6178-admfinancorcii (1)

Prévia do material em texto

www.esab.edu.br
Administração
Financeira e
Orçamentária II
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
Administração Financeira 
e Orçamentária II
Vila Velha (ES)
2015
Escola Superior Aberta do Brasil
Diretor Geral 
Nildo Ferreira
Diretora Acadêmica
Ignêz Martins Pimenta
Coordenadora do Núcleo de Educação a Distância
Ignêz Martins Pimenta
Coordenadora do Curso de Administração EAD
Giuliana Bronzoni Liberato
Coordenador do Curso de Pedagogia EAD
Custodio Jovencio
Coordenador do Curso de Sistemas de Informação EAD
David Gomes Barboza
Produção do Material Didático-Pedagógico
 Escola Superior Aberta do Brasil
Design Educacional
Bruno Franco
Design Gráfico
Bruno Franco
Diagramação
Gabriel Felipe
Equipe Acadêmica da ESAB
Coordenadores dos Cursos
Docentes dos Cursos
Copyright © Todos os direitos desta obra são da Escola Superior Aberta do Brasil.
www.esab.edu.br
Av. Santa Leopoldina, nº 840
Coqueiral de Itaparica - Vila Velha, ES
CEP 29102-040
Apresentação
Caro estudante,
Seja bem-vindo à disciplina Administração Financeira e Orçamentária II. Esta ca-
deira apresenta conceitos fundamentais de finanças e do mercado de capitais. Tais 
conceitos embasam as decisões de pessoas, firmas e governos na definição de seus 
investimentos.
Primeiro, apresenta-se um breve histórico da área. Em seguida, explana-se o con-
ceito fundamental da relação entre risco e retorno de um ativo, para então entrar 
em temas como diversificação de carteiras, custo de capital, estrutura de capital e o 
modelo básico de apreçamento de ativos, o CAPM.
Objetivo
Introduzir conceitos fundamentais de finanças, que subsidiam a tomada de 
decisões financeiras e que são usados nos modelos de avaliação de investimentos.
Habilidades e competências
• Definir risco e compreender a relação existente entre risco e retorno de um ativo.
• Calcular o risco e o retorno de carteiras de ativos.
• Compreender como a diversificação de ativos minimiza o risco.
• Compreender como a informação é incorporada aos preços dos ativos.
• Estimar o custo de capital da firma. Entender o custo de capital como um custo de 
oportunidade.
• Compreender o modelo básico de apreçamento de ativos: o beta do CAPM.
• Entender as implicações de diferentes estruturas de capital e os custos e benefícios 
da alavancagem financeira.
Ementa
Histórias do Mercado de Capitais. Risco e Retornos. Carteira de Ativos. 
Diversificação de Carteiras. Eficiência de Mercado. Custo de Capital. Custo Médio 
Ponderado de Capital. Variabilidade dos Retornos. Beta. Alavancagem Financeira.
Sumário
1. Um breve histórico do mercado de capitais .....................................................................7
2. Mercados emergentes e Brasil.......................................................................................11
3. Onde entra a Administração Financeira? ......................................................................15
4. O que é risco? ...............................................................................................................19
5. Uma revisão de estatística ............................................................................................22
6. Um conceito novo: regressão linear ...............................................................................26
7. Os componentes do risco ...............................................................................................31
8. Mini-caso resolvido .......................................................................................................36
9. A fronteira de média-variância ......................................................................................39
10. O CAPM .........................................................................................................................45
11. Calculando o beta do CAPM ..........................................................................................48
12. Mini-caso resolvido ......................................................................................................52
13. CAPM: Prós, contras e alternativas ................................................................................55
14. Eficiência de mercado ...................................................................................................61
15. Exuberância irracional ...................................................................................................67
16. O custo de capital ..........................................................................................................72
17. O custo de capital de terceiros .......................................................................................76
18. Fontes de capital de terceiros ........................................................................................79
19. Fontes de capital próprio ...............................................................................................85
20. Estimando o custo do capital próprio ............................................................................89
21. O Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC) ................................................................93
22. O beta alavancado.........................................................................................................99
23. Mini-caso resolvido .....................................................................................................102
24. O início das teorias de estrutura de capital ..................................................................106
25. As modernas teorias de estrutura de capital ...............................................................112
26. Endividamento e risco .................................................................................................117
27. Remunerando os sócios: política de dividendos ..........................................................121
28. Calculando o retorno para o acionista .........................................................................126
29. Definindo a política de dividendos ..............................................................................131
30. Governança Corporativa e Finanças .............................................................................135
Glossário ............................................................................................................................141
Referências ........................................................................................................................144
www.esab.edu.br 7
1 Um breve histórico do mercado de capitais
Objetivo
Apresentar as origens do mercado de capitais e contextualizar o 
ambiente atual.
