Lista Geometria Anaítica - Mudança de Base

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unesp Facu ld ad e d e En gen h ar ia - Cam p u s d e Ilh a Solt eira 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
"Jú lio d e Mesq u ita Filh o" 
P rofª L i lia n Y u li Isoda - D epto. de M a tem ática 
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Exercícios 3 setembro/2016
Nos exercícios 1 a 3 considere a base E=( e⃗1, e⃗2 , e⃗3) .
Exercício 1. Sendo u⃗=(1,−1, 3) , v⃗=(2, 1, 3) e w⃗=(−1,−1, 4).
a) Ache as coordenadas de u⃗+ v⃗ , u⃗ – 2 v⃗ e u⃗+ 2 v⃗ – 3 w⃗ .
b) Verifique se u⃗ é combinação linear de v⃗ e w⃗.
c) Escreva t⃗ =(4,0 ,13) como combinação linear de u⃗ , v⃗ , w⃗.
Exercício 2. Ache m de modo que u⃗=(1, 2, 2) seja combinação linear de
v⃗=(m−1, 1, m−2) e w⃗=(m+ 1, m−1, 2). Em seguida, determine m para que
( u⃗ , v⃗ , w⃗) seja LD.
Exercício 3. Decida se a sequência (conjunto) formados pelos vetores são LI ou LD:
a) u⃗=(0, 1, 0) e v⃗=(1, 0, 1)
b) u⃗=(0, 1, 1) e v⃗=(0, 3, 1)
c) u⃗=(1,−3, 14) e v⃗=(
1
14
,−
3
14
, 1)
d) u⃗=(1, 0, 0) , v⃗=(200, 2, 1) e w⃗=(300, 1, 2)
e) u⃗=(1, 2, 1), v⃗=(1, −1, −7) e w⃗=(4, 5, −4)
f) u⃗=0⃗
g) u⃗=(1, 1, 1)
Exercício 4. Calcule ∥u⃗∥, sendo E=( e⃗1 , e⃗2 , e⃗3) base ortonormal, no seguintes casos:
 a) u⃗=e⃗1+ e⃗2+ e⃗3=(1,1 ,1)E b) u⃗=−e⃗1+ e⃗2 c) u⃗=−4 e⃗1+ 2 e⃗2−e⃗3
Exercício 5. Dê a matriz mudança da base E=( e⃗1, e⃗2, e⃗3) para a base F=( f⃗ 1 ,f⃗ 2, f⃗ 3) no casos:
a) 
f⃗ 1=−3e⃗1+ e⃗2+ e⃗3
f⃗ 2= e⃗1−2 e⃗2+ e⃗3
f⃗ 3= e⃗1+ 2 e⃗2
b)
f⃗ 1=e⃗1−e⃗3
f⃗ 2= 3 e⃗3
f⃗ 3=4 e⃗1−3e⃗2
Exercício 6. Sendo v⃗=−4 f⃗ 1+ f⃗ 2−f⃗ 3 ache v⃗ em função de e⃗1 , e⃗2 , e⃗3, nos casos do
exercício anterior.
Exercício 7. Sendo E=( e⃗1, e⃗2, e⃗3) , F=( f⃗ 1 ,f⃗ 2, f⃗ 3) bases, com 
f⃗ 1=2 e⃗1−e⃗3
f⃗ 2=e⃗2+ 2 e⃗3
f⃗ 3= 7 e⃗3
e w⃗=e⃗1+ e⃗2+ e⃗3, ache w⃗ em termos da base F.
Exercício 8. Sejam E=( e⃗1 , e⃗2 , e⃗3) , F=( f⃗ 1 ,f⃗ 2, f⃗ 3) , G=(g⃗1 , g⃗2 , g⃗3) bases, combinação
e⃗1=
√3
2
f⃗ 1−
1
2
f⃗ 3
e⃗2=
1
2
f⃗ 1+
√3
2
e⃗3
e⃗3= f⃗ 2
 
g⃗1=e⃗1+ e⃗3+ e⃗3
g⃗2=e⃗1+ e⃗2
g⃗3= e⃗1
Determine todas as matrizes de mudança de base envolvendo E, F, e G.