Exercícios de Cálculo I

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UFMG – Cálculo I
Lista 1
1. Determine o domı́nio da função
i) f(x) = 5
ii) g(x) =
√
2x−x2
2−x−x2
iii) h(x) = 11−| sinx|
iv) f(x) = −ex + ln
√
x.
v) f(x) = x
1
3 + 2x
4
3
vi) f(x) = e
x−1
x+1
vii) f(x) = − x− 2
x2 − 4x+ 4
.
2. Determine se f é ı́mpar, par, ou nem uma coisa nem outra.
i) f(x) = e−x
2
ii) g(x) = |x+ 1|+ |x− 1|+ |2x|
3. Considere a função f(x) = x3 − 1.
a) Mostre que a função é injetiva
b) Determine “uma fórmula” para f−1
c) Faça o esboço dos gráficos de f e f−1.
4. Sejaf(x) =
{
x2 − 1 se x > 1
3x− 1 se x < 1
a) Qual é o domı́nio de f?
b) Calcule f(0), f(−1) e f(2).
c) Seja g(x) = f(x− 2). Determine g explicitando seu domı́nio.
d) Para que valores de x tem-se que f(x) = 0?
e) Seja h(x) =
1
f(x)
. Qual é o domı́nio de h?
5. a) Encontre uma equação para a famı́lia de funções lineares com inclinação 2 e
esboce os gráficos de vários de membros da famı́lia.
b) Encontre uma equação para a famı́lia de funções lineares tais que f(2) = 1 e
esboce os gráficos de vários membros da famı́lia.
c) Qual função pertence a ambas famı́lias?
1
6. Uma pista de atletismo de 800m é formada por dois semićırculos e 2 segmentos de
reta paralelos. Encontre a função que dá a área do retângulo formado pelos trechos
retos da pista em função do comprimento de um dos trechos retos.
7. Considere um pedaço de papel com 4 polegadas de raio, como está esquematizado
na figura abaixo. Corte um setor com um comprimento de arco x. Junte as duas
extremidades da parte remanescente para formar um cone de raio r e altura h,
como está indicado na figura à direita.
4 pol
x
h
r
4 pol
a) Explique por que o comprimento da circunferência da base do cone é 8π − x.
b) Expresse o raio e a altura em função de x
c) Expresse o volume V do cone em função de x.
8. Uma caixa sem tampa deve ser constrúıda de um pedaço retangular de papelão de
dimensões 12 cm por 20 cm. Para isso, devem-se cortar quadrados de lado x de
cada canto e depois dobrar. Expresse o volume V da caixa como uma função de x.
9. Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3
horas. Supondo que inicialmente exitam 100 bactérias:
a) Qual o tamanho da população após 3 horas?
b) Qual o tamanho da população após t horas?
c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir
50000 bactérias.
10. Resolva
a) 2 lnx = 1
b) e2x+3 − 7 = 0
c) 3log3(x
2) = 5elnx − 3 · 10log10(2)
d) 5x = 25 · 5−1
e) 2x+1 − 16 ≤ 0.
f) (2x − 2)( 15x−1) < 0.
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