MAT HEXAG-1 e 2

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1
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
Herlan Fellini, Pedro Tadeu Batista e Vitor Okuhara
M
MATEMÁTICA
T
Matemática para
vestibular medicina
5ª edição • São Paulo
2019 
© Hexag Sistema de Ensino, 2018
Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2019
Todos os direitos reservados
Autores
Herlan Fellini 
Pedro Tadeu Batista
Vitor Okuhara
Diretor geral
Herlan Fellini
Coordenador geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial, programação visual, revisão e pesquisa iconográfica
Hexag Sistema de Ensino
Diretor editorial
Pedro Tadeu Batista
Editoração eletrônica
Arthur Tahan Miguel Torres
Claudio Guilherme da Silva Souza
Eder Carlos Bastos de Lima
Fernando Cruz Botelho de Souza
Matheus Franco da Silveira
Raphael de Souza Motta
Raphael Campos Silva
Projeto gráfico e capa
Raphael Campos Silva
Foto da capa
pixabay (http://pixabay.com)
Impressão e acabamento
Meta Solutions
ISBN: 978-85-9542-071-7
Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo o 
ensino. Caso exista algum texto, a respeito do qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição 
para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre 
as imagens publicadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para fins didáticos, não representando qual-
quer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
2019
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CARO ALUNO
O Hexag Medicina é referência em preparação pré-vestibular de candidatos à carreira de Medicina. Desde 2010, são centenas de aprovações nos 
principais vestibulares de Medicina no Estado de São Paulo, Rio de Janeiro e em todo Brasil. O material didático foi, mais uma vez, aperfeiçoado e seu conteúdo 
enriquecido, inclusive com questões recentes dos relevantes vestibulares de 2019. 
Esteticamente, houve uma melhora em seu layout, na definição das imagens, criação de novas seções e também na utilização de cores.
No total, são 103 livros, 24 cadernos de Estudo Orientado e 6 cadernos de aula.
O conteúdo dos livros foi organizado por aulas. Cada assunto contém uma rica teoria, que contempla de forma objetiva e clara o que o aluno 
realmente necessita assimilar para o seu êxito nos principais vestibulares do Brasil e Enem, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. 
Todo livro é iniciado por um infográfico. Esta seção, de forma simples, resumida e dinâmica, foi desenvolvida para indicação dos assuntos mais abordados nos 
principais vestibulares, voltados para o curso de medicina em todo território nacional.
O conteúdo das aulas está dividido da seguinte forma:
TEORIA
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos, de cada coleção, tem como principal objetivo apoiar o estudante na resolução de questões propos-
tas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, completos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas que complementam as explicações 
dadas em sala de aula. Quadros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados, e compõem um conjunto abrangente de informações para o 
estudante, que vai dedicar-se à rotina intensa de estudos.
TEORIA NA PRÁTICA (EXEMPLOS)
Desenvolvida pensando nas disciplinas que fazem parte das Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias. Nesses 
compilados nos deparamos com modelos de exercícios resolvidos e comentados, aquilo que parece abstrato e de difícil compreensão torna-se mais acessível 
e de bom entendimento aos olhos do estudante.
Através dessas resoluções é possível rever a qualquer momento as explicações dadas em sala de aula.
INTERATIVIDADE
Trata-se do complemento às aulas abordadas. É desenvolvida uma seção que oferece uma cuidadosa seleção de conteúdos para complementar o 
repertório do estudante. É dividido em boxes para facilitar a compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas e livros para o aprendizado do aluno. 
Tudo isso é encontrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos temas estudados. Há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões 
de aplicativos que facilitam os estudos, sendo conteúdos essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica. Tudo é selecionado com finos 
critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso estudante.
INTERDISCIPLINARIDADE
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é elaborada, a cada aula, a seção interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares de 
hoje não exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos conteúdos de cada área, de cada matéria.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como biologia e química, 
história e geografia, biologia e matemática, entre outros. Neste espaço, o estudante inicia o contato com essa realidade por meio de explicações que relacio-
nam a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizando temas da atualidade. Assim, o estudante consegue entender 
que cada disciplina não existe de forma isolada, mas sim, fazendo parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive.
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu distanciamento da realidade cotidiana no desenvolver do dia a dia, dificultando o 
contato daqueles que tentam apreender determinados conceitos e aprofundamento dos assuntos, para além da superficial memorização ou “decorebas” de 
fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios de aprendizagem com os conteúdos, foi desenvolvida a seção "Aplicação no Cotidiano". Como o próprio nome já 
aponta, há uma preocupação em levar aos nossos estudantes a clareza das relações entre aquilo que eles aprendem e aquilo que eles têm contato em seu 
dia a dia.
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Elaborada pensando no Enem, e sabendo que a prova tem o objetivo de avaliar o desempenho ao fim da escolaridade básica, o estudante deve 
conhecer as diversas habilidades e competências abordadas nas provas. Os livros da “Coleção vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas dessas 
habilidades. No compilado “Construção de Habilidades”, há o modelo de exercício que não é apenas resolvido, mas sim feito uma análise expositiva, descre-
vendo passo a passo e analisado à luz das habilidades estudadas no dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a apurá-las na sua 
prática, identificá-las na prova e resolver cada questão com tranquilidade.
ESTRUTURA CONCEITUAL
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Geramos aos estudantes o máximo de recursos para orientá-los em suas trajetórias. Um deles 
é a estrutura conceitual, para aqueles que aprendem visualmente a entender os conteúdos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas mentais e 
fluxogramas. Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos principais conteúdos 
ensinados no dia, o que facilita sua organização de estudos e até a resolução dos exercícios.
A edição 2019 foi elaborada com muito empenho e dedicação, oferecendo ao aluno um material moderno e completo, um grande aliado para o seu 
sucesso nos vestibulares mais concorridos de Medicina.
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA
GEOMETRIA PLANA
Aulas 1 e 2: Potenciação e radiciação 7
Aulas 3 e 4: Equações do primeiro grau e problemas clássicos 19
Aulas 5 e 6: Equações do segundo grau 33
Aulas 7 e 8: Teoria dos conjuntos 43
Aulas 9 e 10: Operações com intervalos 57
Aulas 1 e 2: Trigonometriano triângulo retângulo 63
Aulas 3 e 4: Produtos notáveis 73
Aulas 5 e 6: Fatoração 81
Aulas 7 e 8: Conjuntos numéricos 89
Aulas 9 e 10: Razão, proporção e grandezas proporcionais 101
Aulas 1 e 2: Introdução à geometria plana 119
Aulas 3 e 4: Ângulos num triângulo e ângulos numa circunferência 129
Aulas 5 e 6: Razão proporcional e teoremas de Tales e da bissetriz interna 141
Aulas 7 e 8: Pontos notáveis de um triângulo 151
Aulas 9 e 10: Semelhança de triângulos 157
FUVEST
Potenciação, radiciação e equações, por serem assuntos básicos, dificilmente serão cobrados 
isoladamente, já que a Fuvest é conhecida por cobrar em uma única questão múltiplos assuntos 
interdisciplinares e intradisciplinares. Estas são matérias bases para questões com conteúdo das 
próximas aulas, como funções.
UNESP
Com questões diretas e concisas, a Vunesp procura avaliar na primeira fase equações do primeiro 
e do segundo grau, na maioria atreladas aos conceitos de funções.
UNICAMP
Assuntos básicos como potenciação e radiciação são cobrados em questões de variações de gran-
dezas físicas. Teoria dos conjuntos é cobrado com descrição de um enunciado para que o aluno 
desenhe os conjuntos. Equações são assuntos básicos, que necessitam de outros tópicos de mate-
mática para que tenham uma aplicação.
UNIFESP
Pelo fato das questões da Unifesp serem dissertativas com grau de dificuldade acima da média, 
os conteúdos deste livro não são cobrados em questões específicas, e sim em conjunto com os 
tópicos dos próximos livros.
ENEM/UFMG/UFRJ
O ENEM é famoso por analisar conceitos básicos em suas questões. Portanto, os estudos de 
potenciação e radiciação são cobrados em questões de grandezas físicas. Equações e problemas 
do cotidiano são cobrados.
UERJ
Uma prova similar a do Enem, e, assim como nos demais vestibulares, quem se destaca sempre 
no quadro de conteúdos pedidos também é a área de ecologia, com suas interações entre os 
indivíduos. 
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de ÁLGEBRA nos principais vestibulares.
01 02
M
MATEMÁTICA
T
Potenciação e radiciação
Competências
1 e 2
Habilidades
1, 3, 4, 7, 10 e 11
Ge
ra
lt/
Pi
xa
ba
y
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
9
Potenciação
Potenciação com expoente natural
Representamos por bn, sendo b (denominado base) um número real e n (denominado expoente) um nú-
mero natural maior que 2, o produto de n fatores iguais a b, o seguinte produto:
bn = b ∙ b ∙ b ∙ ... ∙ b
n fatores
Exemplos
 § Cálculo do valor de 25, no qual a base é um número natural:
25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32
 § Cálculo do valor de (–3)³, no qual a base é um número inteiro negativo:
(–3)³ = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –27
(–3)4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = 81
 Observação: note que, se a base for um número real negativo e o expoente um número natural ímpar, o 
resultado é negativo, mas se o expoente for um número natural par, o resultado é positivo.
 § Cálculo do valor de ( 2 __ 3 ) 
3
, no qual a base é um número racional:
 ( 2 __ 3 ) 
3
 = ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) = 8 ___ 27 
No caso em que n < 2, definimos:
 § b0 = 1, para b ≠ 0;
 § b1 = b
Algebricamente, sendo x ∈ ℝ, a potenciação pode ser escrita da seguinte forma:
x = x¹ x ∙ x = x² x ∙ x ∙ x = x³
Potenciação com expoente inteiro negativo
Dada uma base b real não nula e um expoente n ∈ ℤ negativo, definimos:
b–n = 1 __ 
bn
 
Dessa forma, quando o expoente for um número inteiro negativo, podemos inverter a base a fim de tornar 
o expoente positivo e efetuar as operações da mesma forma que vimos anteriormente.
Exemplos
 § 3–2 = 1 __ 
32
 = 1 __ 
9
 
 § ( 2 __ 5 ) 
–2
 = 1 ____ 
 ( 2 __ 5 ) 
2 = 
1 ___ 
 4 ___ 
25
 
 = 25 ___ 
4
 
 § 10–2 = 1 ___ 
102
 = 1 ___ 
100
 = 0,01
 § x–1 = 1 __ x , sendo x ∈ ℝ e não nulo
10
Potenciação com expoente racional
Dado um número real a e um número racional m __ n , 
sendo m ∈ ℤ e n ∈ ℤ* (n ≠ 0), definimos a potenciação 
de base a e expoente m __ n da seguinte forma:
a = n dXXX am 
Como podemos ver, quando temosum expoente 
racional na forma da fração m __ n , podemos reescrever a
potência como uma raiz n-ésima de am. Definiremos 
as propriedades das raízes n-ésimas aritméticas no 
próximo capítulo.
Propriedades
De modo geral, sendo a e b números reais e m 
e n números inteiros, valem as seguintes propriedades:
Produto de potências de mesma base
Quando se tem o produto entre duas potências 
de mesma base, somam-se os expoentes e conserva-se 
a base:
P1: a
m ∙ an = am+n
§ 23 ∙ 25 = 23+5 = 28
§ ( 1 __ 2 )
5
∙ 23 = 2–5 ∙ 23 = 2–5+3 = 2–2 = 1 __
22
= 1__
4
 
§ 16 ∙ 32 = 24 ∙ 25 = 24+5 = 29
§ x2 · ( 1 __ x ) = x2 ∙ x–1 = x1 = x
Quociente de potências de mesma base
Quando se tem o quociente entre duas potências 
de mesma base, subtraem-se os expoentes e conserva-
-se a base:
P2: 
am __ an = a
m–n, se a ≠ 0 e m ≥ n
§ 5
7
 __ 
53
 = 57–3 = 54
§ ( 1 __ 3 )
9
 : ( 1 __ 3 ) = ( 1 __ 3 ) = ( 1 __ 3 )
4
§ x
7
 __ 
x3
 = x4
Potência de um produto
A potência de um produto pode ser escrita como 
um produto de potências:
P3: (a ∙ b)
m = am ∙ bm
§ (2 ∙ 5)³ = 2³ ∙ 5³ = 8 ∙ 125 = 1 000
§ (x ∙ y)² = x² ∙ y²
Potência de um quociente
A potência de um quociente pode ser escrita 
como um quociente de potências:
P4: ( a __ b ) 
m
 = a
m
 __ 
bm
 , se b ≠ 0
§ ( 2 __ 3 )
2 
=
 
 2
2__
32
 = 4__
9
 
§ ( x __ yz )3 = x
3
 ____ 
(yz)3
 = x
3
 ___
y3z3
 
Potência de uma potência
Quando se tem uma potência em que sua base 
apresenta outra potência, mantém-se a base e multi-
plicam-se os expoentes:
P5: (a
m)n = am ∙ n
§ (52)3 = 52 ∙ 3 = 56
§ (2 ∙ 32)4 = 24 ∙ (32)4 = 24 ∙ 32 ∙ 4 = 24 ∙ 38
§ (x2 ∙ y5)3 = (x2)3 ∙ (y5)3 = x2 ∙ 3 · y5 ∙ 3 = x6 ∙ y15
Observação: note que (am)n ≠ amn. No caso de
(am)n, a base do expoente n é am, e no caso de amn, a 
base do expoente n é m, e mn é o expoente da base a. 
Veja um exemplo:
(2²)³ = (2²) ∙ (2²) ∙ (2²) = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64
22³ = 22 ∙ 2 ∙ 2 = 28 = 256
Note, também, que devido à propriedade comu-
tativa da multiplicação, temos que (am)n = (an)m.
5 9-5
11
Resumo das propriedades 
de potências
Sendo a e b números reais e m e n números in-
teiros, temos:
§ P1: a
m ∙ an = am+n
§ P2: 
am __ an = a
m – n, se a ≠ 0 e m ≥ n
§ P3: (a ∙ b)
m = am ∙ bm
§ P4: ( a __ b ) 
m
 = a
m
 __ bn , se b ≠ 0
§ P5: (a
m)n = am ∙ n
Escrita de um número na 
forma de potência
Nas expressões numéricas em que podemos es-
crever todas as potências com uma base comum, pode-
mos utilizar as propriedades de potenciação descritas. 
Veja alguns exemplos utilizando a base 2:
§ 1 = 20
§ 2 = 2¹
§ 4 = 2²
§ 8 = 2³
§ 16 = 24
§ 1/2 = 2–1
§ 1/4 = 2–2
§ 1/8 = 2–3
 § 1/16 = 2–4
§ √
__
 2 = 21/2
§ √
__
 4 = 22/2 = 2
§ √
__
 8 = 23/2
§ √
___
 16 = 24/2 = 22
Também podemos escrever alguns números ra-
cionais na forma de uma potência com base inteira:
§ 0,5 = 5 ___
10
 = 1 __ 
2
 = 2–1
§ 0,25 = 25 ___
100
 = 1 __ 
4
 = 2–2
§ 0,125 = 125____ 
1000
 = 1 __ 
8
 = 2–3
Veja como simplificamos o cálculo de uma expres-
são numérica envolvendo potências de mesma base:
 ( ( 1__8 )
–2
163 ) 4 ∙ ∙ 
 _____________ 
0,58 ∙ ( 1 ___ 32 )
2 
Escrevendo cada fator como uma potência de 
base 2, temos:
 
 ( (22) ∙ (2–3)–2 ∙ (24)3 ) –1
 ________________ 
(2–1)8 ∙ (2–5)2
 
Utilizando, agora, as propriedades da potencia-
ção, podemos realizar as simplificações:
 (2
2 ∙ 26 ∙ 212)–1 ___________ 
2–8 ∙ 2–10
 = (2
2+6+12)–1 _______ 
2–8+(–10)
 = (2
20)–1_____
2–18
 
= 2–20–(–18) = 2–2 = 1__
4
Potências e notação científica
Como vimos, potências do tipo bn podem ser 
usadas para simplificar um produto de n termos iguais 
a b. Quando lidamos com grandezas muito grandes ou 
muito pequenas, podemos utilizar potências de base 10 
para representar esses números. Esse tipo de represen-
tação é denominada notação científica.
Veja a fórmula da notação científica:
m ∙ 10e
na qual m é denominado mantissa, um número 
racional maior que 1 e menor que 10, enquanto que e 
é denominado a ordem de grandeza, expoente da base 
10.
Caso desejemos escrever o número 2 500 000 
(dois milhões e quinhentos mil), de forma mais con-
cisa fazemos:
2 500 000 = 2,5 ∙ 1 000 000 = 2,5 ∙ 106
Radiciação
Chamamos radical a raiz enésima de um núme-
ro real a, sendo a um número maior ou igual a zero e 
n um número natural maior ou igual a 2.
 n √
__
 a , em que a [ R+ e n [ N, com n ≥ 2, é
chamado de radical.
Teoria na prática
 √
___
 16 5 √
__
2 √
___
 1 ___ 
36
 
O termo radical também é representado pelo 
símbolo √
__
 0 .
-1
12
Propriedades
1ª propriedade
Observe um radical com índice ímpar:
 3 √
____
 125 = 5 e 125 = 53
 3 √
____
 125 = 3 √
__
 53 = 5
Agora, veja um radical com índice par:
 2 √
____
 121 = 11 e 121 = 112
 2 √
____
 121 = 2 √
___
 112 = 11
De modo geral, vale a igualdade n √
___
 an = a, para
todo a [ R+ e n [ N, com n ≥ 2.
Exemplos
 √
__
 42 = 4 6 √
__
 76 = 7 8 √
__
 78 = 7
Observação: Essa propriedade é válida somen-
te para a igual a zero ou maior que zero.
Se tivermos, por exemplo, 4 √
____
 (-2)4 , a expressão 
não equivalerá a – 2, pois 4 √
____
 (-2)4 = 4 √
___
 16 = 2.
Se, porém, o índice for ímpar, a propriedade 
 n √
__
 an = a continuará válida. Veja:
 3 √
____
 (-1)3 = –1
Assim, para uma expressão com radicais, temos 
de impor a condição de existência:
§ Se o índice for ímpar (n é ímpar), o radi-
cando poderá ser qualquer número real:
n
 √
__
 xn = x, x ∈ R.
§ Se o índice for par (n é par), o radicando
deverá ser um número real não negativo:
 n √
__
 xn = x, x ≥ 0 (condição de existência).
Observe que dessa definição, segue que
24 : 2 = 23, e não 22.
2ª propriedade
Podemos representar o número 2 por meio de 
diferentes radicais:
2 = 5 √
__
 25 
2 = 10 √
___
 210 
Então: 5 √
__
 25 = 10 √
___
 210 
Para obter a igualdade, podemos fazer:
 10 √
___
 210 = 10 : 2 √
____
 210 : 2 = 5 √
__
 25 
De modo geral, temos n √
___
 am = 
n : p
 √
___
 am:p , para todo
a [ R+ e n [ N, com n ≥ 2, sendo p um número dife-
rente de zero e divisor comum de m e n.
Essa propriedade geralmente é usada para sim-
plificar alguns radicais.
Exemplos
 8 √
__
 74 = 8 : 4 √
____
 74 : 4 = 2 √
__
7 
 10 √
___
 32 = 10 √
__
 25 = 10 : 5 √
____
 25 : 5 = 2 √
__
2 
3ª propriedade
Observe as expressões 3 √
_____
 27 ∙ 8 e 3 √
___
 27 · 3 √
__
 8 .
De modo geral, temos n √
____
 a ∙ b = n √
__
 a · n √
__
 b , para 
todo a [ R+, b [ R+ e n [ N, com n ≥ 2.
Exemplos
 √
_____
 4 ∙ 10 = √
__
 4 ∙ √
___
10 
 4 √
_______
 1 ___ 
10
 ∙ 100 = 4 √
___
 1 ___ 
10
 ∙ 4 √
____
100 
4ª propriedade
Observe as expressões 3 √
___
 27 ___ 
8
 e 
3
 √
___
27 ____
 3 √
__
8 
 
13
De modo geral, temos n √
__
 a __ 
b
 = 
n
 √
__
 a ___ 
 n √
__
 b 
 , para todo 
a [ R+, b [ R + * e n ∈ N, com n ≥ 2.
Exemplos
 √
___
 30 ___ 
7
 = √
___
 30 ____ 
 √
__
 7 
 
 3 √
_____
 0,001 = 3 √
______
 1 _____ 
1.000
 = 
3
 √
__
 1 ______ 
 3 √
_____
 1.000 
 = 1 ___ 
10
 
Potenciação e radiciação 
com radicais
Veja uma potenciação com radicais:
 ( 5 √
__
 2 ) 4 = 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 = 5 √
_________
 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5 √
__
 24 
De modo geral, para efetuar a potenciação com 
um radical, elevamos o radicando ao expoente dado: 
 ( m √
__
 a ) n = m √
__
 an , em que a ≥ 0, m é um número natural 
maior que 1 e n é um número inteiro.
Exemplos
 ( √
__
 5 ) 3 = √
__
 53 
 ( 2 3 √
__
 3 ) 
5
 = 25 · 3 √
__
 35 = 32 · 3 · 3 dXX 32 = 96 3 dXX 32 
 ( 6 dXXXXX 4 – x ) 2 = 62 · dXXXXXX (4 – x)2 = 36 · (4 – x) = 144 – 36x, 
com x ≤ 4
 ( dXX5 + 3 ) 2 = ( dXX 5 ) 2 + 2 · dXX 5 · 3 + 32 = 5 + 6 dXX 5 + 9 = 
14 + 6 dXX 5 
Para entender o procedimento da radiciação com 
radicais, compare as expressões:
 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 2 dXX 9 = 3 e 6 dXXXX 729 = 3
Como as duas expressões são iguais a 3, então: 
2
 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 6 dXXXX 729 = 3
De modo geral, para efetuar a radiciação com 
radicais, fazemos m dXXX n dXX a = m · n dXX a , em que a ≥ 0 e m e n 
são números naturais maiores que 1.
Exemplos
 3 dXXX dXX 2 = 3 · 2 dXX 2 = 6 dXX 2 
 dXXXXXXX 3 dXXXXX 1.000 _____ 64 = 2 · 3 d
XXXXX
 1.000 _____ 
64
 = 6 dXXXXX 1.000 _____ 64 = 6 d
XXXX
 10
3
 ___ 
26
 = 
6
 dXXX 103 ____ 
 6 dXX 26 
 = 
 
= 
dXXX 10 ____ 
2
 
Racionalização de denominadores
O processo de racionalização do denominador 
consiste em multiplicar a fração dada pelo número 1, 
escrito como fração, de modo que o produto nos deno-
minadores seja um número racional.
 1 ___ 
 dXX 2 
 = 1 ___ 
 dXX 2 
 · 1 = 1 ___ 
 dXX 2 
 · 
dXX 2 ___ 
 dXX 2 
 = 1 · 
dXX 2 ______ 
 dXX 2 · dXX 2 
 = 
dXX 2 ____ 
 dXX 22 
 = 
dXX 2 ___ 
2
 
Note que, após a racionalização, escrevemos de 
outra forma o número dado, agora com denominador 
racional.
Calcular 
dXX 2 ___ 
2
 é mais simples que calcular 1 ___ 
 dXX 2 
 .
Analise a racionalização dos denominadores de 
alguns números agrupados nas situações a seguir:
Situação 1
 § Vamos racionalizar o denominador de 2 ____ 
3 dXX 8 
 .
 2 ____ 
3 dXX 8 
 = 2 ____ 
3 dXX 8 
 · 
dXX 8 ___ 
 dXX 8 
 = 2 √
__
 8 ____ 
3 ∙ 8
 = √
__
 8 ___ 
12
 
 § Vamos racionalizar o denominador de 3 ___ 
 4 dXX 3 
 .
 3 ___ 
 4 dXX 3 
 = 3 ___ 
 4 dXX 3 
 · 
4
 dXX 33 ___ 
 4 dXX 33 
 = 3 
4
 dXX 33 ____ 
 4 dXX 34 
 = 3 
4
 dXX 33 ____ 
3
 = 4 dXX 33 
Situação 2
 § Vamos racionalizar o denominador de 3 ______ 
 dXX 3 + 1
 .
Como nesse denominador há uma adição em 
que pelo menos uma parcela é um número irra-
cional, usamos o produto da soma pela diferen-
ça para racionalizar o denominador.
 3 ______ 
 dXX 3 + 1
 = 3 ______ 
 dXX 3 + 1
 · 
dXX 3 – 1 ______ 
 dXX 3 – 1
 = 3 · ( 
√
__
 3 – 1) ________ 
( √
__
 3 )2 – (1)2
 =
= 3 √
__
 3 - 3 ______ 
3 - 1
 = 3 √
__
 3 - 3 ______ 
2
 .
14
 § Vamos racionalizar o denominador de 2 _______ 
 dXX 2 + dXX 5 
 .
Nesse denominador, há uma adição de dois 
números irracionais. Para racionalizá-lo, vamos 
multiplicar a fração por: 
dXX 2 – dXX 5 _______ 
 dXX 2 – dXX 5 
 .
 2 _______ 
 dXX 2 + dXX 5 
 · 
dXX 2 – dXX 5 _______ 
 dXX 2 – dXX 5 
 = 2 · 
( dXX 2 – dXX 5 ) __________ 
 ( dXX 2 ) 2 – ( dXX 5 ) 2
 =
= 2 
dXX 2 – 2 dXX 5 _________ 
2 – 5
 = 2 √
__
 5 - 2 √
__
 2 ________ 
3
 
 § Vamos racionalizar o denominador de 
dXX 6 ______ 
4 – dXX 5 
 .
 
dXX 6 ______ 
4 – dXX 5 
 · 4 + √
__
 5 ______ 
4 + √
__
 5 
 = 
dXX 6 · ( 4 + dXX 5 ) ___________ 
42 – ( dXX 5 ) 2
 =
= 4 
dXX 6 + dXXX 30 _________ 
16 – 5
 = 4 √
__
 6 + √
___
 30 _________ 
11
 
O produto da soma pela diferença de a e b é:
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
Potência com expoente fracionário
O expoente de uma potência pode ser um núme-
ro em forma de fração.
Veja o significado disso com o exemplo a seguir.
51/2 = ( √
___
 51/2 )2 – 1ª propriedade dos radicais
( √
___
 51/2 )2 = dXXX 51/2 · dXXX 51/2 = dXXXXXX 51/2 + 1/2 – propriedade do 
produto de potências de mesma base
 dXXXXXX 51/2 + 1/2 = dXX 51 = dXX 5 
Portanto: 51/2 = dXX 5 .
Se 51/2 = dXX 5 , então 53/2 = (51/2)3 = ( dXX 5 ) 3 = dXX 53 
Da mesma forma, podemos escrever outras po-
tências de expoente fracionário como um radical.
25/3 = 3 dXX 25 
 [ 1 __ 8 ] 
2/3
 = 3 dXXXX [ 1 __ 8 ] 
2
 = 3 √
____
 ( 1 __ 23 ) 
2
 = 3 dXXX 1 __ 26 = 1 __ 4 
(0,3)2/7 = 7 dXXXXX (0,3)2 = 7 √
____
 0,09 
De modo geral, podemos dizer que am/n = n √
__
 am 
para todo a [ R+, m [ Z e n [ N, com n ≥ 2.
Teoria na prática
1. Analise as seguintes afirmações: 
I. A subtração ( 2 √
__
 8 – 3 √
__
 2 ) 3, equivale a 2 √
__
 2 .
II. 5 √
__
 8 é maior que 11 √
__
 2 .
III (6 √
__
 3 )2 é igual a 108.
Estão corretas as afirmativas: 
a) I e II apenas.
b) I e III apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
Resolução:
I. Correta. Desenvolvendo a subtração:
(2 √
__
 8 – 3 √
__
 2 )3 = (2 √
__
 23 – 3 √
__
 2 )3 = 
= (2 √
__
 22 · 2 – 3 √
__
 2 )3 = 
= (2 √
__
 22 · √
__
 2 – 3 √
__
 2 )3 = (4 √
__
 2 – 3 √
__
 2 )3 = 
= ( √
__
 2 ) 3 = 2 √
__
 2 
II. Incorreta. 5 √
__
 8 = 5 √
______
 22 ∙ 2 = 5 √
__
 22 · √
__
 2 = 
= 10 √
__
 2 < 11 √
__
 2 
III. Correta. Teremos:
(6 √
__
 3 )2 = 36 · 3 = 108
Alternativa B
2. Considere as seguintes expressões:
I. 3 √
___
 12 ____ 
2
 = 3 √
__
 2 
II. (2 √
__
 3 )-1 = √
__
 3 ___ 
6
 