Os Estados Unidos da América (EUA) continuam tendo os maiores e 
mais importantes mercados de ações e de dívida do mundo. Isso, mesmo 
depois de ser o epicentro da crise do mercado imobiliário de 2008, que 
contaminou todo o mercado financeiro e levou o mundo a uma recessão 
generalizada, não vista desde a crise de 1929. A figura a seguir mostra 
que os EUA representavam 48% do mercado de ações mundial ao fim 
de 2013. Por essa relevância, iniciamos a discussão por esse país, para em 
seguida citar alguns outros importantes mercados, e finalizar no Brasil.
Figura 1: Tamanhos relativos dos mercados de ações ao redor do mundo no fim de 2013
 Fonte: Credit Suisse Global Investments Returns Yearbook 2014
www.esab.edu.br 8
Figura 2: Retornos reais acumulados nos EUA entre 1900 e 2013
Fonte: Credit Suisse Global Investments Returns Yearbook 2014
Traduzindo, o gráfico mostra o que aconteceria se você tivesse 
investido US$1 em Jan/1900. Se o investimento tivesse sido em ações 
(equities), você teria US$1.248 em Out/2014, ou seja, um ganho real 
(já descontada a inflação) de 124.800%, ou 6,5% ao ano. Já se você 
tivesse investido em títulos de curto prazo do Tesouro Americano (bills), 
você teria somente US$2,70, ou seja, teria se protegido da inflação e 
ganho muito pouco (0,9% a.a.).Já o ganho em títulos de dívida de 
firmas americanas (bonds) é um meio-termo: você teria US$8,20 (já 
descontando a inflação), ou 1,9% a.a.
www.esab.edu.br 9
Saiba mais
Este exemplo demonstra muito bem o poder dos juros compostos. Você 
já se perguntou por que os juros são compostos, e não simples? Imagine 
que você invista R$100 na poupança. Por simplicidade, admita que a 
poupança renda 1% a.m. Ao fim do primeiro mês você teria R$101, 
certo? Se os juros fossem simples, ao fim do segundo mês você teria 
R$102 (mais 1% sobre os R$100 originais). Porém, você faz o seguinte 
cálculo: “eu posso sacar os R$101 e reinvestir em poupança, ou deixar os 
R$100 originais rendendo os juros simples”. Como você é um investidor, 
e deseja maximizar seu ganho, você saca os R$101 e reinveste. Agora, ao 
fim do segundo mês, você tem R$102,10 ao invés de R$102. Pode não 
parecer muita diferença, mas em 10 anos você teria R$220 no regime de 
juros simples e R$330,04 no regime de juros compostos. Dessa forma, 
os juros compostos somente simplificam a vida dos investidores. Se 
por alguma razão, todos os juros fossem simples, todos os investidores 
simplesmente sacariam e reinvestiriam seu dinheiro constantemente. 
O Banco Central disponibiliza ferramentas que permitem o cálculo, 
corrigindo por índices de juros ou de inflação, ou mesmo por taxas 
informadas por você. Experimente acessar http://www.bcb.gov.
br/?CALCULOSINDCOT
O gráfico também demonstra um fato que será explorado aqui: a 
volatilidade dos retornos. Note como mesmo os chamados ativos 
de renda fixa apresentam alguma variabilidade em seus ganhos! Isso 
decorre da incerteza inerente aos mercados de capitais. Porém, mesmo 
enfrentando grandes crises como o Crash da Bolsa de 1929, o Choque 
do Petróleo dos anos 1970, o estouro da Bolha Ponto-Com de 2000, e 
o recente Crash do Mercado Imobiliário de 2008, o mercado de renda 
variável americano apresenta um ganho real invejável no longo prazo. 
