Questão resolvida - Use a regra de L´Hospital para calcular os seguintes limites ... - Cálculo I - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Use a regra de L´Hospital para calcular os seguintes limites:
 
a e + x) lim
x→+∞
x
2
x
 
Resolução:
Subtituindo o limite; e + x = e +∞ = +∞+∞ = +∞lim
x→+∞
x
2
x +∞( )
2
+∞
( )0 ( )0
 
 é uma indeterminação. Para o teroema de L´Hospital é preciso manipular o limite da +∞( )0
seguinte forma;
Alicando as propriedades dos expoentes, temos que : e + x = e = ex
2
x ln e +xx
2
x ln e +x
2
x
x
= e
2ln e + x
x
x
 
Voltando para o limite e substituindo, fica:
e = e = e = e = elim
x→+∞
2ln e + x
x
x
limx→+∞
2ln e + x
x
x 2ln e +∞
+∞
+∞
2ln +∞+∞
+∞
( ) 2ln +∞
+∞
( )
 
, isto pode ser visto no gráfico abaixo:ln +∞ = +∞( )
 
 
Continuando: e = e = e
2ln +∞
+∞
( ) 2 ⋅ +∞
+∞
( ) +∞
+∞
 
Em indeterminações do tipo e é possível aplicar a regra de L'Hopital, que diz que o 
0
0
±∞
±∞
limite quando ocorre uma das indeterminações citadas é:
 
=lim
x→k
f x
g x
( )
( )
lim
x→k
f' x
g' x
( )
( )
 
Assim, aplicando essa regra no nosso limite, fica:
 
e = e = e
limx→+∞
2ln e +x
x
x
limx→+∞
2
1
e +1
e +x
x
x
2limx→+∞
e + 1
e +x
x
x
 
Subtituindo novamente o limite; 
 
 
 
e = e = e = e
2⋅limx→+∞
e + 1
e + x
x
x
2⋅limx→+∞
e + 1
e + +∞
+∞
+∞ 2⋅
+∞+ 1
+∞+∞
2⋅
+∞
+∞
 
Como a indeterminação é é possível aplicar novamente a regra de L'Hopital;
+∞
+∞
 
e = e
2⋅limx→+∞
e + 1
e + x
x
x
2⋅limx→+∞
e
e + 1
x
x
 
Subtituindo novamente o limite; e = e = e = e
2⋅limx→+∞
e
e + 1
x
x
2⋅
e
e + 1
+∞
+∞ 2⋅
+∞
+∞+ 1( )
2⋅
+∞
+∞
 
Como a indeterminação é é possível mais uma vez a regra de L'Hopital;
+∞
+∞
 
e = e = e = e = e
2⋅limx→+∞
e
e + 1
x
x 2⋅limx→+∞
e
e
x
x 2⋅1limx→+∞ 2limx→+∞ 2
 
b −) lim
x→0+
1
x
1
sen x( )
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; − = − = −lim
x→0+
1
x
1
sen x( )
1
0+
1
sen 0+
1
0+
1
0+
Ao estudar a função vemos que como visto no gráfico abaixo:
1
x
= +∞
1
0+
 
 
Com isso: − = +∞- +∞ = +∞-∞
1
0+
1
0+
( )
 
 é uma indeterminação, juntando as expressões que estão entre parenteses usando +∞-∞
m.m.c. fica:
 
, − =
1
x
1
sen x( )
sen x - x
xsen x
( )
( )
 
Voltando para o limite e substituindo, fica: = = =lim
x→0+
sen x - x
xsen x
( )
( )
sen 0 - 0
0 sen 0
+ +
+ +
0 - 0
0 ⋅ 0
0
0
Em indeterminações do tipo e é possível aplicar a regra de L'Hopital, com isso, o 
0
0
±∞
±∞
limite fica:
 
= =lim
x→0+
sen x - x
xsen x
( )
( )
lim
x→0+
cos x - 1
1 ⋅ sen x + cos x ⋅ x
( )
( ) ( )
lim
x→0+
-sen x
cos x + -sen x x + 1 ⋅ cos x
( )
( ) ( ( ) ( ))
 