III. (24)
 1 __ 2 
 = 2 √
__
 2 
É(são) verdadeira(s), a(s) alternativa(s): 
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
Resolução:
I. Incorreta. 3 √
___
 12 ____ 
2
 = 3 · 2 · √
__
 3 ________ 
2
 = 3 √
__
 3 
II. Correta. (2 √
__
 3 )-1 = 1 ____ 
2 √
__
 3 
 · √
__
 3 ___ 
 √
__
 3 
 = √
__
 3 ___ 
6
 
III. Incorreta. (24)
 1 __ 2 
 = 2 
4
 
__
 2 = 22 = 4
Alternativa B
15
3. Assinale a alternativa correta:
a) √
__
 4 + √
__
 5 < 3
b) ( √
__
 3 + √
__
 2 )2 = ( √
__
 3 )2 + ( √
__
 2 ) 2 = 3 + 2 = 5
c) 9 ___ 
 √
__
 3 
 = 6 √
__
 3 
d) 4 ______ 
 ( √
__
 5 - 1 ) 
 = √
__
 5 + 1 
e) √
___
 16 = ±4 
Resolução:
a) Incorreta, pois √
__
 4 + √
__
 5 > 3
b) Incorreta, pois ( √
__
 3 + √
__
 2 ) 2 =
= ( √
__
 3 ) 2 + 2 √
__
 3 ∙ √
__
 2 + ( √
__
 2 )2 = 5 + 2 √
__
 6 .
c) Incorreta, pois 9 ___ 
 √
__
 3 
 = 9 ___ 
 √
__
 3 
 ∙ √
__
 3 ___ 
 √
__
 3 
 = 9 √
__
 3 ____ 
3
 =
= 3 √
__
 3 .
d) Correta, pois 4 ______ 
 ( √
__
 5 – 1 ) 
 · √
__
 5 + 1 ______ 
 √
__
 5 + 1
 = √
__
 5 + 1 .
e) Incorreta, pois √
___
 16 = 4.
Alternativa D
4. Considerando os números reais,
x = √
___
 2,7... 
y = [ √
____
 0,25 + (163/4)-1 ] -1
z = 3 √
____
 (23)2 – √
________
 3 √
__
 56 · ( 5 __ 6 ) 
-2
 
é FALSO afirmar que:
a) z _ y < – 
3 __ 
2
 
b) x – y < 1 __ 
5
 
c) x + z < 0
d) x + y + z ∉ ( ℝ – ℚ)
Resolução:
x = √
___
 2,7... = √
_____
 2 + 7 __ 
9
 = √
___
 25 ___ 
9
 = 5 __ 
3
 
y = [ √____ 0,25 + ( 4 √___ 163 ) -1 ] 
-1
 ⇒
⇒ y = ( √
__
 1 __ 
4
 + 4 √
_____
 ( 1 ___ 16 ) 
3
 ) 
-1
 ⇒ y = ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) 
-1 
⇒ y= ( 5 __ 8 ) 
-1
⇒ y = 8 __ 
5
 
z = 3 √
____
 (23)2 – √
________
 3 √
__
 56 ∙ ( 5 __ 6 ) 
-2
 = 26/3
 
 – √
________
 56/3 ∙ ( 6 __ 5 ) 
2
 ⇒ 
⇒ 22 – √
_____
 52 · 36 ___ 
25
 = 4 – 6 = –2
Resolução:
a) Falso. 
 z __ y < – 
3 __ 
2
 ⇒ - 2 __ 
 8 __ 
5
 
 = –2 · 5 __ 
8
 = – 5 __ 
4
 e – 5 __ 
4
 > – 3 __ 
2
 . 
b) Verdadeiro. 
x – y < 1 __ 
5
 ⇒ 5 __ 
3
 – 8 __ 
5
 < 1 __ 
5 
 ⇒ 1 ___ 
15
 < 1 __ 
5
 . 
c) Verdadeiro. 
x + z < 0 ⇒ 5 __ 
3
 – 2 < 0. 
d) Verdadeiro. 
x + y + z ∉ (ℝ – ℚ), pois a soma de três 
números racionais será sempre um número 
racional. 
Alternativa A
5. O valor da expressão √
___
 50 – √
___
 18 + √
___
 98 é: 
a) √
____
 130 
b) –5 √
__
 2 
c) 9 √
__2 
d) 5 √
___
 13 
e) 15 √
__
 2 
Resolução:
 √
___
 50 – √
___
 18 – √
___
 98 =
= 5 √
__
 2 – 3 √
__
 2 – 7 √
__
 2 = 
= –5 √
__
 2 
Alternativa B
APLICAÇÃO NO COTIDIANOINTERDISCIPLINARIDADE
Vídeo
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Filme
Sites
ACESSAR
Introdução à potenciação
Uma Mente Brilhante
Fonte: Youtube
História do matemático John Nash, criador do “Equilíbrio de Nash”, uma teoria com 
aplicação em Economia na área de Teoria dos Jogos, teoria que acabou premiando 
Nash com o Prêmio de Ciências Econômicas em Memória, de Alfred Nobel. 
16
Expoentes, radicais e notação científica
pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals
APLICAÇÃO NO COTIDIANOINTERDISCIPLINARIDADE
17
APLICAÇÃO NO COTIDIANOINTERDISCIPLINARIDADE
Imagine um grande prédio a ser construído, com todos os seus elementos e estruturas, fundações, vigas 
e tijolos. Fazendo uma analogia com a construção de um prédio, a potenciação e a radiciação são a base para a 
construção dos conhecimentos algébricos.
Logo de início, você poderá utilizar os conhecimentos aprendidos de potenciação na disciplina de Física, no 
uso da notação científica, e na área de Geografia, mais especificamente na área de cartografia, já que trabalhar 
com potências facilita a mudança de escalas.
18
estRutuRa conceitual
EXPOENTE
(quantidade de
vezes que a base
é multiplicada 
por ela mesma)
BASE
(número a ser
multiplicado)
Raiz vem do latim RADIX, que 
quer dizer lado.
Quando dizemos raiz quadrada
de 9, estamos pensando em:
“qual é o lado do quadrado 
de área 9?”
POTENCIAÇÃO a a · a · a · a · ... · an vezes
n
(base)
(expoente)
OPERAÇÃO INVERSA
DA POTENCIAÇÃO
RADICIAÇÃO
(radicando)
3
(índice)
an
9 = 3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
03 04
M
MATEMÁTICA
T
Equações do primeiro grau
e problemas clássicos
Competência
5
Habilidades
19, 21, 22 e 23
Ge
ra
lt/
Pi
xa
ba
y
©
 O
laf
 S
pe
ier
/S
hu
tte
rst
oc
k
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
21
EquaçõEs
A primeira referência, ou indício, acerca das equações de que se tem conhecimento está relacionada ao cha-
mado “Papiro de Rhind”, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam da Matemática, escrito no ano de 
1650 a.C., e que recebe também o nome de Ahmes.
A álgebra começa a ser apresentada a partir do século XI, com a obra de al-Khwarizmi (738-850 d.C), que 
designa o estudo das equações com uma ou mais incógnitas em uma resolução de problema. Quando, em sua in-
terpretação, conseguimos representar em linguagem simbólica, na forma de uma equação, temos a equação como 
uma consequência da situação-problema. Al-Khwarizmi, um dos maiores matemáticos árabes, resolvia as equações 
de uma maneira parecida com a que fazemos hoje: tudo, até mesmo os números, era representado por palavras. 
No livro Al-jabr wa’l mugãbalah trazia explicações minuciosas sobre a resolução de equações.
Diofante foi um matemático grego que viveu no século III. Ele se dedicou à Álgebra e usou a ideia de repre-
sentar um número desconhecido por uma letra; por isso, acredita-se que tenha influenciado outros matemáticos.
A equação de 1º grau é definida como “uma sentença aberta que exprime uma igualdade entre duas ex-
pressões numéricas”.
O sentido etimológico da palavra “equação”, deriva do latim equatione, e significa equacionar, igualar. As 
expressões numéricas, separadas pelo sinal de igualdade, chamam-se “membros”; cada membro é composto por 
“termos”; e esses termos, que multiplicam as letras, chamam-se “coeficientes de termo”.
Considere a seguinte igualdade:
1 + x = 3
A essa igualdade damos o nome de sentença matemática aberta ou equação, pois pode ser verdadeira 
ou falsa, dependendo do valor atribuído à variável x. Neste caso, se o valor de x for 3, por exemplo, a sentença é 
falsa. Por outro lado, se o valor atribuído for 2, a sentença é verdadeira. Como x = 2 torna a sentença verdadeira, 
dizemos que o número 2 é a raiz da equação. Conjunto solução é o nome que se dá ao conjunto dos valores 
que tornam uma equação verdadeira. No caso, o conjunto solução S é:
S ={2}
Exemplos
1. 2x + 4 = 6, para x [ R
O único valor real que torna a equação verdadeira é x = 1, logo S = {1}.
2. x² = 4, para x [ R
Os valores reais que tornam a equação verdadeira são x = 2 ou x = –2, logo S = {–2, 2}.
3. 0x + 1 = 1, para x [ R
Neste caso, vemos que independentemente do valor de x, a equação é verdadeira, logo S = R.
4. x² = –1, para x [ R
Neste caso, vemos que não há valor real de x que torne a equação verdadeira, logo S = Ø.
Para encontrar os valores que compõem o conjunto solução, podemos manipular a equação utilizando algu-
mas propriedades a fim de isolar a variável (incógnita) em um dos membros da equação.
22
P1: Se somarmos ou subtraírmos um mesmo 
número de ambos os membros de uma igualdade, 
esta permanecerá verdadeira.
Exemplos:
1. x – 4 = 10
x – 4 + 4 = 10 + 4
x = 14
Logo, S = {14}
2. 3 + x = 1
3 + x – 3 = 1 – 3
x = –2
Logo, S = {–2}
P2: Se multiplicarmos ou dividirmos por um 
mesmo número ambos os membros de uma igual-
dade, esta permanecerá verdadeira.
Exemplos:
1. x __ 
4
 = 6
 x __ 
4
 · 4 = 6 · 4
x = 24
Logo S = {24}
2. –2x = 6
 –2x ___ 
–2
 = 6 ___ 
–2
 
x = –3
Logo, S = {–3}
EquaçõEs dE primEiro grau
Uma equação do primeiro grau é aquela que 
pode ser expressa na forma ax + b = 0, com a i 0, 
a partir de manipulações algébricas descritas anterior-
mente. Uma vez escritas nesta forma, podemos facil-
mente encontrar o conjunto solução subtraindo o ter-
mo independente b de ambos os membros e, depois, 
dividindo-os por a.
Em uma equação de primeiro grau, temos ape-
nas operações de soma, subtração, multiplicação e di-
visão. Logo, podemos reduzir uma equação de primeiro 
grau à forma ax + b = 0, realizando apenas essas quatro 
operações.
Veja alguns exemplos de como manipular as 
equações a fim de isolar a incógnita:
1. 5(x – 3) = –2(x – 1)
Devemos aplicar a propriedade distributiva, a fim 
de eliminar os parênteses, respeitando a regra 
de sinais:
5x – 15 = –2x + 2
Somando 2x em ambos os membros para isolar 
a incógnita:
5x – 15 + 2x = –2x + 2 + 2x ä 7x – 15 = 2
Somando 15 em ambos os membros e finalmen-
te dividindo por 7, temos:
7x – 15 + 15 = 2 + 15 ä 7x = 17
 7x __ 
7
 = 17 ___ 
7
 à x = 17 ___ 
7
 
Logo, S = { 17 ___ 7 } 
2. x __ 
4
 = 5 __ 
2
 
Para cancelarmos o denominador 4 da fração x __ 
4
 , 
multiplicamos ambos os membros por 4:
 x __ 
4
 · 4 = 5 __ 
2
 · 4
x = 20 ___ 
2
 = 10
Logo, S = {10}
3. x ___ 
–4
 = 3 __ 
2
 
De maneira análoga ao exemplo anterior, multi-
plicaremos ambos os membros da igualdade por 
–4:
 x ___ 
–4
 · (–4) = 3 __ 
2
 · (–4)
x = –12 ____ 
2
 = –6
Logo, S = {–6}.
Uma outra maneira de resolver equações desse 
tipo é realizando o produto cruzado:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 à a · d = b · c
 x ___ 
–4
 = 3 __ 
2
 à 2x = 3(–4)
2x = –12 à x = –12 ____ 
2
 = –6
23
4. x + 2 _____
6
 = 5__
3
Realizando o produto cruzado, temos:
3(x + 2) = 6 · 5 à 3x + 6 = 30
3x = 30 – 6
3x = 24
x = 24 ___ 
3
 = 8
Logo, S = {8}.
5. 12 – x______
3
 + 1 = x__
2
Quando temos somas ou subtrações de frações,
primeiramente encontramos o mínimo múltiplo
comum entre os denominadores. Dessa forma,
reduzimos todos os denominadores a um deno-
minador comum, podendo, então, cancelá-lo:
mmc(1,2,3) = 6
 2 · (12 – x) + 6 · 1 ______________ 
6
 = 3 · x____
6
 
Multiplicando ambos os membros por 6, cance-
lamos os denominadores. Efetuando as opera-
ções no restante da igualdade, temos:
24 – 2x + 6 = 3x à 30 = 3x + 2x ⇔ 30 = 5x
x = 30 ___ 
5
 = 6
Logo, S = {6}
Resolvendo sistemas de duas 
equações de primeiro grau
Em problemas envolvendo equações de primeiro 
grau, é possível ter mais de uma incógnita a ser cal-
culada. Neste caso, devemos ter também mais de uma 
equação. Um conjunto de equações determina um sis-
tema de equações. Existem principalmente dois mé-
todos para resolver tais sistemas: o método da subs-
tituição e o método da adição.
Método da substituição
Esse método consiste em obter, a partir de uma 
das equações, uma incógnita em função das demais. Em 
seguida, substitui-se esse resultado nas outras equa-
ções. Veja um exemplo:
Considere as seguintes equações:
Primeiramente, escolhemos uma das equações 
e isolamos qualquer uma das incógnitas. Por exemplo, 
isolaremos a incógnita x na equação (I):
(I) x + 3y = 11 ä x = 11 – 3y
Agora, substituiremos o valor encontrado para x 
na equação (II):
(II) 2x + y = 7
2(11 – 3y) + y = 7
22 – 6y + y = 7
–5y = –15
y = ____–15 = 3
–5
Logo, y = 3.
Com esse resultado, podemos substituir o valor 
de y em quaisquer das equações. Utilizamos a 
equação (I):
(III) x + 3y = 11
x + 3(3) = 11
x + 9 = 11
x = 2
Logo, a solução do sistema de equações é
x = 2 e y = 3.
Método da adição
Esse método consiste em igualar os coeficien-
tes de uma das incógnitas em ambas as equações de 
modo que, ao somá-las, esses coeficientes se anulem, 
diminuindo assim a quantidade de incógnitas. Observe 
o exemplo:
Considere o mesmo sistema de equações do 
exemplo anterior:
Se multiplicarmos a equação (I) por –2, obtere-
mos o seguinte sistema:
24
Somando a equação (I) e (II), temos:
Observe que a escolha do fator –2 para multi-
plicar a equação teve como finalidade igualar 
o valor absoluto dos coeficientes da incógnita x 
em ambas as equações.
Agora, a partir do valor de y, basta substituir em 
quaisquer das equações. Em (I), temos:
(I) x + 3y = 11
x + 3(3) = 11
x + 9 = 11
x = 2
Logo, como já visto, a solução do sistema de 
equações é x = 2 e y = 3.
Problemas envolvendo 
equações do primeiro grau
A resolução de um problema matemático consis-
te em transformá-lo em linguagem matemática, como 
uma equação, utilizando os dados fornecidos para che-
gar a uma conclusão, com base no pedido no enunciado. 
Veremos através de alguns exemplos como problemas 
envolvendo equações de primeiro grau são enunciados:
1. Dado um número x, a soma do dobro desse nú-
mero com 6 equivale à diferença entre o triplo 
desse número e 4. Qual é esse número?
Resolução:
 § “soma do dobro desse número com 6”: 2x + 6
 § “diferença entre o triplo desse número e 4”: 
3x – 4
Logo:
2x + 6 = 3x – 4
6 + 4 = 3x – 2x
10 = x
Portanto, o número pedido é 10.
2. Um executivo distribui seus vencimentos 
mensais da seguinte maneira: 1 __ 
8
 para o pla-
no de saúde, 1 __ 
4
 para a poupança, 1 __ 
6
 para a 
alimentação e a moradia e os R$ 6.600,00 
restantes para o lazer. Quanto o executivo 
poupa mensalmente?
Resolução:
Quando o problema menciona “ 1 __ 
8
 para o plano 
de saúde”, entende-se que para o plano de saú-
de ele destina 1 __ 
8
 do valor total que recebe. 
Como não sabemos quanto ele recebe ao todo, 
denominamos esse valor por x. Assim, podemos 
escrever que, para o pagamento do plano de 
saúde, ele destina 1 __ 
8
 de x, ou seja, 1 __ 
8
 ∙ x = x __ 
8
 .
Logo, se somarmos todos os valores que ele des-
tina a cada atividade, teremos o valor total de x:
 x __ 
8
 + x __ 
4
 + x __ 
6
 + 6 600 = x
mmc(4,6,8) = 24
 3 · x + 6 · x + 4 · x + 24 · 6600 ________________________ 
24
 = 24 · x _____ 
24
 
13x + 158 400 = 24x
158 400 = 24x – 13x
158 400 = 11x
x = 158 400 _______ 
11
 = 14 400
Logo, como denominamos por x o valor total rece-
bido mensalmente pelo executivo, temos que o va-
lor P destinado à poupança corresponde a 1 __ 
4
 de x:
P = 1 __ 
4
 x = x __ 
4
 = 14.400 ______ 
4
 = 3 600
3. Em um quintal, há galinhas e cabras, perfazendo 
o total de 14 cabeças e 38 pés. Calcule o número 
de galinhas.
Resolução:
Sendo x o número de galinhas e y o número de 
cabras, e considerando que cada cabra e cada 
galinha possuem uma cabeça e que cada gali-
nha possui dois pés e cada cabra, quatro. Temos:
25
Como desejamos obter o número de galinhas 
(x), pelo método da adição, podemos eliminar a 
outra incógnita(y). Assim, multiplicamos a equa-
ção (I) por –4 e somamos ambas as equações:
Multiplicando ambos os lados da equação por 
–1, temos:
–2x = –18 à 2x = 18
x = 9
Portanto, nesse quintal há 9 galinhas.
4. Em uma academia de ginástica, o salário mensal de 
um professor é de R$ 800,00. Além disso, ele ganha 
R$ 20,00 por mês por cada aluno inscrito em 
suas aulas. Para receber R$ 2.400,00 por mês, 
quantos alunos devem estar matriculados em 
suas aulas?
Resolução:
Considerando x a quantidade de alunos matricu-
lados e multiplicando o valor recebido por cada 
aluno matriculado (R$ 20,00) pela quantidade 
de alunos matriculados, teremos o valor recebido 
pelo professor por cada aluno inscrito em suas 
aulas.
Somando ao valor fixo de R$ 800,00, teremos o 
salário final do professor. Como ele deve receber 
mensalmente R$ 2.400,00, temos a seguinte 
equação:
20 · x + 800 = 2 400
Resolvendo a equação:
20 · x = 2 400 – 800
20 · x = 1 600
x = 1.600 _____ 
20
 = 80
Logo, deve haver 80 alunos matriculados.
problEmas clássicos
Alguns problemas são comuns no vestibular, e 
não há fórmula para resolvê-los. Porém, estudando a 
resolução de alguns deles, podemos utilizar os mesmos 
métodos para algum outro problema similar. Veja estes 
dois exemplos:
 § Uma torneira enche um tanque em 16 horas e 
outra em 12 horas. Estando o tanque vazio e 
abrindo simultaneamente as duas torneiras, em 
quanto tempo encherão o tanque?
 § Um trabalhador em uma fazenda consegue arar 
todo o campo em 16 horas. Um outro trabalha-
dor consegue arar o mesmo campo em 12 ho-
ras. Sendo assim, em quanto tempo ambos os 
trabalhadores conseguem arar um outro campo 
idêntico, trabalhando simultaneamente?
Observe que ambos os problemas, apesar de 
tratarem de temas distintos, possuem semelhanças. De 
fato, a resolução de ambos é idêntica. Desta forma, se 
soubermos resolver um deles, também saberemos resol-
ver o outro. 
Devido a essa similaridade entre questões, estu-
daremos alguns problemas e suas resoluções para que 
possamos aplicar os métodos de resolução em outras 
situações que podem aparecer no vestibular.
O problema das torneiras
Uma torneira enche um tanque em 16 horas e 
outra em 12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo 
simultaneamente as duas torneiras, em quanto tempo 
encherão o tanque?
Comentários
Nessa situação-problema, não devemos aplicar 
a regra de três, uma vez que as capacidades de trabalho 
das torneiras são diferentes. A saída, aqui, é identificar 
as frações do trabalho que as respectivas torneiras reali-
zam em uma unidade de tempo. No caso, ver a parte do 
tanque que cada torneira enche em 1 hora.
 § Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 
horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
16
 do tanque.
 § Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 
horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
12
 do tanque.
26
Solução
Sendo x horas o tempo que as duas torneira gastarão, juntas, para encher o tanque, em uma hora elas 
encherão 1 __ x = 
1 ___ 
16
 + 1 ___ 
12
 do tanque.
Daí, 48 ___ 
48x
 = 3x + 4x ______ 
48x
 ⇒ x = 48 ___ 
7
 = 6 6 __ 
7
 
Note: 6 __ 
7
 h = 6 __ 
7
 · 60 min = 360 ___ 
7
 min = 51 3 __ 
7
 min
Resposta: 6 6 __ 
7
 horas ou 6 horas e 51 3 __ 
7
 minutos.
O problema das lojas
Deborah foi ao shopping center e entrou em 5 lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais do que a metade 
do que tinha ao entrar. Ao sair do shopping center, pagou R$ 3,00 de estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto 
Deborah tinha, inicialmente, antes de entrar na primeira loja?
Solução algébrica
Sendo x reais a quantia inicial de Deborah, têm-se:
Loja Entrou com... Gastou Saiu com...
1 x x __ 2 + 1 
x __ 
2
 – 1
2 x – 2 ____ 2 
x – 2 ____ 
4
 + 1 x – 2 ____ 
4
 – 1
3 x – 6 ____ 4 
x – 6 ____ 
8
 + 1 x – 6 ____ 
8
 – 1
4 x – 14 _____ 8 
x – 14 _____ 
16
 + 1 x – 14 _____ 
16
 – 1
5 x – 30 _____ 16 
x – 30 _____ 
32
 + 1 x – 30 _____ 
32
 – 1
Então, após pagar R$ 3,00 de estacionamento, temos que:
 x – 30 _____ 
32
 – 1 – 3 = 2 ⇒ x – 30 _____ 
32
 = 6 ⇒ x = 222
Solução aritmética
Vendo a situação-problema do fim ao começo, têm-se:
54
Resposta: Deborah tinha inicialmente R$ 222,00.
27
O problema das idades
Matheus diz a Gabriel: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu 
tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 90 anos”. Determine a idade atual 
de cada um.
Comentários
Uma boa saída para os problemas de idade é a construção de uma tabela contendo as idades dos perso-
nagens envolvidos, no presente e /ou no passado e/ou no futuro e, depois, montar equações tendo em vista que a 
diferença das idades não muda: “se quando Gabriel nasceu, Matheus tinha x anos, Matheus sempre será x anos 
mais velho que Gabriel, no presente, no passado ou no futuro, não importa o tempo.”
Solução
Considerando os dados do problema, temos a seguinte tabela.
Passado Presente Futuro
Matheus y 2x 90 – 2x
Gabriel x y 2x
Se você não entendeu a construção da tabela anterior, veja a sua construção passo a passo:
1. Matheus disse: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas”. Daí, Matheus, no presente, tem 2x anos e 
Gabriel, x anos, no passado.
2. Matheus disse: “...quando eu tinha a idade que tu tem. “Daí, Matheus tinha y anos no passado (quando o 
Gabriel tinha x anos), sendo y anos também a idade de Gabriel hoje, no presente.
3. Matheus disse: “...quanto tu tiveres a idade que eu tenho”. Daí, no futuro, a idade de Gabriel será 2x (a 
mesma de Matheus hoje, no presente).
4. Matheus disse: “... a soma das nossas idades será 90 anos. “Daí, como no futuro a idade de Gabriel será 2x, a de 
Matheus será o que está faltando para completar os 90 anos, ou seja, a idade de Matheus será (90 – 2x) anos.
Observando que, em qualquer tempo, a diferença das respectivas idades será sempre a mesma, da tabela têm-se:
I. y – x = 2x – y ⇒ 2y = 3x
Lembra do artifício do problema da perseguição para evitar as frações?
2y = 3x = 6k ⇔ 
x = 2k
y = 3k
II. y – x = (90 – 2x) – 2x ⇒ y + 3x = 90 
⇒ 3k + 6k = 90 ⇒ k = 10 
⇒ 
x = 20
y = 30
Logo, hoje Matheus tem 2x = 40 anos e Gabriel, y = 30 anos.
28
O problema dos tratores
Para arar certo campo, um primeiro trator gasta 2 
horas a menos que o terceiro e uma a hora mais que o 
segundo. Se o primeiro e o segundo tratores trabalharem 
juntos, a operação pode ser feita em 1 hora e 12 minutos. 
Quanto tempo gastam os 3 tratores, juntos, para arar um 
outro campo idêntico, nas mesmas condições?
Comentários
Se, para efetuar um trabalho, gastam-se 3 horas, 
em uma hora faz-se 1 __ 
3
 desse trabalho. Em geral, se, para 
efetuar um trabalho, gastam-se x horas, em uma hora 
faz-se 1 __ x desse trabalho.
Solução
Sendo x horas o tempo que o terceiro trator gas-
ta sozinho, temos:
1. tempo gasto pelo primeiro trator = (x – 2) horas
2. tempo gasto pelo segundo trator = tempo gasto 
pelo primeiro trator, menos 1 hora = (x – 3) horas.
Note: se o primeiro trator gasta uma hora a 
mais que segundo, então o segundo gasta uma 
hora a menos que o primeiro.
3. 1h e 20 minutos = ( 1 + 12 ___ 60 ) h = 6 __ 5 h
4. Em uma hora de trabalho, o primei-
ro trator faz 1 ____ 
x – 2
 do serviço, o segun-
do faz 1 ____ 
x – 3
 , e os dois, juntos, fazem 
 1 __ 
 6 __ 
5
 
 = 5 __ 
6
 . Daí:
 1 ____ 
x – 2
 + 1 ____ 
x – 3
 = 5 __ 
6
 ⇒ 6(x – 3) + 6(x – 2) ______________ 
6(x – 2)(x – 3)
 ⇒
= 5(x – 2)(x – 3) ___________ 
6(x – 2)(x – 3)
 ⇒ 5x2 – 37x + 60 = 0 ⇒
⇒ x = 5 ou x = 2,4 (não convém)
Assim, o primeiro, o segundo e o terceiro tratores 
gastam, respectivamente, x – 2 = 3h, x – 3 = 2h 
e x = 5h. Então, se os três, juntos, gastarem y ho-
ras para fazer o serviço, em uma hora eles farão:
 1 __ y = 
1 __ 
2
 + 1 __ 
3
 + 1 __ 
5
 = 31 ___ 
30
 
Resposta: 30___ 
31
 horas.
O problema da água e do vinho
Um barril contém 30 litros de água e outro, 
20 litros de vinho. Tomam-se simultaneamente x litros 
de cada barril e permutam-se. Esta operação se repete 
várias vezes e pode-se comprovar que a quantidade de 
vinho em cada barril se mantém constante após a pri-
meira operação. Determinar quantos litros (x) são troca-
dos em cada operação.
Solução
De início, temos:
No 1º barril: 
água = 30L
vinho = 0
No 2º barril: 
água = 0
vinho = 20L
Após a primeira troca, ficamos com:
No 1º barril: 
água = (30 – x)L
vinho = xL
fração de vinho = x ___ 
30
 
