí, pelo Principio Fundamental da Contagem (PFC):
2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 8
Resposta: B
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Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.
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QUESTÃO 171 – ENEM 2019
15 COMMENTS
1. 
Elisandra
04/07/2018 at 15:12
Nessa 4 não seria duas opções para o 0? porque tem a opção dele ficar entre O–0A e O-0-A, e a que está ai que é A0–O e A-O-O sendo então a possibilidade de 4 ao invés de 2?
Responder
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Jordon
23/07/2018 at 18:56
Olá Elisandra,
No total serão 4, porém como consideramos inicialmente duas opções para as extremidades, podemos considerar apenas duas opções para o zero (2 x 2 = 4).
Responder
2. 
Evania
29/07/2018 at 18:05
Por favor na questão 4 sobre a senha não seria o caso de 3 opções pro zero sendo q ele pode tbm ficar no meio.dando uma resposta de 12 possibilidades? ??
Responder
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Jordon
26/08/2018 at 23:12
Olá Evania!
O zero não pode ficar próximo ao O.
Responder
3. 
Julia Muniz
17/09/2018 at 21:30
Adorei!!!!!!!!!!!
Responder
4. 
Helen
16/10/2018 at 02:20
Não consegui entender o final do exercício 4, onde será localizado os algarismos. Por que 2x2x2x1x1=8?
Responder
5. 
Victor Ribeiro
13/11/2018 at 21:06
Senhor Jordon aumenta os níveis das questões que tá muito fácil
Responder
6. 
Emmanuel
02/01/2019 at 22:08
A terceira questão está ERRADA.
É início que não se pode por 0 na casa da centena. Porém isso não ocorre na dezena e unidade, que dispõe de 0 a 9 como opções (10 opções possíveis, contando com o zero). Com isso, temos 9.10.10=900
Responder
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Jordon
21/02/2019 at 21:15
Caro Emmanuel,
O enunciado informa que não podemos repetir os algarismos.
Responder
7. 
Pedro
30/01/2019 at 14:22
Muito boas essas questões para exercitar a mente!….. Muito obrigado!
Responder
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Mineses
16/04/2020 at 09:27
Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções têm de escolha?
Responder
8. 
José Ribeiro
31/05/2019 at 16:56
Boa tarde, Jordon.
Se for possível responder até amanhã (01/06/2019), agradeço.
Abraço,
José
QUESTÃO 1:
Daiane é uma pessoa bastante desconfiada e decidiu mudar a senha de seu celular. A senha antiga era formada por 4 dígitos numéricos escolhidos dentre os algarismos de sua data de nascimento. Daiane, agora, resolveu criar uma senha de 5 dígitos numéricos, também escolhidos dentre os algarismos de sua data de nascimento. Supondo que Daiane tenha nascido em 23/09/84, então o número total de senhas possíveis que ela terá a mais, em relação ao que ela tinha anteriormente, é:
A) 96.
B) 60.
C) 120.
D) 84.
E) 24.
QUESTÃO 2:
Sair para comer sushi virou tradição em determinados grupos. Imagine que você e seus três amigos saem para comer sushi e, até que os pedidos cheguem, vocês decidem pegar um papel e começar a escrever as letras da palavra temaki, conforme imagem mostrada:
TEMAKITEMAKITEMAKI
TEMAKITEMAKI…