Porém, será que os EUA são um caso à parte?
http://www.bcb.gov.br/?CALCULOSINDCOT
http://www.bcb.gov.br/?CALCULOSINDCOT
www.esab.edu.br 10
Um resumo dos mercados de capitais do mundo desenvolvido
No restante do mundo desenvolvido, o comportamento é semelhante. 
Observamos na figura a seguir os ganhos anualizados, em termos reais, de 
alguns países selecionados. Note como os ganhos no mercado de ações, 
em azul, superam o crescimento do PIB real per capita, em vermelho, na 
grande maioria dos países. Países como África do Sul e Austrália mostram 
ganhos anualizados ainda maiores do que os dos EUA!
Figura 3: Ganhos anualizados dos mercados de ações vs. crescimento do PIB de diversas economias 
desenvolvidas entre 1900 e 2013
Fonte: Credit Suisse Global Investments Returns Yearbook 2014
www.esab.edu.br 11
2 Mercados emergentes e Brasil
Objetivo
Apresentar uma visão geral dos mercados de capitais de países 
emergentes, em especial do Brasil
Até o momento, praticamente só discutimos mercados desenvolvidos. 
Mas como tem sido a evolução dos mercados em desenvolvimento? No 
gráfico a seguir, cada país é classificado como desenvolvido ou emergente 
naquele ano. Por exemplo, o Japão passou a ser considerado desenvolvido 
em 1967. É fácil ver que houve um grande distanciamento entre os 
países desenvolvidos (linha azul) e os emergentes (linha vermelha) 
principalmente no período da Segunda Guerra Mundial. Porém, essa 
diferença vem diminuindo.
Figura 4: Retornos de mercados desenvolvidos e emergentes, 1900 a 2013
Fonte: Credit Suisse Global Investments Returns Yearbook 2014
Apesar da posição dominante da economia dos EUA, os mercados 
emergentes vêm aumentando sua representatividade. Até recentemente, a 
bola da vez eram os BRICS: Brasil, Rússia, Índia, China e África do Sul. 
O acrônimo foi inventado pelo economista britânico Jim O’Neill em 
2001, que segundo ele, tinham a perspectiva de desbancar o G7 (grupo 
dos sete países mais ricos do mundo) como poderes econômicos.
www.esab.edu.br 12
Mais recentemente, começou-se a falar no MINT (México, Indonésia, 
Nigéria, e Turquia). A mudança de foco deu-se após o relativo fracasso 
dos BRICS, em entregar suas “promessas”. Em especial, as economias 
brasileira e russa vêm enfrentando sérias dificuldades desde 2010, 
enquanto mesmo a China dá sinais de que está em processo de soft 
landing, ou seja, lentamente desaquecendo seu mercado. Mesmo 
com a economia abalada, em boa parte devido a escolhas equivocadas 
do governo federal, a partir de 2008, o Brasil continua sendo um 
importante mercado emergente. 
O mercado de capitais brasileiro
Infelizmente, o período de análise brasileiro não é tão longo. Devido à 
falta de dados, só é possível retroagir até as décadas de 1970 ou 1960. O 
gráfico a seguir mostra o retorno acumulado real, ou seja, deflacionado 
pelo IGP-DI, entre janeiro de 1974 e outubro de 2014. É o equivalente 
a investir R$1 em janeiro de 1974 e deixá-lo ou aplicado no Índice 
Bovespa ou rendendo à taxa Selic, a taxa básica de juros brasileira.