No 2º barril: 
água = xL
vinho = (20 – x)L
fração de vinho = 20 – x _____ 
20
 
 ( lembre-se: fração = parte ____ todo ) 
A partir da primeira troca, as quantidades de vi-
nho, em cada barril, permanecem inalteradas. Então, as 
quantidades de vinho trocadas são iguais:
Vinho que sai do 1º barril = Vinho que sai do 
2º barril. Daí, obtemos:
 x ___ 
30
 · x = ( 20 – x _____ 20 ) · x
Uma vez que x é diferente de zero, ficamos com:
 x __ 
3
 = 20 – x _____ 
2
 ⇒ x = 12
Resposta: 12 litros
Vídeo
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INTERATIVIAA DADE
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30
Introdução às equações e inequações
pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-equations-and-inequalities
The Story of Maths
Fonte: BBC UK
31
Vídeo
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INTERATIVIAA DADE
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INTERDISCIPLINARIDADE
Dentre todas as equações estudadas no Ensino Médio, a equação do primeiro grau é a mais simples, po-
rém, não menos importante que as outras. As famosas fórmulas da disciplina de Física, como q = m · c · Dq, que 
equaciona a quantidade de calor, vulgo “que macete”, e a equação horária do movimento retilíneo uniforme, 
s = S0 + vt, vulgo “sorvete”, são equações do primeiro grau. Aprender a manipular as equações do primeiro grau 
fará com que você aumente seus horizontes tanto em matemática como em física.
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Um exemplo de aplicação de uma equação do primeiro grau no cotidiano ocorre nos restaurantes por quilo, 
ou self-service. Quando verificamos a balança, há três informações expressas no leitor: 1) o peso da comida; 2) o 
valor por quilo da comida; 3) o valor a ser pago. Se tivermos duas das três informações, podemos verificar a terceira 
informação desconhecida por meio de uma equação do primeiro grau: 
Peso da comida = x gramas
Valor do kg da comida = R$ 30,00 / kg
Valor a ser pago: R$ 12,00
Valor a ser pago = Peso da comida multiplicado pelo valor do quilo da comida
R$12,00 = x kg ∙ 30 R$/kg
12 = x ∙ 30 
x = 12 ___ 
30
 
x = 0,4 kg ou 400 g
32
Estrutura concEitual
CONHECIMENTOS
PRÉVIOS
EXIGE UMA LEITURA
ATENTA
VÁRIOS
MÉTODOS
∙ Das Torneiras
∙ Das Lojas
∙ Das Idades
∙ Da Água e Vinho
∙ Dos Tratores
Volume versus tempo
Decréscimos sucessivos
Organização de tabelas: idade versus tempo
Mistura
Execução de trabalho versus tempo
1º membro
Igualdade entre os membros
2º membro
- OPERAÇÕES BÁSICAS
- FRAÇÕES
- DISTRIBUTIVAS
• X é incógnita.
• Toda equação tem um
conjunto solução.
• 2 é a raiz que torna a equação
uma SENTENÇA VERDADEIRA.
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
PROBLEMAS CLÁSSICOS
PROBLEMAS
1 + x = 3
ORGANIZAÇÃO
NAS SOLUÇÕES
NÃO POSSUEM UMA
FÓRMULA PRONTA
©
 S
yd
a P
rod
uc
tio
ns
/S
hu
tte
rst
oc
k
05 06
M
MATEMÁTICA
T
Equações do segundo grau
Competência
5
Habilidades
19, 21, 22 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
35
EquaçõEs do sEgundo grau
Uma equação de segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, sendo 
a i 0 e a, b e c parâmetros reais. Toda equação desse tipo pode apresentar até duas soluções distintas, ou seja, 
pode haver dois valores reais de x que satisfaçam a igualdade. As soluções podem ser encontradas pela fórmula 
de Bhaskara:
x = 
 – b ± 
dXXXXXXX b2 – 4ac ___________ 
2a
 
Sendo a, b e c os coeficientes de uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções (de-
nominadas raízes) x1 e x2 são dadas, então, por:
x1 = 
–b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 e x2 = 
–b – √
_______b2 – 4ac ____________ 
2a
 
O termo b2 – 4ac, denominado discriminante, é representado pela letra grega delta maiúscula (D). O 
valor numérico do discriminante indica a quantidade de raízes reais distintas da equação:
 § Se D > 0 (discriminante positivo), a equação possui duas raízes reais distintas.
 § Se D = 0 (discriminante nulo), a equação possui apenas uma raiz real.
 § Se D < 0 (discriminante negativo), a equação não possui raízes reais.
Para solucionar uma equação do segundo grau, é preciso calcular a raiz quadrada do discriminante. Quando 
temos D < 0, o radical é negativo, não sendo definido seu resultado para números reais.
Teoria na prática
1. Encontrar o conjunto solução da equação x² – 5x + 6 = 0.
Identificando os parâmetros, temos:
a = 1
b = –5
c = 6
Calculamos primeiramente o discriminante:
D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 1
Como D > 0, a equação apresentará duas raízes reais distintas x1 e x2:
x = –b ± 
dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–5) ± 
dXX 1 _________ 
2 · 1
 = 5 ± 1 _____ 
2
 = { x1 = 
5 + 1 _____ 
2
 = 3
 
x2 = 
5 – 1 ____ 
2
 = 2
 
 
 
Logo, o conjunto solução é S = {2, 3}.
2. Encontrar o conjunto solução da equação 25 + x² – 10x = 0.
Identificando os parâmetros, temos:
a = 1
b = –10
c = 25
Observe que os parâmetros a e b são, respectivamente, os coeficientes de x² e x, e c é o termo independente. 
não sendo necessariamente o primeiro, segundo e terceiro termos da equação.
36
Obtendo o discriminante:
D = b2 – 4ac = (–10)2 – 4 · 1 · 25 = 0
Como D = 0, a equação apresentará apenas uma raiz real.
x = – b ± √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–10) ± 
√
__
 0 __________ 
2(1)
 = 10 ± 0 ______ 
2
 = 5
Logo, o conjunto solução é S = {5}.
3. Encontrar o conjunto solução da equação x² + x + 1 = 0.
Identificando os parâmetros, temos:
a = 1
b = 1
c = 1
Calculando o discriminante:
D = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = –3
Como D < 0, a equação não apresenta raízes reais, portanto não precisamos tentar calcular as raízes. 
O conjunto solução é S = Ø.
Condições para o número de raízes reais
Como o valor numérico do discriminante indica o número de raízes reais de uma equação de segundo grau, 
podemos, se houver um coeficiente desconhecido, verificar sob quais condições esse parâmetro oferece duas, uma 
ou nenhuma raiz real.
Teoria na prática
1. Qual deve ser o valor real do parâmetro k para que a equação 2x² + 4x + k = 0 forneça apenas uma solu-
ção real?
Resolução:
Identificando os parâmetros, temos:
a = 2
b = 4
c = k
Como a equação deve fornecer apenas uma raiz real, temos que o discriminante deve ser nulo:
D = b2 – 4ac = 0
4² – 4 · 2 · k = 0
16 – 8k = 0
–8k = –16
k = –16 ____ 
–8
 = 2
Logo, se tivermos k = 2 na equação 2x² + 4x + k = 0, teremos apenas uma raiz real. Observe que não 
precisamos calcular a raiz.
37
2. Quais os valores de m para que a equação 
mx² – x + 1 = 0 apresente duas raízes reais dis-
tintas? E para quais valores não apresenta raízes 
reais?
Resolução:
Identificando os parâmetros, temos:
a = m
b = –1
c = 1
Para que a equação apresente duas raízes reais, 
o discriminante deve ser positivo:
D = b2 – 4ac > 0
(–1)² – 4 · m · 1 > 0
1 – 4m > 0
–4m > –1
m < 1 __ 
4
 
Logo, se o valor de m for menor que 1 __ 
4
 , a equa-
ção apresentará duas soluções reais distintas.
Para que a equação não apresente raízes reais, o 
discriminante deve ser negativo:
D = b2 – 4ac < 0
(– 1)² – 4 · m · 1 < 0
1 – 4m < 0
– 4m < –1
m > 1 __ 
4
 
Logo, se o valor de m for maior que 1 __ 
4
 , a equação 
não apresentará raiz real.
Equações de segundo grau 
incompletas
Quando uma equação do segundo grau 
ax² + bx + c = 0 apresenta b = 0 ou c = 0, apesar 
de podermos utilizar a fórmula de Bhaskara, há modos 
mais eficientes de encontrar as raízes.
Caso b = 0
Uma equação do tipo ax² + c = 0 pode ser re-
solvida sem o uso da fórmula de Bhaskara. Veja um 
exemplo:
 § Calcule as soluções da equação 2x² – 8 = 0.
Isolando o termo x² em um membro da equação 
temos:
2x² = 8
x² = 4
Como temos dois valores para x, que, quando 
elevados à segunda potência, resultam no valor 
4, as raízes da equação são x1 = 2 e x2 = –2. 
Portanto, S = {–2, 2}.
 § Calcule as soluções da equação x² + 5 = 0.
Isolando o termo x² temos:
x² = –5
Observe que não há valor que, elevado ao qua-
drado, resulte em um número negativo. Portanto, 
S = Ø.
Caso c = 0
Caso o termo independente seja nulo, teremos 
uma equação do tipo ax² + bx = 0. Essas equações 
podem ser resolvidas fatorando a expressão:
ax² + bx = 0 à x(ax + b) = 0
Para um produto ser nulo, um dos fatores deve 
ser nulo, ou seja:
x = 0
ou
ax + b = 0 à x = –b ___ a 
Portanto, as raízes são x1 = 0 e x2 = 
–b ___ a .
Veja um exemplo:
 § Calcule as raízes da equação 4x² – 5x = 0.
Fatorando o primeiro membro da equação te-
mos:
4x² – 5x = 0 à x(4x – 5) = 0
Para o produto ser nulo, devemos ter:
x = 0
ou
4x – 5 = 0 à x = 5 __ 
4
 
Portanto, as raízes são x1 = 0 e x2 = 
5 __ 
4
 , ou seja, 
S = { 0, 5 __ 4 } .
38
Soma e produto das raízes de 
uma equação de segundo grau
Considerando uma equação do segundo grau 
com ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções x1
e x2 são dadas por:
x1 = 
– b + √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 e x2 = 
– b – √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 .
Sendo S a soma das raízes:
S = x1 + x2 = 
_ b + √
__
∆  ________ 
2a
 + – b – √
__
 ∆  ________ 
2a 
 .
= –b + √
__
 ∆  – b – √
__
 ∆  _______________ 
2a
 .
= – 2b___
2a
= – b __ a .
Logo: S = – __a
b 
Sendo P o produto das raízes:
P = x1 · x2 = 
(–b + √
__
 ∆  ) _______
2a
 · (–b – 
√
__
 ∆  )______
2a
 
= (–b)
2 – ( √
__
 ∆  )2 __________ 
4a2 
 =
= b
2 – D _____ 
4a2
 = 
= b
2 – (b2 – 4ac) ___________ 
4a2
 =
= b
2 – b2 + 4ac __________ 
4a2
 = 4ac___
4a2
 = c __a 
Logo: P = c __a 
Substituindo em ax² + bx + c = 0, consideran-
do o coeficiente dominante igual a 1, temos:
x² – Sx + P = 0
Ou seja, temos que o coeficiente do termo do 
1º grau será a soma das raízes com o sinal trocado e o 
termo independente será o produto das raízes.
Exemplo: supondo x1 > x2
§ Se x2 – 3x + 2 = 0, então { x1 = 2 x2 = 1 
§ Se x2 – x – 12 = 0, então { x1 = 4 x2 = –3 
Equações biquadradas
Quando uma equação do quarto grau possui a 
forma:
ax4 + bx² +c = 0 (sendo a i 0)
damos a ela o nome de equação biquadrada. 
Observe que a equação de quarto grau possui apenas 
variáveis com expoente par. Veja alguns exemplos de 
equação biquadrada:
x4 + 2x2 – 1 = 0
2x4 – 8 = 0
x4 – 4x2 = 0
Casos como:
x4 + 2x3 – x2 + 7 = 0
5x4 – 2x2 + x – 1 = 0
não são equações biquadradas, pois possuem 
coeficientes não nulos em variáveis de grau ímpar.
Esse caso particular de equação incompleta de 
quarto grau pode ser resolvida através de uma substi-
tuição de variável, feita de modo a reduzir a equação de 
quarto grau a uma de segundo grau.
Considere a equação ax4 + bx² + c = 0, com 
a i 0. Substituindo x² por y, temos:
x4 = (x²)² = (y)² = y²
Logo, a equação na variável y é:
ay² + by + c = 0
Como já visto, essa equação possui as raízes:
y1 = 
–b + dXXXXXXXb2 – 4ac ____________
2a
 e y2 = 
–b – dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 .
Porém, como x² = y, temos que x = ± √
_
 y , logo:
x1 = √
__
y1 
x2 = – √
__
y1 
x3 = √
__
y2 
x4 = – √
__
y2 
39
Teoria na prática
1. Resolva a equação x4 – 13x² + 36 = 0.
Substituindo x² por y, temos:
y² – 13y + 36 = 0
Essa equação pode ser resolvida através da fórmula de Bhaskara, resultando em y1 = 4 e y2 = 9.
Porém, como x² = y, temos:
 § x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2.
 § x² = 9, logo x3 = 3 e x4 = –3.
Portanto, o conjunto solução é S = {–2, –3, 2, 3}.
2. Encontre o conjunto solução da equação biquadrada x4 + x2 – 2 = 0.
Substituindox² por y, temos:
y² + y – 2 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau, temos y1 = 1 e y2 = –2.
Retornando à variável x, encontramos:
 § x² = 1, logo x1 = 1 e x2 = –1.
 § x² = –2 (não há valores reais de x que satisfaçam essa igualdade)
Portanto, o conjunto solução é S = {–1, 1}.
3. Encontre as raízes da equação x4 – 16 = 0.
Realizando a substituição x² = y, temos:
y² – 16 = 0
y² = 16
y = ± 4, ou seja, y1 = 4 e y2 = –4.
Como x² = y, retornando a equação à variável x, obtemos:
 § x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2.
 § x² = –4 (não há valores reais de x que satisfaçam essa igualdade)
Portanto, o conjunto solução é S = {–2, 2}.
Vídeo
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Equação do Segundo Grau - Parte 1 - Elon - 2004
Fonte: Youtube
40
Introdução às equações e inequações
wpt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-equations-and-inequalities
41
Vídeo
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Um designer de interiores precisa verificar se os móveis de uma casa estão bem dispostos dentro de cada 
cômodo. Um pedreiro precisa confirmar a metragem de uma parede antes de levantá-la. Enfim, em todos os mo-
mentos em que um cálculo de área é exigido, a equação do segundo grau será a ferramenta principal para resolver 
o problema de cálculo.
INTERDISCIPLINARIDADE
Equações do segundo grau estão intimamente ligadas às funções do segundo grau na disciplina de Física. 
Uma delas é a equação horária do espaço s = s0 + v0t + 
1 __ 
2
 at2, para t0 = 0, vulgo “sorvetão”. Com a aplicação da 
fórmula de Bháskara, a resolução desse tipo de problema se torna mais fácil.
42
Estrutura ConCEitual
CONHECIMENTOS
PRÉVIOS
com a ≠ 0
- FATORAÇÃO
- PRODUTO NOTÁVEL
- POTENCIAÇÃO E
 RADICIAÇÃO
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
há 2 raízes reais e distintas
há 2 raízes reais e iguais
não há 2 raízes reais
ax2 + bx + c = 0 -b ± b2 -4ac
2a
∆ = 
∆ > 0 
∆ = 0
∆ < 0 
SEb2 -4ac
x =
Fórmula das soluções
da equação do 2º Grau
DISCRIMINANTE
©
 A_
Le
sik
/S
hu
tte
rst
oc
k
07 08
M
MATEMÁTICA
T
Teoria dos conjuntos
Competências
1, 5 e 6
Habilidades
1, 2, 5, 21, 22, 
23 e 25
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
45
Teoria dos conjunTos
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de elemento ao conjunto são definidos como 
primitivos, ou seja, são aceitos sem definição.
Intuitivamente, conjunto é um agrupamento de elementos. Veja os exemplos a seguir:
 § Conjunto dos números naturais menores que 10;
 § Conjunto das letras do alfabeto;
 § Conjunto dos números pares;
 § Conjunto dos dias de uma semana;
 § Conjunto dos números primos;
 § Conjunto dos números inteiros negativos;
 § Conjunto dos polígonos regulares.
Podemos representar um conjunto nomeando seus elementos um a um e organizando-os entre chaves e se-
parados por vírgulas. Nessa representação, dizemos que o conjunto está representado por extensão. Por exemplo, 
podemos representar o conjunto A dos números naturais menores que 10 da seguinte forma:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Temos, então, que os elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 pertencem ao conjunto A.
Observação: utilizamos chaves quando queremos representar conjuntos. Ou seja, a e {a} são diferentes:
A representação em extensão pode ser usada para conjuntos infinitos ou finitos, mesmo que o número de 
elementos seja muito grande. Exemplos:
 § Conjunto dos números ímpares positivos:
B = {1, 3, 5,...} é conjunto infinito
 § Conjunto dos números pares positivos menores que 200:
C = {2, 4, 6,..., 198} é conjunto finito
Podemos também representar um conjunto por meio de uma figura chamada diagramas de Euler-Venn.
Dado um conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}, temos o seguinte diagrama:
Quando é dada uma propriedade característica dos elementos de um conjunto, dizemos que está represen-
tado por compreensão. Veja:
46
Relações de pertinência
Quando queremos indicar que um determinado 
elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o 
elemento x pertence ao conjunto A, e simbolizamos 
essa relação da seguinte forma:
x [ A
Da mesma forma, se queremos indicar que um 
elementox não pertence a um conjunto A, simboliza-
mos por:
x Ó A
As relações de pertinência [ e Ó relacionam 
um elemento a um conjunto.
Como exemplo, considere o conjunto A = {1, 2, 
3, 4, 5}. Podemos realizar as seguintes afirmações:
 § 1 [ A 
(lê-se: o elemento 1 pertence ao conjunto A)
 § 6 Ó A 
(lê-se: o elemento 6 não pertence ao conjunto A)
Relações de inclusão
Para relacionar dois conjuntos, utilizamos as re-
lações de inclusão. Se todo elemento de um conjunto B 
está contido em outro conjunto A, dizemos que o con-
junto B está contido no conjunto A, e simbolizamos essa 
relação da seguinte forma:
B , A
Caso haja algum elemento de B que não perten-
ça ao conjunto A, significa que o conjunto B não está 
contido em A. Para representar esta situação utilizamos 
a seguinte notação:
B ÷ A
As relações de inclusão , e ÷ relacionam dois 
conjuntos.
Considerando os conjuntos A e B representados 
pelo diagrama de Venn temos:
Observação: as relações de pertinência sem-
pre relacionam um elemento a um conjunto, e as rela-
ções de inclusão relacionam dois conjuntos. Veja alguns 
exemplos:
 § 1 , {1, 2, 3}
Errado – a relação de inclusão “,” relaciona 
dois conjuntos, e 1 é um elemento.
 § {1} , {1, 2, 3}
Correto – o conjunto formado pelo número 1 
está contido no conjunto {1, 2, 3}.
 § {2} [ {1, 2, 3}
Errado – o elemento {2} não pertence ao con-
junto {1, 2, 3}.
 § 2 [ {1, 2, 3}
Correto – o elemento 2 pertence ao conjunto 
{1, 2, 3}
Podemos, em alguns casos, tratar conjuntos 
como elementos de um outro conjunto, como:
A = {1, 2, 3, {3}}
Nesse caso, o conjunto A é composto pelos alga-
rismos 1, 2, 3 e por um conjunto que contém o algarismo 
3. Sendo assim, podemos escrever:
{3} [ {1, 2, 3, {3}}
O conjunto unitário {3} é tratado como sendo um 
elemento do conjunto A.
47
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os 
mesmos elementos. Se dois conjuntos A e B são iguais, 
indicamos A = B.
A negação da igualdade é indicada por A i B (A 
é diferente de B), isso significa que um desses conjuntos 
possui algum elemento que não pertence ao outro.
Note que, se A , B e B , A, então A = B.
Conjunto universo
Em inúmeras situações, é importante estabelecer 
o conjunto U, ao qual pertencem os elementos de todos 
os conjuntos considerados. Esse conjunto é chamado de 
conjunto universo.
Quando estudamos a população humana, por 
exemplo, o conjunto universo é constituído de todos os 
seres humanos.
Para descrever um conjunto A por meio de uma 
propriedade característica p de seus elementos, deve-
mos mencionar, de modo explícito ou não, o conjunto 
universo U no qual estamos trabalhando:
A = {x [ U | x tem a propriedade p} 
ou 
A = {x | x tem a propriedade p}, 
quando nos referimos a U de modo implícito.
Conjunto unitário
Chama-se conjunto unitário aquele que pos-
sui um único elemento.
Considere, por exemplo, o conjunto P = { x | x é 
um número primo par e positivo}.
Ora, o único número primo par é 2. Logo, P é um 
conjunto unitário e podemos escrever P = {2}.
Conjunto vazio
Chama-se conjunto vazio aquele que não pos-
sui elemento. Veja:
Seja A o conjunto dos números primos menores 
que 2, esse conjunto não possui elemento, pois não há 
número primo menor que 2.
Representa-se o conjunto vazio por { } ou Ø.
Observe que, como o símbolo Ø já representa 
um conjunto, para representarmos um conjunto vazio 
podemos escrever { } ou Ø, mas não {Ø}.
Subconjuntos
Consideremos os conjuntos A e B, também re-
presentados por diagrama:
A = {1, 3, 7} 
B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
Note que qualquer elemento de A também per-
tence a B.
Nesse caso, dizemos que A está contido em B ou 
A é subconjunto de B.
Indica-se: A , B (A está contido em B).
 
Esse símbolo significa “está contido”.
Podemos dizer, também, que B contém A.
Indica-se: B . A (B contém A)
 
Esse símbolo significa “contém”.
Se existir pelo menos um elemento de A que não 
pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou 
que B não contém A. Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6}
Note que o elemento 4 pertence a A, mas não 
pertence a B. Escrevemos:
A ÷ B (A não está contido em B) 
B À A (B não contém A)
O símbolo ÷ significa “não está contido” e À 
significa “não contém”.
48
Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando qualquer elemento de A também pertence a B.
Observações:
Se A , B e B , A, então A = B.
Os símbolos ,, ., ÷ e À são utilizados para relacionar conjuntos.
Para todo conjunto A, tem-se A , A.
Para todo conjunto A, tem-se Ø , A, onde Ø representa o conjunto vazio.
operações
União de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Vamos determinar um conjunto C, formado pelos elementos que pertencem a A, ou a B, ou a ambos:
O conjunto C é chamado união de A e B.
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
Designamos a união de A e B por A < B (A união B).
O símbolo < significa união ou reunião.
Propriedades da união
P1 A < A = A (idempotente)
P2 A < Ø = A (elemento neutro em relação ao conjunto vazio)
P3 A < B = B < A (comutativa)
P4 (A < B) < C = A < (B < C) (associativa)
Teoria na prática
1. Determine a união dos conjuntos A = {0, 2} e B = {x [ N | x é impar e 0 < x < 6}.
A união dos conjuntos A e B é:
Por diagrama, temos:
Observe que os conjuntos A e B não possuem elementos comuns.
49
2. Determine a união dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}.
A união entre os conjuntos A e B pode ser representada da seguinte forma, pelo diagrama de Venn:
Logo, A < B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Intersecção de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que são comuns a A e a B, ou seja, os elementos 
que pertencem a A e também pertencem a B.
O conjunto C é chamado intersecção de A e B.
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B.
Designamos a intersecção de A e B por A > B (A inter B).
A > B = {x | x [ A e x [ B}
O símbolo > significa intersecção.
Propriedades da intersecção
P1 A > A = A (idempotente)
P2 A > U = A (elemento neutro em relação ao conjunto universo)
P3 A > B = B > A (comutativa)
P4 (A > B) > C = A > (B > C) (associativa)
Teoria na prática
1. Em cada caso a seguir, determine A > B e faça a representação em diagrama..
a) A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}
b) A = {0, 2} e B = {1, 3, 5}
Do enunciado:
a)
Em diagrama:
50
b)
Observe que não há elementos em comum entre A e B, por isso, a intersecção desses conjuntos é vazia.
Quando A > B = Ø, os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
Diferença de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B:
O conjunto C é a diferença de A e B.
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.
Designamos a diferença de A e B por A – B (A menos B).
A – B = {x | x [ A e x Ó B}
Em diagrama:
Se B , A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A, e indica-se por C B A .
C B A = A – B
Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então C B A = A – B = {0, 1, 4}.
Em diagrama:
O complementar de B em relação a A é o que falta para o conjunto B ficar igual ao conjunto A. Logo, o 
complementar de B em relação a A só está definido se, e somente se, B , A.
51
Teoria na prática
1. Se A = {4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e E = {5, 6, 8}, 
calcule:
a) C B A 
b) B – E
Resolução:
a) C B A = A – B = {4, 5, 6, 7} – {5, 6} 
C B A = {4, 7}
b) B – E = {5, 6} – {5, 6, 8} 
B – E = Ø
principais símbolos lógicos
/ (tal que)
ù (intersecção)
ø (união)
? (qualquer que seja)
'! (existe um único)
ä (implicar)
à (equivalente)
` (e)
~ (ou)
. (maior que)
, (menor que)
[ (pertence)
Ó (não pertence)
. (contém)
À (não contém)
, (está contido)÷ (não está contido)
' (existe ao menos um)
 (não existe)
5 (igual)
Þ (diferente)
< (aproximadamente)
número de elemenTos em 
um conjunTo a: n(a)
Representamos por n(A) o número de elementos 
contidos no conjunto A. Por exemplo:
A = {x | x representa os dias de uma semana} 
ä n(A) = 7
Lembre-se:
 § Conjunto unitário
A = {x | x é dia da semana que começa com a 
letra D}
A = {domingo} ä n(A) = 1
 § Conjunto vazio
A = {x | x é dia da semana que começa com a 
letra M}
A = { } ou Ø ä n(A) = 0
 § Conjuntos finitos e infinitos
A = {2, 3, 4} ä n(A) = 3 ä A é finito
B = {2, 3, 4,...} ä B é infinito
 § Conjuntos iguais
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 2, 3, 3} e 
C = {x | x [ N e 1 ø x ø 3}
A = B = C
Em todos os casos, n(A) = n(B) = n(C) = 3.
conjunTos disjunTos
Dois conjuntos A e B, não vazios, são disjuntos 
se não possuírem elementos comuns.
Veja: A > B = Ø
Pertinência e inclusão
 § de elemento para conjunto
[ Ó
(pertence) e (não pertence)
52
 § de subconjunto para conjunto
, ÷
(está contido) e (não está contido)
 § de conjunto para subconjunto
. À
(contém) e (não contém)
A é subconjunto de B.
A , B, lê-se “A está contido em B”.
A é parte de B.
Exemplo
Sendo A = {1, {1}, 2, 3}, de acordo com as afir-
mações:
1. 1 [ A (verdadeiro)
2. {1} [ A (verdadeiro)
3. {1} , A (verdadeiro)
4. Ø [ A (falso)
5. Ø Ó A (verdadeiro)
6. 2 , A (falso)
7. 2 [ A (verdadeiro)
8. {2} ÷ A (verdadeiro)
números de subconjunTos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.
Com a notação A , B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A é parte de B” ou “A está contido em B”.
A negação de A , B é indicada por A ÷ B, que se lê: “A não está contido em B” ou “B não contém A”.
Simbolicamente A , B à (?x) (x [ A é x [ B).
Exemplo
 § {1, 2} , {1, 2, 3, 4}
 § {5} , {5, 6}
 § {1, 2, 3} ÷ {4, 5, 6}
Nota
1. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, Ø , A, ?A.
2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é A , A, ?A.
3. Chama-se subconjunto próprio de um conjunto A qualquer subconjunto de A que seja diferente de A. 
Simbolicamente, B é subconjunto próprio de A, se B ⊂ A e B ∙ A.
53
Teoria na prática
1. Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}?
Resolução:
Vamos escrever todos os subconjuntos de A:
Ø; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}.
Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece com os elementos, em relação aos subconjuntos, 
podemos dizer que cada um deles pode ou não aparecer. Então, para o elemento a, temos duas possibilida-
des quanto à sua presença no subconjunto (aparecer ou não aparecer). O mesmo acontece com os elemen-
tos b e c. Portanto, segundo o P.F.C., ou princípio multiplicativo na análise combinatória, temos.
2. Quantos subconjuntos possui um conjunto A com n elementos?
Pelo que foi explicado no exemplo anterior, cada elemento de A pode ou não estar presente num determi-
nado subconjunto C, pelo fato de A ter n elementos, então:
Portanto:
n° de subconjuntos = 2 · 2 · 2 ... 2
n vezes
Com isso:
n° de subconjuntos = 2n
conjunTos das parTes de um conjunTo
Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes subconjuntos:
 § o conjunto vazio.
 § os conjuntos de um elemento: {1}, {2} e {3}.
 § os conjuntos com os dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}.
 § o próprio conjunto A.
Denominamos conjunto das partes do conjunto A o conjunto P(A) formado por todos os subconjuntos do 
conjunto A:
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Note que o conjunto vazio, o conjunto A e os demais subconjuntos de A são elementos do conjunto P(A).
É correto, por exemplo, dizer que {3} [ P(A), mas errado afirmar que {3} , P(A).
54
Número de elementos do conjunto das partes
Observe o seguinte quadro:
Conjunto A Conjunto P(A) Número de elementos P(A) Potência
Ø {Ø} 1 20
{b} {Ø, {b}} 2 21
{b1, b2} {Ø, {b1}, {b2}, {b1, b2} 4 2
2
{b1, b2, ... bn,}
n elementos
{Ø, {b1}, {b2}, ..., {b1, b2, ...,bn}} 2
n 2n
De modo geral, podemos dizer que:
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.
Exemplo
Determine quantos elementos tem o conjunto das partes do conjunto A, sabendo que A tem 4 
elementos.
Se o conjunto A tem 4 elementos, isto é, n = 4, então P(A) tem 24 elementos, ou seja P(A) tem 16 elementos.
Número de subconjuntos (conjuntos das partes)
Se um conjunto A possui n elementos, então A possui 2n subconjuntos, que podemos representar por:
n(P(A)) = 2n(A)
números de elemenTos da união
Entre dois conjuntos:
n(A < B) = n(A) + n(B) – n(A > B)
Exemplo
Observação
Para a união de três conjuntos, temos
n(A < B < C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A > B) – n(B > C) – n(A > C) + n(A > B > C).
55
esTruTura conceiTual
∙ A é um conjunto
∙ O elemento 8 não pertence
 ao conjunto A
∙ 0, 2, 4 e 6 são elementos A
 isto é, pertecem a A
A
· 8
· 0 · 2
· 4 · 6
09 10
M
MATEMÁTICA
T
Operações com intervalos
Competência
5
Habilidades
19, 20, 21 e 22
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados emtabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
59
Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos como intervalo fechado [a, b] o seguinte conjunto:
[a, b] = {x [ R | a ≤ x ≤ b}
Nesse caso, os elementos a e b pertencem ao intervalo, assim como todos os números reais maiores que 
a e menores que b.
Da mesma forma, definimos como intervalo aberto ]a, b[ o conjunto:
]a, b[ = {x [ R | a < x < b}
Observe que, diferentemente do intervalo fechado, nesse conjunto os elementos a e b não pertencem ao 
intervalo.
Caso o número real a (chamado de extremo inferior do intervalo) pertença ao intervalo, e o número 
b (chamado de extremo superior do intervalo) não pertença, denominamos esse intervalo como fechado à 
esquerda (ou aberto à direita), definido pelo conjunto:
[a, b[ = {x [ R | a ≤ x < b}
Do mesmo modo, se a não pertence ao intervalo e b pertence, denominamos esse intervalo como fechado 
à direita (ou aberto à esquerda), definido por:
]a, b] = {x [ R | a < x ≤ b}
Também podemos representar intervalos “infinitos”:
[a, +Ü [ = {x [ R | x ≥ a}
]–Ü, a] = {x [ R | x ≤ a}
Como intervalos são, por definição, conjuntos, podemos realizar as operações entre conjuntos, como 
união, intersecção e diferença em intervalos também.
RepResentação geométRica de inteRvalos na Reta Real
Podemos representar intervalos na reta real, o que facilita a realização de operações entre intervalos. Ob-
serve o exemplo:
a) [–1, 2]
b) [1, 4[
c) ]–2, 2[
d) [–3, + Ü [
Ao utilizarmos a notação [a, b], estamos então nos referindo, necessariamente, a um conjunto de números 
reais. Portanto, o intervalo [1, 2], por exemplo, representa o conjunto de todos os números reais maiores ou 
iguais a 1 e menores ou iguais a 2, possuindo infinitos elementos.
60
Operações com intervalos
Teoria na prática
 § Se A = {x [ R | 2 < x < 5} e 
B = {x [ R | 3 ≤ x ≤ 8}, determine A > B.
Observe:
3 é elemento de A e também de B.
5 é elemento de B e não é elemento de A.
Os elementos de 3 até o 5, excluído esse último, 
pertencem a A e a B ao mesmo tempo.
Portanto, A > B = {x [ R | 3 ≤ x < 5}
 § Dados A = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 0} e 
B = {x [ R | 2 ≤ x < 3}, determine A > B.
Não há elementos que pertençam aos dois con-
juntos ao mesmo tempo.
A intersecção é o conjunto vazio: A > B = Ø.
 § Dados A = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3} e 
B = {x [ R | 1 < x ≤ 4}, determine A < B.
Portanto, A < B = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 4}
 § Dados A = {x [ R | –3 < x ≤ 4} e 
B = {x [ R | 1 < x < 7}, calcule A – B.
O conjunto A – B é formado pelos elementos que 
pertencem a A e não pertencem a B.
Portanto, A – B = {x [ R | –3 < x ≤ 1}
Teoria na prática
1. Se –4 < x < –1 e 1 < y < 2, então x _ y e x ∙ y estão 
no intervalo:
a) ] – 8, –1[
b) ] –2, – 1 __ 2 [ 
c) ] – 2, –1[
d) ] – 8, – 1 __ 2 [ 
e) ] –1, 1 __ 2 [ 
Resolução:
Analisando os valores possíveis para x _ y e xy nos 
extremos, temos:
I) x _ y 
x = – 4, y= 1⇒ x _ y = –4 
x = –1, y = 1 ⇒ x _ y = –1
x = – 4, y = 2⇒ x _ y = –2 
x = –1, y = 2 ⇒ x _ y = 
–1 __ 
2
 