Considere que o amigo 1 escreve a letra T, o amigo 2 escreve a letra E, e assim sucessivamente, sendo que, quando o amigo 4 escrever a letra A, o ciclo retorna para o amigo 1, que continua a brincadeira, escrevendo, na rodada dois, a letra K. Sendo assim, supondo que nenhuma das letras da palavra temaki será escrita errado, qual dos amigos irá escrever a 2019ª letra dessa sequência e qual será essa letra?
A) Será o amigo 4 e ele escreverá a letra K.
B) Será o amigo 2 e ele escreverá a letra T.
C) Será o amigo 2 e ele escreverá a letra M.
D) Será o amigo 3 e ele escreverá a letra M.
E) Será o amigo 3 e ele escreverá a letra T.
QUESTÃO 3:
Criciúma é conhecida como a capital nacional do carvão. Imagine que, em determinado evento da cidade, foi impresso em 6 cartolinas diferentes as letras C, A, R, V, A e O, uma letra em cada cartolina. Essas cartolinas são entregues para 6 pessoas diferentes segurarem, lado a lado. Supondo que essas pessoas vão ficar trocando de lugar entre si, ao longo do evento, o número total de palavras distintas que elas poderão formar, com ou sem sentido, é:
A) 180.
B) 720.
C) 360.
D) 480.
E) 640.
Responder
9. 
Isael
01/07/2019 at 17:50
Um torneio internacional de basquete será disputado por oito seleções ( Brasil, França, Estados unidos, Argentina, Portugal, África do sul, Austrália, China). As oito equipes serão distribuídas em dois grupos A e B, Com quatro equipes cada um, de forma que Seleções de um mesmo continente não estejam no mesmo grupo. Sabendo que a organização do torneio considera que a América do sul e a América do norte são continentes diferentes, de quantas maneiras diferentes o grupo A poderá ser formado?
Responder
10. 
Jhenifer
02/06/2020 at 21:44
Boa noite. No exercício 4, pq o quinto algarismo da resposta é 1 também? Foi a única coisa que eu nao entendi…
2.2.2.1.1=8
Responder
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Jordon
27/08/2020 at 15:33
Jhenifer,
existem duas letras, sendo que uma delas já foi escolhida para a primeira casa, restando apenas uma opção para a última.
Responder
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE FATORIAL
Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre o fatorial de um número natural, ferramenta muito utilizada na análise combinatória.
Sugerimos que acesse primeiramente o nosso conteúdo sobre o assunto, onde você vai encontrar a definição de fatorial e vários exemplos.
Bom estudo!
Questão 1. Calcule o valor das frações abaixo:
Resolução
ResoluçãoResolução
Questão 2. Simplifique as expressões abaixo:
Resolução
Resolução
Questão 3 (ESFCEX 2006). Para n natural, n≥2, quanto vale a expressão abaixo?
a) n!
b) (n − 1)!
c) (n + 1)!
d) n.(n + 1)!
e) (n − 2)!
Resolução
Resposta: A
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QUESTÃO 171 – ENEM 2019
50 COMMENTS
1. 
Jessica
01/07/2017 at 19:38
eu gostaria de tirar uma dúvida, em (n-4)!/(n-3)! o menor fatorial não seria o (n-4) sendo assim tendo que abri-lo? no caso o resultado ficaria n-3, Obrigada!
Responder
· 
Jordon
02/07/2017 at 20:31
Olá Jessica!
(n-4)! = (n-4).(n-5).(n-6)….3.2.1
(n-3)! = (n-3).(n-4).(n-5).(n-6)….3.2.1
(n-4)!/(n-3)! = 1/(n-3)
Responder
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Glender Barroso
29/06/2020 at 09:41
