lista6sol 324

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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2008
Lista de Exerc´ıcios 6 - Soluc¸a˜o
Question 1)
a) Para o j-e´simo grupo:
yj = x
0
jβ + εj
onde yj, xj e εj sa˜o vetores de dimensa˜o jx1. Pre´-multiplicando ambos os lados
por [1/j] i
0
, onde i e´ um vetor jx1 de uns, resulta em
1
j
i0yj =
1
j
i0x0jβ +
1
j
i0εj ⇒ y¯j = x¯0jβ + ε¯j
Para todos os grupos:
y¯ = x¯0β + ε¯,
onde y¯ =
£
y¯1 y¯2 ... y¯j
¤
, x¯ =
£
x¯1 x¯2 ... x¯j
¤
, ε¯ =
£
ε¯1 ε¯2 ... ε¯j
¤
.
Ω = E [ε¯ε¯0] = E


ε¯1ε¯1 ε¯1ε¯2 ε¯1ε¯j
ε¯2ε¯1 ε¯2ε¯2 ε¯2ε¯j
ε¯j ε¯1 ε¯j ε¯2 ε¯j ε¯j

 =


σ2 0 0
0 σ2/2 0
0 0 σ2/J


O estimador de GLS e´ βˆ
GLS
=
¡
X¯ 0Ω−1X¯
¢−1 ¡
X¯ 0Ω−1y¯
¢
. Mas
Ω−1 =


1/σ2 0 0
0 2/σ2 0
0 0 J/σ2


Consequentemente, o estimador de GLS e´ igual a
βˆ
GLS
=


JX
j=1
x¯j x¯0j
σ2/j


−1
JX
j=1
x¯j y¯j
σ2/j
=


JX
j=1
jx¯j x¯
0
j


−1
JX
j=1
jx¯j y¯j
Os pesos sa˜o dados pelo nu´mero de observac¸o˜es em cada grupo. Os grupos
que tem mais observac¸o˜es possuem menor variaˆncia e portanto, recebem maior
peso.
1
b) O coeficiente de determinac¸a˜o e´ uma medida nume´rica de ajuste e na˜o
e´ surpresa que os valores me´dios dos dados agrupados esteja mais pro´ximo da
linha de regressa˜o do que os valores da amostra inteira, dando um melhor ajuste.
Mas isto na˜o contradiz o teorema de Gauss-Markov. A variaˆncia do estimador,
por outro lado, mede a precisa˜o com que estimamos os coeficientes.
Questa˜o 2)
a) Seja ι um vetor de uns de dimensa˜o Tx1. O estimador de OLS de µ e´
igual a
µˆOLS = (ι0ι)−1 ι0y =
P
yt
T
A variaˆncia e´ dada por
V ar
h
µˆOLS |X
i
= (ι0ι)−1 ι0Ωι (ι0ι)
onde
Ω = E [εε0] =


σ2 + δ2 δ2 δ2
δ2 σ2 + δ2 δ2
δ2 δ2 σ2 + δ2


Assim,
V ar
h
µˆOLS |X
i
=
1
T
£
σ2 + Tδ2 σ2 + Tδ2 ... σ2 + Tδ2
¤
ι
1
T
=
1
T
£
Tσ2 + T 2δ2
¤ 1
T
=
σ2
T
+ δ2
O estimador de GLS de µ e´ igual a
µˆGLS =
¡
ι0Ω−1ι
¢−1
ι0Ω−1y
Seja
Ω−1 =