II) xy
x = – 4, y = 1⇒ x ∙ y = – 4 
x = –1 ⇒ y = 1 ⇒ x ∙ y= –1
x = – 4, y = 2⇒ x ∙ y = – 8 
x = –1, y = 2 ⇒x ∙ y = –2
O menor valor encontrado é – 8 e o maior –1/2. 
Assim, o intervalo pedido é ]– 8, –1/2[, lembran-
do que os extremos são abertos, pois os extre-
mos de x e y também são abertos.
Alternativa D
FUVEST
Trigonometria no triângulo retângulo é um conteúdo interdisciplinar para a Fuvest, podendo sempre 
ser cobrado em física nos problemas de forças e atrito em planos inclinados, assim como em proble-
mas de geometria plana. O mesmo vale para razões e proporções, que se relacionam com física, em 
fórmulas que relacionam grandezas físicas, química, em estequiometria, e na própria matemática.
UNESP
Trigonometria no triângulo retângulo é um assunto cobrado pela Vunesp com questões abstra-
tas; e razão, proporção e grandezas proporcionais são cobradas com questões sobre situações 
do cotidiano com auxílio de gráficos e tabelas.
UNICAMP
Razão e proporção e trigonometria no triângulo retângulo no vestibular da Unicamp são cobrados 
em problemas do cotidiano, com figuras, tabelas e gráficos.
UNIFESP
Razões e proporções são itens cobrados com grande incidência em situações do cotidiano, sem-
pre descritos em texto ou em gráficos; já trigonometria no triângulo retângulo é um assunto 
cobrado, em sua maioria, com figuras geométricas.
ENEM/UFMG/UFRJ
Trigonometria no triângulo retângulo, razão, proporção e grandezas proporcionais são conteúdos 
com altíssimo índice de incidência no exame do ENEM, sempre aplicados em situações do coti-
diano, como em variações de grandezas de medidas para compreensão da realidade.
UERJ
Trigonometria no triângulo retângulo é cobrada em questões de geometria plana; e razões e 
proporções são cobradas em problemas do cotidiano, com figuras, tabelas e gráficos.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de TRIGONOMETRIA e de ARITMÉTICA nos principais vestibulares.
01 02
M
MATEMÁTICA
T
Trigonometria no triângulo
retângulo 
Competência
2
Habilidades
6, 7, 8 e 9
01 02
M
MATEMÁTICA
T
Trigonometria no triângulo
retângulo 
Competência
2
Habilidades
6, 7, 8 e 9
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
65
Razões tRigonométRicas no tRiângulo Retângulo
Tri gono metria
(três) (ângulo) (medida)
Todos sabem que, se você deseja ser um físico ou engenheiro, deveria 
ser bom em Matemática. Mais e mais pessoas estão descobrindo que, 
se desejam trabalhar em certas áreas da Economia ou Biologia, de-
veriam rever sua Matemática. A Matemática penetrou na Sociologia, 
Psicologia, Medicina e Linguística. Sob o nome de cliometria, está se 
infiltrando na História, para sobressalto dos mais velhos. 
VIS, Philip J.; KERSH, Reuben. A experiência matemática. Tradução de João Bosco Pitombeira. 
Rio de Janeiro: F. Alves, c 1989. 481 p. (Coleção Ciência): The Mathematical experience.
Na origem de sua formação, a Trigonometria era um ramo da Matemática no qual os ângulos de um triân-
gulo e as medidas de seus lados eram relacionados. As razões trigonométricas eram utilizadas pelos egípcios para 
resolver problemas de Arquitetura nas construções das pirâmides. O estudo da Trigonometria se ampliou para um 
campo mais abstrato, retirando-se das aplicações práticas e surgindo em outros campos do conhecimento, para 
solucionar alguns problemas específicos e contribuir indiretamente para seu desenvolvimento por necessidades das 
navegações, Astronomia e Agrimensura. Mais tarde, por volta dos séculos XVI e XVII, a Trigonometria aparece na 
Física para descrever e explicar alguns fenômenos, tais como:
 § o movimento periódico dos planetas, trabalhado por Kepler;
 § o movimento periódico dos pêndulos, trabalhado por Galileu;
 § a propagação do som no formato de ondas, estudada por Newton; e
 § a propagação da luz no formato de ondas, estudada por Huyghens.
Se θ é um ângulo interno de um triangulo retângulo, definimos:
sen θ = 
medida do cateto oposto a θ
   ______________________ 
medida da hipotenusa
 
cos θ = 
medida do cateto adjacente a θ
   ________________________ 
medida da hipotenusa
 
tg θ = 
medida do cateto oposto a θ
   ________________________ 
medida da cateto adjacente a θ
 
cossec θ = 
medida da hipotenusa
 _______________________ 
medida do cateto a oposto a θ
  
sec θ = 
medida da hipotenusa
 ________________________ 
medida do cateto adjacente a θ
  
cotg θ = 
medida do cateto adjacente a θ
   ________________________ 
medida do cateto oposto a θ
 
→ Razões inversas →
Aplicando as definições acima, temos:
sen θ = b __ a e cossec θ = 
a __ 
b
 
cos θ = c __ a e sec θ = 
a __ c 
tg θ = b __ c e cotg θ = 
c __ 
b
 
0 < sen θ < 1 e 0 < cos θ < 1
cossec θ > 1 e sec θ > 1
tg θ > 0 e cotg θ > 0
66
Consequência
No triângulo retângulo ABC abaixo, β + γ = 90º, 
ou seja 
^ 
 B e 
^
 C são complementares.
sen β = b __ a 
cos γ = b __ a 
sen γ = c __ a 
cos β = c __ a 
sen β = cos γ
sen γ = cos β
Dessa forma, temos que em um triângulo retân-
gulo, o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de 
seu complemento.
De fato, o nome cosseno se origina de seno do 
ângulo complementar.
Razões trigonométricas 
(valores notáveis)
θ 
(graus)
sen 
θ
cos 
θ
tg 
 θ 
cossec 
θ 
sec 
 θ 
cotg 
θ 
30º 1 __ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
3
 2 2 
dXX 3 ____ 
3
 dXX 3 
45º 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 1 dXX 2 dXX 2 1
60º 
dXX 3 ___ 
2
 1 __ 
2
 dXX 3 2 
dXX 3 ____ 
3
 2 
dXX 3 ___ 
3
 
Teoria na prática
1. Calcule o valor de x e y no triângulo retângulo 
ABC a seguir:
Resolução:
Observe que o cateto AC é oposto ao ângulo 
de 30º, ao passo que o cateto AB é adjacente. 
Calculando o cateto oposto ao ângulo dado, temos:
sen 30º = 
cateto oposto ao 30º
 ________________ 
hipotenusa
 .
Substituindo o valor de seno de 30° obtido da 
tabela:
 1 __ 
2
 = 
y
 __ 
2
 ⇒ y = 1
Agora, calculemos o cateto adjacente a 30º:
cos 30º = 
cateto adjacente ao 30º
 __________________ 
hipotenusa
 .
Substituindo o valor de cosseno de 30° obtido 
da tabela:
 
dXX 3 ___ 
2
 = x __ 
2
 ⇒ x = dXX 3 
Logo, x = √
__
 3 m e y = 1m.
2. Calcule a altura de um triângulo equilátero de 
lado a.
Resolução:
A partir de um triângulo equilátero ABC, temos 
que a altura relativa à base BC é o segmento AP, 
perpendicular à BC, onde P é ponto médio de BC.
Lembre-se que em um triângulo equilátero, as 
alturas coincidem com as medianas:
67
Como sabemos, os ângulos internos de um triân-
gulo equilátero medem 60º. Assim, podemos uti-
lizar a trigonometria no triângulo retângulo ACP:
sen 60º = 
cateto oposto AP
 _____________ 
hipotenusa AC
 
a dXX 3 = 2h ⇒ h = a 
dXX 3 ____ 
2
 
Portanto, dado um triângulo equilátero de lado 
a, sua altura vale a 
dXX 3 ____ 
2
 .
3. Dado um triângulo ABC, calcule a medida dos três 
lados sabendo que a altura relativa à base BC é 8, 
o ângulo A 
 ̂ 
 C B é 45° e o ângulo A 
 ̂ 
 B C é 60°.
Resolução:
A figura descrita no problema é:
Repare que o triângulo ABC não é retângulo. 
Porém, observe que a altura sempre é perpen-
dicular à base.
Assim, os triângulos ACH e ABH são retângulos 
e podemos calcular seus catetos e hipotenusas:
 § Triângulo ACH:
O segmento AH representa o cateto oposto ao 
ângulo de 45°, portanto podemos calcular o ca-
teto adjacente CH através da tangente de 45°.
tan 45º = 
cateto oposto à 45º
 _________________ 
cateto adjacente à 45º
 .
1 = 8 ___ 
CH
 ⇒ CH = 8
Como AC é a hipotenusa do triângulo ACH, 
temos:
cos 45º = 
cateto adjacente à 45º
 _________________ 
hipotenusa
 .
 
dXX 2 ___ 
2
 = 8 ___ 
AC
 ⇒ dXX 2 AC = 16 ⇒ AC = 16 ___ 
 dXX 2 
 
Racionalizando o resultado, temos:
AC = 16 
dXX 2 ______ 
 dXX 2 ⋅ dXX 2 
 = 16 
dXX 2 _____ 
2
 = 8 √
__
 2 
 § Triângulo ABH:
O segmento AH representa o cateto oposto ao 
ângulo de 60°, portanto podemos calcular o ca-
teto BH através da tangente de 60°.
tan 60º = 
cateto oposto à 60º
 _________________ 
cateto adjacente à 60º
 
 dXX 3 =8 ___ 
BH
 ⇒ BH dXX 3 = 8 ↔ BH = 8 ___ 
 √
__
 3 
 
Racionalizando o resultado, temos:
BH = 8 
dXX 3 _______ 
 dXX 3 ⋅ dXX 3 
 = 8 
dXX 3 ____ 
3
 
Como AB é hipotenusa do triângulo ABH, temos:
sen 60º = 
cateto oposto à 60º
 _______________ 
hipotenusa
 
 Observe que também poderíamos utilizar o cos-
seno, porém como o cateto oposto AH mede 8 e 
o cateto adjacente mede 8 
dXX 3 ____ 
3
 , o cálculo é mais 
simplificado utilizando seno.
 
dXX 3 ___ 
2
 = 8 ___ 
AB
 ⇒ AB dXX 3 = 16 ⇒ AB = 16 ___ 
 dXX 3 
 
Racionalizando o resultado, temos:
AB = 16 
dXX 3 ______ 
 dXX 3 ⋅ dXX 3 
 = 16 
dXX 3 _____ 
3
 
Portanto, temos:
AB = 16 
dXX 3 _____ 
3
 
AC = 8 dXX 2 
CB = CH + BH = 8 + 8 
dXX 3 ____ 
3
 
68
intRodução ao 
ciclo tRigonométRico
O estudo aprofundado da trigonometria será 
feito mais adiante, porém, é importante abordarmos al-
gumas noções básicas para a resolução de alguns pro-
blemas em Geometria Plana.
Considere uma circunferência de raio unitário com 
centro na origem de um sistema cartesiano de coorde-
nadas:
Nesta circunferência, os ângulos são medidos 
no sentido anti-horário a partir do ponto A, ou seja, os 
pontos A, B, A’ e B’ equivalem aos ângulos 0º, 90º, 180º 
e 270º, respectivamente.
Observe como localizar o ângulo de 30º no cír-
culo trigonométrico:
Repare que o 30º determina um ponto P na cir-
cunferência, determinando, assim, o triângulo retângulo 
OBP.
Cada ângulo diferente determina um ponto P 
distinto na circunferência, sendo, assim, o seno e o 
cosseno de um ângulo são definidos por:
sen θ = ordenada de P
cos θ = abscissa de P
tg θ = sen θ _____ 
cos θ  com cos θ ≠ 0
No sistema cartesiano, se a ordenada de P (co-
ordenada em y) se encontra “acima” da origem, o 
seno do ângulo será positivo, enquanto que se a 
ordenada de P se encontra “abaixo” da origem, 
o seno do ângulo será negativo. Analogamente, se 
a abscissa de P (coordenada em x) se encontra à 
direita da origem, o cosseno do ângulo será posi-
tivo, enquanto que se a abscissa de P se encontra 
à esquerda da origem o cosseno do ângulo será ne-
gativo.
Vamos utilizar esses conceitos para calcular o 
valor do seno, cosseno e tangente de um ângulo maior 
que 90°, que não se encontra na tabela de ângulos 
notáveis. Veja onde se encontra o ângulo de 150° na 
circunferência trigonométrica:
Considerando o triângulo retângulo OPB, temos:
sen 30º = BP ___ 
1
 
Logo, a ordenada de P é 1 __ 
2
 e encontra-se acima 
da origem, portanto, sen 150° = 1 __ 
2
 .
69
Do mesmo modo, calculando a medida do cateto 
OB:
cos 30º = OB ___ 
1
 
 
dXX 3 ___ 
2
 = OB ___ 
1
 ⇒ OB = 
dXX 3 ___ 
2
 
Logo, a abscissa de P é – 
dXX 3 ___ 
2
 , pois se encontra à 
esquerda da origem, portanto, cos 150° = – 
dXX 3 ___ 
2
 .
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Trigonometria básica | Geometria ...
Fonte: Youtube
70
Trigonometria com triângulos retângulos
pt.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles
INTERDISCIPLINARIDADE
APLICAÇÃO NO COTIDIANOAPLICAÇÃO NO COTIDIANO
71
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Engenheiros civis, ao estudar e medir a topografia do terreno de interesse, se utilizam de instrumentos, como 
o teodolito, que se baseiam na trigonometria do triângulo retângulo para medir as elevações e desníveis do terreno. 
Veja um exemplo prático disto:
1. (PUC) Um determinado professor de uma das disciplinas do curso de Engenharia Civil da PUC solicitou como 
trabalho prático que um grupo de alunos deveria efetuar a medição da altura da fachada da Biblioteca Central 
da PUC usando um teodolito. Para executar o trabalho e determinar a altura, eles colocaram um teodolito a 
metros da base da fachada e mediram o ângulo, obtendo, conforme mostra a figura abaixo. Se a luneta do 
teodolito está a 1,70 m do solo, qual é, aproximadamente, a altura da fachada da Biblioteca Central da PUC?
Dados (sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,87 e tg 30º = 0,58)
a) 5,18 m
b) 4,70 m
c) 5,22 m
d) 5,11 m
e) 5,15 m
Resolução:
Considerando h como sendo a altura da fachada da Biblioteca, temos:
 
h 1,7tg30
6
h 1,7 6 tg30
h 6 0,58 1,7
h 5,18m
−
° =
− = ⋅ °
= ⋅ +
=
A trigonometria no triângulo retângulo é a base para a resolução de exercícios de física nos tópicos de 
estudo de forças com e sem atrito no plano inclinado. Decomposição de vetores, inclinação do plano, coeficiente 
estático, todos, sem exceção, dependem do conhecimento de trigonometria no triângulo retângulo para as suas 
resoluções.
72
estRutuRa conceitual
Hipotenusa
Lado oposto ao
 ângulo reto
Cateto Oposto
Lado oposto ao
 ângulo θ
Cateto Adjacente
lado próximo ao
 ângulo θ
θ
Seno θ = 
Cosseno θ = 
Tangente θ = 
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
hipotenusa
cateto oposto
cateto adjacente
©
 Al
ek
sa
nd
ar 
To
do
rov
ic/
Sh
ut
ter
sto
ck
03 04
M
MATEMÁTICA
T
Produtos notáveis
Competência
5
Habilidades
19 e 21
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informaçõesexpressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
75
Produtos notáveis
No cálculo algébrico, alguns produtos são frequentes, como:
(x + y) · (x – y) Produto da soma pela diferença de dois termos.
(x + y) · (x + y) = (x + y)2 Quadrado da soma de dois termos.
(x – y) · (x – y) = (x – y)2 Quadrado da diferença de dois termos.
Por serem frequentes na resolução de problemas, tais produtos são chamados de produtos notáveis.
Porém, antes de estudar esses produtos, é importante lembrar algumas propriedades elementares das ope-
rações de adição e multiplicação da álgebra:
Considere dois números reais a e b:
a + b = b + a Propriedade comutativa da adição.
a + (b + c) = (a + b) + c Propriedade associativa da adição.
0 + a = a Elemento neutro da adição.
ab = ba Propriedade comutativa da multiplicação.
a(bc) = (ab)c Propriedade associativa da multiplicação.
1a = a Elemento neutro da multiplicação.
(a + b)c = ac + bc Propriedade distributiva da multiplicação.
Quadrado da soma de dois termos
Considere a expressão (x + y)². Ela representa o quadrado da soma de dois termos. Aplicando a propriedade 
distributiva, temos:
(x + y)² = (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y) = x² + xy + yx + y² = x² + 2xy + y²
Logo, temos a seguinte igualdade:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
Utilizando um exemplo numérico, temos:
(3 + 5)² = 3² + 2 · 3 · 5 + 5² = 9 + 30 + 25 = 64
O resultado obtido está correto, pois (3 + 5)² = (8)² = 64.
76
Podemos, também, observar essa relação geo-
metricamente. A partir de um quadrado de lado a, em 
que prolongamos dois lados consecutivos a um compri-
mento b, de modo a obter um quadrado de lado a + b:
Calculando as áreas de cada quadrado e retân-
gulo formados, temos:
Podemos, então, calcular a área total (A) de duas 
maneiras:
1ª maneira:
Considerando que o quadrado maior possui la-
dos a + b, sua área é dada por A = (a + b)².
2ª maneira:
Somando todas as áreas no interior do quadrado 
maior, temos: 
A = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Portanto, concluímos que:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Exemplos:
 § (3 + x)² = 3² + 2 · 3 · x + x² = 9 + 6x + x²
 § (2a + 3b)² = (2a)² + 2 · 2a · 3b + (3b)² = 
= 4a² + 12ab + 9b²
 § (x + 1)² = x² + 2 · x · 1 + 1 = x² + 2x + 1
 § (ab² + 1)² = (ab²)² + 2 · ab² · 1 + 1² = 
= a²b4 + 2ab² + 1
 § ( 1 __ 2 + x ) 
2
 = ( 1 __ 2 ) 
2
 + 2 ∙ 1 __ 
2
 ∙ x + x2 = 1 __ 
4
 + x + x2
Quadrado da diferença de dois termos
A expressão (x – y)² representa o quadrado da 
diferença de dois termos. Aplicando a propriedade dis-
tributiva, temos:
(x – y)² = (x – y)(x – y) = x(x – y) – y(x – y) = 
= x² – xy – yx + y² = x² – 2xy + y²
Logo, temos a seguinte igualdade:
(x – y)² = x² – 2xy + y²
Utilizando um exemplo numérico, temos:
(6 – 4)² = 6² – 2 · 6 · 4 + 4² = 36 – 48 + 16 = 4
O resultado obtido está correto, pois (6 – 4)² = 
= (2)² = 4.
Analogamente ao quadrado da soma, podemos 
demonstrar geometricamente essa identidade a partir 
de um quadrado de lados a – b em que prolongamos 
dois lados consecutivos a um comprimento b, obtendo, 
assim, um quadrado de lado a:
Da mesma forma, podemos calcular as áreas dos 
quadrados e retângulos formados na figura. A área do 
quadrado de lados (a – b) pode ser calculada de duas 
maneiras:
1ª maneira:
O quadrado possui lado (a – b), portanto, a área 
A é dada por: A = (a – b)²
2ª maneira:
Podemos calcular a área desejada subtraindo da 
área do quadrado de lado a a área dos retângu-
los de lados b e (a – b) e quadrado de lado b: 
A = a² – b(a – b) – b(a – b) – b² = a² –2ab + b²
77
Portanto:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Exemplos:
 § (y – 3)² = y² – 2 · y · 3 + 3² = y² – 6y + 9
 § (3a – 5b)² = (3a)² – 2 · 3a · 5b + (5b)² = 
= 9a² – 30ab + 25b²
 § (x – 1)² = x² – 2 · x · 1 +1² = x² – 2x + 1
 § (x² – 3y)² = (x²)² – 2 · x² · 3y + (3y)² = 
= x4 – 6x²y + 9y²
 § ( x __ 3 – 4 ) 
2
 = ( x __ 3 ) 
2
 – 2 · x __ 
3
 · 4 + 42 = x
2
 __ 
9
 – 8x __ 
3
 + 16
Produto da soma pela 
diferença de dois termos
Por fim, a expressão (x + y)(x – y) representa o 
produto entre a soma e a diferença entre dois termos. 
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
(x + y)(x – y) = x(x – y) + y(x – y) = x² – xy + xy – y² =
= x² – y²
Logo, temos a seguinte igualdade:
(x + y)(x – y) = x² – y²
Utilizando um exemplo numérico, temos:
(5 + 3)(5 – 3) = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
Novamente, podemos verificar que o resultado 
obtido está correto, pois (5 + 3)(5 – 3) = (8)(2) = 16.
Exemplos
 § (x – 2)(x + 2) = x² – 2² = x² – 4
 § (2a + 3b)(2a – 3b) = (2a)² – (3b)² = 4a² – 9b²
 § (y – 1)(y +1) = y² – 1² = y² – 1
 § (x2 + y²)(x² – y²) = (x²)² – (y²)² = x4 – y4
 § ( a2 __ 3 – b3 ) ( a
2
 __ 
3
 + b3 ) = ( a2 __ 3 ) 
2
 – (b3)2 = a
4
 __ 
9
 – b6
Resumindo os produtos notáveis vistos, temos:
(x + y)(x – y) = x² – y²
Produto da soma pela diferença de 
dois termos
(x + y)² = x² + 2xy + y² Quadrado da soma de dois termos
(x – y)² = x² – 2xy + y² Quadrado da diferença de dois termos
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Trigonometria básica | Geometria ...
Fonte: khanacademy
Mais exemplos de produtos notáveis
pt.khanacademy.org/math/algebra2/arithmetic-with-polynomials/multiplying-polynomials-
review/v/special-products-of-binomials
78
79
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estrutura ConCeitual
( x + y )2 = x2 + 2 . x . y + y2
1° termo 2° termo
Quadrado do
1° termo
Quadrado do
2° termo
Duas vezes o 1°
vezes o 2° 
Mais Mais
QUADRADO DA SOMA
( x - y )2 = x2 - 2 . x . y + y2
1° termo 2° termo
Quadrado do
1° termo
Quadrado do
2° termo
Duas vezes o 1°
vezes o 2° 
Menos Mais
QUADRADO DA DIFERENÇA
05 06
M
MATEMÁTICA
T
Fatoração
Competência
5
Habilidades
19 e 21
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
83
Fatorar uma expressão significa transformá-la em fatores de um produto. Por exemplo:
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Forma não fatorada Forma fatorada
Apesar das expressões x² – 5x + 6 e (x – 2)(x – 3) serem equivalentes, a segunda está representada como 
uma multiplicação de fatores (x – 2) e (x – 3).
Muitas vezes, para simplificar uma expressão algébrica, é preciso fatorá-la, ou seja, escrevê-la em forma de 
produto. Neste exemplo, podemos simplificar assim:
 x
2 – 5x + 6 _________ 
x – 3
 , com x ≠ 3
Como sabemos, x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3). Substituindo na expressão, temos:
 x
2 – 5x + 6 _________ 
x – 3
 = (x – 2)(x – 3) __________ 
x – 3
 = x – 2
Estudaremos nesta aula algumas formas de se fatorar uma expressão algébrica.
Fator comum em evidência
Em geral, todos os casos de fatoração têm por base a propriedade distributiva, propriedade conhecida pelos 
antigos gregos através da geometria, mais especificamente no cálculo das áreas:
A área do retângulo maior pode ser calculada por:
Aretângulo maior = base × altura = a · (x + y)
Por outro lado, esse mesmo retângulo está decomposto em dois retângulos menores, cujas áreas são ax e 
ay. Assim, a área do retângulo maior também pode ser calculada pela soma dessas áreas:
Aretângulo maior = ax + ay
Dessa forma, temos a área do mesmo retângulo calculada de duas maneiras diferentes, o que demonstra a 
propriedade distributiva em relação à adição algébrica. Veja:
a(x + y) = ax + ay
Portanto, quando, numa soma ou subtração, houver um mesmo fator em comum nas parcelas, podemos 
colocá-lo em evidência.
84
Teoria na prática
1. Fatore a expressão 2x + 2y.
 Neste caso, é fácil identificar o fator em comum: 
2. Como estamos fazendo o processo inverso da 
propriedade distributiva da multiplicação, pode-
mos dividir cada termo pelo fator comum para 
encontrar a forma fatorada:
2x + 2y = 2 ( 2x __ 2 + 2y __ 2 ) = 2(x + y)
Para verificar se a fatoração está correta, apli-
camos a propriedade distributiva e comparamos 
com a expressão original.
2. Fatore a expressão 10a + 15b.
 Observe que, neste caso, o fator comum não 
aparece explicitamente em nenhum dos termos. 
Porém, podemos expressar os coeficientes por 
meio de produtos, veja:
10a + 15b = 5 · 2a + 5 · 3b
Desta forma, fica claro que o fator comum é o 
número 5, portanto:
10a + 15b = 5 ( 10a ___ 5 + 15b ___ 5 ) = 5(2a + 3b)
3. Simplifique a expressão 
3x + 6y
 ______ 
3
 .
Fatorando o numerador 3x + 6y, temos que 
3x + 6y equivale à 3x + 2 · 3y. Logo, o fator 
comum é o número 3, portanto:
3x + 6y = 3 ( 3x __ 3 + 6y __ 3 ) = 3(x + 2y)
Substituindo o valor encontrado na expressão:
 