O resultado é 1/(n-3)
Responder
2. 
Willian
20/08/2017 at 13:08
poderia me ajudar a simplificar esta expressao?
n! + (n + 1)! / n!+ 2(n-1)!
Responder
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Jordon
30/08/2017 at 22:35
Olá Willian!
Não há muita coisa para simplificar.
Favor verificar se não existe algum erro de digitação.
n! + (n + 1)!/n! + 2(n-1)!
n! + (n + 1) + 2(n-1)!
n(n-1)! + (n + 1) + 2(n-1)!
(n+2).(n-1)! + (n+1)
Responder
3. 
paulo
15/10/2017 at 13:03
eu gostaria de tirar uma duvida como fazer (n+3)! . (n-1)! dividido por
(n-2)! . (n+2)!
Responder
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Jordon
17/10/2017 at 19:40
Olá Paulo!
Basta fazer as seguintes substituições:
(n+3)! = (n+3).(n+2)!
(n-1)! = (n-1).(n-2)!
Responder
4. 
GUSTAVO ITALO
25/10/2017 at 22:30
NA QUESTAO B SOBRE FATORIAL
DE ONDE VEIO O 2 ?
Responder
· 
Jordon
06/11/2017 at 23:01
Gustavo,
3! = 3.2.1 = 3.2
Responder
5. 
Julia Silva
08/11/2017 at 20:12
Gostaria de entender a questão 3 a partir do momento em que fica
n.(n-1)(n-2)
Responder
· 
Jordon
18/11/2017 at 15:59
Olá Julia!
Temos n.(n-1).(n-2)!
Como (n-2)! = (n-2).(n-3)…3.2.1, temos que:
n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)…3.2.1 = n!
Responder
6. 
Delio
17/11/2017 at 15:33
Excelente Blog, tem me ajudado muito.
Responder
7. 
Juliana Lupe
10/01/2018 at 19:07
Olá! Essa última questão da ESFCEX eu nbão entendi bem… Não sei como efetuar o9 (1-1/n)
Responder
· 
Jordon
24/01/2018 at 15:23
Olá Juliana!
Você deve calcular o mmc e efetuar a subtração.
Responder
8. 
Monica
22/02/2018 at 09:39
Olá ,na questão da Esfcex ,eu não entendi por que o n²! saiu ,poderia me explicar
Responder
· 
Jordon
01/03/2018 at 00:02
Olá Monica!
Temos n.(n-1).(n-2)!
Como (n-2)! = (n-2).(n-3)…3.2.1, temos que:
n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)…3.2.1 = n!
Responder
9. 
leyda william
01/03/2018 at 17:13
peço pra mi explicar isso (n+3)! -2 (n+3)!÷(n+2)! -n!
Responder
· 
Jordon
02/03/2018 at 11:58
Olá Leyda!
Favor revisar a expressão.
Responder
10. 
Salmina
18/03/2018 at 14:27
Pode ajudar a simplificar 7!-8!+6!
8!-6
Responder
· 
Jordon
24/03/2018 at 18:37
Olá Salmina!
Basta colocar o 6! em evidência.
Responder
11. 
Fulgêncio
19/03/2018 at 17:51
desculpem mas como posso resolver um caso destes:
-(n-2)!(n+3)!
Responder
· 
Jordon
24/03/2018 at 18:39
Fulgêncio!
Favor confirmar a expressão que você escreveu.
Responder
12. 
Isabela
29/03/2018 at 17:49
Como eu cálculo o valor de n na seguinte expressão: (n+2)!=6n!
Responder
· 
Jordon
08/04/2018 at 13:07
Olá Isabela!
A igualdade proposta valerá apenas quando n+2 = 6n
6n = n+2
6n – n = 2
5n = 2
n = 2/5
Como n é um número natural, o seu problema não possui solução.
Responder
· 
Milocas
04/05/2020 at 05:07
Ola Jordon! Esse exercício é diferente da Isabela pelo que o resultado também é diferente.
Responder
· 
Jordon
28/05/2020 at 15:06
Olá!
O exercício original é como?
Responder
13. 
Eliana Mavie
06/04/2018 at 03:18
(n+3)! (n+1)! / n!(n+1)
Responder
· 
Jordon
28/04/2018 at 09:15
(n+3)! (n+1)! / n!(n+1)
(n+3)!.(n+1).n! / (n+1).n!
(n+3)!
Responder
14. 
Tayllane santos
03/05/2018 at 15:18
12! / 10! + 9!
Responder
· 
Jordon
10/05/2018 at 23:22