a11 a12 a1T
a21 a22 a2T
aT1 aT2 aTT


Enta˜o


σ2 + δ2 δ2 δ2
δ2 σ2 + δ2 δ2
δ2 δ2 σ2 + δ2




a11 a12 a1T
a21 a22 a2T
aT1 aT2 aTT

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Isto implica que ¡
σ2 + δ2
¢
a11 + δ
2a21 + ...+ δ
2aT1 = 1
2
δ2a11 +
¡
σ2 + δ2
¢
a21 + ...+ δ
2aT1 = 0
δ2a11 + δ
2a21 + ...+
¡
σ2 + δ2
¢
aT1 = 0
que por sua vez implica que
a21 = a31 = ... = aT1 = a
σ2a11 − σ2a21 = 1⇒ a11 =
1
σ2
+ a
e ¡
σ2 + Tδ2
¢
a11 +
¡
σ2 + Tδ2
¢
(T − 1) a = 1⇒¡
σ2 + Tδ2
¢µ 1
σ2
+ a
¶
+
¡
σ2 + Tδ2
¢
(T − 1) a = 1⇒¡
σ2 + Tδ2
¢ 1
σ2
+
¡
σ2 + Tδ2
¢
Ta = 1⇒
a =
1− (σ
2+Tδ2)
σ2
T
¡
σ2 + Tδ2
¢ ⇒ a = 1
T
¡
σ2 + Tδ2
¢ − 1
Tσ2
⇒ a = σ
2 − σ2 − Tδ2
Tσ2
¡
σ2 + Tδ2
¢ = − δ2
σ2
¡
σ2 + Tδ2
¢
Assim,
a11 =
1
σ2
− δ
2
σ2
¡
σ2 + Tδ2
¢ = σ2 + Tδ2 − δ2
σ2
¡
σ2 + Tδ2
¢ = σ2 + (T − 1) δ2
σ2
¡
σ2 + Tδ2
¢
Devido a` simetria do problema, conclu´ımos que
Ω−1 =
1
σ2
¡
σ2 + Tδ2
¢


σ2 + (T − 1) δ2 −δ2 −δ2
−δ2 σ2 + (T − 1) δ2 −δ2
−δ2 −δ2 σ2 + (T − 1) δ2


Assim,
µˆGLS =
¡
ι0Ω−1ι
¢−1
ι0Ω−1y
=
¡£
σ2 σ2 σ2
¤
ι
¢−1 £
σ2 σ2 σ2
¤
y
=
σ2
P
yt
Tσ2
=
P
yt
T
O estimador GLS de µ e´ igual ao estimador de OLS. Consequentemente,
suas variaˆncias sa˜o iguais, ou seja,
V ar
h
µˆGLS |X
i
= V ar
h
µˆOLS |X
i
=
σ2
T
+ δ2
3
A eficieˆncia relativa de OLS e´ 1.
Questa˜o 3)
As varia´veis endo´genas sa´o aquelas que aparecem no lado esquerdo das
equac¸o˜es, isto e´, Ct, It e yt. Gt sa˜o exo´genas e yt−1 e´ pre´-determinada, valendo
como uma varia´vel exo´gena neste exerc´ıcio.
Para discutir a identificac¸a˜o, reescrevamos o sistema como abaixo
£
Ct It yt
¤ 1 0 −10 1 −1
−α1 −β1 1

+
£
1 yt−1 Gt
¤ −α0 −β0 00 β1 0
0 0 −1

 =


u1t
u2t
0


ou, de maneira alternativa, como
YtΓ+ x
0
tB + εt
onde
Yt =
£
Ct It yt
¤
, x0t =
£
1 yt−1 Gt
¤
, ε0t =
£
u1t u2t 0
¤
,
Γ =


1 0 −1
0 1 −1
−α1 −β1 1


e
B =


−α0 −β0 0
0 β1 0
0 0 −1


Po´s-multiplicando por Γ−1, obtemos
Yt = x
0
tΠ+ vt
onde
Π = BΓ−1 e vt = εtΓ−1
O coeficiente de uma das varia´veis endo´genas em cada equac¸a˜o e´ normalizado
em 1. Esta varia´vel sera´ referida como a varia´vel dependente, para distingu´ı-
la das varia´veis endo´genas. A condic¸a˜o de ordem, a qual e´ necessa´ria para
identificac¸a˜o, requer queK∗j , nu´mero de varia´veis exo´genas exclu´ıdas da equac¸a˜o
j, seja maior ou igual a Mj , nu´mero de varia´veis endo´genas inclu´ıdas na j-e´sima
equac¸a˜o
Para a equac¸a˜o do consumo,K∗j =
£
yt−1 Gt
¤
eMj = [yt] , enquanto, para
a func¸a˜o investimento, K∗j = [Gt] e Mj = [yt] . Enta˜o a condic¸a˜o e´ satisfeita em
ambos os casos.
4
Para confirmar que existe ao menos uma soluc¸a˜o, analisamos a condic¸a˜o de
posto, a qual e´ suficiente para identificac¸a˜o. Seja
A =
·
Γ
B
¸
=


