Questão resolvida - Determine o valor do limite da função [(x-11)^4-81]_(x-8) com x tendendo a 2 (Sem usar a regra de L'hospital) - Ciência e Tecnologia II - UFBA

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• Determine o valor do limite (Sem usar a regra de L'hospital)
 
lim
x 2→
x - 11 - 81
x - 8
3
4
3
 
Resolução:
 
Vamos fazer a seguinte substituição na função;
 
u = x - 11 e x - 11 = u x = u + 113 3 → 3
 
Perceba que se x tender a 2, u tende para : u = 2 - 11 u = 8 - 11 u = -3( )3 → →
Assim, o limite fica;
 
= =lim
u -3→
x - 11 - 81
x - 8
3
3
lim
u -3→
u - 81
u + 11 - 8
( )4
lim
u -3→
u - 81
u + 3
4
 
Agora, reescrevemos o limite como;
 
=lim
u -3→
u - 81
u + 3
4
lim
u -3→
u - 9
u + 3
2
2
( )2
 
Com isso, podemos aplicar a fatoração da diferença de 2 quadrados na expressão do 
numerador:
 
a - b = a - b a + b u - 9 = u - 9 u + 9 = u - 3 u + 92 2 ( )( ) ⏫⏪⏪⏪⏪⏪ 
2
2
( )2 2 2 2 ( )2 2
 
Veja que novamente é possível aplicar a diferença de 2 quadrados, então;
 
u - 3 u + 9 = u + 3 u - 3 u + 92 ( )2 2 ( )( ) 2
 
 
analogamente
 
Dessa forma, o limite fica;
 
Finalmente, substituindo o limite, temos;
 
u - 3 u + 9 = -3 - 3 -3 + 9 = - 6 ⋅ 9 + 9 = - 6 ⋅ 18lim
u -3→
( ) 2 ( ) ( )2 ( )
 
= u - 3 u + 9 = - 108lim
x 2→
x - 11 - 81
x - 8
3
4
3
lim
u -3→
( ) 2
 
 
= = u - 3 u + 9lim
u -3→
u - 81
u - 3
4
lim
u -3→
u + 3 u - 3 u + 9
u + 3
( )( ) 2
lim
u -3→
( ) 2
(Resposta )