Aula 6 - parte 2

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Probabilidade e Estatística
Aula 6 – Parte 2
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MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
Transformação Y = X2
� A Transformação Y = X2 :
� Seja X uma variável aleatória contínua com densidade 
f(x) e função de distribuição F(x). 
� Seja Y = X2. Então a densidade de Y é:
�� Nota: o Nota: o úúnico cuidado que dever ser tomado ao usar nico cuidado que dever ser tomado ao usar 
esta festa fóórmula rmula éé fazer as adaptafazer as adaptaçções necessões necessáárias quando rias quando 
X (a variX (a variáável original) for definida apenas na região x vel original) for definida apenas na região x ≥≥≥≥≥≥≥≥ 0 0 
(ou x (ou x ≤≤≤≤≤≤≤≤ 0), pois neste caso um dos termos 0), pois neste caso um dos termos √√√√√√√√y ou y ou -- √√√√√√√√y y 
acima seracima seráá nulo.nulo.
[ ]g y y f y f y( ) . . ( ) ( )= + −12
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� Demonstração:
� A função de distribuição de Y = X2 é:
� A densidade de Y é encontrada por diferenciação:
)()(
)Pr()Pr()Pr()( 2
yFyF
yXyyXyYyG
−−=
≤≤−=≤=≤=
[ ])()(.
.2
1)(.
.2
1)(.
.2
1
)(.
2
)(.
2
)()(
2/12/1
yfyf
y
yf
y
yf
y
yfyyfy
dy
ydGyg
−+=−+=
−







−−







==
−−
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
Transformação Y = X2
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� Exemplo No. 3:
� Seja X uma v.a. contínua com densidade:
� Veremos depois que esta é a densidade Normal (ou 
Gaussiana) com média zero e variância 1. 
� Seja Y = X2 . Encontre a densidade de Y utilizando o 
teorema anterior.
 real numero um e x onde,.
2
1)( 2/2xexf −=
pi
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
Transformação Y = X2 : Exemplo: Exemplo
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� Solução:
� Do teorema sabe-se que:
� Fazendo 
� A densidade de Y será:
� Veremos depois que esta é a densidade Qui-Quadrado com 1 
grau de liberdade.
[ ])()(.
.2
1)( yfyf
y
yg −+=
0y para .
2
1
2
2
.
.2
1
2
1
2
1
.
.2
1)(
2/2/12/
2/)(2/)( 22
≥=





=
=





+=
−−−
−−−
yy
yy
eye
y
ee
y
yg
pipi
pipi
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
Transformação Y = X2 : Exemplo: Exemplo
yxeyx −==
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MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Vantagens e DesvantagensVantagens e Desvantagens
� VANTAGENS E DESVANTAGENS DO MÉTODO
� O método da função de distribuição é bastante geral, 
pois pode ser empregado para transformações não 
injetoras. 
� Mas muitas vezes é difícil escrever a função de 
distribuição de Y e derivá-la. 
� Por isso apresentamos um método adicional para 
calcular a densidade de uma função de uma variável 
aleatória, que é chamado de método do Jacobiano. 
� O método do Jacobiano requer que a função Y = h(X) 
seja injetora.
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MMéétodo do Jacobianotodo do Jacobiano
� Seja X uma variável aleatória contínua definida num 
intervalo (a,b), com densidade f(x) e função de 
distribuição F(x). 
� Seja Y = h(X) onde h(.) é uma função contínua e 
injetora (ou seja, cada x é levado num y diferente). 
� Então a densidade de Y, g(y), pode ser encontrada 
da seguinte maneira:
dy
dx
xfyg ).()( =
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MMéétodo do Jacobianotodo do Jacobiano
� Por que o módulo |dx/dy| aparece na fórmula 
anterior?
���� Para garantir que g(y) seja sempre ≥≥≥≥ 0, pois dx/dy
pode ser negativo!
Também, x na expressão anterior está escrito em 
função de y, ou seja, a variável “velha” está em 
função da variável “nova”.
� Na expressão anterior, x = h-1(y) é expresso em 
termos da "nova" variável y.
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MMéétodo do Jacobianotodo do Jacobiano
� Se h(.) for uma função crescente (isto é, x1 ≤≤≤≤ x2
implica em h(x1) ≤≤≤≤ h(x2)) ���� então o intervalo de 
valores possíveis para Y é (h(a), h(b)). 
� Se h(.) é decrescente, ���� o intervalo de definição de Y 
é (h(b), h(a)).
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MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano -- ExemploExemplo
� Exemplo No. 1:
� Seja X uma variável aleatória contínua com 
densidade:
� Esta densidade é chamada de densidade Weibull, e é
muito usada para modelar o tempo de duração de 
componentes eletrônicos. 
� Seja Y = Xm . Encontre a densidade de Y.