3x + 6y
 ______ 
3
 = 
3(x + 2y)
 _______ 
3
 = x + 2y
4. Fatore a expressão x³ – 2x.
O termo x³ pode ser escrito como x · x², desta 
forma:
x³ – 2x = x · x² – 2x
Observe que o fator comum é x, logo:
x³ – 2x = x ( x³ __ x – 2x __ x ) = x(x² – 2)
5. Fatore a expressão a²b³ + a³b4 + ab.
Reescrevendo os dois primeiros termos, temos:
a²b³ = ab · ab²
a³b4 = ab · a²b³
Substituindo na expressão, temos: 
ab · ab² + ab · a²b³ + ab, logo, o fator comum é ab:
a²b³ + a³b4 + ab = ab ( a2b3 ____ ab + a
3b4 ____ 
ab
 + ab __ 
ab
 ) = 
= ab(ab² + a²b³ + 1)
Agrupamento
É possível, em um polinômio, não ter um fator 
comum a todos os seus termos. Porém, talvez seja pos-
sível fatorá-lo em grupos, fazendo surgir um novo fator 
comum aos grupos fatorados. Assim, é só colocar esse 
novo fator comum em evidência.
Teoria na prática
Fatore os seguintes polinômios:
1. x2 + ax + bx + ab
Temos:
x2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a)
x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b)
Então, x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b).
2. 2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2
Temos:
2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2
No segundo grupo, pode-se colocar em destaque 
o fator –by ou +by. Porém, destacando o fator 
–by, mudam-se os sinais dos termos do grupo, 
deixando-os iguais aos sinais do primeiro grupo.
2ax2 + 3axy – 2 bxy – 3by2 = 
ax(2x + 3y) – by(2x + 3y)
2ax2 + 3axy – 2 bxy – 3by2 = (2x + 3y)(ax – by)
Então, 2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2 = (2x + 3y)
(ax – by).
3. y3 – y2 + y – 1
Temos:
y3 – y2 + y – 1
 No segundo grupo, pode-se colocar em evidên-
cia o fator 1 ou –1. Para deixar os sinais iguais 
aos do primeiro grupo, usa-se o 1.
Novo fator comum
1º grupo 2º grupo
2º grupo1º grupo
2º grupo1º grupo
1º grupo 2º grupo
85
Já no primeiro grupo, coloca-se em evidência y2. 
Veja:
y3 – y2 + y – 1 = y2(y – 1) + 1 · (y – 1)
y3 – y2 + y – 1 = (y – 1)(y2 + 1)
Então, y3 – y2 + y – 1 = (y – 1)(y2 + 1).
4. ax + ay – x – y
Temos:
ax + ay – x – y = a (x + y) – 1· (x + y)
ax + ay – x – y = (x + y) (a – 1)
Então, ax + ay – x – y = (x + y)(a – 1).
5. axy + bcxy – az – bcz – a – bc
Temos:
axy + bcxy – az – bcz – a – bc = 
= xy(a + bc) – z(a + bc) – 1(a + bc)
axy + bcxy – az – bcz – a – bc = 
= (a + bc) (xy – z – 1)
Então, axy + bcxy – az – bcz – a – bc = (a + 
bc)(xy – z – 1).
Diferença de dois quadrados
A partir da propriedade simétrica da igualdade 
(se a = b, então b = a), pode-se dizer que:
se (x + y)(x – y) = x2 – y2, então x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Observando, então, que esse binômio é compos-
to pela diferença do quadrado de dois termos, podemosfatorá-lo facilmente, escrevendo-o como produto da 
soma pela diferença desses termos.
Teoria na prática
Fatore os seguintes polinômios:
1. x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
 (3)2
 (x)2
2. 16a4 – 25b2 = (4a2 + 5b)(4a2 – 5b)
 (5b)2
 (4a2)2
1º grupo 2º grupo
1º grupo 2º grupo
1º grupo 2º grupo 3º grupo
3. 
36x²y4
 _____ 
25
 – 121a
4
 _____ 
16
 = ( 6xy² ____ 5 + 11a² ____ 4 ) ( 6xy² ____ 5 – 11a² ____ 4 ) 
 ( 11a2 ____ 4 ) 
2
 ( 6xy2 ____ 5 ) 
2
4. (7x + 3y)2 – 16a2 = 
 (4a)2
= [(7x + 3y) + 4a] · [(7x + 3y) – 4a] = 
= (7x + 3y + 4a) · (7x + 3y – 4a)
5. (3a + 2b)2 – (3a – 2b)2 = 
= [(3a + 2b) + (3a – 2b)] · [(3a + 2b) – (3a – 2b)] 
= [(3a + 2b) + (3a – 2b)] · [(3a + 2b) – (3a – 
2b)] = [6a][4b] = 24ab
6. (x + 2y)2 – (2x – y)2 = [(x + 2y) + (2x – y)] · [(x + 
2y) – (2x – y)] = (3x + y) · (3y – x)
7. 1 – (x2 – 1)2 =
 (1)2
 = [1 + (x2 – 1)] · [1 – (x2 – 1)] =
= x2 · [2 – x2]
Trinômio quadrado perfeiTo
Um monômio é quadrado perfeito, assim como 
os números quadrados perfeitos, quando ele é igual ao 
quadrado de outro monômio. Assim, todo monômio qua-
drado perfeito, não nulo, tem expoentes pares.
São exemplos de monômios quadrados perfeitos:
9m4x² = (3m²x)², 1 ___ 
16
 x8 = ( 1 __ 4 x4 ) 
2
 e 5x² = ( x √
__
 5 )²
Já o monômio 25x3 não é monômio quadrado 
perfeito pois o expoente da variável não é par.
Todo polinômio com três termos que apresen-
ta dois monômios quadrados perfeitos (a2 e b2), cujo 
terceiro termo é igual a duas vezes o produto das ba-
ses desses monômios quadrados perfeitos, em módulo 
(±2ab), é um trinômio quadrado perfeito, isto é, 
pode ser reduzido a uma das seguintes formas:
a2 + 2ab + b2 ou a2 – 2ab + b2
86
Como sabemos, esses resultados são produtos 
notáveis.
 § O primeiro é quadrado da soma: 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
 § O segundo é o quadrado da diferença: 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Usando, então, a propriedade simétrica da igual-
dade (se x = y, então y = x), pode-se dizer que um tri-
nômio quadrado perfeito tem uma das seguintes formas 
fatoradas:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
ou 
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Teoria na prática
Verifique se os trinômios a seguir são quadrados 
perfeitos e, caso sejam, fatore-os.
1. x² + 4x + 4
Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadra-
dos, temos:
Caso 2ab seja igual ao termo 4x, o trinômio é 
quadrado perfeito:
2ab = 2 · x · 2 = 4 
(logo, x² + 4x + 4 é quadrado perfeito)
Agora, fatorando o trinômio, teremos:
x² + 4x + 4 = (a + b)² = (x + 2)²
2. 4x² + 4x + 25
Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadra-
dos temos:
Como 20x ≠ 4x, o trinômio não é quadrado per-
feito.
3. 4x² – 16x + 16
Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadra-
dos, temos:
Como 2ab = 16x, o trinômio é quadrado perfei-
to, e sua forma fatorada é:
4x² – 16x + 16 = (a – b)² = (2x – 4)²
Trinômio do segundo grau
Mesmo um trinômio não sendo quadrado perfei-
to, é possível fatorá-lo. Para isso, basta associá-lo a uma 
equação do 2º grau e conhecer as suas raízes. Para um 
trinômio do tipo ax2 + bx + c, a equação associada a ele é 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), na qual suas raízes são 
 x1 + x2 = – 
b __ a e x1 · x2 = 
c __ a .
Manipulando o trinômio ax2 + bx + c, onde 
a ≠ 0, temos:
ax2 + bx + c = a ( x² + bx __ a + c __ a ) 
ax2 + bx + c = a [ x2 – ( – b __ a ) x + ( c __ a ) ] 
Substituindo x1 + x2 = – 
b __ a e x1 · x2 = 
c __ a , obtemos:
ax2 + bx + c = a[x2 – (x1 + x2) x + x1x2] =
= a[x2 – x1x – x2x + x1x2] = 
= a[x(x – x1) – x2(x – x1)] =
= a[(x – x1)(x – x2)]
Daí, ax2 + bx + c = a(x – x1) ∙ (x – x2)
Observe que, se um trinômio for quadrado 
perfeito e soubermos suas raízes, podemos fatorá-lo 
desta forma também.
87
Teoria na prática
1. Fatore o trinômio x² – 5x + 6, sabendo que suas 
raízes são x1 = 2 e x2 = 3.
Resolução:
Como sabemos as raízes e que o coeficiente do-
minante é 1, temos:
x² – 5x + 6 = a(x – x1) · (x – x2) =
= 1(x – 2)(x – 3) = (x – 2)(x – 3)
2. Encontre as raízes e fatore o trinômio 2x² – 8x + 6.
Resolução:
Como as raízes de um polinômio são os valores 
de x para que o polinômio se anule, fazemos:
2x² – 8x + 6 = 0
Para resolver essa equação, utilizamos a fórmula 
de Bhaskara. Primeiramente identificamos os co-
eficientes: a = 2; b = –8; c = 6
Calculando o discriminante:
∆ = b² – 4ac = (–8)² – 4(2)(6) = 16
Logo, as raízes são:
x = –b ± 
dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–8) ± 
dXXX 16 __________ 
2(2)
 = 8 ± 4 _____ 
4
 
x1 = 
8 + 4 _____ 
4
 = 3
x2 = 
8 – 4 ____ 
4
 = 1
Como x1 = 3, x2 = 1 e a = 2, a forma fatorada 
do trinômio é:
2x² – 8x + 6 = 2(x – 3)(x – 1)
3. Simplifique a expressão x
2 – 3x + 2 _________ 
x – 1
 
Resolução:
O numerador apresenta um trinômio que, se 
soubermos as suas raízes, podemos fatorar:
x² – 3x + 2 = 0
∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(2) = 1
Logo, as raízes são:
x = –b ± 
dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–3) ± 
dXX 1 _________ 
2(1)
 = 3 ± 1 _____ 
2
 
x1 = 
3 + 1 _____ 
2
 = 2
x2 = 
3 – 1 ____ 
2
 = 1
Portanto, x² – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1). Substituin-
do temos:
 x
2 – 3x + 2 _________ 
x – 1
 = (x – 2) (x – 1) ___________ 
x – 1
 = x – 2
88
esTruTura ConCeiTual
FATORAR É TRANSFORMAR
UMA EXPRESSÃO EM
FATORES DE UM PRODUTO
CASO O FATOR COMUM NÃO
 TENHA FÁCIL IDENTIFICAÇÃO,
BUSQUE PRODUTOS NOTÁVEIS
QUE VOCÊ JÁ CONHEÇA
IDENTIFIQUE O FATOR
 COMUM, COLOCANDO-O
 EM EVIDÊNCIA
. DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
. TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU
. ENTRE OUTROS
PROCURE IDENTIFICAR OS PADRÕES DE
FORMAÇÃO DOS PRODUTOS NOTÁVEIS
PARA CONSEGUIR FATORAR EXPRESSÕES
COM MAIS FACILIDADE
©
 S
im
on
e S
im
on
e/S
hu
tte
rst
oc
k
07 08
M
MATEMÁTICA
T
Conjuntos numéricos
Competência
5
Habilidades
1, 3, 4 e 5
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidadeenvolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
91
Conjunto dos números naturais (N)
O conjunto dos números naturais, cujo símbolo é N, é formado pelos números 0, 1, 2, 3,... , ou seja, o con-
junto dos números naturais é representado:
N = {0, 1, 2, 3, ...}
Excluindo-se o zero, temos o conjunto dos números naturais não nulos, indicado por:
N* = {1, 2, 3, ...} que é um subconjunto de N.
Os números naturais surgiram com a necessidade de contar objetos. Os conjuntos numéricos subsequentes 
surgiram conforme novas necessidades foram se apresentando, sendo eles ampliações do conjunto dos números 
naturais.
Conjunto dos números inteiros (Z)
São chamados de números inteiros ou simplesmente inteiros, os números ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,..., cujo 
conjunto é representado pela letra maiúscula Z.
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
Nesse conjunto, destacamos os seguintes subconjuntos:
1. Conjunto Z* dos números inteiros não nulos:
Z* = {x [ Z | x i 0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
2. Conjunto Z+* = N* dos números inteiros positivos não nulos:
Z+* = N* = {x [ Z | x > 0} = {1, 2, 3, ...}
3. Conjunto Z+ = N dos números inteiros não negativos:
Z+ = N = {x [ Z | x ù 0} = {0, 1, 2, 3, ...}
4. Conjunto Z–* dos números inteiros negativos não nulos:
Z–* = {x [ Z | x < 0} = {–1, –2, –3, ...}
5. Conjunto Z– dos números inteiros não positivos:
Z– = {x [ Z | x ø 0} = {0, –1, –2, –3, ...}
No conjunto dos números inteiros, podemos definir o conceito de divisor e de números primos.
Divisor de um número inteiro
Sendo a, b e c números inteiros, dizemos que a é divisor de b, se existe um número inteiro c, de forma que:
ac = b
Por exemplo:
 § 5 é divisor de 10, pois 5 · 2 = 10
 § 3 é divisor de 12, pois 3 · 4 = 12
 § 4 não é divisor de 9, pois não existe número inteiro c, de forma que 4 · c = 9
 § 2 é divisor de 0, pois 2 · 0 = 0
 § 0 não é divisor de 2, pois não existe número inteiro c, de forma que 0 · c = 2
 § –6 é divisor de 18, pois (–6) · (–3) = 18
92
Observe que:
 § 0 não é divisor de nenhum número.
 § todo número é um divisor de 0.
 § 1 é divisor de qualquer número inteiro.
 § todo número é um divisor de si mesmo.
Representamos o conjunto de todos os divisores 
de um número a por D(a):
Exemplo
 § D(6) = {–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6}
 § D(10) = {–10, –5, –2, –1, 1, 2, 5, 10}
 § D(12) = {–12, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 
12}
Números primos
Um número inteiro p é considerado primo, se:
D(p) = {–1, 1, –p, p}
Podemos dizer que um número primo é um nú-
mero que possui apenas como divisores o número 1, –1, 
o oposto e ele próprio. O conjunto dos números primos 
é infinito, como provado por Euclides. A seguir, estão 
alguns números primos em ordem crescente:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 
47, 53, 59, 61,...
Observe que:
 § o número 1 não é um número primo.
 § o número 2 é o único número primo par.
números raCionais
Os números que podem ser expressos na for-
ma a __ 
b
 , onde a e b são inteiros e b i 0, são chamados de 
números racionais. Em outras palavras, são racionais os 
números que são razões (quocientes) de dois números 
inteiros. Simbolicamente, representa-se o conjunto dos 
números racionais (Q) assim:
Q = { x = a __ b | a [ Z e b [ Z* } 
São, portanto, números racionais:
Qualquer número inteiro.
Exemplos
 § 0 = 0 __ 
1
 
 § 2 = 2 __ 
1
 
 § –5 = –5 ___ 
1
 
Em geral, os números inteiros podem assumir a 
forma a __ 
b
 , onde a [ Z, b [ Z* e a é múltiplo de b.
Qualquer decimal exato 
(numerais que apresentam um 
número finito de algarismos de-
cimais diferentes de zero)
Exemplos:
 § 2,1 = 21 ___ 
10
 
 § –0,001 = –1 ____ 
1000
 
 § 3,454545 = 3454545 _______ 
106
 
Observação:
2,1 = 2,10 = 2,100 = 2,1000 = ... é um decimal exato.
Qualquer fração de numerador inteiro 
e denominador inteiro não nulo
Exemplos:
 § – 1 __ 
4
 
 § 3 ___ 
19
 
 § 2122 ____ 
990
 
93
Qualquer decimal periódico 
(numerais formados por infinitos 
algarismos decimais que se 
repetem periodicamente)
Exemplos:
 § 0,333... = 3 __ 
9
 ou 0, 

 3 = 3 __ 
9
 (período = 3)
 § –0,313131... = – 31 ___ 
99
 
ou – 0,31 = – 31 ___ 
99
 (período = 31)
 § 4,1666... = 4,16 = 25 ___ 
6
 (período = 6)
dízima periódiCa
Uma fração irredutível corresponderá a uma dízi-
ma periódica quando o denominador apresentar, em sua 
decomposição em fatores primos distintos, pelo menos 
um fator primo diferente de 2 e 5, pois assim o denomi-
nador não será divisor de uma potência de base 10.
Exemplos
 § 7 __ 
3
 = 2,333 = 2, 

 3 (período = 3)
 § – 25 ___ 
6
 = –4,1666 = –4,1 

 6 (período = 6)
 § 56 ___ 
11
 = 5,090909... = 5, 

 09 (período = 09)
Em uma dízima periódica, usaremos a seguinte 
nomenclatura:
 § Período (P): algarismos ou grupos de algaris-
mos que se repetem indefinidamente na parte 
decimal;
 § Parte não periódica (A): algarismos ou gru-
pos de algarismos que aparecem logo após a vír-
gula e que não se repetem. Uma dízima periódi-
ca pode apresentar ou não parte não periódica;
 § Parte inteira (I): algarismos ou grupos de alga-
rismos que antecedem a vírgula.
As dizimas periódicas que apresentam parte não 
periódica são chamadas de compostas, e as que não 
apresentam, de simples.
São exemplos de dízimas periódicas compostas:
São exemplos de dízimas periódicas simples 
0,333... e 1,424242...
Sendo uma dízima periódica um numerador 
racional (razão de dois inteiros), como proceder para 
obter a sua representação na forma de fração? Como 
encontrar a chamada fração geratriz de uma dízima pe-
riódica? Para responder a esse questionamento, consi-
dere inicialmente os exemplos:
a) 0,3333... ou 0, 

 3 
Fazendo x = 0,3333..., temos:
Notas:
 § 10x = 3,33333... foi obtido a partir de 
 x = 0,3333..., multiplicando-o por 10.
 § Os números 10x = 3,33333... e 
x = 0,3333... têm a mesma parte de-
cimal.
Subtraindo x e 10x, as partes decimais anulam-
-se e ficamos com:
10x – x = 3 – 0 ä 9x = 3 [ x = 3 __ 
9
 
Então, 0, 

 3 = 3 __ 
9
 [ 
Note que, para obter umafração cor-
respondente (fração geratriz) ao decimal 
periódico, o segredo é encontrar dois núme-
ros com a mesma parte decimal e subtrair 
um do outro a fim de eliminar as infinitas 
casas decimais.
94
b) 2,1434343... ou 2,1 
—
 43 
Nesse caso, perceba que obteremos dois núme-
ros com a mesma parte decimal quando, a partir 
de x, deslocarmos para a parte inteira:
1. a parte decimal que não se repete. Para isso, 
multipliquemos x por 10 (A tem 1 algarismo):
10x = 21,434343...
2. a parte decimal que não se repete e um perí-
odo completo. Para isso, multipliquemos x por 
10 · 102 =1 000 (A tem 1 algarismo e P tem 2):
Subtraindo 10x de 1 000x, as partes decimais 
se anulam e ficamos com:
1 000x – 10x = 2143 – 21 ä 
ä x = 2143 – 21 ________ 
990
 [ x = 2122 ____ 
990
 
Então, 2,143 = 2122 ____ 
990
 [ Q.
Em geral, para obter a fração geratriz da dízima 
periódica x = I, APPPP... (ou x = I,A 
—
 P ) , em que o período 
P tem n algarismos, a parte decimal que não se repete 
(A) tem m algarismos e a parte inteira uma quantidade 
qualquer (I), procedemos assim:
Subtraindo membro a membro essas duas igual-
dades, as partes decimais se anulam e ficamos com:
10m · 10nx – 10mx = IAP – IA ä 
ä10m x (10n – 1) = IAP – IA ä
Nota:
Assim, podemos usar a seguinte regra prática para 
obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica:
I, APPPP...= IAP – IA ___________ 
99...9 00...0
 , 
 n algarismos m algarismos
em que m é a quantidade de algarismos de A e 
n, a de P.
Exemplos
 § 0,23666...
Note que P = 6 tem um algarismo e 
A = 23 tem dois algarismos, então o denomi-
nador da fração geratriz terá um algarismo 9 e 
dois algarismo 0, enquanto o numerador será 
IAP – IA = 0236 – 023. Daí:
0,23666 ... = 0236 – 023 _________ 
900
 = 213 ___ 
900
 = 71 ___ 
300
 
 § 2,614614614...
Note que P = 614 tem três algarismos e A não 
existe, então o denominador da fração geratriz 
terá apenas três algarismos 9 (não terá zero), en-
quanto o numerador será IAP – IA = 2614 – 2. 
Daí:
2,6146146146 146 = 2614 – 2 _______ 
999
 = 2612 ____ 
999
 
 § –0,454545... = – ( 045 – 0 ______ 99 ) = – 45 ___ 99 = – 5 ___ 11 
 § 0,888...= 08 – 0 _____ 
9
 = 8 __ 
9
 
 § 0,6888... = 068 – 06 _______ 
90
 = 62 ___ 
90
 = 31 ___ 
45
 
 § 1,32414141... = 13241 – 132 __________ 
9900
 = 13109 _____ 
9900
 
 § –0,00133... = – ( 00013 – 0001 ___________ 9000 ) = – 12 ____ 9000 
ou – 1 ___ 
750
 
95
subConjuntos 
importantes do Conjunto 
dos números raCionais
Com relação aos conjuntos numéricos N, Z e Q, 
temos a seguinte relação de inclusão:
N , Z , Q
Usando diagramas, podemos representar essa 
reação assim:



Além do conjunto dos números naturais (N) e 
dos conjuntos dos números inteiros (Z), também são 
subconjuntos especiais do conjunto dos números racio-
nais (Q):
1. Conjunto dos números racionais não nulos:
Q* = {x [ Q | x i 0};
2. Conjunto dos números racionais não negativos:
Q+ = {x [ Q | x ù 0};
3. Conjunto dos números racionais positivos:
Q+* = {x [ Q | x > 0};
4. Conjunto dos números racionais não positivos:
Q– = {x [ Q | x ≤ 0};
5. Conjunto dos números racionais negativos:
Q–* = {x [ Q | x < 0}.
propriedades dos 
números raCionais
No conjunto dos números racionais, valem as se-
guintes propriedades:
P1: O resultado da soma de dois números racionais 
quaisquer é igual a um número racional.
Exemplo
P2: O resultado da diferença entre dois números ra-
cionais quaisquer é igual a um número racional.
Exemplo
P3: O resultado da produto de dois números racio-
nais quaisquer é igual a um número racional.
Exemplo
P4: O resultado do quociente de dois números racio-
nais, sendo o divisor diferente de zero, é igual a 
um número racional.
Exemplo
números irraCionais (R - Q)
Números como √
__
 2 = 1,4142135..., cuja repre-
sentação decimal é infinita e não periódica, são cha-
mados de números irracionais, isto é, não racionais 
e, sendo assim, não inteiros nem razão de dois inteiros, 
mas podem representar medidas no nosso mundo real, 
como a medida da diagonal do quadrado de lado igual 
a 1, por exemplo.
Veja outros exemplos de números irracionais:
 § 0,1234567891011...
 § 1,01002000300004000005...
 § √
__
 3 = 1,7320508
 § p = 3,141592...
96
Esse último exemplo (p = 3,141592...) é o mais famoso dos números irracionais, pois é a razão entre o com-
primento de uma circunferência e seu diâmetro (2R):
 C ___ 
2R
 = p
Conjunto dos números reais (R)
A união dos números racionais com os números irracionais resulta no conjunto dos números reais (). Usando 
diagramas, podemos representar essa união assim:




 
No conjunto dos números reais (R), temos:
1. Q < {irracionais} = R
2. Q > {irracionais} = Ö, isto é, Q e {irracionais} são conjuntos disjuntos.
3. (R – Q) = {irracionais}
4. N , Z , Q , R
Observação
Alguns autores usam a notação 

 Q = (R – Q) = {irracionais} para representar o conjunto dos números 
irracionais.
Podemos, também, visualizar o conjunto dos números reais e seus principais subconjuntos através do qua-
dro sinóptico:
Também merecem destaque os seguintes subconjuntos de R:
 § R* = {x [ R | x i 0} ä conjunto dos números reais não nulos
 § R+ = {x [ R | x ù 0} ä conjunto dos números reais não negativos
 § R+* = {x [ R | x > 0} ä conjunto dos números reais positivos
 § R– = {x [ R | x < 0} ä conjunto dos números reais não positivos
 § R*– = {x [ R | x < 0} ä conjunto dos números reais negativos
Propriedades dos números reais
Com relação ao conjunto dos números reais e seus subconjuntos, valem as seguintes propriedades:
P1: Se o número 
n √
__
 a , com n [ N* e a [ N não é inteiro, então n √
__
 a é irracional.
 § dXX 2 [ (R – Q)
 § 3 dXX 3 [ (R – Q)
 § 5 dXX 8 [ (R – Q)
 § 4 dXX 1 Ó (R – Q), pois 4 dXX 1 = 1 [ Q
 § 3 dXXX 27 Ó (R – Q), pois 3 dXXX 27 = 3 [ Q
 § 9 dXX 0 Ó (R – Q), pois 9 dXX 0 = 0 [ Q
P2: O resultado da soma de um número racional com um número irracional é igual a um número irracional.
 § 1 + 3,14159265... = 4,14159265...
Racional Irracional Irracional
P3: O resultado da diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é igual a 
um número irracional.
 § 1 – 3,14159265... = 2,14159265...
Racional Irracional Irracional
P4: O resultado do produto de um número racional, não nulo, por um número irracional é igual a um número 
irracional.
 § 2 · dXX 3 = dXX 4 · dXX 3 = dXXXX 4 · 3 = dXXX 12 
Racional Irracional Irracional
P5: O resultado do quociente de um número racional, não nulo, por um número irracional é igual a um número 
irracional.
 § 12 : dXX 6 = 12 ___ 
 dXX 6 
 = 12 · 
dXX 6 ______ 
 dXX 6 · dXX 6 
 = 12 
dXX 6 _____ 
6
 = 2 dXX 6 = dXX 4 · dXX 6 = dXXX 24 
Racional Irracional Irracional
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02. Conjuntos numéricos - Aula 1 - Vídeo 1
Fonte: geekiegames
98
Malba Tahan – O Homem que Calculava
O Homem que Calculava, de Malba Tahan, mostra as proezas 
matemáticas do calculista persa Beremiz Samir, que tornaram- 
-se lendárias na antiga Arábia, encantando reis, poetas, xeiques 
e sábios. Neste livro, Malba Tahan relata as incríveis aventuras 
deste homem singular e suas soluções fantásticas para problemas 
aparentemente insolúveis.
99
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estrutura ConCeitual
RACIONAIS (Q)
REAIS
IRRACIONAIS
(R - Q)
R
Z
NNATURAIS
INTEIROS
©
 P
ink
yo
ne
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hu
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rs
to
ck
09 10
M
MATEMÁTICA
T
Razão, proporção e
grandezas proporcionais
Competências
3 e 4
Habilidades
10, 11, 12, 13, 
14, 15, 16, 17 e 
18
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações– naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
103
Razão
A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas. Assim, por exemplo, se numa festa compareceram 
20 homens e 30 mulheres, dizemos que:
I. A razão entre o número de homens e o de mulheres na festa é:
 n° Homens _________ 
n°Mulheres
 = 20 ___ 
30
 = 2 __ 
3
 (lê-se: 2 para 3)
Isso significa que para cada 2 homens existem 3 mulheres.
II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas na festa é:
 n° Mulheres ______________ 
n°Total de Pessoas
 = 30 _______ 
20 + 30
 = 30 ___ 
50
 = 3 __ 
5
 (lê-se: 3 para 5)
Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são mulheres.
As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de espécies diferentes. Por exemplo, se, na festa citada, 
as mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens consumiram 100, dizemos que:
III. A razão entre o número consumido pelos homens e o número de homens foi de:
 