 
 
= = =lim
x→0+
-sen x
cos x - sen x x + cos x
( )
( ) ( ) ( )
lim
x→0+
-sen x
2cos x - sen x x
( )
( ) ( )
-sen 0
2cos 0 - sen 0 ⋅ 0
+
+ + +
 
= = = 0
0
2 ⋅ 1 - 0 ⋅ 0
0
2
 
 
c ) lim
x→+∞
2x + 1 
3x + 1
x
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite;
 = = =lim
x→+∞
2x + 1 
3x + 1
x
2 ⋅ +∞ + 1
3 +∞ + 1
( )
( )
+∞
+∞+ 1 
+∞+ 1
+∞
+∞ 
+∞
+∞
 
é uma indeterminação. Vamos, então, aplicar 
+∞ 
+∞
+∞
 propriedades dos expoentes;
 
 = e = e
2x + 1 
3x + 1
x
ln
2x + 1 
3x + 1
x
xln
2x + 1 
3x + 1
 
Voltando para o limite e resolvendo: 
 
e = e = e = elim
x→+∞
xln
2x + 1 
3x + 1
xlnlimx→+∞
2x + 1 
3x + 1
x⋅ lnlimx→+∞ limx→+∞
2x + 1 
3x + 1
x⋅lnlimx→+∞ limx→+∞
2x + 1 
3x + 1
 
= e = e = e
+∞⋅ln
2 ⋅ +∞ + 1 
3 +∞ + 1
( )
( )
+∞⋅ln
+∞+ 1 
+∞+ 1
+∞⋅ln
+∞ 
+∞
 
Em indeterminações do tipo e é possível aplicar a regra de L'Hopital, com isso, é 
0
0
±∞
±∞
possível usar L'Hopital no limite dentro do logaritmo neperiano:
 
e = e = e = e = e = =
x⋅lnlimx→+∞ limx→+∞
2x + 1 
3x + 1
x⋅lnlimx→+∞ limx→+∞
2 
3
+∞⋅ln
2 
3 +∞⋅ -0,41( ) -∞ 1
e+∞
1
+∞
 
 
= 0
 
 
d ) lim
x→+∞
ln e − e
x+ 1
2x x
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; 
 
 = = =lim
x→+∞
ln e − e
x + 1
2x x ln e − e
+∞+ 1
2 +∞( ) +∞ ln e − +∞
+∞
+∞ ( ) ln +∞−∞
+∞
( )
 
 é uma indeterminação. Vamos, então, manipular o limite para ser possível aplicar o +∞−∞
teorema de L'Hopital;
 
 = = lim
x→+∞
ln e − e
x + 1
2x x
lim
x→+∞
ln e − e
x + 1
x 2 x
lim
x→+∞
ln e e − 1
x + 1
( x x
 
Subtituindo novamente o limite; 
 = = = = =lim
x→+∞
ln e e − 1
x + 1
( x x ln e e − 1
+∞+ 1
( +∞ +∞ ln +∞ +∞− 1
+∞
( ( ) ln +∞ +∞
+∞
( ( )) ln +∞
+∞
( ) +∞
+∞
 
Com isso, é possível aplicar o teorema de L'Hopital, já que este é palicavel em 
indeterminações do tipo e ;
0
0
±∞
±∞
 
 = = =lim
x→+∞
ln e e − 1
x + 1
( x x
lim
x→+∞
ln e − e
x + 1
2x x
lim
x→+∞
⋅ e ⋅ 2− e
1
1
e −e2x x
2x x
lim
x→+∞
e ⋅ 2− e
e − e
2x x
2x x
 
= = = = = = = = 2lim
x→+∞
e ⋅ 2− e
e − e
2x x
2x x
lim
x→+∞
e ⋅ 2−
e 1−
2x 1
ex
2x 1
ex
lim
x→+∞
2−
1−
1
ex
1
ex
2−
1−
1
e+∞
1
e+∞
2−
1−
1
+∞
1
+∞
2− 0
1− 0
2
1