P1 (2011.2)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
1a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: (2,5 pontos) Seja D regia˜o do plano xy, situada acima do eixo x e limitada pelas curvas
y ex = 1, y ex = 2, y e−x = 3 e y = 1.
(a) Escolha uma mudanc¸a de varia´veis que transforme D numa regia˜o D′, a mais simples que
for poss´ıvel e calcule o determinante jacobiano da mudanc¸a(∂(x,y))∂(u,v) );
(b) Esboce D′ e descreva-a algebricamente como um conjunto de inequac¸o˜es;
(c) Utilizando o resultado dos itens anteriores, determine o valor da integral dupla
∫
D y
2 ex dA.
2a Questa˜o: (2,5 pontos) Seja D = {(x, y) ∈ IR2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , y ≤ x , x2 + y2 ≥ 4 } e considere
f(x, y) = 1
(x2+y2)Ln2 (
√
x2+y2)
.
(a) Esboce a regia˜o D; escolha uma aproximac¸a˜o admiss´ıvel para D, formada por conjuntos
fechados e limitados Dn; esboce Dn para um n ≥ 3 arbitra´rio;
(b) Utilize mudanc¸a polar de varia´veis para transformar Dn num conjunto D′n e descreva este
conjunto algebricamente, como um conjunto de inequac¸o˜es, para um n ≥ 3 arbitra´rio;
(c) Utilize os resultados dos itens anteriores para calcular
∫
Dn
|f(x, y)| dA;
(d) Mostre que
∫
D f(x, y) dA converge e calcule seu valor.
3a Questa˜o: (2,5 pontos) Utilizando somente integral tripla e mudanc¸a cil´ındrica de varia´veis, deter-
mine o volume do so´lido Ω, situado acima do plano xy, limitado pelas superf´ıcies
S1: z = 36− x2 − y2 e S2: z = 16− x2 − y2 e interno a` superf´ıcie S3: x2 + y2 = 4x.
4a Questa˜o: (2,5 pontos) Utilizando somente integral tripla e mudanc¸a esfe´rica de varia´veis, deter-
mine o volume do so´lido Ω, limitado pelas superf´ıcies S1 : x2+y2+(z−3)2 = 9, S2 : z =
√
x2 + y2
e S3 : z =
√
3(x2 + y2).
LEMBRETES:
sen 2α = 1−cos (2α)2 cos
2 α = 1+cos (2α)2
sen (pi6 ) = cos (
pi
3 ) =
1
2 sen (
pi
4 ) = cos (
pi
4 ) =
√
2
2 sen (
pi
3 ) = cos (
pi
6 ) =
√
3
2
sen (pi2 ) = 1 cos (
pi
2 ) = 0
mudanc¸a polar mudanc¸a cil´ındrica mudanc¸a esfe´rica
x = r cos θ, |J | = r x = r cos θ, |J | = r x = ρ senϕ cos θ, |J | = ρ2 senϕ
x = r sen θ x = r sen θ, z = z y = ρ senϕ sen θ, z = ρ cosϕ