Figura 5: Retorno acumulado no mercado de capitais brasileiro
www.esab.edu.br 13
O primeiro fato que se destaca é que, ao contrário das economias 
desenvolvidas, não há uma separação clara entre os rendimentos no 
mercado de ações e no de títulos de dívida. Claro, há períodos de 
descolamento, mas a cada crise, o rendimento da Bolsa cai e se aproxima 
do rendimento da Renda Fixa. Interessante notar que durante boa parte 
do período hiperinflacionário, ambos rendimentos estiveram abaixo da 
inflação, por isso o gráfico transita abaixo do um, no eixo vertical. A 
partir do Plano Real, em meados de 1994, a moeda se estabiliza, e ambos 
os mercados passam a mostrar ganhos reais (acima da inflação).
Saiba mais
Você se lembra do período hiperinflacionário brasileiro? Se você 
nasceu após meados dos anos 1980, provavelmente não. Uma 
série de choques e escolhas erradas durante as décadas de 1970 
e 1980 levaram a um aumento inflacionário, que se agravou a 
partir de meados de 1980. Esse processo levou a índices recordes, 
como o IGP-DI de 81,32% de março de 1990. Isso mesmo, quase 
100% de inflação em um mês! Nessa época, havia uma indexação 
geral da economia, muitas transações feitas em dólar americano, 
e discrepâncias inacreditáveis nos preços. Os supermercados 
substituíam as etiquetas dos produtos da noite para o dia, já que 
não havia código de barras. Esse processo só foi estancado pelo 
Plano Real, desenhando e iniciado no governo Itamar Franco, sob a 
batuta do então Ministro da Fazenda, Fernando Henrique Cardoso, 
e sua equipe de economistas vindos, em sua maioria, da PUC-RJ. 
O Plano incluiu uma renegociação da dívida externa, a arrumação 
e limpeza das contas públicas, retirando milhares de esqueletos 
contábeis dos armários, e um duro ajuste fiscal.
Por que as crises seriam tão severas no Brasil, a ponto de “zerar” 
os ganhos da Bolsa em relação aos juros? Parte da resposta está na 
volatilidade (ou variabilidade) dos ganhos. Por ser um mercado 
emergente, a economia é mais arriscada, e portanto, os retornos variam 
mais. Assim, da mesma forma que a Bolsa brasileira pode disparar em 
relação à Bolsa americana, por exemplo, ela também pode afundar mais 
profunda e rapidamente que a Bolsa de um mercado desenvolvido. 
Outra parte da resposta está na taxa de juros, que é alta, mesmo quando 
www.esab.edu.br 14
comparada com outros países da América Latina ou emergentes, como 
os BRICS. Vários fatores entram na explicação dessa taxa de juros, como 
histórico de caloteiro (moratória da dívida dos anos 1980), histórico 
de confisco de investimentos (bloqueio da poupança nos anos 1990) e 
desajuste fiscal (governo gasta mais do que arrecada). Porém, as razões – e 
o grau de importância de cada uma delas – não são consenso, e são tema 
de debate de macroeconomistas brasileiros.
O declínio mais recente deve-se, em boa parte, à desconfiança dos 
investidores quanto à política econômica do governo federal. Desde 2012 
vem-se colocando em práticaa chamada “Nova Matriz Econômica”, 
tema de acalorados debates entre economistas brasileiros. De cunho 
intervencionista, a política implementada começou a dar sinais de fadiga 
já no final de 2013. Economistas das escolas ortodoxas alegam ser uma 
repetição da política econômica fracassada do governo militar, com a 
criação de empresas “campeãs” nacionais, pesados subsídios fiscais e 
via BNDES para setores escolhidos, controle da taxa de câmbio, juros 
artificialmente baixos, e uso das estatais e empresas de economia mista 
para implementar políticas de Estado, além de manobras contábeis para 
mascarar o não-atingimento de metas fiscais.
Como veremos neste curso, essa desconfiança afeta diretamente os preços 
dos ativos, exatamente como mostra o gráfico da Figura 5. No caso, há 
uma maior incerteza quanto aos ganhos das empresas, ou seja, o mercado 
passa a exigir um retorno maior pelo risco percebido aumentado, o que 
diminui o preço dos papéis. Também há um outro efeito, que tem a 
ver com o estado geral da economia. Com um cenário recessivo para os 
próximos anos, o ganho esperado das empresas também diminui, o que 
por tabela leva a uma queda dos preços. Assim, o mercado brasileiro 
de ações está sofrendo um grande desconto, pela expectativa de ganhos 
menores e mais arriscados. Daí a importância da confiança na economia! 