5 salgados
 ________ 
homem
 (lê-se: 5 salgados por homem)
Isto significa que, em média, cada homem consumiu 5 salgados.
IV. A razão entre o número de salgados consumidos e o número de pessoas foi de:
 
n° de salgados
 ___________ 
n° de pessoas
 = 
(120 + 100) salgados
 ________________ 
(30 + 20) pessoas
 = 
4,4 salgados
 __________ pessoa (lê-se: 4,4 salgados por pessoa)
Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados.
Em geral, dados dois números reais a e b, com b ≠ 0, usamos a __ 
b
 ou a : b para indicar a razão entre a e b, 
respectivamente.
Na razão (lê-se: a para b), o número a é chamado de antecedente e o número b, de consequente.
Razão entre a e b = a __ 
b
 
PRoPoRção
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Quando dizemos que os números reais a, b, c e d, não nulos, 
formam, nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a seguinte igualdade:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 ou a · d = c · b (lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Observe, na última igualdade acima, que os termos a e d ficaram nas extremidades (a e d são chamados de 
extremos da proporção), já os termos b e c ficaram no meio (b e c são chamados de meios da proporção).
104
Propriedades da proporção
Se a __ 
b
 = c __ 
d
 , com a, b, c e d, reais não nulos, te-
mos a __ 
b
 = c __ 
d
 = k, em que k é chamado de constante de 
proporcionalidade. Essa constante k é o número de ve-
zes que cada antecedente é maior que seu respectivo 
consequente. Veja:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 = k ä { a = k · b c = k · d 
Sendo assim, temos as seguintes propriedades:
P1: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä ad = bc (propriedade fundamental)
“Numa proporção, o produto dos meios é igual 
ao produto dos extremos”.
Veja:
 { a · d = (kb) · d = kbd b · c = b · (kd) = kbd ä a · d = b · c
P2: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä a __ 
b
 = c __ 
d
 = a + c _____ 
b + d
 
Veja:
 a + c _____ 
b + d
 = kb + kd ______ 
b + d
 ä
ä a + c _____ 
b + d
 = k(b + d) _______ 
b + d
 ä
ä a + c _____ 
b + d
 = k = a __ 
b
 = c __ 
d
 
P3: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä a _____ 
a + b
 = c ____ 
c + d
 
Veja:
 a _____ 
a + b
 = c ____ 
c + d
 ä bk _____ 
bk + b
 = dk _____ 
dk + d
 ä
ä bk _______ 
b(k + 1)
 = dk _______ 
d(k + 1)
 (verdade).
Teoria na prática
1. Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e 
água nas proporções: 3:7 na primeira e 3:5 na 
segunda. Julgando o suco da primeira “muito 
fraco” e o da segunda “muito forte”, Dona Ben-
ta resolveu juntar os conteúdos das duas jarras 
numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco 
na proporção ideal de poupa de fruta e água. 
Considerando J o volume de uma jarra, podemos 
descobrir essa proporção ideal utilizando as pro-
priedades das proporções. Veja:
I. Na primeira jarra:
 
poupa
 _____ 
água
 = 3 __ 
7
 ä poupa ____________ 
(poupa + água)
 = 3 _____ 
3 + 7
 ä 
ä poupa = 3 ___ 
10
 · J e água = 7 ___ 
10
 · J
Note: poupa + água = J (volume da jarra)
II. Na segunda jarra:
 
poupa
 _____ 
água
 = 3 __ 
5
 ä poupa ____________ 
(poupa + água)
 = 3 _____ 
3 + 5
 ä 
poupa = 3 __ 
8
 · J e água = 5 __ 
8
 · J
III. Juntando-se as duas jarras, obteremos:poupa
 _____ 
água
 = 
 3 ___ 
10
 · J + 3 __ 
8
 · J
 __________ 
 7 ___ 
10
 · J + 5 __ 
8
 · J
 ä
ä 
 12J + 15J ________ 
40
 
 ________ 
 28J + 25J ______ 
40
 
 = 27 ___ 
53
 = 27:53
Daí, a proporção ideal consiste em 27 partes de 
poupa de fruta para 53 partes de água.
2. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Am-
bos são fabricados diluindo em água um con-
centrado dessa fruta. As proporções são de uma 
parte de concentrado para três de água, no caso 
do suco, e de uma parte de concentrado para seis 
de água, no caso do refresco. Faltando refresco e 
sobrando suco, o chefe de cozinha do bar poderá 
transformar o suco em refresco. Mas, para isso, ele 
deverá saber quantas partes de suco (x partes) ele 
deverá diluir em Y partes de água. A relação entre 
X poderá ser obtida através das proporções. Veja:
I. Para o suco:
 concentrado __________ 
água
 = 1 __ 
3
 
ä concentrado ________________ 
(concentrado + água)
 = 1 _____ 
1 + 3
 
äConcentrado = 1 __ 
4
 do suco e 
água = 3 __ 
4
 do suco
Note: concentrado + água = suco (todo)
II. Para o refresco, obtido a partir do suco:
 concentrado __________ 
água
 = 1 __ 
6
 ä 
 1 __ 
4
 x
 _____ 
y + 3 __ 
4
 x
 = 1 __ 
6
 
ä 6 __ 
4
 x = y + 3 __ 
4
 x ä 3 __ 
4
 x = y 
ä 3x = 4y ä x _ y = 
4 __ 
3
 
Observe que, ao adicionar x copos de suco, te-
remos 1 __ 
3
 x de concentrado, e de água teremos os 
 3 __ 
4
 x do suco mais y copos de água.
105
Assim, conhecendo a quantidade de copos de 
suco disponíveis, o chefe saberá quantos copos 
de água deverá acrescentar para obter o refres-
co. Por exemplo, se sobrarem 8 copos de suco 
(x = 8), deverão ser adicionados 6 copos de água 
(y = 6), pois 8 __ 
6
 = 4 __ 
3
 .
3. Um carpinteiro fabrica portas retangulares maci-
ças, feitas de um mesmo material. Por ter recebi-
do de seus clientes pedidos de portas mais altas, 
aumentou sua altura em 1 __ 
8
 , preservando suas es-
pessuras. A fim de manter o custo com o material 
de cada porta, precisou reduzir a largura.
Qual a razão entre a largura da nova porta e a 
largura da porta anterior?
Resolução:
Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espes-
sura e a largura da porta original. Logo, segue 
que o volume da porta original é igual a x · y · z
Aumentando-se em 1 __ 
8
 a altura da porta e preser-
vando sua espessura, deve-se ter, a fim de man-
ter o custo com o material, 9x __ 
8
 ∙ y · z1 = x ∙ y ∙ z 
⇔ z1 = 
8z __ 
9
 com sendo a largura da nova porta.
Portanto, a razão pedida é 
z1 __ z = 
8 __ 
9
 
4. Por um terminal de ônibus passam dez linhas di-
ferentes. A mais movimentada delas é a linha 1: 
quatro em cada sete usuários do terminal viajam 
nessa linha. Cada uma das demais linhas trans-
porta cerca de 1.300 usuários do terminal por dia. 
Considerando que cada passageiro utiliza uma 
única linha, a linha 1 transporta, por dia, cerca de 
a) 5.200 usuários do terminal. 
b) 9.100 usuários do terminal. 
c) 13.000 usuários do terminal. 
d) 15.600 usuários do terminal. 
e) 18.200 usuários do terminal. 
Resolução:
Seja T o total de usuários do terminal. Sabendo 
que 9 linhas transportam 1.300 usuários por dia, 
e que 4 __ 
7
 dos usuários do terminal utilizam a linha 
1, tem-se 3 __ 
7
 ∙ T = 9 ∙ 1300 ⇒ T = 3 ∙ 7 ∙ 1300
Portanto, o resultado pedido é 4 __ 
7
 ∙ T = 4 __ 
7 
 ∙ 3 ∙ 7 · 
1300 ⇒ T = 15.600
Alternativa D
5. Uma empresa fabricante de suco que envasava 
o produto em frascos de vidro passou a fazer o 
envasamento em um novo vasilhame plástico 
com 2 __ 
3
 da capacidade do frasco anterior. 
A lanchonete revendedora enche de suco um 
copo com capacidade de 1 __ 
5
 do frasco de vidro. 
A quantidade de copos de suco (inteiro + fração) 
que a lanchonete obtém com um frasco do novo 
vasilhame é igual a:
a) 1 copo e 2/3 
b) 2 copos e 1/3
c) 2 copos e 2/3
d) 3 copos e 1/3 
e) 3 copos e 2/3 
Resolução:
Volume do frasco de vidro: v
Volume do frasco de plástico: 2v __ 
3
 
Volume do copo: v __ 
5
 
Número de copos: 
 2v __ 
3
 
 ___ 
 v __ 
5
 
 = 2v __ 
3
 ∙ 5 __ v = 
10 ___ 
3
 
Ou seja, 3 copos e 1 __ 
3
 
Alternativa D
6. As dimensões de um paralelepípedo retângulo 
são proporcionais aos números 1, 2 e 3 e sua 
área total é igual a 198 cm2. Sobre esse parale-
lepípedo, assinale o que for correto. 
a) Seu volume vale 162 cm3.
b) As suas dimensões formam uma progressão 
aritmética. 
c) A soma das medidas de todas as suas ares-
tas é 72 cm. 
d) Sua diagonal é maior que 11 cm. 
Resolução:
Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo 
retângulo. Tem-se que:
 a __ 
1
 = b __ 
2
 = c __ 
3
 = k ⇔ { a = k b = 2k c = 3k 
 
 com k sendo um número real positivo.
Dado que a área total é igual a 198 cm2, vem:
2(ab + ac + bc) = 198 ⇔ k ∙ 2k + k ∙ 3k + 2k ∙ 
3k = 99 ⇔ k2 = 9 ⇒ k = 3
106
Por conseguinte, encontramos a = 3 cm, b = 6 cm 
e c = 9 cm
a) Correto. O volume do paralelepípedo vale 
a · b · c = 3 · 6 · 9 = 162 cm3
b) Correto. As dimensões formam uma progres-
são aritmética com primeiro termo igual a 3 e 
razão igual a 3.
c) Correto. A soma das medidas de todas ares-
tas é igual a 
4(a + b + c) = 4(3 + 6 + 9) = 72 cm
d) Correto. A diagonal do paralelepípedo mede
d = √
_________
 a2 + b2 + c2 = √
__________
 32 + 62 + 92 = √
____
 126 cm
Portanto, temos √
____
 126 cm > √
____
 121 cm = 11 cm. 
GRandezas diRetamente e 
inveRsamente PRoPoRcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
1ª sequência: (2, 6, 4, 10)
2ª sequência: (6, 18, 12, 30)
Nessas sequências, observe que elas crescem ou 
decrescem na mesma razão inversa, isto é, se um dado 
elemento de uma delas triplica, por exemplo, o corres-
pondente desse elemento na outra sequência também 
triplica. Em outras palavras, os elementos correspon-
dentes nas duas sequências estão na mesma razão.
Em geral, dizemos que os números da sucessão 
numérica (a1, a2, a3,..., an) são diretamente proporcio-
nais (ou simplesmente proporcionais) aos números da 
sucessão (b1, b2, b3, ..., bn) quando as razões entre seus 
respectivos correspondentes forem iguais, ou seja:
Esta razão constante k é chamada de fator de 
proporcionalidade e indica quantas vezes cada antece-
dente é maior que o respectivo consequente.
Teoria na prática
1. Se (a, b, 20) e ( 3, 2 __ 3 , 5 ) são proporcionais, 
determine o coeficiente de proporcionalidade e 
os valores de a e b.
 a __ 
3
 = b __ 
 2 __ 
3
 
 = 20 ___ 
5
 ä a __ 
3
 = 3b ___ 
2
 = 4
Coeficiente de proporcionalidade:
2. Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 
anos, 14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o 
pai deles distribuir R$ 240,00 reais entre eles, em 
partes diretamente proporcionais às idades, quan-
to receberá cada um?
Sendo k a constante de proporcionalidade, a 
parte de cada um será k vezes a respectiva idade, 
ou seja, as partes serão 16 k (João Victor), 14 k 
(Gabriela) e 10 k (Matheus).
João Victor, Gabriela e Matheus receberam, 
respectivamente, R$ 96,00, R$84,00 e R$60,00
Observação: o mais velho recebe mais pois as 
partes são diretamente proporcionais às idades. 
Quanto mais velho, mais recebe.
númeRos inveRsamente 
PRoPoRcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
1ª sequência: ( 1 __ 2 ; 1 __ 6 ; 1 __ 4 ; 1 ___ 10 ) formada pelos 
respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).
2ª sequência: (6, 18, 12, 30)
Nessas sequências, observe que elas crescem ou 
decrescem na razão inversa, isto é, se dado elemento de 
uma delas triplica, por exemplo, o correspondente deste 
elemento na outra sequência reduz-se a sua terça parte.
Note que os inversos dos números da 1ª sequ-
ência são diretamente proporcionais aos números da 
2ª sequência.
107
Inversos da 1ª sequência (2, 6, 4, 10)
Em geral, dizemos que os números da sequência 
(a1, a2,a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos 
números da sequência (b1, b2, b3, ..., bn) quando os nú-
meros de uma delas forem, respectivamente, diretamen-
te proporcionais aos inversos da outra, ou seja:
 
a1 __ 
 1 __ 
b1
 
 = 
a2 __ 
 1 __ 
b2
 
 = 
a3 __ 
 1 __ 
b3
 
 = ... = 
an __ 
 1 __ 
bn
 
 = k
Ou de outra forma:
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = anbn = k
Aqui, a constante k também é chamada de fator 
ou coeficiente de proporcionalidade e indica o produto 
entre os respectivos elementos das sequências inversa-
mente proporcionais.
Em resumo, considerando as sequências (a1, a2, 
..., an) e (b1, b2, ..., bn), temos:
Se elas são diretamente proporcionais, as razões 
entre os respectivos elementos são iguais:
Se elas são inversamente proporcionais, os pro-
dutos entre os respectivos elementos são iguais:
Teoria na prática
1. Se (a, 8, b) e (3, c, 5) são inversamente propor-
cionais e têm coeficiente de proporcionalidade 
igual a 120, calcule a, b e c.
Os produtos dos respectivos elementos devem 
ser iguais ao coeficiente de proporcionalidade.
Daí:
2. Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e 
Elias, no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 
5 dias e 2 dias, respectivamente. Se o diretor fi-
nanceiro dessa fábrica dividir R$ 396,00 entre os 
citados funcionários, em partes inversamente pro-
porcionais às faltas, quanto receberá cada um?
As partes procuradas devem ser diretamente 
proporcionais aos inversos dos números de falta 
 ( 1 __ 8 , 1 __ 5 e 1 __ 2 ) , respectivamente. Sendo k a 
constante de proporcionalidade, as par-
tes são, então, 1 __ 
8
 · k (Lucas), 1 __ 
5
 · k 
(Raquel) e 1 __ 
2
 · k (Elias).
Daí:
Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, 
R$ 96,00 e R$ 240,00, respectivamente.
Observação: quem faltou mais recebe menos, 
pois as partes são inversamente proporcionais. 
Quanto mais falta, menos recebe.
108
sequências PRoPoRcionais 
a váRias outRas
Se os números de uma sequência são proporcio-
nais aos respectivos números de várias outras sequên-
cias, eles são números proporcionais.
Teoria na prática
1. Usando a constante de proporcionalidade k, re-
presente quantidades:
a. Diretamente proporcionais a 2, 5 e 3 __ 
8
 
Se a 1º quantidade é k vezes maior que o 1º 
número (2), a 2º e a 3º quantidades devem 
ser também k vezes 5 e k vezes 3 __ 
8
 , respecti-
vamente. Daí:
1ª quantidade = 2 · k
2ª quantidade = 5 · k
3ª quantidade = 3 __ 
8
 k
b. Inversamente proporcionais a 1 __ 
3
 , 1 __ 
6
 e 21
As quantidades devem ser diretamente pro-
porcionais a 3, 6 e 1 __ 
21
 (inversos dos números 
dados), respectivamente.
Daí:
1ª quantidade = 3 · k
2ª quantidade = 6 · k
3ª quantidade = 1 ___ 
21
 · k
c. Diretamente proporcionais a 2, 3 __ 
5
 e 9 inversa-
mente proporcionais a 3 __ 
2
 , 6 e 1 __ 
8
 .
As quantidades devem ser diretamente 
proporcionais a ( 2, 3 __ 5 , 9 ) e ( 2 __ 3 , 1 __ 6 e 8 ) , os inversos 
 ( 3 __ 2 , 6, 1 __ 8 ) .
Assim, as quantidades serão proporcionais 
aos produtos 2 · 2 __ 
3
 ; 3 __ 
5
 · 1 __ 
6
 e 9 · 8
Daí:
1ª quantidade = 2 · 2 __ 
3
 · k = 4 __ 
3
 k
2ª quantidade = 3 __ 
5
 · 1 __ 
6
 · k = k ___ 
10
 
3ª quantidade = 9 · 8 · k = 72 k
2. Rafaela, Augusto e Moacir têm 14,12 e 9 anos e 
tiraram notas iguais a 7, 9 e 6, respectivamente, 
na prova de Português. Se o pai deles repartir 
92 reais em partes inversamente proporcionais 
às idades e diretamente proporcionais às notas 
entre eles, quanto irá receber cada um?
Sendo k o coeficiente de proporcionalidade, as 
partes devem ser:
 § Rafaela = 1 ___ 
14
 · 7 · k = k __ 
2
 
 § Augusto = 1 ___ 
12
 · 9 · k = 3k __ 
4
 
 § Moacir = 1 __ 
9
 · 6 · k = 2k __ 
3
 
Daí, 
 k __ 
2
 + 3k __ 
4
 + 2k __ 
3
 = 92 ä 
ä 6k + 9k + 8k = 92 · 12 
⇒ k = 92 · 12 ______ 
23
 ä k = 48
Assim,
 k __ 
2
 = 48 ___ 
2
 = 24; 3k __ 
4
 = 3 · 48 _____ 
4
 = 36 e 
 2k __ 
3
 = 2 · 48 _____ 
3
 = 32
Rafaela deve receber 24 reais; Augusto, 36 reais 
e Moacir, 32 reais.
GRandezas diRetamente 
PRoPoRcionais
Observe na tabela seguinte as quantidades (Q) 
de picolés comprados a R$ 3,00 reais cada um e os 
respectivos valores pagos:
Valor(V) 3 6 15 24 18 36
Quantidade (Q) 1 2 5 8 6 12
Note que as razões obtidas entre os respectivos 
elementos das sequências de valores (V) e de quantida-
de (Q) são iguais.
 V __ 
Q
 = 3 __ 
1
 = 6 __ 
2
 = 15 ___ 
5
 = ... 36 ___ 
21
 ä V __ 
Q
 = 3
109
Em geral, dizemos que duas grandezas, A e B, 
são diretamente proporcionais quando uma aumenta 
e outra também aumenta na mesma proporção, isto é, 
quando as razões obtidas entre os valores assumidos 
por uma das grandezas e os respectivos valores assumi-
dos pela outra forem iguais.
Em símbolos:
A∝B à A __ 
B
 = k,
em que k é a constante de proporcionalidade.
Teoria na prática
1. As grandezas X e Y são diretamente proporcio-
nais. 
Quando X vale 28, tem-se Y valendo 12. Assim, se 
Y = 15, quanto vale X?
Devemos ter X __ 
Y
 = k, onde k é a constante. Daí:
I. X __ Y = k ä 
28 ___ 
12
 = k ä = 7 __ 
3
 
II. X __ 
Y
 = 7 __ 
3
 ä X ___ 
15
 = 7 __ 
3
 ä X = 35
2. Um trabalhador limpará dois terrenos circulares 
cujos raios medem 5 e 15 metros. Se, para lim-
par o primeiro terreno, esse trabalhador gastou 
3 horas, considerando os dois terrenos com igual 
dificuldade de limpeza, ele poderá estimar quan-
to tempo levará para limpar o segundo terreno? 
As grandezas "quantidade de horas" (T) e 
“área a limpar” (A) são diretamente propor-
cionais (note: “quanto maior a área, mais tem-
po se gasta para limpá-la”). Daí, T __ 
A
 = k em 
que k é a constante de proporcionalidade e 
A = p (raio)2.
Assim, devemos ter, considerando os dois terre-
nos: T __ 
A
 = 3 _____ 
p · 52
 = x ______ 
p · 152
 = k (constante) em 
que x é o tempo, em horas, gasto na limpeza do 
segundo terreno.
Daí x = 3 · 15
2
 _____ 
52
 = 27
GRandezas 
inveRsamente PRoPoRcionais
Matheus quer dividir todos os seus 60 bombons 
entre seus amigos em parte iguais. Observe na tabe-
la seguinte os possíveis números de amigos (A) e as 
respectivas quantidades (B) de bombons recebidos por 
cada amigo.
Número de 
amigos (A)
2 3 4 5 6 10 30
Bombons 
recebidos (B)
30 20 15 12 10 6 2
Note que os produtos obtidos entre os respec-
tivos elementos das sequências “números de amigos” 
(A) e “número de bombons recebidos” (B) são iguais:
A · B = 2 · 30 = 3 · 20 = ... = 30 · 2 ä A · B = 60
Em geral, dizemos que duas grandezas, A e B, 
são inversamente proporcionais quando uma aumenta 
e a outra diminui na razão inversa, isto é, quando os 
produtos obtidos multiplicando-se cada valor assumido 
por uma das grandezas pelo respectivo valor assumido 
pela outra forem iguais.
Em símbolos:
A a 1 ____ 
B
 à A · B = K
onde k é a constante de proporcionalidade.
Teoria na prática
1. Duas grandezas V e W são inversamente pro-
porcionais. Quando V vale 18, tem-se W valendo 
20. Assim, se W vale 24 ___ 
7
 , quanto vale V?
Devemos ter V · W = k, onde k, é a constante. 
Daí:
I. V · W = k ä 18 · 20 = k ä k = 360
II. V · W = 360 ä V · 24 ___ 
7
 = 360 ä 
ä V = 360 · 7 ______ 
24
 ä V = 105
110
2. Se 20 operários, todos com a mesma capacida-
de de trabalho, realizam determinado serviço 
em 15 dias, podemos deduzir em quantos dias 
24 desses operários farão serviço idêntico. Para 
isso, note que as grandezas “nº de operários” 
(H) e "nº dias" (D) são inversamente proporcio-
nais (note: “quanto mais homens trabalhando, 
menos tempo eles gastam”). Daí, H · D = k, em 
que k é a constante.
Assim, para os dois serviços, deveremos ter: 
H · D= 20 · 15 = 24 · x = k (constante), onde x 
é número de dias para realizar o outro serviço. 
Logo,x = 20 · 15 ______ 
24
 = 12,5.
GRandezas PRoPoRcionais a 
duas ou mais outRas GRandezas
Se uma grandeza A é proporcional às grandezas 
B e C, então A é proporcional ao produto B · C, isto é:
 A ____ 
B · C
 = k em que k é a constante
Essa propriedade se estende para mais de duas 
outras grandezas. Por exemplo:
a. A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e 
W. Então:
 X _______ 
Y · Z · W
 = constante
b. A grandeza M é diretamente proporcional às 
grandezas A e B e inversamente proporcional à 
grandeza C. Então:
 M · C _____ 
A · B
 = constante
c. A grandeza X é inversamente proporcional às 
grandezas P, Q, R e diretamente proporcional à 
grandeza S. Então:
 X · P · Q · R _________ 
S
 = constante
Teoria na prática
1. Três grandezas X, Y e Z são tais que X é 
diretamente proporcional a Y e inversamente 
proporcional a Z. Quando X vale 2 __ 
3
 , tem-se Y 
valendo 3 __ 
5
 e Z valendo 9 __ 
5
 . Assim, se Y vale 7 __ 
8
 e z 
vale 1 __ 
4
 , qual o valor de X?
Devemos ter X · Z ____ 
Y
 = K onde k é a constante. Daí:
I. X · Z ____ Y = K ä 
 2 __ 
3
 · 9 __ 
5
 
 ____ 
 3 __ 
5
 
 = K ä 6 __ 
5
 · 5 __ 
3
 = K ä K = 2
II. X · Z ____ Y = 2 ä 
X · 1 __ 
4
 
 ____ 
 7 __ 
8
 
 = 2 ä X __ 
4
 = 7 __ 
4
 ä X = 7
2. Para construir uma barragem de 22 metros de 
comprimento por 0,9 metro de largura, 20 operá-
rios gastam 11 dias, trabalhando 8 horas por dia. 
Em quanto tempo 8 operários, trabalhando 6 horas 
por dia, construirão uma barragem de 18 metros de 
comprimento, 0,3 metro de largura e com o dobro 
da altura da primeira, se a capacidade de trabalho 
do 2º grupo é o dobro da do 1o grupo?
Tomando a grandeza "nº de dias" (D) como 
referência (a grandeza cujo valor se quer des-
cobrir), são diretamente proporcionais a ela: 
comprimento (C), largura (L), altura (A) (note: 
quanto maior é o C, L ou A, maior é o D). Já as 
grandezas "nº de operário" (P), "horas por dia 
de trabalho" (H) e "capacidade" (E) são inversa-
mente proporcionais a D (note: quanto maior é o 
P, H ou E, menor é o D). Considerando a primei-
ra barragem de altura 1, a segunda terá altura 
2,e considerando a capacidade de trabalho do 
1º grupo 1, a do 2º grupo será 2. Daí:
 D · P · H · E _________ 
C · L · A
 = K, onde k é a constante.
I. 11 · 20 · 8 · 1 ___________ 22 · 0,9 · 1 = K ä K = 
80 ___ 
0,9
 ä K = 800 ___ 
9
 
II. D ·P · H · E ________ C · L · A = 
800 ___ 
9
 ä D · 8 · 6 · 2 _________ 
18 · 0,3 · 2
 = 800 ___ 
9
 ä 
D = 800 · 3 · 0,3 __________ 
9 · 8
 ä D = 10
Observações: os valores de uma mesma gran-
deza devem estar numa mesma unidade.
111
ReGRa de tRês simPles e 
ReGRa de tRês comPosta
Existe uma regra prática que nos permite relacio-
nar dois valores de uma grandeza A com dois valores, 
de outras grandezas proporcionais à grandeza A.
Essa regra pode ser resumida assim:
 § 1º passo: montamos uma tabela colocando em 
cada coluna, ordenadamente, os valores de cada 
grandeza.
 § 2º passo: escolhemos uma grandeza para servir 
de referência, de preferência a que se quer saber 
o valor.
 § 3º passo: à grandeza de referência, associamos 
uma seta com sentido para baixo (é só uma con-
venção, poderia ser para cima).
 § 4º passo: comparamos essa grandeza de referên-
cia a cada uma das outras, isoladamente, identi-
ficando se há proporcionalidade direta (setas no 
mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).
 § 5º passo: colocamos a razão da grandeza de re-
ferência isolada no 1º membro e, no 2º membro, 
colocamos a outra razão ou o produto das outras 
grandezas, caso tenha mais de uma outra, lem-
brando que se houver proporcionalidade em re-
lação à grandeza de referência, devemos inverter 
os elementos da respectiva coluna e escrever a 
razão inversa no membro da igualdade formada.
Se o problema envolve apenas duas grandezas 
proporcionais, temos uma regra de três simples. Caso 
o problema envolva mais de duas grandezas proporcio-
nais, trata-se de uma regra de três composta.
Teoria na prática
1. Para analisar a transpiração das plantas, os bo-
tânicos precisam conhecer a área das suas fo-
lhas. Essa área pode ser obtida pelo seguinte 
processo: coloca-se a folha da planta sobre uma 
cartolina e traça-se o seu contorno. Na mesma 
cartolina, desenha-se um quadrado com 10 cm 
de lado, como mostram as figuras a seguir:
Após serem recortadas, as duas figuras são pe-
sadas em uma balança de alta precisão, que indica uma 
massa de 1,44 g para o quadrado da cartolina. Desse 
modo, usando grandezas proporcionais, os botânicos 
podem determinar a área das folhas. Supondo que o 
botânico obteve a massa da figura da folha igual a 3,24 
g, ele poderia usar a seguinte regra de três:
Área (cm2) Massa (g)
100
x
1,44
3,24
Daí, 100 ___ x = 
1,44 ____ 
3,24
 é 1,44x = 324 ä x = 225
Logo, a área da folha é 255 cm2.
2. As grandezas X e Y são diretamente proporcio-
nais. Quando X vale 28, tem-se Y valendo 12. 
Assim se Y vale 15, quando vale X?
Usando regra de três, temos:
Grandeza X Grandeza Y
28
a
12
15
Daí, 28 ___ a = 
12 ___ 
15
 ä a = 15 · 28 ______ 
12
 ä a = 35
3. Duas grandezas V e W são inversamente pro-
porcionais. Quando V vale 18, tem-se W valendo 
20. Assim, se W vale 24 ___ 
7
 , quanto vale V?
Usando regra de três, temos:
Grandeza V Grandeza W
18
x
20
 24 ___ 
7
 