=
−−
contrário caso 0
0> 0, > m 0, > x se ..)(
/1 α
α
αmxm
ex
m
xf
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MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano -- ExemploExemplo
� Solução:
� Note que Y = Xm é injetora quando x > 0.
� Pelo método do Jacobiano, a densidade de Y é:
� Calculando a derivada
11/1
.
1 −
=⇒=⇔= mmm y
mdy
dxyxxy
dy
dx
xfyg ).()( =
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MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano -- ExemploExemplo
� Substituindo na densidade de Y:
� Após simplificações, encontramos:
� Note que Y tem densidade Exponencial com parâmetro λλλλ
= 1/αααα , média αααα e variância αααα2.
0 y para >= − α
α
/
.
1)( yeyg
( ) ( )


















−==
−
−
m
yyym
dy
dx
xfyg
m
mm
mm
11/11/1
.exp..).()(
αα
11/1
.
1 −
==
mm y
mdy
dx
eyx
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MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano ––
Exemplo (para casa)Exemplo (para casa)
� Exercício No. 1:
� A velocidade de uma molécula de gás é uma variável 
aleatória contínua V com densidade dada por:
� E a > 0 é uma constante determinada a partir do fato 
de f(v) integrar a 1 no intervalo (0, + ∞∞∞∞). Seja Z a 
energia cinética da molécula de gás, dada por:
� Encontre a densidade de Z (você pode usar o método 
do Jacobiano ou o da função de distribuição)
0>v e gás do depende que constante uma é b onde,..)( 22 bvevavf −=
2
2mVZ =
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MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano ––
Exemplo (para casa)Exemplo (para casa)
� Exercício No. 2:
� A duração (Y) de componentes eletrônicos é às vezes 
modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a 
seguir.
� Encontre a densidade de U = Y2.
� Use o resultado acima para achar a média e variância 
de U.
( ) 0 y onde >