Olá Tayllane!
12! / 10! + 9!
12.11.10! / 10! + 9!
12.11 + 9!
132 + 9!
Responder
15. 
Cleuci
26/05/2018 at 18:44
2= / m!/1/4 – 7 / 1 / ( m+1)!/
Responder
16. 
Rafa
07/06/2018 at 20:49
Por favor explique-me como resolver n! + (n-1)! / (n+1)! – n! = 6/25
Responder
· 
Jordon
24/06/2018 at 20:51
Olá Rafaela,
n! + (n-1)! / (n+1)! – n! = 6/25
(n-1)! / (n+1).n.(n-1)! = 6/25
1/(n+1).n = 6/25
1/(n²+n) = 6/25
6.(n²+n) = 25
…
Responder
17. 
andressa
06/07/2018 at 19:21
Olá! como ficaria :
3n!/(n+2)! poderia me ajudar
Responder
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Jordon
23/07/2018 at 18:57
3n!/(n+2)! = 3n!/(n+2)(n+1).n! = 3/(n+2)(n+1)
Responder
18. 
Jaislane Passos
20/11/2018 at 09:38
Olá como Ficaria (n-8)!(n-9)=12
Responder
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Jordon
11/02/2019 at 22:31
Olá Jaislane!
12 = 3.2.1.2 = 3!.2 = (11-8)!.(11-9)
Daí, n = 11.
Responder
19. 
Raquel Pierini Lopes dos Santos
26/11/2018 at 15:04
Por favor, me auxiliem com esta questão. Disseram que é fatorial.
Uma seleção de 6 meninos e 4 meninas, deve ser escolhida dentre 10 meninos e 7 meninas para realização de um comercial de TV. De quantos modos diferentes esse comercial pode ser realizado? sabendo que todos terão funções idênticas?
Responder
20. 
Ana
27/11/2018 at 18:30
Gostaria de saber a resolução da seguinte questão : (n+1)!+n!/2n!. Obrigada.
Responder
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Jordon
11/02/2019 at 22:39
Olá Ana!
(n+1)! + n!/2n!
(n+1)! + 1/2
Sugiro que confira a expressão.
Responder
21. 
jucara goncalves
17/01/2019 at 09:35
como resolver 12!/ (3!)^4 ?
Responder
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Jordon
06/03/2019 at 09:26
Olá Juçara!
12!/ (3!)^4
12!/ 3!.3!.3!.3!
12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1/3.2.3.2.3.2.3.2
A simplificação fica por sua conta…
Responder
22. 
Beatriz
13/02/2019 at 18:06
Jordon, preciso saber… Como seria se a expressão fosse (n – 9)! = 1? E (n – 2)! = 2(n – 4)? Por favor, me ajdaaa
Responder
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Jordon
02/04/2019 at 09:19
Olá Beatriz!
(n – 9)! = 1
(n – 9) = 1
n = 1 + 9
n = 10
(n – 2)! = 2(n – 4)
(n-2).(n-3).(n-4).(n-5)! = 2.(n-4)
(n-2).(n-3).(n-5)! = 2
Veja que não tem solução para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Responder
23. 
Asaf
25/03/2019 at 16:37
Olá tem esse arquivo em pdf?
Responder
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Jordon
27/03/2019 at 18:17
Olá Asaf!
Apenas no site…
Responder
24. 
Laila
03/04/2019 at 10:52
Olá! Como eu calculo (n-5)! / (n-3) =1/28
Responder
25. 
Diogo
20/05/2020 at 13:22
Não consigo achar o valor dessa expressão: 37! – 36!/35!
Responder
26. 
Anna Luísa Domingos
04/06/2020 at 11:18
Oi,
Porque quando a divide 10!/8!, sempre começa do 10 e não do 8??
Responder
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Jordon
27/08/2020 at 15:34
Anna,
Porque 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre os arranjos simples, todos retirados das últimas provas de concursos que cobram análise combinatória.
O ideal é que o aluno já tenha estudado o conteúdo sobre o assunto e também sobre fatorial de um número natural.
Bom estudo!
 