1 A1
−γj A2
0 A3
−βj A4
0 A5


A notac¸a˜o e´ descrita a seguir. A primeira coluna de A, aj, da´ os coeficientes
da j-e´sima equac¸a˜o. Em ordem decrescente temos os coeficientes da varia´vel
dependente na equac¸a˜o j, os coeficientes das endo´genas covariadas inclu´ıdas,
dos coeficientes dos regressores endo´genos exclu´ıdos, dos regressores exo´genos
inclu´ıdos e das covariadas exo´genas exclu´ıdas. As matrizes A1, A2, A3, A4 e A5
da˜o os respectivos coeficientes das outras equac¸o˜es.
Considere uma transformac¸a˜o na˜o singular A˜ = Af dos coeficientes estru-
turais, que sa˜o equivalentes a A, ou seja, resultam nos mesmos coeficientes da
forma reduziada Π. O modelo e´ dito identificado se todas as falsas estruturas
consistentes com a teoria (admiss´ıvel) implicam em f = I. Seja a˜j o coeficiente
da j-e´sima equac¸a˜o implicada por uma estrutura admiss´ıvel arbrita´ria:
a˜j =


1 A1
−γj A2
0 A3
−βj A4
0 A5


·
f0
f1
¸
=


1
γ˜j
0
β˜j
0


Se esta estrutura alternativa e´ admiss´ıvel, enta˜o devemos ter elementos na˜o
nulos no mesmo lugar como no original aj , zeros na mesma posic¸a˜o e coeficiente
da varia´vel dependente igual a 1. Implicando que f0 = 1 e·
A3
A5
¸
f1 = 0
Para assegurar que f1 = 0 e, assim, que f = I,
£
A03 A
0
5
¤0
deve ter posto
completo, ou seja,
posto
·
A3
A5
¸
=M − 1
onde M representa o nu´mero de varia´veis endo´genas no sistema.
Sumarizando, se K∗j > Mj e a condic¸a˜o de posto e´ satisfeita, a equac¸a˜o e´
sobreidentificada. Por outro lado, se K∗j =Mj e a condic¸a˜o de posto vale, enta˜o
temos exata identificac¸a˜o. Finalmente, se as condic¸o˜es de ordem ou de posto
na˜o sa˜o satisfeitas, a equac¸a˜o e´ subidentificada.
Em nosso caso, as colunas da matriz abaixo conte´m os coeficientes das
varia´veis para as treˆs equac¸o˜es do sistema.
5
Ct It yt 1 yt−1 Gt
Ct : 1 0 −α1 −α0 0 0
It : 0 1 −β1 −β0 β1 0
Gt : −1 −1 1 0 0 −1
Segue que as submatrizes A3 e A5 nas equac¸o˜es de consumo e investimento
sa˜o dadas por
Ct : A3 =
£
1 −1
¤
, A5 =
·
β1 0
0 −1
¸
e posto