Pense bem, você investiria num negócio, se tivesse expectativa de perda? 
Mas como quantificar essa expectativa? Como estimar se haverá ganho 
ou perda? Esses são alguns dos papéis da disciplina de Finanças.
www.esab.edu.br 15
3 Onde entra a Administração Financeira?
Objetivo
Compreender o mix de produtos.
Vimos um breve histórico do mercado financeiro ao redor do mundo. 
Porém, como que essa realidade se conecta com este curso? Veremos que 
os mercados de ações e de dívida somente existem pela necessidade de 
financiamento das firmas. Veremos que existem técnicas para quantificar 
os riscos e os retornos esperados, e por consequência, para colocar preço 
nos ativos. Também estudaremos métodos para escolher e estimar os 
custos das diversas fontes de financiamento, além de suas implicações 
para as firmas.
Ao fim e ao cabo, a Administração Financeira visa a maximizar o lucro 
das empresas. Ela vem contribuir com dois objetivos chave do negócio: 
criar riqueza (ou agregar valor), e usar a riqueza (ou ativos) de modo que 
a firma atinja os seus objetivos econômicos da melhor forma possível. 
Grosso modo, a firma pode ser vista como na figura a seguir:
Figura 6: Uma abstração da firma
Os investidores aportam dinheiro (1), para que sejam feitos os 
investimentos em atividades produtivas (2). Essas atividades geram fluxos 
de caixa (3), que podem ter dois destinos: podem ser reinvestidos na 
própria firma (4), ou devolvidos aos investidores (5). O último passo 
www.esab.edu.br 16
nada mais é do que a remuneração do capital investido em (1). Como 
veremos neste curso, o retorno do investimento (1) é incerto. Essa 
incerteza faz com que os investidores exijam uma remuneração por esse 
risco de talvez não ter o ganho esperado, ou até mesmo perder o capital 
investido. Quanto maior esse risco, maior deve ser a remuneração (5). 
Também há a questão do valor do dinheiro no tempo, já que (5) pode se 
realizar somente anos após o aporte de (1). A remuneração pode ser feita 
de diversos modos, dependendo de como o capital foi investido. Se foi 
um empréstimo, essa remuneração são os juros pagos aos credores, como 
bancos e compradores de debêntures. Se foi uma integralização de capital 
(patrimônio líquido), a remuneração são os dividendos recebidos pelos 
sócios ou acionistas. Nada mais justo. Ou você emprestaria seu dinheiro 
ao vizinho, sem saber se irá recebê-lo de volta, sem cobrar juros?
Dica
Já falamos um pouco dos juros compostos. Porém, você já 
parou para pensar de onde vêm os juros? Quando há risco no 
investimento, talvez seja mais clara a existência de juros: o 
investidor simplesmente deseja remuneração pela probabilidade 
de ter um retorno menor que o esperado, até mesmo negativo. E 
quando não há risco? Existem investimentos considerados livres 
de risco, como os títulos de dívida do governo, que rendem juros. 
Vários desses instrumentos financeiros contam com garantias 
do Fundo Garantidor de Crédito (poupança, CDB, LCI, LCA), e 
podem ser considerados sem risco até o limite de cobertura. Os 
modelos microeconômicos mostram que a taxa de juros surge, 
naturalmente, a partir de um “fator de impaciência”. A intuição é 
bem simples: você prefere receber R$100 agora, ou daqui a um ano 
(com certeza)? Mesmo admitindo uma inflação de zero, é melhor 
ter R$100 disponíveis agora do que daqui a um ano, não é mesmo? 