 
Questão 1 (BRDE – AOCP 2012). A expressão arranjo é
 
Resolução
Clique aqui para ver que a fórmula utilizada em nosso material didático foi:
A única diferença para a fórmula da letra B é que foi utilizado o x no lugar do k, o que não faz diferença alguma.
Resposta: B
 
 
Questão 2 (PM SC – Cesiep 2011). Em uma corrida com 10 atletas competindo pergunta-se: de quantos modos distintos (combinações) podem ser conquistadas as medalhas de Ouro, Prata e Bronze?
a) 800
b) 1000
c) 720
d) 300
 
Resolução
Considerando que a ordem importa, temos um arranjo simples com 10 atletas, tomados 3 a 3:
Resposta: C
 
 
Questão 3 (Liquigás – CESGRANRIO 2012). Em uma pequena sala de projeção, há cinco cadeiras dispostas em linha, lado a lado, e numeradas de 1 a 5.
Quatro pessoas vão ocupar quatro dessas cadeiras. As possíveis ocupações das cadeiras distinguem-se não só pela cadeira vazia, mas, também, pela disposição das pessoas nas cadeiras ocupadas.
De quantos modos as cadeiras podem ser ocupadas pelas quatro pessoas?
a) 5
b) 20
c) 24
d) 120
e) 1.024
 
Resolução
Podemos analisar a questão como um arranjo simples explorandoa ideia de que 4 cadeiras em 5 serão escolhidas, e que a ordem em cada uma delas é importante.
Temos assim um arranjo de 5 cadeiras, tomadas 4 a 4.
Resposta: D
 
 
Questão 4 (Sefaz RJ – Coperj 2010). Em uma fila do cinema há 5 cadeiras consecutivas vazias.
O número de maneiras que três pessoas, A, B e C, podem sentar- se nelas é:
a) 10
b) 15
c) 30
d) 45
e) 60
 
Resolução
Claramente temos um arranjo de 5 cadeiras, tomadas 3 a 3.
Resposta: E
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Tagged with: ANÁLISE COMBINATÓRIA ARRANJOS
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Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.
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Arranjo com repetição
QUESTÃO 171 – ENEM 2019
13 COMMENTS
1. 
merco
06/03/2017 at 00:55
mucha gracia ,faltou letra por que o meu teclado etá quebrado
Responder
2. 
salvador Tobias Pedro
31/05/2017 at 07:26
Foi bom ter partilhado esta pagina, gostei me ajjude a perceber a ter o dominio de analise combinatoria
Responder
3. 
André
26/07/2017 at 16:20
muito bom! conseguir acertar todas. é um assunto que cai bastante no concurso que irei prestar.
Responder
4. 
José
18/09/2017 at 20:07
Posso estar equivocado; mas creio que se o exercício de número 2 – Em uma corrida com 10 atletas competindo pergunta-se: de quantos modos distintos (combinações) podem ser conquistadas as medalhas de Ouro, Prata e Bronze? trata-se de uma combinação então o resultado teria que ser 120, porque se não estaríamos falando de arranjo.
Responder
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Jordon
19/09/2017 at 21:27
Olá José!
A “combinação” citada no enunciado deve ser interpretada de acordo com o seu significado no dicionário:
1. ato ou efeito de combinar.
2. reunião de coisas, semelhantes ou diferentes, em determinada ordem.
Cabe a nós interpretar se 10 atletas, tomados 3 a 3, onde a ordem é relevante, é um arranjo ou uma combinação, no contexto da análise combinatória.
ResponderEXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE ANAGRAMAS
Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre o calculo da quantidade de anagramas, um dos tópicos estudados na Análise Combinatória.
Não deixe de ler primeiro as nossas páginas sobre como resolver anagramas e também como calcular fatorial.
Bom estudo!
 
 
Questão 1 (Anatel – Cespe 2009 – adaptada). Considerando-se que um anagrama da palavra ANATEL seja uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, que n1 seja a quantidade de anagramas distintos que é possível formar com essa palavra e n2 seja a quantidade de anagramas distintos dessa palavra que começam por vogal, então n2/n1 é igual a:
a) 1/2
b) 2
c) 1
d) 2/3
e) 3/2
 
Resolução
Calculando a quantidade de anagramas da palavra ANATEL.
Temos um total de 6 letras e uma repetição da letra A:
Daí, n1 = 360
 
Calculando a quantidade de anagramas da palavra ANATEL que começam por vogal.
Como existe uma repetição da letra A, que é uma vogal, temos dois casos a considerar:
· Caso 1 – Anagramas que começam com a letra A
· Caso 2 – Anagramas que começam com a letra E
 
