Esperança matematica

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1. ESPERANÇA MATEMÁTICA (VALOR ESPERADO)
Seja X uma v.a. com densidade f(X) e seja u(X) uma função qualquer. O valor esperado de u(X) é:
1.1 Teorema: Linearidade do Valor Esperado
Sejam a e b constantes e u, v funções quaisquer de X, Então:
em particular 
2. VARIANCIA DE UMA VARIAVEL ALEATÓRIA
Em particular VAR(a) = 0
2.1 Média e variância de uma função linear de uma v.a.
Seja 
, com a e b constantes e Y e X são v.a. Como a média e variância de Y e X se relacionam?
2.2 Atenção: Sejam X e Y v.a., então:
VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) + 2.COV(X,Y)
VAR(X - Y) = VAR(X) + VAR(Y) - 2.COV(X,Y)
2.3Fórmula alternativa !
VAR(X) = media dos quadrados – quadrado da média.
Exemplo1:
Em um jogo de azar temos o número de certos de cada individuo. I1 = 2, I2 = 1, I3 = 0.
Qual a média de acertos e a variância?
 e 
Exemplo 2;
Um aluno muito fraco na escola tem as seguintes notas: MAT = 3, FIS = 2, POR = 4, ING = 1. Qual a media e a variância das notas do aluno.
 = 1,25
Dp(X) = 1,12
3. COVARIANCIA.
3.1 Relação entre duas variáveis
A covariância pode ser entendida como uma variância conjunta entre duas variáveis. A covariância entre duas variáveis é influenciada pela importância que uma variável tem sobre a outra, de tal modo que duas variáveis independentes têm covariância zero. Mas a recíproca não é verdadeira.
 média dos produtos – produto das médias.
Propriedades.
Exemplo:
A tabela abaixo traz o consumo e a taxa de juros básica estabelecida em um país.
4. COEFICIENTE DE VARIAÇÀO
É obtido retirando-se o efeito dos valores de cada uma das variáveis sobre a covariância. Isto é feito dividindo-se esta última pelos desvios-padrão das variáveis.
4.1 Propriedade:
Os valores do coeficiente de variação variam no intervalo [-1, 1]
Exercícios
1) Determine cada item abaixo, sabendo que X e Y são v.a. e que 
, 
, 
, 
 
a) 
b) 
c) 
d) VAR(2X)
e) VAR(Y +6)
f) dp(5X) + dp(6Y)
2) Dadas as variáveis aleatórias X, Y e Z, sendo:
VAR(X) = 4 COV(Y, Z) = -3
VAR(Y) = 9 X e Y independentes
VAR(Z) = 1 X e Z independentes
Calcule:
VAR(X +Y)
VAR(X – Y)
VAR(2X + 3Y)
VAR(4X -2)
CORR(X, Y)
COV(4Z, 5Y)
3) O coeficiente de correlação entre X e Y é 0,6. W = 3+4X e Z= 2 – 2Y, determine o coeficiente de correlação entre W e Z.
ESTIMADORES NÃO VIESADOS (NÃO VICIADOS)
A 1ª propriedade (desejável) de um estimador é que este estimador, na média, acerte o valor certo. Isto é, se pudéssemos repetir a experiência um numero de vezes muito grande, o valor médio das estimativas encontradas em cada experimento seria o valor correto do parâmetro populacional.
A esperança do estimador deve ser o parâmetro populacional, o primeiro acerta o valor do último. Se isso ocorre, dizemos que o estimador é não viesado.
Se, entretanto o estimador erra, em média, dizemos que ele é viesado. E a definição de viés é : 
Perguntas:
1. A média amostral é um estimador não viesado da média populacional?
[espaço para demonstração]
2. A média ponderada 
 é um estimador não viesado da média populacional?
3. Um professor muito rigoroso??
Um professor decidiu calcular a média das notas de seus alunos criando uma nova média de notas: 
. Parece claro que este estimador joga a média para baixo!
Mostre que este estimador é viesado e calcule o seu viés.
VARIANCIA DE ESTIMADORES: ESTIMADORES EFICIENTES
Não basta que um estimador acerte na média. É desejável que, além disso, ele seja o mais preciso possível, não disperse muito ou, em outras palavras, tenha a menor variância possível.
Um estimador é dito eficiente se;
for não viesado e 
entre os estimadores não viesados, tenha a menor variância
Portanto, para conhecermos as propriedades de um estimador, convém calcular a variância. Para a média amostral, a variância é dada por:
Exemplo: Para o estimador 
, determine sua variância. 
Conclusões: .............
Entre dois estimadores não viesados, dizemos que é mais eficiente o que apresenta menor variância. Mas se comparamos dois estimadores quaisquer? Como comparar?
Definimos o erro quadrático médio como a diferença entre o valor do estimador e do parâmetro ao quadrado. Assimpara um estimador 
, temos:
Como 
 é um parâmetro, é portanto uma constante. E :
�� EMBED Equation.3 
O erro quadrado do estimador tem duas componentes: o estimador erra o valor do prametro em função do quanto varia (sua variância) e ainda, quando for o caso, pelo fato de não acertar na media (ser viesado).
Para dois estimadores quaisquer, 
 e
, se 
 tem menor erro quadrático médio do que 
, então 
 é relativamente mais eficiente do que 
.
Para dois estimadores não viesados, dizer que o erro quadrático médio é menor equivale a dizer que a variância é menor.
Exemplo: Determine qual dos estimadores da média dados abaixo é relativamente mais eficiente.
MELHOR ESTIMADOR LINEAR NÃO VIESADO
Uma terceira propriedade desejável de um estimador é que ele seja um MELNV.
Para ser um MELNV o estimador tem que:
Ser não viesado;
Ser linear
Entre estes, apresentar a menor variância.
A estimação por máxima verossimilhança
O principio da estimação por máxima verossimilhança é o seguinte: se soubermos qual é a distrbuicao de probabiidade da população, os valores dos parâmetros a serem estimados serão aqueles que a maximização a chance ( a probabilidade) de que os valores obtidos na amostragem sigam, de fato, a distribuição em questão.
Seja uma f.d.p dada por 
. A função de verossimilhança será:
 a partir da função de verossimilhança podemos encontrar o estimador de máxima verossimilhança. Ele é obtido a partir da maximização de 
, que é feita através da equação 
Para facilitar os cálculos é mais eficiente derivar a função log verossimilhança. Definida por 
Exemplo:
Suponha que obtemos uma amostra aleatória de tamanho n = 5 com densidade Poisson com media 
. Os valores observados na amostra são:
, 
, 
, 
, 
Encontre o estimador de máxima verossimilhança
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_1302279354.unknown
_1302279901.unknown
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