Daí vem o conceito de valor do dinheiro no tempo, que é afetado 
pela taxa de juros, a encarnação financeira da impaciência.
www.esab.edu.br 17
A Administração Financeira basicamente trata de gerenciar os fluxos 
(1), (2), (4), e (5). O fluxo (3) é gerado pela operação, embora possa e 
deva ter acompanhamento da área financeira também. No caso, cabe ao 
administrador financeiro:
• Decidir quais investimentos serão feitos, ou seja, onde deve ser 
colocado o fluxo (2). A escolha deve levar em conta os objetivos da 
firma e a restrição dos recursos disponíveis em (1);
• Decidir como a firma se financiará, ou seja, como ela decide captar 
dinheiro para seus investimentos (ou projetos), escolhendo entre as 
opções oferecidas por (1) e (4). No caso, deve-se levar em conta os 
custos e implicações de cada fonte de financiamento;
• Decidir qual será a remuneração dos investidores (5). No caso de 
pagamento de juros não há muita margem para manobra, a não ser 
uma renegociação com credores ou até mesmo o calote (também 
chamado de default). Já o pagamento de dividendos depende 
muito da atividade da firma. Quando há muitas oportunidades de 
investimento, a tendência é que a firma pague poucos dividendos. 
Por exemplo, a Microsoft já ficou vários anos sem pagar dividendos, 
pois acreditava que suas oportunidades de investimento eram boas o 
suficiente para direcionar tudo para (4) e nada para (5). Já empresas 
do setor elétrico e siderúrgicas, já consolidadas, geralmente pagam 
dividendos generosos;
• Gerenciar o risco de (1) e (5), ou seja, decidir como se financiar ou 
quanto dinheiro devolver aos investidores levando-se em conta o 
nível de risco financeiro aceito pela firma. Falhas em se gerenciar o 
risco dos fluxos financeiros podem levar a resultados catastróficos. 
Um exemplo atual no Brasil é a Petrobras. A firma endividou-
se enormemente e emitiu ações (capital próprio) visando ao 
financiamento dos projetos do pré-sal. Isso fez-se necessário porque 
o governo federal modificou a Lei do Petróleo e passou a exigir o 
regime de partilha para esses campos, obrigando a participação da 
Petrobras em sua exploração. Porém, dois fatos ocorreram desde 
então:
• 1. O governo federal decidiu subsidiar o preço da gasolina 
usando o caixa da Petrobras, que foi obrigada a comprar gasolina 
no exterior com um preço superior ao que vendia no mercado 
interno, pois o Brasil não é autossuficiente em combustível. 
www.esab.edu.br 18
Assim, reservas para eventualidades e caixa para investimentos 
foram desviados para outros fins.
• 2. O preço do petróleo vem despencando, desde que novas 
tecnologias de fraqueamento hidráulico e de extração de óleo 
de areias betuminosas revolucionaram a indústria de petróleo 
dos EUA e do Canadá. Como a OPEP decidiu não baixar sua 
produção, a Rússia vem exportando gás natural a níveis recordes 
devido ao embargo comercial depois da invasão da Ucrânia, e a 
economia mundial – em especial a China – diminuiu seu apetite 
por energia, o preço do petróleo vem caindo (alta oferta e baixa 
demanda), o que pode tornar a exploração do pré-sal inviável 
economicamente. 
Assim, o cenário atual é de um alto endividamento, pouco caixa, 
e investimentos em curso que estão se tornando pouco rentáveis 
ou mesmo inviáveis. Boa parte daexplicação para essa situação 
tão crítica está na má administração financeira da empresa, 
sem falar nos fortes indícios de corrupção que estão disparando 
investigações e ações judiciais no Brasil e no exterior.
Em suma, a missão do administrador financeiro é criar valor nas 
atividades de investimento, financiamento, e gestão de liquidez da firma. 
De forma geral, o objetivo dessas escolhas é maximizar o valor presente 
da firma, ou seja, maximizar o valor para os sócios (acionistas). O valor 
presente da firma nada mais é que o valor presente de todos os fluxos de 
caixas, atuais ou futuros, ajustados pelo tempo e pelo risco.