Caso 1. Nos casos onde a primeira letra é A, devemos calcular a quantidade de anagramas com as letras restantes, ou seja, calcular a quantidade de anagramas da palavra NATEL.
Como temos um total de 5 letras distintas, podemos calcular da seguinte forma:
5! = 5.4.3.2.1 = 120
 
Caso 2. Nos casos onde a primeira letra é E, devemos calcular a quantidade de anagramas da palavra ANATL.
Como temos um total de 5 letras, sendo que a letra A se repete, podemos calcular da seguinte forma:
5! / 2! = 5.4.3.2.1 / 2.1 = 60
 
Daí, n2 = 120 + 60 = 180
 
Finalizando,
n2 / n1 = 180/360 = 1/2
Resposta: A
 
 
Questão 2 (Copel – UFMT 2013). Com as letras da palavra COPEL, a soma do número de anagramas distintos que começam com C com o número de anagramas distintos que começam com C e terminam com L é igual a:
a) 40
b) 35
c) 30
d) 45
 
Resolução
Calculando a quantidade de anagramas que começam com C:
Basta calcular a quantidade de anagramas da “palavra” OPEL. Como temos 4 letras distintas:
4! = 4.3.2.1 = 24
 
Calculando a quantidade de anagramas que começam por C e terminam com L:
Basta calcular a quantidade de anagramas da “palavra” OPE. Como temos 3 letras distintas:
3! = 3.2.1 = 6
 
Finalizando,
24 + 6 = 30
Resposta: C
 
 
Questão 3 (Transpetro – Cesgranrio 2011). Qual é o número de anagramas da palavra TRANSPETRO em que as letras PETRO ficam juntas e nessa ordem?
a) 6! / 2!.2!
b) 6!
c) 6!.5!
d) 10! / 2!.2!
e) 10!
 
Resolução
Sabemos que a palavra TRANSPETRO possui 10 letras, porém o objetivo da questão é que as letras PETRO fiquem juntas e nessa ordem. Para fins de cálculo, vamos considerar que a palavra PETRO é apenas uma letra.
Devemos então calcular a quantidade de anagramas de uma “palavra” com 6 letras (T, R, A, N, S, PETRO).
Conforme visto em nosso material didático, basta calcular o valor de 6!.
Resposta: B
 
 
Questão 4 (PM ES – AOCP). Considerando a palavra SOLDADO, é correto afirmar que
(A) é possível formar 360 anagramas dessa palavra que começam pela letra L.
(B) é possível formar 720 anagramas dessa palavra que começam pela letra D.
(C) é possível formar 5040 anagramas dessa palavra, no total.
(D) é possível formar 24 anagramas dessa palavra que começam com a letra D e terminam com a letra O.
(E) é possível formar 12 anagramas dessa palavra que terminam com as letras SOL, nessa ordem.
 
Resolução
Quantidade de anagramas que começam com a letra L.
L _ _ _ _ _ _ (duas letras D e duas letras O)
6! / 2!2! = 180
 
Quantidade de anagramas que começam com a letra D.
D _ _ _ _ _ _ (duas letras O)
6! / 2! = 360
 
Quantidade total de anagramas.
_ _ _ _ _ _ _ (duas letras D e duas letras O)
7! / 2!2! = 1260
 
Quantidade de anagramas que começam com D e terminam com O.
D _ _ _ _ _ O
5! = 120
 
Quantidade de anagramas que terminam com SOL.
_ _ _ _ S O L (duas letras D)
4! / 2! = 12
Resposta: E
 