Observe que a grandeza W é inversamente pro-
porcional à V, logo, invertemos a razão no cálculo.
Daí, 18 ___ x = 
 24 ___ 
7
 
 ___ 
20
 ä 18 ___ x = 
24 ___ 
7
 · 1 ___ 
20
 ä x = 18 · 7 · 5 _______ 
6
 ä 
 
ä x = 105
112
4. Vinte operários, todos com a mesma capacidade de trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias. 
Usando regra de três, também podemos deduzir em quantos dias 24 desses operários farão serviço idêntico.
Veja:
nº de operários Dias
20
24
15
x
(Note: quanto mais operários trabalham, menos dias são gastos.)
Daí, 15 ___ x = 
24 ___ 
20
 ä x = 15 · 5 _____ 
6
 ä x = 12,5
Logo, eles farão o serviço em 12,5 dias.
5. Três grandezas X, Y e Z são tais que X é diretamente proporcional a Y e inversamente proporcional a Z. 
Quando X vale 2 __ 
3
 , tem-se Y valendo 3 __ 
5
 e Z valendo 9 __ 
5
 . Assim, se Y vale 7 __ 
8
 e Z vale 1 __ 
4
 , qual o valor de x?
Usando regra de três, temos:
Grandeza X Grandeza Y Grandeza Z
 2 __ 
3
 
a
 3 __ 
5
 
 7 __ 
8
 
 9 __ 
5
 
 1 __ 
4
 
Daí , 
 2 __ 
3
 
 __ a = 
 3 __ 
5
 
 __ 
 7 __ 
8
 
 · 
 1 __ 
4
 
 __ 
 9 __ 
5
 
 ä 2 __ 
3a
 = 3 __ 
5
 · 8 __ 
7
 · 1 __ 
4
 · 5 __ 
9
 ä 2 __ 
3a
 = 6 __ 
9
 · 7 ä a = 7
6. Para construir uma barragem de 22 metros de comprimento por 0,9 metros de largura, 20 operários gastam 
11 dias, trabalhando 8 horas por dia. Em quanto tempo 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, construirão 
uma barragem de 18 metros de comprimento, 0,3 metro de largura e com o dobro da altura da primeira, se 
a capacidade de trabalho do 2º grupo é o dobro da do 1º grupo. Veja:
Comprimento Largura Operários Dias Horas por dia Altura Capacidade
22
18
0,9
0,3
20
08
11
x
8
6
1
2
1
2
Daí, 11 ___ x = 
22 ___ 
18
 · 0,9 ___ 
0,3
 · 8 ___ 
20
 · 6 __ 
8
 · 1 __ 
2
 · 2 __ 
1
 
Resolvendo a proporção, obtemos x = 10. Logo, eles construirão em 10 dias.
7. Três irmãs – Jasmim, Flora e Gardênia – reservaram para as compras de Natal as quantias de 600 reais, 360 
reais e 120 dólares, respectivamente. Antes de sair às compras, as três fizeram o seguinte acordo: o total 
de reais reservados por Jasmim e Flora seria igualmente dividido entre as três, enquanto que, os dólares re-
servados por Gardênia seriam totalmente repassados a Jasmim e Flora em partes proporcionais às quantias 
que cada uma delas tinha inicialmente.
Considerandoque o acordo foi cumprido, quantos dólares Jasmim recebeu a mais que Flora? 
Resolução:
Equacionando as informações dadas no enunciado, tem-se:
 Jasmin _____ 
600
 = Flora ____ 
360
 ä Jasmin + Flora ___________ 
960
 = 120 ___ 
960
 = 1 __ 
8
 ä Jasmin ___________ 
600
 = 1 __ 
8
 ä Jasmin = 75 dólares
 Flora ____ 
360
 = 1 __ 
8
 ä Flora = 45 dólares
Jasmin recebeu (75 – 45), isto é, 30 dólares a mais que Flora.
113
8. Já que em determinadas situações, e também 
para algumas pessoas, “Tempo é dinheiro”, uma 
ação na Bolsa de Valores apresentou a seguinte 
evolução: nos primeiros 30 minutos do pregão, 
o preço de compra da ação, passou de R$ 12,00 
para R$ 12,75. Um investidor comprou 1000 
dessas ações ao preço de R$ 12,00 no início 
do pregão e vendeu todas elas após 18 minu-
tos. Supondo que a variação desse preço tenha 
ocorrido igualmente distribuída nos 30 minutos 
iniciais do pregão, o lucro bruto alcançado por 
esse investidor, em 18 minutos, foi de: 
a) R$ 450,00
b) R$ 325,00
c) R$ 750,00
d) R$ 900,00
e) R$ 250,00
Resolução:
Se as ações aumentaram de R$ 12,00 para 
R$ 12,75 em 30 minutos, então pode-se dizer 
que a variação foi de 0,75 em 30 minutos. As-
sim, pode-se escrever:
0,75 —— 30min
x —— 18 min
x = 0,45
Ou seja, aos 18 minutos, as ações compradas 
por R$ 12,00 já valiam R$ 12,45 cada uma. 
Se o investimento inicial foi de R$ 12.000,00 
(1000 x R$ 12,00) e após 18 minutos elas foram 
todas vendidas por um total de R$ 12.450,00 
(1000 x R$12,45) o lucro bruto foi de R$ 450,00. 
Alternativa A
9. Duas grandezas positivas x e y são inversamen-
te proporcionais se existir uma correspondência 
bijetiva entre os valores de x e os valores de y 
e um número constante positivo k tal que, se o 
valor y for o correspondente do valor x então y · 
x = k. Nessas condições, se o valor y = 6 é cor-
respondente ao valor x = 25, então o valor y que 
corresponde ao valor x = 15 é:
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
Resolução:
O enunciado descreve uma função y . x = k, 
sendo k uma constante. Ou seja: y = k _ x , o que 
confere com a informação do enunciado de que 
x e y são inversamente proporcionais. Ainda de 
acordo com o informado, quando y = 6, x é igual 
a 25, logo:
y = k _ x ⇒ 6 = 
k ___ 
25
 ⇒ k = 150 
Portanto, a função descrita será: y = 150 ___ x . Logo, 
quando x = 15, y terá valor igual a 10.
Alternativa B
Vídeo
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Proporcionalidade e Funções Afins - Elon - 2001
Fonte: Youtube
114
Expoentes, radicais e notação científica
pt.khanacademy.org/math/algebra2/rational-expressions-equations-and-functions/direct-
and-inverse-variation/v/direct-and-inverse-variation
INTERDISCIPLINARIDADE
APLICAÇÃO NO COTIDIANOAPLICAÇÃO NO COTIDIANO
115
Vídeo
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
No seu futuro cotidiano como estudante de medicina, aluno Hexag, você terá que lidar com dosagens de 
medicamentos para seus pacientes. Veja um exemplo prático na seguinte questão:
1. A heparina é um medicamento de ação anticoagulante prescrito em diversas patologias. De acordo com a 
indicação médica, um paciente de 72 kg deverá receber 100 unidades de heparina por quilograma por hora 
(via intravenosa).
No rótulo da solução de heparina a ser ministrada consta a informação 10.000 unidades/50 mL.
a) Calcule a quantidade de heparina, em mL, que esse paciente deverá receber por hora.
b) Sabendo que 20 gotas equivalem a 1 mL, esse paciente deverá receber 1 gota a cada x segundos. Calcule x.
Resolução:
a) O paciente deverá receber 7.200 unidades de heparina em uma hora. Sabendo que existem 10.000 
unidades de heparina a cada 50 mL da solução, pode-se escrever:
 7200 · 50 ________ 
10000
 = 36 mL 
Esse paciente deverá receber 36 mL de heparina por hora.
b) Transformando mililitros em gotas, pode-se escrever:
36∙20 = 720 gotas
Sabendo que uma hora corresponde a 3.600 segundos, pode-se escrever:
 720 ____ 
3600
 = 
1 gota
 _________ 
5 segundos
 
Ou seja, esse paciente deverá receber uma gota a cada 5 segundos. 
Devido ao caráter interdisciplinar de razão, proporção e grandezas proporcionais, torna este assunto com 
altíssimo grau de incidência nos vestibulares. Proporcionalidade está intimamente ligada com estequiometria na 
disciplina de Química, como na variação de grandezas no estudo do comportamento dos gases, na disciplina de 
física, e também com a mudança de escalas da cartografia, na disciplina de geografia.
116
estRutuRa conceitual
RAZÃO
PROPORÇÃO
IGUALDADE ENTRE DUAS RAZÕES
PROPORÇÃO DIRETA:
 
PROPORÇÃO INVERSA:
Quando uma grandeza aumenta
a outra também aumenta( )
Quando uma
grandeza aumenta
a outra diminui( )
a1
b1
= = K
RAZÃO
É O QUOCIENTE ENTRE DUAS GRANDEZAS
EX.: O ARTILHEIRO FEZ 45 GOLS EM 9 JOGOS
HÁ UMA RAZÃO DE 5 GOLS POR JOGO
RAZÃO ENTRE A E B: 
A
B
a2
b2
a1
1
b1
1
b2
= = K
a2
FUVEST
Vestibular com tradição de elevado grau de exigência em geometria plana, com exercícios de alto grau 
de abstração, exigindo do candidato que este desenhe a figura a partir de instruções, ou fornecendo 
figuras para resolução de problemas.
UNESP
A Vunesp, com questões claras e diretas, busca o conhecimento básico do candidato tanto em 
resoluções de situações-problema que envolvam espaço e localização do mundo físico, como 
questões abstratas que exigem a inciativa do aluno para o desenho da figura.
UNICAMP
A Comvest busca selecionar o aluno com exercícios aplicados em situações-problema do cotidiano. 
Como introdução, a geometria plana é um assunto básico, que serve para matérias a serem estu-
dadas mais adiante.
UNIFESP
A geometria plana no ENEM geralmente é aplicada em representações da realidade, com exercí-
cios que buscam do aluno uma solução de um problema do cotidiano.
ENEM/UFMG/UFRJ
Trigonometria no triângulo retângulo, razão, proporção e grandezas proporcionais são conteúdos 
com altíssimo índice de incidência no exame do ENEM, sempre aplicados em situações do coti-
diano, como em variações de grandezas de medidas para compreensão da realidade.
UERJ
Trigonometria no triângulo retângulo é cobrada em questões de geometria plana; e razões e 
proporções são cobradas em problemas do cotidiano, com figuras, tabelas e gráficos.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de GEOMETRIA PLANA nos principais vestibulares.
©
 S
as
ch
a C
ort
i/S
hu
tte
01 02
M
MATEMÁTICA
T
Introdução à geometria
plana
Competência
2
Habilidades
6, 7, 8 e 9
©
 S
as
ch
a C
ort
i/S
hu
tte
01 02
M
MATEMÁTICA
T
Introdução à geometria
plana
Competência
2
Habilidades
6, 7, 8 e 9
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representaçãode situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
121
Postulados e teoremas
Conceitos primitivos
Conceitos primitivos, entes primitivos ou entes geométricos são as figuras ponto, reta e plano. Eles não 
possuem definição. Suas representações são dadas por:
Geralmente, denotamos esses entes geométricos da seguinte maneira:
 § Ponto: representamos com letras latinas maiúsculas: A, B, C, P,...
 § Reta: representamos com letras latinas minúsculas: a, b, c, r, t,...
 § Plano: representamos com letras gregas minúsculas: a, b, g, p,...
Dentro da Geometria, também existem postulados (ou axiomas). Também são verdades matemáticas aceitas 
sem demonstração:
 § Posição relativa entre um ponto e uma reta
Na figura, temos que o ponto P pertence à reta r, en-
quanto que o ponto Q não pertence à reta r, ou seja, 
P [ r e Q Ó r.
 § Em uma reta, há infinitos pontos, assim 
como em um plano.
 § Por um ponto P, passam infinitas retas.
 § Dois pontos distintos determinam uma 
única reta que os contém. Sejam os pon-
tos A e B, a reta determinada por eles é 
escrita como 
‹
 
___
 
›
 AB .
 § Três pontos distintos não colineares de-
terminam um único plano que os contém.
122
algumas definições imPortantes
Pontos colineares
Dois pontos são colineares caso ambos estejam 
contidos na mesma reta.
No caso da figura, os pontos A, B e C são coline-
ares, pois A [ r, B [ r e C [ r.
Pontos coplanares
Um conjunto de pontos é dito coplanar caso 
pertença ao mesmo plano.
Figuras geométricas
São conjuntos não vazios de pontos.
segmentos de reta e definições
Segmento de reta
Dada uma reta 
‹
 
___
 
›
 AB , o segmento de reta 

 AB é a 
parte limitada entre os pontos A e B.
Semirreta
Uma semirreta é uma das partes de uma reta 
limitada por um único ponto P.
Segmentos de reta consecutivos
Dois segmentos de reta serão consecutivos se 
houver uma extremidade P em comum.
Segmentos de reta colineares
Dois segmentos de reta serão colineares se esti-
verem contidos na mesma reta.
123
Segmentos de reta adjacentes
Dois segmentos de reta serão adjacentes se fo-
rem consecutivos, colineares e apresentarem apenas 
um ponto em comum.
Segmentos de reta congruentes
Dois segmentos de reta 

 AB e 

 CD serão con-
gruentes quando possuírem o mesmo comprimento, 
na mesma unidade de medida.
Ponto médio
Se os segmentos 

 QP e 

 PR forem congruentes, 
então P é ponto médio de 

 QR .
Ângulos e definições
Ângulo
Ângulo é a parte do plano delimitada por duas 
semirretas de mesma origem. Chama-se de lado as 
duas semirretas que formam o ângulo, e de vértice a 
origem comum às duas semirretas.
Unidades de medida de ângulos
 § Grau: se, ao dividirmos uma circunferência de 
centro O em 360 partes iguais, e, a partir dela, 
formarmos um ângulo com origem em O e lados 
que passam por duas divisões subsequentes, te-
remos um ângulo com medida de um grau (1°).
Os submúltiplos mais usuais do grau são o mi-
nuto e o segundo, definidos da seguinte forma:
1’ (um minuto) = 1° ___ 
60
 
1’’ (um segundo) = 1’ ___ 
60
 
 § Radiano: quando, em qualquer circunferência, 
a medida do arco de um ângulo central é igual à 
medida do raio dessa circunferência, diz-se que 
esse ângulo mede 1 rad (um radiano).
Pode-se concluir que qualquer ângulo a, medido 
em radiano, recebe a seguinte definição:
a = L _ r rad
em que L é o comprimento do arco do ângulo 
central a, inscrito em uma circunferência e r é o raio 
dessa circunferência.
124
Ângulos consecutivos
Dois ângulos serão consecutivos se, e somente 
se, possuírem um lado em comum.
Ângulos adjacentes
Dois ângulos serão adjacentes se forem consecu-
tivos e não possuírem pontos internos em comum.
Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.)
Dois ângulos serão opostos pelo vértice (O.P.V.) 
quando um deles for composto pelas semirretas opos-
tas do outro.
Logo: A 
 ̂ 
 O B > C 
 ̂ 
 O D.
Bissetriz
Dado um ângulo A 
 ̂ 
 O B, dizemos que a semirreta 
 
_____
 
›
 OP é bissetriz de A 
 ̂ 
 O B se, e somente se, A 
 ̂ 
 O P > P 
 ̂ 
 O B. Ou 
seja, uma bissetriz divide um ângulo em dois ângulos 
congruentes.
Ângulos suplementares adjacentes
Dado um ângulo B 
 ̂ 
 O C, o ângulo determinado 
pela semirreta oposta a 
 _____
 
›
 OC e à semirreta 
 _____
 
›
 OB é seu 
suplementar adjacente. Dessa forma, temos que a 
soma de um ângulo e de seu suplementar adjacente é 
sempre 180°, que denominamos como ângulo raso.
125
Ângulo reto
Um ângulo é denominado reto quando é côn-
gruo a seu suplementar adjacente. A medida angular de 
um ângulo reto é 90°.
Ângulo agudo
Um ângulo agudo é todo ângulo menor que o 
ângulo reto.
Ângulo obtuso
Um ângulo obtuso é todo ângulo maior que o 
ângulo reto.
Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando sua 
soma equivale ao ângulo reto.
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando sua 
soma equivale a 180º.
Ângulos replementares
Dois ângulo são replementares quando sua 
soma equivale a 360°.
Ângulos determinados por duas 
retas e uma transversal
Sejam r e s duas retas paralelas e uma reta t, 
concorrente a r e s:
126
A reta t é denominada transversal às retas r e s. 
Sua intersecção com as retas determina oito ângulos. 
Com relação aos ângulos formados, podemos classificá-
-los como:
 § Ângulos alternos: 
1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6.
 § Ângulos correspondentes: 
1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8.
 §Ângulos colaterais:
1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5.
Além dessa classificação, com relação aos ângu-
los alternos e colaterais temos:
 § Ângulos alternos internos: 
3 e 5, 4 e 6; externos: 1 e 7, 2 e 8
 § Ângulos colaterais internos: 
4 e 5, 3 e 6; externos: 1 e 8, 2 e 7
O quadro a seguir resume as classificações 
quantos aos ângulos formados:
127
Consequências
Como os ângulos alternos (internos e externos) 
são congruentes, temos que os ângulos corresponden-
tes também são congruentes, assim como os ângulos 
colaterais são suplementares:
Teoria na prática
1. Observe a figura a seguir:
Se a e b são paralelas, calcule o valor, em graus, 
de x.
Resolução:
Como a e b são paralelas, temos que ângulos 
correspondentes são congruentes, logo, pode-
mos reescrever o ângulo 20° + x na reta b:
Agora, como os ângulos x e 20° + x são suple-
mentares, temos:
x + 20° + x = 180°
2x = 160°
x = 80°
128
estrutura ConCeitual
PONTO
RETA
PLANO
ÂNGULOS E DEFINIÇÕESRETAS E DEFINIÇÕES
ENTENDER PRIMEIRO OS
CONCEITOS PRIMITIVOS
ENTENDER O
“MATEMATIQUÊS”
COLINEAR: MESMA RETA
COPLANAR: MESMO PLANO
ÂNGULOS DETERMINADOS
POR DUAS RETAS E UMA
 TRANSVERSAL
•Alternos
•Correspondentes
•Colaterais
•Internos
•Externos 
SEGMENTOS DE RETA
(parte delimitada entre
dois pontos)
GRAU: Divisão da circunferência 
em 360°
RADIANO: Medida do arco 
dividida pela medida do raio
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
A B
SEMIRRETA
(reta delimitada por
um ponto)
P
D A
C B
A
03 04
M
MATEMÁTICA
T
Ângulos num triângulo e
ângulos numa circunferência
Competência
2
Habilidades
6, 7, 8 e 9
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
131
Triângulos
Um triângulo é a figura geométrica constituída a partir de três segmentos de reta cujas extremidades são 
três pontos distintos e não colineares.
No triângulo da figura (indicado por DABC), temos os seguintes elementos:
 § Os pontos A, B e C são os vértices;
 § Os segmentos 

 AB , 

 BC e 

 AC são os lados;
 § Os ângulos a, b e g são os ângulos internos;
 § Os ângulos ae, be e ge são os ângulos externos, obtidos a partir do prolongamento dos lados.
Observe que cada ângulo interno e seu respectivo ângulo externo são suplementares adjacentes.
ClassifiCação dos Triângulos
Podemos classificar os triângulos quanto às medidas dos lados ou quanto aos seus ângulos internos.
Quanto aos lados
 § Triângulo equilátero: apresenta os três lados 
congruentes.
Como os três lados são congruentes, os três an-
gulos internos também são congruentes e medem 60°.
 § Triângulo isósceles: apresenta dois lados con-
gruentes.
Na figura acima, o lado BC é chamado de base, 
e os ângulos relativos aos vértices B e C são 
chamados ângulos da base, os quais são con-
gruentes.
132
 § Triângulo escaleno: apresenta os três lados 
com medidas diferentes entre si.
Quanto aos ângulos
 § Triângulo retângulo: apresenta um ângulo 
interno reto e, consequentemente, dois ângulos 
agudos.
Os ângulos relativos aos vértices A e C são com-
plementares.
 § Triângulo acutângulo: apresenta os três ân-
gulos internos agudos.
 § Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo 
obtuso e, consequentemente, dois ângulos agu-
dos.
ângulos em um Triângulo
Soma dos ângulos internos
Considere um triângulo DABC e uma reta r para-
lela ao lado 

 BC , contendo o vértice A:
Considere a, b e u os ângulos internos relativos 
aos vértices A, B e C, respectivamente. Observe que a 
reta r determina também outros dois ângulos g e r. 
Observe que:
g + a + r = 180°
Porém, g e b, assim como r e u são ângulos al-
ternos internos, portanto, congruentes. Dessa forma, 
podemos escrever:
a + b + u = 180°
Logo, concluímos que:
A soma dos ângulos internos de qualquer 
triângulo é igual a 180°.
Teoria na prática
1. Determine o valor de x no triângulo ABC a se-
guir:
133
Resolução:
Como a soma dos ângulos internos deve ser 
180° temos:
82° + 32° + x = 180°
114° + x = 180°
x = 180° – 114°
x = 66°
2. Determine o valor de x no triângulo isósceles de-
base BC
____
a seguir: 
Resolução:
Como o triângulo é isósceles, o ângulo relativo 
ao vérticeB também mede 50°, portanto:
50° + 50° + x = 180° ä 100° + x = 180° ä 
ä x = 180° – 100° 
ä x = 80°
Teorema do ângulo externo
Considere o DABC a seguir:
O ângulo u é o ângulo externo relativo ao 
 vértice C. Dessa forma, temos:
 § (I) a + b + g = 180° (soma dos ângulos internos)
 § (II) u + g = 180° (ângulos suplementares adja-
centes)
Subtraindo a equação (II) da (I), temos:
a + b + g – (u + g) = 180° – 180° ä 
ä a + b – u = 0 ä a + b = u
Logo u = a + b.
Conclui-se, então, que o ângulo externo u, re-
lativo ao vértice C, equivale à soma dos dois ângulos 
internos relativos a A e B. Podemos, então, enunciar o 
teorema do ângulo externo:
Em um triângulo ABC qualquer, o ângulo 
externo relativo a um determinado vértice equi-
vale à soma dos outros dois ângulos internos, não 
adjacentes a ele.
Ou seja, sendo u o ângulo externo relativo ao 
vértice C, temos que u = 
 ̂ 
 A + 
 ̂ 
 B .
Teoria na prática
1. Calcule o valor de x sabendo que o triângulo 
DABC é isósceles de base 

 BC e o ângulo interno 
relativo ao vértice C vale 35°.
Resolução:
Como o triângulo é isósceles, 
 ̂ 
 C = 
 ̂ 
 B = 35°, logo, 
pelo teorema do ângulo externo:
x = 35° + 35° = 70°
2. Calcule o valor de x sabendo que o triângulo 
DABC é isósceles de base 

 BC .
y
134
Resolução:
Como o triângulo é isósceles de base 

 BC , temos 
 
^ 
 B = 
 ̂ 
 C = y. Logo:
100° + y + y = 180°
2y = 180° – 100°
2y = 80°
y = 40°
Agora, como x é o ângulo externo do triângulo 
ABC:
x = y + 100°
x = 40° + 100°
x = 140°
3. Sabendo que AB = AC = BC = DC, calcule o valor 
de x na figura abaixo:
Resolução:
O triângulo ABC é equilátero, logo seus ângu-
los internos medem 60°. Sabendo disso, o ângulo A 
 ̂ 
 C D 
mede 120° (suplementar de 60°).
O triângulo ACD é isósceles, então, fazendo C 
 ̂ 
 A 
D = C 
 ̂ 
 D A = y, temos:
120° + y + y = 180°
2y = 60°
y = 30°
O ângulo A 
 ̂ 
 D E é externo relativo ao triângulo 
ACD, logo:
A 
 ̂ 
 D E = 30° + 120°
A 
 ̂ 
 D E = 150°
Finalmente, somando os ângulos internos do tri-
ângulo ADE:
x + 2x + 150° = 180°
3x = 180° – 150°
3x = 30°
x = 10°
Teorema da soma dos 
ângulos externos
Considere o triângulo DABC e seus ângulos ex-
ternos ae, be e ge.
Pelo teorema do ângulo externo, temos:
ae = 
 ̂ 
 B + 
 ̂ 
 C 
be = 
 ̂ 
 A + 
 ̂ 
 C 
ge = 
 ̂ 
 A + 
 ̂ 
 B 
Somando as três igualdades, temos:
ae + be+ ge = 2 
 ̂ 
 A + 2 
 ̂ 
 B + 2 
 ̂ 
 C = 2( 
 ̂ 
 A + 
 ̂ 
 B + 
 ̂ 
 C )
Como 
 ̂ 
 A + 
 ̂ 
 B + 
 ̂ 
 C = 180° (soma dos ângulos 
internos de um triângulo):
ae + be+ ge = 2(180°) = 360°
Portanto, em qualquer triângulo, sendo ae, be e 
ge os ângulos externos, temos:
ae + be+ ge = 360°
ângulos em uma 
CirCunferênCia
Circunferência
É o conjunto dos pontos do plano situado à mes-
ma distância de um ponto fixo. O ponto fixo é chamado 
centro.
135
Posições relativas entre reta e circunferência
Tangentes 
(um único ponto comum)
Secantes 
(dois pontos comuns)
Externas 
(nenhum ponto comum)
dC,r = raio dC,s < raio
dC,u > raio
Propriedade da reta tangente à circunferência
Caso a reta seja tangente à circunferência, o segmento determinado pelo raio e a reta tangente formam, no 
ponto de tangência, um ângulo reto.
Na figura, a distância CP equivale ao raio da circunferência e o ponto P é denominado ponto de tangên-
cia da reta r e da circunferência.
Propriedade da reta secante à circunferência
Considere uma circunferência de centro C e uma reta r, secante à circunferência, que forma os pontos A e B:
Sendo M o ponto médio de 

 AB , temos que o segmento 

 CM será perpendicular à reta secante r.
136
Posições relativas entre duas circunferências
São dadas em função do número de pontos comuns às circunferências. Sendo O1 e O2 os centros, e r1 e r2 os 
respectivos raios, com r1 > r2, obteremos:
Pontos comuns Posição relativa
Distância entre os centros 
em função dos raios
Figura
2 Secantes r1 – r2 < d < r1 + r2
1
Tangentes internas d = r1 – r2
Tangentes externas d = r1 + r2
0
Internas concêntricas d = 0
Internas não concên-
tricas d < r1 – r2
Externas d > r1 + r2
Observações
1. No caso das circunferências serem tangentes, os centros e os pontos de tangência são sempre colineares.
2. Caso sejam concêntricas, satisfazem a condição d < r1 – r2, pois perfazem um caso particular de circunferências internas.
137
Ângulos na circunferência
Ângulo central
É um ângulo que tem como vértice o centro da 
circunferência e seus lados passam por pontos perten-
centes a ela.
Observação
Um ângulo central A 
 ̂ 
 O B determina na 
circunferência dois arcos, cujas medidas somam 360°.
Ângulo inscrito
É aquele cujo vértice é um ponto da circunfe-
rência e cujos lados passam por dois outros pontos da 
circunferência.
Propriedade
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em 
uma mesma circunferência têm o mesmo arco corres-
pondente, então a medida do ângulo central equivale 
ao dobro da medida do ângulo inscrito.
Podemos considerar três situações:
138
Note que, dessa propriedade, conclui-se que, 
para um mesmo arco BC, não importa a posição do 
ponto A nos três casos, o valor de y é o mesmo ( x __ 2 ) 
, pois todos eles “enxergam” o mesmo arco. Ou seja, 
qualquer ângulo inscrito que determine o mesmo arco 
terá o mesmo valor:
Na figura anterior, se A 
 ̂ 
 O B é um ângulo central 
de medida x, todos os ângulos inscritos A 
 ̂ 
 M B, A 
 ̂ 
 N B e A 
 ̂ 
 P 
B possuem a mesma medida: x __ 
2
 .
Como consequência, temos que, se um ângulo 
central A 
 ̂ 
 O B descreve um arco de 180°, onde 

 AB é o 
diâmetro, ao tomar um ponto P qualquer na circunfe-
rência, o triângulo ABP será retângulo, pois o ângulo A 
 