−






=
θθ
2
exp2 yyyf
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TransformaTransformaçções de Variões de Variááveis veis ––
ExercExercíício (para casa)cio (para casa)
� Exercício No. 3:
� Seja X uma v.a. contínua com densidade:
� Encontre a densidade de Y = 1/X
4
3( ) 1f x x
x
= >
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� Exercício No. 4:
� O preço de um ativo financeiro é uma v.a. contínua 
com densidade: 
� Encontre a densidade de Y = X2.
( ) 22 onde x > 0xf x xe−=
TransformaTransformaçções de Variões de Variááveis veis ––
ExercExercíício (para casa)cio (para casa)
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Tabela N(0,1)
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TabelaTabela dada N(0,1)N(0,1) ((ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) = Pr(Z ) = Pr(Z ≤≤≤≤≤≤≤≤ zz00))))
z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z )
0 . 0 0 0 . 5 0 0 0 0 . 6 2 0 . 7 3 2 4 1 . 2 4 0 . 8 9 2 5 1 . 8 6 0 . 9 6 8 6
0 . 0 2 0 . 5 0 8 0 0 . 6 4 0 . 7 3 8 9 1 . 2 6 0 . 8 9 6 2 1 . 8 8 0 . 9 6 9 9
0 . 0 4 0 . 5 1 6 0 0 . 6 6 0 . 7 4 5 4 1 . 2 8 0 . 8 9 9 7 1 . 9 0 0 . 9 7 1 3
0 . 0 6 0 . 5 2 3 9 0 . 6 8 0 . 7 5 1 7 1 . 3 0 0 . 9 0 3 2 1 . 9 2 0 . 9 7 2 6
0 . 0 8 0 . 5 3 1 9 0 . 7 0 0 . 7 5 8 0 1 . 3 2 0 . 9 0 6 6 1 . 9 4 0 . 9 7 3 8
0 . 1 0 0 . 5 3 9 8 0 . 7 2 0 . 7 6 4 2 1 . 3 4 0 . 9 0 9 9 1 . 9 6 0 . 9 7 5 0
0 . 1 2 0 . 5 4 7 8 0 . 7 4 0 . 7 7 0 4 1 . 3 6 0 . 9 1 3 1 1 . 9 8 0 . 9 7 6 1
0 . 1 4 0 . 5 5 5 7 0 . 7 6 0 . 7 7 6 4 1 . 3 8 0 . 9 1 6 2 2 . 0 0 0 . 9 7 7 2
0 . 1 6 0 . 5 6 3 6 0 . 7 8 0 . 7 8 2 3 1 . 4 0 0 . 9 1 9 2 2 . 0 2 0 . 9 7 8 3
0 . 1 8 0 . 5 7 1 4 0 . 8 0 0 . 7 8 8 1 1 . 4 2 0 . 9 2 2 2 2 . 0 4 0 . 9 7 9 3
0 . 2 0 0 . 5 7 9 3 0 . 8 2 0 . 7 9 3 9 1 . 4 4 0 . 9 2 5 1 2 . 0 6 0 . 9 8 0 3
0 . 2 2 0 . 5 8 7 1 0 . 8 4 0 . 7 9 9 5 1 . 4 6 0 . 9 2 7 9 2 . 0 8 0 . 9 8 1 2
0 . 2 4 0 . 5 9 4 8 0 . 8 6 0 . 8 0 5 1 1 . 4 8 0 . 9 3 0 6 2 . 1 0 0 . 9 8 2 1
0 . 2 6 0 . 6 0 2 6 0 . 8 8 0 . 8 1 0 6 1 . 5 0 0 . 9 3 3 2 2 . 1 2 0 . 9 8 3 0
0 . 2 8 0 . 6 1 0 3 0 . 9 0 0 . 8 1 5 9 1 . 5 2 0 . 9 3 5 7 2 . 1 4 0 . 9 8 3 8
0 . 3 0 0 . 6 1 7 9 0 . 9 2 0 . 8 2 1 2 1 . 5 4 0 . 9 3 8 2 2 . 1 6 0 . 9 8 4 6
0 . 3 2 0 . 6 2 5 5 0 . 9 4 0 . 8 2 6 4 1 . 5 6 0 . 9 4 0 6 2 . 1 8 0 . 9 8 5 4
0 . 3 4 0 . 6 3 3 1 0 . 9 6 0 . 8 3 1 5 1 . 5 8 0 . 9 4 2 9 2 . 2 0 0 . 9 8 6 1
0 . 3 6 0 . 6 4 0 6 0 . 9 8 0 . 8 3 6 5 1 . 6 0 0 . 9 4 5 2 2 . 2 2 0 . 9 8 6 8
0 . 3 8 0 . 6 48 0 1 . 0 0 0 . 8 4 1 3 1 . 6 2 0 . 9 4 7 4 2 . 2 4 0 . 9 8 7 5
0 . 4 0 0 . 6 5 5 4 1 . 0 2 0 . 8 4 6 1 1 . 6 4 0 . 9 4 9 5 2 . 2 6 0 . 9 8 8 1
0 . 4 2 0 . 6 6 2 8 1 . 0 4 0 . 8 5 0 8 1 . 6 6 0 . 9 5 1 5 2 . 2 8 0 . 9 8 8 7
0 . 4 4 0 . 6 7 0 0 1 . 0 6 0 . 8 5 5 4 1 . 6 8 0 . 9 5 3 5 2 . 3 0 0 . 9 8 9 3
0 . 4 6 0 . 6 7 7 2 1 . 0 8 0 . 8 5 9 9 1 . 7 0 0 . 9 5 5 4 2 . 3 2 0 . 9 8 9 8
0 . 4 8 0 . 6 8 4 4 1 . 1 0 0 . 8 6 4 3 1 . 7 2 0 . 9 5 7 3 2 . 3 4 0 . 9 9 0 4
0 . 5 0 0 . 6 9 1 5 1 . 1 2 0 . 8 6 8 6 1 . 7 4 0 . 9 5 9 1 2 . 3 6 0 . 9 9 0 9
0 . 5 2 0 . 6 9 8 5 1 . 1 4 0 . 8 7 2 9 1 . 7 6 0 . 9 6 0 8 2 . 3 8 0 . 9 9 1 3
0 . 5 4 0 . 7 0 5 4 1 . 1 6 0 . 8 7 7 0 1 . 7 8 0 . 9 6 2 5 2 . 4 0 0 . 9 9 1 8
0 . 5 6 0 . 7 1 2 3 1 . 1 8 0 . 8 8 1 0 1 . 8 0 0 . 9 6 4 1 2 . 4 2 0 . 9 9 2 2
0 . 5 8 0 . 7 1 9 0 1 . 2 0 0 . 8 8 4 9 1 . 8 2 0 . 9 6 5 6 2 . 4 4 0 . 9 9 2 7
0 . 6 0 0 . 7 2 5 7 1 . 2 2 0 . 8 8 8 8 1 . 8 4 0 . 9 6 7 1 2 . 4 6 0 . 9 9 3 1
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TabelaTabela dada N(0,1) N(0,1) -- Pr(Z Pr(Z > > > > > > > > zz00))
Para calcular Para calcular ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) ) ::
ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) = Pr(Z ) = Pr(Z ≤≤≤≤≤≤≤≤ zz00))
ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) = 1) = 1-- Pr(Z Pr(Z > > > > > > > > zz00))
ΦΦΦΦΦΦΦΦ(0,22) = 1(0,22) = 1-- Pr(Z Pr(Z > 0,22> 0,22> 0,22> 0,22> 0,22> 0,22> 0,22> 0,22))
ΦΦΦΦΦΦΦΦ(0,22) = 1(0,22) = 1--0,4129 = 0,58710,4129 = 0,5871