 
Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre anagramas?
Deixe o seu comentário.
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QUESTÃO 171 – ENEM 2019
11 COMMENTS
1. 
Ariane
20/08/2017 at 16:11
Muito bom, me ajudou bastante!
Responder
2. 
Duda
15/11/2017 at 18:10
Boa tarde! Na questão 3 as letras que estão repetidas não vão ser levadas em consideração não?
Responder
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Jordon
26/11/2017 at 15:01
Olá Duda!
Como dito, devemos considerar PETRO como mais uma letra, ou seja, não temos letras repetidas.
Responder
· 
CELIO
19/12/2018 at 15:53
Professor Jordon, por que você, na questão 3, considera PETRO como uma única letra e na questão 4, letra E, você não faz o mesmo com SOL? Não deveríamos considerá-lo com uma letra também?
Responder
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Jordon
21/02/2019 at 21:07
Olá Célio!
Porque, ao contrário de PETRO, SOL deve ser fixada no final da palavra.
Responder
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Flávio
11/08/2020 at 19:21
Boa noite , quantos são os anagramas da palavra perigo que começam por vogais
3. 
Dalvan
30/11/2018 at 23:04
Na palavra COPEL Quantos anagramas é possível fazer começando apenas com VOGAIS?
Responder
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morgan
28/09/2019 at 11:55
2! 6! = 12
Responder
4. 
NEILSON
08/05/2019 at 10:47
Obrigado, muito bom esses exercícios
Responder
5. 
warlyson oliveira perera
06/04/2020 at 15:06
Não entendi o resutado final da ANATEL {1/2 } e de onde saiu os 360???
Responder
· 
Jordon
30/04/2020 at 21:12
Warlyson,
360 é a quantidade de anagramas da palavra ANATEL.
n1/n2 = 1/2
Responder
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José Henrique
06/11/2017 at 19:59
Esta questão é um arranjo pois a ordem importa , é diferente vc ganhar a medalha de ouro e a de bronze.É diferente ser campeão e 3° colocado .
Responder
5. 
Keitisson Robson13/12/2017 at 18:09
muito obrigado por disponibilizar esse conteúdo de forma tão explicativa, me ajudou muito, já tinha estudado o conteúdo, porém essas suas resoluções solidificaram melhor o conteúdo, pois ainda tinha algumas dúvidas quanto ao uso de cada uma, obrigado.
Responder
6. 
Doodoo
23/01/2018 at 21:32
Prezado Professor
Há dois dias, em situação de prova, deparei-me com a seguinte questão:
* Em um quadro para chaves, há uma fileira de 6 ganchos vazios.
Três chaves distintas devem ser posicionadas nessa fileira, sendo uma em cada gancho, de modo que entre duas chaves imediatamente próximas sempre tenha exatamente um gancho vazio. O número de maneiras diferentes de se posicionarem as chaves nessa fileira de ganchos é? *
Bem, Professor, em prova às vezes um e outro detalhes podem passar despercebidos, mas a condicional ENTRE DUAS CHAVES IMEDIATAMENTE PRÓXIMAS SEMPRE TENHA EXATAMENTE UM GANCHO VAZIO parece ser um restritivo impróprio para o resultado informado como correto, que foi 12 (doze maneiras).
Peço ao professor, dentro das possibilidades, a análise do problema anotado.
Muito obrigado!
Responder
· 
Suellen Manoela
09/02/2018 at 15:53
Inicialmente podemos colocar 3,0,2,0,1,0= 6 ou 0,3,0,2,0,1,0 =6
6 + 6=12
Essa foi a minha lógica. Acho que por isso chegamos ao resultado 12
Espero ter ajudado
Responder
· 
victorcasas180@gmail.com
20/03/2018 at 18:00
Não entendi como chegou aos números 3,0,2,0,1,0 & 0,3,0,2,0,1,6, poderia explicar melhor como chegou nesta conclusão?
Responder
· 
Florença
28/02/2019 at 17:38
3 chaves para escolher uma e colocar no primeiro gancho. um gancho vazio e duas chaves para escolher uma para colocar no gancho novamente pula um gancho e coloca a ultima chave e depois s´inverteu o processo.
Responder
7. 
Cristiane Maria dos Santos
12/05/2018 at 06:58
Um time de de salão de futebol possui 10 atletas mas somente 5entraram para jogar.calcule os arranjos possíveis
Responder
8. 
concurseiro
14/03/2019 at 13:09
obrigado!!!!!!!!!!!!