^ 
 P B será reto (180°/2 = 90°):
Teoria na prática
1. Calcular o ângulo a na circunferência abaixo:
Resolução:
Observe que os ângulos A 
 ̂ 
 D C e A 
 ̂ 
 B C determinam 
o mesmo arco AC. Portanto, são iguais.
Agora, podemos calcular a medida do ângulo 
C 
 ̂ 
 O D :
C 
 ̂ 
 O D + 30°+ 40° = 180° à C 
 ̂ 
 O D = 110°
Como C 
 ̂ 
 O D e a são opostos pelo vértice O, temos:
a = 110°
Ângulo de segmento
É um ângulo que tem como vértice um ponto da 
circunferência, um lado secante à circunferência e outro 
tangente a ela.
Na figura, como a reta t é tangente à circunfe-
rência e o segmento AB é secante, a é um ângulo de 
segmento.
139
Propriedade
A medida do ângulo de segmento é metade da 
medida angular do arco determinado na circunferência 
por um de seus lados.
Polígonos regulares inscritos 
na circunferência
Sabemos que polígono regular é aquele que 
possui todos os lados congruentes, assim como todos 
os ângulos. Assim, se dividirmos uma circunferência em 
partes iguais, unindo os pontos obtidos por segmentos, 
determinaremos um polígono regular. Para isso, basta 
dividirmos 360° (em torno do centro) pelo número de 
partes que quisermos obter.
Exemplos
1. Em 4 partes de 90°
2. Em 5 partes de 72°
140
esTruTura ConCeiTual
- EQUILÁTERO = 3 lados iguais
- ISÓSCELES = 2 lados iguais
- ESCALENO = 3 lados diferentes
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO E ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
ÂNGULOS EM UM TRIÂNGULO
- RETÂNGULO = 1 ângulo de 90°
- ACUTÂNGULO = 3 ângulos internos
 agudos
- OBTUSÂNGULO = 1 ângulo obtuso
 (maior que 90°)
LEMBRE-SE DAS CLASSIFICAÇÕES
DOS TRIÂNGULOS
QUANTO AOS LADOS
QUANTO AOS
ÂNGULOS
��+ � + � = 180°
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
��+ � = �
�
ALTERNOS
INTERNOS
�
�
�
�
�
�
�
�
ÂNGULO EXTERNO � É A SOMA
DOS DOIS ÂNGULOS INTERNOS 
NÃO ADJACENTES A ELE.
©
 py
an
se
tia
20
08
/S
hu
tte
rst
oc
k
05 06
M
MATEMÁTICA
T
Razão proporcional e 
teoremas de Tales e da
bissetriz interna
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9 e 14
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros,racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
143
Razão pRopoRcional
Quatro números a, b, c e d, não nulos, formam, nessa ordem, uma proporção quando:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 
Dizemos que a e b são proporcionais a c e d.
Agora, observe os segmentos 

 PQ , 

 RS , 

 TU e 

 VX :
Calculando a razão entre os segmentos 

 PQ e 

 RS , e a razão entre 

 TU e 

 VX , temos:
 PQ ___ 
RS
 = 3 __ 
9
 = 1 __ 
3
 
 TU ___ 
VX
 = 2 __ 
6
 = 1 __ 
3
 
Observe que: k = PQ ___ 
RS
 = TU ___ 
VX
 = 1 __ 
3
 .
Quando temos uma igualdade entre razões, dizemos que há uma proporção entre as medidas dos segmen-
tos. Dessa forma, os segmentos 

 PQ e 

 RS são proporcionais aos segmentos 

 TU e 

 VX .
Assim, os segmentos 

 PQ , 

 RS , 

 TU e 

 VX , nessa ordem, são segmentos proporcionais.
Quatro segmentos 

 AB , 

 CD , 

 EF e 

 GH , nessa ordem, são segmentos proporcionais se existe a 
proporção AB ___ 
CD
 = EF ___ 
GH
 .
Teoria na prática
1. Considere os segmentos 

 AB , 

 CD , 

 EF e 

 GH representados na figura:
Vamos verificar se 
——
 AB e 
——
 CD são segmentos proporcionais aos segmentos 
—
 EF e 
——
 GH .
144
Calculando as razões entre eles, temos:
 AB ___ 
CD
 = 5 ___ 
10
 = 1 __ 
2
 e EF ___ 
GH
 = 20 ___ 
40
 = 1 __ 
2
 
 AB ___ 
CD
 = EF ___ 
GH
 ; logo, 

 AB , 

 CD , 

 EF e 

 GH , nessa ordem, 
são segmentos proporcionais.
Agora, vamos verificar se 

 AB e 

 GH são segmen-
tos proporcionais aos segmentos 

 EF e 

 CD .
Calculando as razões entre eles, temos:
 AB ___ 
GH
 = 5 ___ 
40
 = 1 __ 
8
 e EF ___ 
CD
 = 20 ___ 
10
 = 2 __ 
1
 
 AB ___ 
GH
 i EF ___ 
CD
 ; então, 

 AB , 

 GH , 

 EF e 

 CD , nessa ordem, 
não são segmentos proporcionais.
2. Considere dois segmentos adjacentes e conse-
cutivos 

 AB e 

 BC , sendo que AB mede 12 e BC 
mede 8. Dado outro par de segmentos adjacen-
tes e consecutivos 

 PQ e 

 QR , com PQ medindo 4, 
quanto deve ser a medida do segmento 

 QR de 
modo que os segmentos 

 AB , 

 BC , 

 PQ e 

 QR sejam 
proporcionais?
Resolução:
Para que 

 AB , 

 BC , 

 PQ e 

 QR sejam segmentos pro-
porcionais, devemos ter:
 AB ___ 
BC
 = PQ ___ 
QR
 
Logo:
 12 ___ 
8
 = 4 __ x ⇒ 12x = 32 ⇒ x = 
32 ___ 
12
 = 8 __ 
3
 
3. Considere os segmentos de reta da figura a 
seguir, sendo os pontos A, B e C colineares e 
AB = 10, BC = 3 e PQ = 8.
A que distância do ponto P deve estar um pon-
to R, contido no segmento 

 PQ de modo que os 
segmentos 

 AB , 

 BC , 

 PR e 

 RQ sejam proporcionais?
Resolução:
Se o ponto R estiver a uma distância x do ponto 
P, estará a uma distância 8 – x do ponto Q. Veja 
a figura:
Logo, para que os segmentos 

 AB , 

 BC , 

 PR e 

 RQ 
sejam proporcionais, devemos ter:
 AB ___ 
BC
 = PR ___ 
RQ
 
Assim:
 10 ___ 
3
 = x ____ 
8 – x
 à10(8 – x) = 3x ⇒ 80 – 10x = 3x 
⇒ 80 = 13x ⇒ x = 80 ___ 
13
 
TeoRema de Tales
Feixe de retas paralelas
Feixe de retas paralelas são duas ou mais retas em 
um mesmo plano que, tomadas duas a duas, são sempre 
paralelas.
Reta transversal
Se uma reta intercepta uma das retas do feixe de 
retas paralelas, necessariamente intersecta as demais. 
Essa reta que corta o feixe de retas paralelas é chamada 
reta transversal.
145
Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas é cortado 
por duas retas transversais, os segmentos deter-
minados sobre a primeira transversal são pro-
porcionais a seus correspondentes determinados 
sobre a segunda transversal.
Vamos analisar o Teorema de Tales considerando 
os dois casos a seguir:
Caso 1
Observe o feixe de retas paralelas a, b e c, cor-
tadas pelas transversais r e s, em que AB = BC. Se os 
segmentos 

 AB e 

 BC são congruentes, a razão entre as 
medidas deles é 1, isto é: AB ___ 
BC
 = 1.
Por Tales AB ___ 
BC
 =PQ ___ 
QR
 e AC ___ 
AB
 = PR ___ 
PQ
 
Caso 2
Na figura, o feixe de retas paralelas r, s e t é cor-
tado por duas retas transversais, m e n, determinando 
os segmentos 

 AB e 

 BC , que não são congruentes e têm 
como medida números racionais.
 
Por Tales AB ___ 
BC
 = PQ ___ 
QR
 e AC ___ 
AB
 = PR ___ 
PQ
 .
Aplicação do teorema de Tales
Considere o triângulo ABC:
Traçamos uma reta r paralela ao lado 

 BC , de-
terminando os pontos D e E sobre os lados 

 AB e 

 AC , 
respectivamente.
Considere, agora, uma reta auxiliar r’, paralela a 
r, que passa pelo vértice A.
Pelo Teorema de Tales, temos: AD ___ 
DB
 = AE ___ 
EC
 .
Quando uma reta paralela a um lado de um tri-
ângulo intercepta os outros dois lados em dois pontos 
distintos, ela determina sobre esses lados segmentos 
proporcionais.
Teoria na prática
1. Calcular o valor de x no triângulo abaixo, saben-
do que a reta r é paralela ao lado 

 BC .
Como r é paralela a 

 BC , temos:
 2 __ 
8
 = 3,5 ___ x ⇒ 2x = 28 ⇒ x = 14
146
TeoRema da bisseTRiz inTeRna
No triângulo ABC abaixo, 

 AD é bissetriz de 
 ̂ 
 A :
Logo, med(B 
 ̂ 
 A D) = med(D 
 ̂ 
 A C ) = x.
Considere agora uma reta r paralela a 

 AD pas-
sando pelo vértice C.
Prolongando o lado 

 AB até interceptar a reta r.
Pelo Teorema de Tales, podemos escrever: 
AB ___ 
BD
 = AE ___ 
DC
 .
Porém, temos que:
D 
 ̂ 
 A C = A 
 ̂ 
 C E = x (alternos internos)
B 
 ̂ 
 A D = A 
 ̂ 
 E C = x (correspondentes)
Portanto, o triângulo ACE é isóceles, com 
AC = AE. Sendo assim, temos a seguinte proporção no 
triângulo:
 AB ___ 
BD
 = AE___
DC
 
A bissetriz do ângulo interno de um triân-
gulo divide o lado oposto a esse ângulo em dois 
segmentos proporcionais aos lados adjacentes a 
esses segmentos.
Teoria na prática
1. No triângulo ABC a seguir, o segmento 

 AP é bis-
setriz interna do ângulo 
 ̂ 
 A . Encontre o valor de x.
Como o segmento 

 BC mede 9, temos que
PC = 9 – x. Pelo teorema da bissetriz interna, temos:
 AB ___ 
BP
 = AC___
PC
 ⇒ 4 __ x = 
12 ____ 
9 – x
 ⇒ 4(9 – x) = 12x ⇒
⇒ 36 – 4x = 12x à 16x = 36 à x = 9__
4
APLICAÇÃO NO COTIDIANOAPLICAÇÃO NO COTIDIANO
148
Assim como na natureza, a arte e as construções realizadas pelo homem estão repletas de razões propor-
cionais para garantir a harmonia visual. Veja um exemplo:
(Fepar 2017) O retângulo áureo é uma forma de grande apelo estético e das mais utilizadas na arquitetura 
antiga e moderna (as pirâmides e o Partenon, por exemplo, têm as dimensões frontais do retângulo áureo). A pro-
porção áurea também é recorrente em outras obras de arte; é comum sua utilização em pinturas renascentistas, 
como as do mestre Giotto e as de Leonardo da Vinci. 
Phi, como é denominado o número de ouro, está vinculado à lógica da natureza (nas constelações, nas 
estruturas biológicas) e pode ser verificado no homem (o tamanho das falanges dos dedos, por exemplo). Justa-
mente por ser encontrado em estruturas naturais, o número de ouro ganhou status de "ideal", tornando-se tema 
de pesquisadores, artistas e escritores. O fato de ser expresso em matemática é que o torna fascinante.
Matematicamente falando, a proporção áurea é uma constante real algébrica irracional obtida quando 
dividimos uma reta em dois segmentos, de forma que o segmento mais longo, dividido pelo segmento menor, dê 
um número igual ao da reta completa dividida pelo segmento mais longo.
1. Considere o retângulo PQST semelhante ao retângulo RSTU. Sabendo que o triângulo não é isósceles, 
avalie as afirmativas.
Considere ϕ = a __ 
b
 
 
( ) Em razão da semelhança entre os dois retângulos, é possível afirmar que a2 – ab – b2 = 0.
( ) A razão entre a área do quadrado PQRU e a área do retângulo RSTU é ϕ.
( ) Em razão da semelhança entre os dois retângulos, é possível afirmar que ϕ2 – ϕ – 1 = 0 
( ) A proporção a/b + a/b = 1 é verdadeira. 
( ) A relação entre os lados b e a é dada por b = a( 
√
__
 5 – 1) ________ 
2
 .
APLICAÇÃO NO COTIDIANOAPLICAÇÃO NO COTIDIANO
INTERDISCIPLINARIDADE
149
Esta parte do conteúdo da geometria plana é intimamente ligada com a parte histórica da Grécia Antiga. Os 
matemáticos gregos estavam no auge de suas descobertas, enquanto a cultura grega aflorava se expandia. Fique 
ligado nas questões de Grécia Antiga que relacionam sua arquitetura com a matemática. Razões proporcionais e, 
principalmente, a razão áurea são os temas frequentes nos vestibulares.
Resolução:
(V) Teremos:
 b __ a = 
a _____ 
a + b
 → ab + b2 = a
2
 →  a
2 – ab – b2 = 0 
(V) Teremos: 
 
SPQRU ____ 
SRSTU
 = a
2
 __ 
ab
 = a __ 
b
 = ϕ
(V) Utilizando-se a relação encontrada no primeiro item, teremos:
 a
2 – ab – b2 _________ 
 b2
 = 0 __ 
b2
 → a
2
 __ 
b2
 – ab __ 
b2
 – 
b2 __ 
b2
 = 0 → 
a2 __ 
b2
 – a __ 
b
 – 1 = 0 → ϕ2 - ϕ  – 1 = 0 
(F) Não, a proporção verdadeira é a
2
 __ 
b2
 – a __ 
b
 = 1, conforme calculado no item anterior.
(V) Utilizando-se a relação encontrada no terceiro item, teremos:
 a
2
 __ 
b2
 – a __ 
b
 – 1 = 0 → ϕ2 – ϕ – 1 = 0
∆ = (–1)2 – 4 · 1 · (–1) = 5 
ϕ = 1 ± √
__
 5 ______ 
2
 → 1 + √
__
 5 ______ 
2
 ou 1 – √
__
 5 ______ 
2
 
 a __ 
b
 = 1 – √
__
 5 ______ 
2
 → b __ a = 
2 ______ 
1 – √
__
 5 
 = 2 · (1 + 
√
__
 5 ) __________ 
–4
 = –1 · (1 + 
√
__
 5 ) ___________ 
2
 →   b __ a = 
( √
__
 5 – 1) _______ 
2
 → b = a · ( 
√
__
 5 – 1) __________ 
2
 
Portanto: V – V – V – F – V.
150
esTRuTuRa conceiTual
1) RETAS PARALELAS
2) CORTADAS POR DUAS TRANSVERSAIS
3) SEGMENTOS DAS DUAS RETAS TRANVERSAIS
 SÃO PROPORCIONAIS
RAZÃO
EXEMPLO: 4 MEDIDAS
PQ = 3 cm
RS = 9 cm
TU = 2 cm
VX = 6 cm
LEMBRAR DO TEOREMA
DE TALES
SÃO SEGMENTOS
PROPORCIONAIS
DIVISÃO
PROPORCIONAL
EQUIVALENTE
R S
A P
B
C R
Q
3 2
9 6
=
1 1
3 3
=
©
 R
ee
ed
/S
hu
tte
rst
oc
k
07 08
M
MATEMÁTICA
T
Pontos notáveis de
um triângulo
Competência
2
Habilidades
6, 7, 8 e 9
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para acompreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
153
Mediana
É o segmento que contém um dos vértices e o ponto médio do lado oposto:
Na figura, o segmento 

 AM é a mediana relativa ao lado 

 BC , pois BM = CM.
Todo triângulo possui três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro, simbolizado na 
figura pela letra G:
O baricentro divide cada mediana de forma que:
AG = 2GMBC
BG = 2GMAC
CG = 2GMAB
Com isso, concluímos que podemos dividir a mediana pelo baricentro das seguintes formas equivalentes:
Em função da mediana
Em função da distância GM 
(distância do baricentro ao lado)
154
Bissetriz
Segmento com uma extremidade em um vér-
tice que divide o ângulo interno formado por ele em 
dois ângulos congruentes:
Na figura, o segmento 

 BS é a bissetriz interna 
relativa ao ângulo 
 ̂ 
 B , pois determina nesse ângulo dois 
ângulos congruentes. Todo triângulo possui três bisse-
trizes que se encontram em um ponto denominado in-
centro, simbolizado na figura pela letra I:
O incentro determina o centro da circunferência 
inscrita ao triângulo:
O centro da circunferência inscrita ao 
triângulo ABC coincide com seu incentro.
Como a circunferência inscrita tangencia os la-
dos do triângulo, temos que o centro dessa circunferên-
cia (incentro) é equidistante dos três lados.
altura
Segmento cuja extremidade é um vértice do tri-
ângulo e que é perpendicular ao seu lado oposto (ou do 
prolongamento dele):
O segmento 

 AH é a altura relativa ao lado 

 BC , 
pois 

 AH é perpendicular à 

 BC .
Quando o triângulo é obtusângulo, a intersecção 
de duas das alturas se dá com o prolongamento dos 
lados:
Veja que não há perpendicular relativa ao lado 

 BC que encontre o vértice A, internamente ao triângulo, 
portanto devemos prolongar o lado 

 BC .
Todo triângulo possui três alturas que se encon-
tram em um ponto denominado ortocentro, simboli-
zado na figura pela letra H:
155
Mediatriz
Qualquer segmento de reta perpendicular a um 
lado do triângulo e que passa por seu ponto médio.
A reta r é a mediatriz do triângulo ABC relativa 
ao lado 

 BC pois é perpendicular a 

 BC e M é ponto mé-
dio desse lado.
Todo triângulo possui três mediatrizes que se 
encontram em um ponto denominado circuncentro, 
simbolizado na figura pela letra C:
O circuncentro de um triângulo é o centro da cir-
cunferência circunscrita a ele:
O centro da circunferência 
circunscrita ao triângulo 
ABC coincide com seu 
circuncentro.
Teoria na prática
1. Determine os raios das circunferências inscrita e 
circunscrita a um triângulo equilátero de lado a.
Resolução:
Em um triângulo equilátero, o baricentro, orto-
centro, incentro e circuncentro são coincidentes.
Sabemos que a altura h de um triângulo equi-
látero de lado a vale a 
dXX 3 ____ 
2
 . Como a altura coin-
cide com a mediana relativa a uma mesma base, 
temos que o baricentro divide a altura em dois 
segmentos, sendo que o maior corresponde tam-
bém ao raio R da circunferência circunscrita ao 
triângulo e o segmento menor corresponde ao 
raio r da circunferência incrita ao triângulo. Logo:
R = 2 __ 
3
 h = 2 __ 
3
 a 
dXX 3 ___ 
2
 = a 
dXX 3 ___ 
3
 
Portanto, podemos dizer que, em um triângulo 
equilátero, se R é o raio da circunferência cir-
cunscrita e r o raio da circunferência inscrita ao 
triângulo, temos que:
R = 2r
2. No triângulo ABC a seguir, o ponto I é o incentro 
do triângulo. Calcule a distância do ponto I até o 
lado 

 AB do triângulo.
156
Resolução:
Se I é o incentro, ele equidista de todos os lados 
do triângulo. Logo, calcularemos apenas a dis-
tância de I até o ponto P.
Como o triângulo IPC é retângulo, podemos es-
crever:
sen 30º = IP __ 
IC
 = IP __ 
5
 
 1 __ 
2
 = IP __ 
5
 ↔ IP = 5 __ 
2
 
Como IP é a distância de I até o lado 

 AC , e I 
equidista de todos os lados, a distância de I até 
o segmento 

 AB é de 5 __ 
2
 .
©
 D
ud
ar
ev
 M
ikh
ail
/S
hu
tte
rs
to
ck
09 10
M
MATEMÁTICA
T
Semelhança de triângulos
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9, 12 e 14
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
159
Semelhança de triânguloS
Vamos analisar se os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes:
De acordo com a definição de semelhança, dois polígonos são semelhantes quando seus lados correspon-
dentes são proporcionais e os ângulos correspondentes congruentes.
Nos triângulos acima, temos:
 § 
 ̂ 
 A ≅ 
 ̂ 
 A' 
 § 
 ̂ 
 B ≅ 
 ̂ 
 B' 
 § 
 ̂ 
 C ≅ 
 ̂ 
 C' 
E também:
 AB ____ 
A'B'
 = BC ____ 
B'C'
 = CA ____ 
C'A'
 = 7 __ 
5
 —— razão de semelhança
Aplicando a definição geral de semelhança dos polígonos, podemos dizer que:
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulos correspondentes são congruentes e os lados 
correspondentes são proporcionais.
Nesse caso, a razão entre os lados correspondentes também é chamada razão de semelhança.
Exemplo
 § Os triângulos abaixo são semelhantes?
Observe que os ângulos correspondentes são congruentes, 
 ̂ 
 A ≅ 
 ̂ 
 D , 
 ̂ 
 B ≅ 
 ̂ 
 E e 
 ̂ 
 C ≅ 
 ̂ 
 F 
Calculando a proporção entre os lados correspondentes, temos:
 AB ___ 
DE
 = 12 ___ 
4
 = 3
 BC ___ 
EF
 = 18 ___ 
6
 = 3
 AC ___ 
DF
 = 9 __ 
3
 = 3
razão de semelhança
Portanto, como os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais, 
podemos afirmar que os triângulos ABC e DEF são semelhantes.
160
Teorema fundamental da semelhança de triângulos
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, 
então o triângulo que ela determina com esses lados é semelhante ao primeiro.
Supondo que a reta r é paralela ao lado 

 AB (r // 

 AB ) e, portanto, 

 DE // 

 AB , vamos mostrar que DABC ~ DDEC.
Como 

 DE // 

 AB , então: CD ___ 
CA
 = CE ___ 
CB
 (I)
Temos ainda:
 § A 
 ̂ 
 C B ≅ D 
 ̂ 
 C E (ângulo comum aos dois triângulos)
 § B 
 ̂ 
 A C ≅ E 
 ̂ 
 D C (ângulos correspondentes em retas paralelas)
 § A 
 ̂ 
 B C ≅ D 
 ̂ 
 E C (ângulos correspondentes em retas paralelas)
Casos de semelhança
Nem sempre é necessário conhecer a medida de todos os lados e de todos os ângulos de dois triângulos 
para verificar se eles são semelhantes.
Observe os três casos de semelhança de triângulos.
1º. Caso: Ângulo – Ângulo (AA)
Conhecemos dois ângulos dos triângulos em que:
C 
 ̂ 
 A B ≅ C' 
 ̂ 
 A 'B' e A 
 ̂ 
 B C ≅ A' 
 ̂ 
 B 'C'
DABC ~ DA'B'C'
Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
(II)
161
2º. Caso: Lado – Ângulo – Lado (LAL)
Conhecemos dois lados dos triângulos e o ângulo formado por eles, em que: AB ____ 
A'B'
 = CA ____ 
C'A'
 e C 
 ̂ 
 A B ≅ C' 
 ̂ 
 A 'B'
DABC ~ DA'B'C'
Demonstração:
No DABC, construímos  DE de forma que  AD = 

 A’B’ e 

 DE // 

 BC .
Se dois triângulos têm dois pares de lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por 
esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3º. Caso: Lado – Lado – Lado (LLL)
Conhecemos os três lados dos triângulos em que: AB ____ 
A'B'
 = CA ____ 
C'A'
 = BC ____ 
B'C'
 
DABC ~ DA’B’C’
Se dois triângulos têm os três pares de lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são 
semelhantes.
Consequência da semelhança de triângulos
Observe os triângulos semelhantes ABC e A’B’C’:
Nesses triângulos, 

 AH e 

 A’H’ são as alturas e 

 AM e 

 A’M’ são as medianas.
162
Pela semelhança de dois triângulos, é possível verificar que, se a razão de semelhança entre ABC e A’B’C’ é 
um número real k, então:
 § A razão entre duas alturas correspondentes é k, ou seja: AH ____ 
A’H’
 = k
 § A razão entre duas medianas correspondentes é k, ou seja: AM ____ 
A’M’
 = k
 § A razão entre os perímetros é k. a + b + c _________ 
a’ + b’ + c’
 = k
Observação: Em um triangulo ABC qualquer, unindo os pontos médios dos lados  AB e 

 AC , obtemos um 
segmento cuja medida é a metade da medida do terceiro lado 

 BC .
MN = 1 __ 
2
 BC
Essa consequência é conhecida como base média de um triângulo.
Teoria na prática
1. Encontre o comprimento do lado do quadrado 
PQRS na figura a seguir:
Resolução:
Denominando o ângulo P 
 ̂ 
 B S = a e P 
 ̂ 
 S B = b, 
temos que a e b são complementares. Como  SR 
é paralelo a 

 BC , temos que A 
 ̂ 
 S R = a e, conse-
quentemente, A 
 ̂ 
 R S = b. Da mesma forma, Q 
 ̂ 
 C R 
= b e C 
 ̂ 
 R Q = a:
Portanto, os triângulos BPS e CQR são seme-
lhantes (caso AA):
 x __ 
2
 = 3 __ x ⇒ x
2 = 6 ⇒ x = √
__
 6 
2. Numa festa junina, além da tradicional brinca-
deira de roubar bandeira no alto do pau-de-
-sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia 
um prêmio. O ganhador do desafio fincou, pa-
ralelamente a esse mastro, um bastão de 1 m. 
Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo 
bastão e pelo pau-de-sebo, ele encontrou, res-
pectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto, a altu-
ra do pau-de-sebo, em metros, é 
a) 5,0.
b) 5,5.
c) 6,0.
d) 6,5.
Resolução:
Sabendo que a altura é proporcional ao com-
primento da sombra projetada, segue-se que a 
altura h do pau-de-sebo é dada por 
 h ___ 
125
 = 1 ___ 
25
 ⇒ 25 × h = 125 ⇒ 125 ___ 
25 
 
⇒ h = 5 m
Alternativa A
163
3. Considere a imagem abaixo, que representa o 
fundo de uma piscina em forma de triângulo 
isósceles com a parte mais profunda destacada.
O valor, em metros, da medida x é 
a) 2
b) 2,5
c) 3
d) 4
e) 6
Resolução:
O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m.
O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, 
portanto:
 2 __ 
8
 = x ___ 
12
 → 8x =24 ⇔ x = 3mAlternativa C
4. Suponha que dois navios tenham partido ao 
mesmo tempo de um mesmo porto A em dire-
ções perpendiculares e a velocidades constan-
tes. Sabe-se que a velocidade do navio B é de 
18 km/h e que, com 30 minutos de viagem, a 
distância que o separa do navio C é de 15 km, 
conforme mostra a figura:
A
x
y
15
B
C
raio B
raio C
Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora 
de viagem, a distância, em quilômetros, entre os 
dois navios e a velocidade desenvolvida pelo navio 
C, em quilômetros por hora, serão, respectivamente: 
a) 30 e 25.
b) 25 e 22.
c) 30 e 24.
d) 25 e 20.
e) 25 e 24.
Resolução: 
y = 18 ∙ 0,5 = 9 km
Logo, aplicando o teorema de Pitágoras:
x2 + 92 = 152 ⇒ x2 + 81 = 225 ⇒ x2 =225 – 81 
⇒ x2 = 144 ⇒ x = 12 km 
Depois de uma hora de viagem, as distâncias 
serão dobradas, portanto, a distância entre os 
navios B e C será de 30 km.
O navio C se locomove de 12 km a cada meia 
hora, ou seja, sua velocidade é de 24 km/h.
Alternativa C
5. Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 
21 dm com alta velocidade inicial e passa rente 
à rede a uma altura de 9 dm.
Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com 
o ar e do seu movimento parabólico, considere a 
trajetória descrita pela bola como sendo retilínea 
e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola 
foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a 
que distância dela, em metros, a bola atingirá o 
outro lado da quadra?
Resolução:
Considere a figura abaixo.
A
B E
D
C
Os triângulos retângulos ABC e DEC são seme-
lhantes por AA.
Portanto, sabendo que AB = 21 dm, DE = 9 dm 
e BE = 120 dm, temos:
 AB ___ 
DE
 = BC ___ 
EC 
 ⇔ 21 ___ 
9
 = 120 + EC ________ 
EC
 ⇒
⇒ 7 ∙ EC = 360 + 3 ∙ EC
⇒ EC = 90 dm = 9 m
164
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
Dentro do terceiro eixo-cognitivo do Enem, a habilidade 12 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta com conhecimentos de geometria.
modelo
(Enem) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um 
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 
0,8 metro. 
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa 
é.
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
análiSe expoSitiva
Habilidade 12
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema e utilizar seus conheci-
mentos de geometria básica para a resolução da mesma.
 
Alternativa D