1 −1
β1 0
0 −1

 = 2
It : A3 =
£
1 −1
¤
, A5 =
£
0 −1
¤
e posto
·
1 −1
0 −1
¸
= 2
Assim, da discussa˜o anterior, a equac¸a˜o de consumo esta´ sobreidentificada e
a equac¸a˜o de investimento esta´ exatamente identificada.
Questa˜o 4)
a)
Y1 Y2 Y3 X1 X2 X3
(1) 1 0 −β13 0 −γ12 0
(2) −β21 1 −β23 −γ21 −γ22 0
(3) 0 0 1 0 0 −γ33
Pela condic¸a˜o de posto, temos para equac¸a˜o 1 que:¯¯¯¯
1 0
0 −γ33
¯¯¯¯
= −γ33 6= 0
A equac¸a˜o (1) do modelo exclui duas varia´veis exo´genas e inclui apenas
uma varia´vel endo´gena ale´m de Y1. Associado a` condic¸a˜o de posto vista acima,
conclu´ımos que a equac¸a˜o e´ sobreindentificada.
A equac¸a˜o (2), por sua vez, na˜o pode ser identificada pois na˜o satisfaz a
condic¸a˜o de ordem, uma vez que exclui apenas uma varia´vel endo´gena e inclui
duas varia´veis endo´genas ale´m de Y2.
Pela condic¸a˜o de posto, temos para equac¸a˜o 3 que:¯¯¯¯
1 0
−β21 1
¯¯¯¯
= −γ33 6= 0
A equac¸a˜o (3) exclui duas varia´veis exo´genas e na˜o inclui nehuma varia´vel
endo´gena ale´m de Y3, enta˜o conclu´ımos que (3) e´ sobre indentificada.
b) Primeiramente, estimaria, por OLS, uma regressa˜o de Y3 contra todasas
varia´veis exo´genas do modelo. Ou seja,
Y3 =
∧
γ1X1 +
∧
γ2X2 +
∧
γ3X3 + ut =
∧
Y3 + νt
6
Depois, estimamos por OLS o modelo
Y1 =
∧
Y 3 + γ12X2 + µ1
onde
∧
β13e
∧
γ12sa˜o os estimadores para β13 e γ12.
A expressa˜o para a variaˆncia de µ1e´:
∧
V ar [µ1] =
∧
σi = [(Y1 − β13Y3 − γ12X2) 0 (Y1 − β13Y3 − γ12X2)]T−1
Note que usamos Y3 e na˜o
∧
Y 3no estimador da variaˆncia de µ1.
Questa˜o 5)
a) O modelo na forma estrutural pode ser escrito na forma reduzida como
abaixo £
y1 y2
¤ · 1 −β
−α 1
¸
+ [x]
£
−δ −γ
¤
=
·
u1
u2
¸
ou, de maneira alternativa, como
Y Γ+ x0B + ε
onde
Y =
£
y1 y2
¤
, x0 =
£
1 x
¤
, ε0 =
£
u1 u2
¤
,
Γ =
·
1 −β
−α 1
¸
e
B =
£
−δ −γ
¤
Po´s-multiplicando por Γ−1, obtemos a forma reduzida
Y = x0Π+ v
onde
Π = BΓ−1 e v = εΓ−1
b) A condic¸a˜o de ordem, a qual e´ necessa´ria para identificac¸a˜o, requer que
K∗j , nu´mero de varia´veis exo´genas exclu´ıdas da equac¸a˜o j, seja maior ou igual a
Mj , nu´mero de varia´veis endo´genas inclu´ıdas na j-e´sima equac¸a˜o.
Assim, quando γ = 0 temos que para a primeira equac¸a˜o , K∗j = ∅ e
Mj = [y1] , enquanto, para a segunda equac¸a˜o, K∗j = [x] e Mj = [y2] . Enta˜o a
equac¸a˜o 1 na˜o e´ identificada, logo α e δ na˜o sa˜o identificados. Mas a equac¸a˜o 2
e´ identificada. Na matriz abaixo fica evidente que a condic¸a˜o de posto tambe´m
7
vale para a equac¸a˜o 2, pois o posto de uma matriz de zero elementos e´ consid-
erado zero.
y1 y2 x
y1 : 1 −α −δ
y2 : −β 1 0
c) Pode-se estimar a segunda equac¸a˜o pelo me´todo de varia´veis intrumentais
utilizando como instrumento a varia´vel x. Onde o estimador de β e´:
βˆ
IV
=
P
(xy1)−1
P
xy2
E a variaˆncia assinto´tica de β e´
var(βˆ
IV
) = (σ22E(xy2)
−1E(xx0)E(xy2)−1)/n
8