Assim, o administrador financeiro deve decidir se investe num ativo 
real (projeto), ou se investe no mercado financeiro. Em ambos os casos 
é feito um investimento hoje, com a esperança de se receber fluxos de 
caixa futuros. Por consequência, existe um trade-off entre investir-se em 
projetos ou no mercado financeiro. A intuição é simples: você investiria 
num projeto que rende menos que o mercado financeiro, sendo que os 
dois possuem fluxos de caixa e perfis de risco semelhantes? Aí entra o 
conceito de custo de oportunidade do capital, que nada mais é do que o 
retorno oferecido por investimentos equivalentes, em termos de tempo e 
de risco, no mercado financeiro. Para um projeto ser atrativo, ele deve ao 
menos igualar esse custo de oportunidade, ou seja, render no mínimo o 
mesmo que o ativo financeiro. 
Porém, como estimar o risco e o custo de oportunidade? É o que veremos 
nas unidades a seguir.
www.esab.edu.br 19
4 O que é risco?
Objetivo
Introduzir conceito e medida para o risco de um ativo
Em termos financeiros, como podemos definir risco? Quando dizemos 
que um investimento é arriscado, na verdade estamos dizendo que não 
sabemos ao certo qual retorno teremos com ele. Como já comentamos, 
existem investimentos que são considerados livres de risco. O exemplo 
mais próximo do cidadão comum é a poupança. Ela garante um 
rendimento fixado em lei, e os depósitos tem garantia até R$250 mil do 
Fundo Garantidor de Crédito, caso o banco quebre. Assim, você já sabe 
com certeza qual será o rendimento da poupança, mesmo que ela tenha 
componentes variáveis (TR e Selic). A poupança pode ser classificada 
como um investimento de renda fixa pós-fixada, ou seja, o cálculo da 
taxa de rendimento é fixado, contratualmente, porém a taxa efetiva só é 
conhecida posteriormente, pois depende da TR e da Selic.
Saiba Mais
TR e Selic são somente duas das taxas referenciais de juros da economia 
brasileira. A primeira é a Taxa Referencial. Seu cálculo é feito pelo Banco 
Central do Brasil (BC) e é relativamente complexo, dependendo das taxas 
de CDB emitidos no mercado. O CDB (Certificado de Depósito Bancário) 
é um título de dívida emitido pelos bancos. Já a Selic é a taxa de juros 
básica brasileira. Seu nome significa Sistema Especial de Liquidação e 
de Custódia, e na verdade é um sistema de custódia dos títulos emitidos 
pelo Tesouro Nacional, ou seja, os títulos da dívida federal. Porém, esse 
sistema empresta seu nome à taxa referencial desses títulos, que é 
definida nas reuniões do COPOM (Comitê de Política Monetária) do BC. 
Existem outras taxas consideradas referenciais, como a TBF (Taxa Básica 
Financeira) e a TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo). Cada uma tem um 
racional por trás e, por consequência, aplicações diferentes.
www.esab.edu.br 20
Agora, imagine um investimento em uma ação. Uma ação representa 
a menor fração do capital próprio de uma sociedade anônima, mais 
conhecida por SA. As SAs podem ter suas ações negociadas em bolsa de 
valores ou não. As empresas com ações negociadas em bolsa de valores são 
chamadas de abertas ou listadas. As demais são ditas fechadas. O preço de 
uma ação nada mais é do que a expectativa do desempenho da empresa em 
termos financeiros. Assim, quando se espera que a empresa terá um bom 
desempenho futuro, o preço da ação é alto. Caso contrário, seu preço é 
baixo. Em lugar algum está determinado um rendimento ou desempenho 
mínimo. Ações são consideradas um investimento de renda variável, 
justamente por essa razão. Também é fácil perceber que há mais risco 
envolvido: a taxa não está definida de antemão, como num título de renda 
fixa. Embora a intuição seja direta, fica a pergunta: como medir esse risco?
Quantificando o risco
Já temos uma noção de que o risco tem a ver com a variabilidade dos 
retornos. Quanto mais variável esse retorno, mais risco atribuímos a um 
investimento. Em termos mais formais, podemos dizer que o retorno de 
um ativo (ou investimento) é uma variável aleatória. Essa variável pode 
ser caracterizada por dois conjuntos de informação: todos os resultados 
possíveis (ou realizações), mais a probabilidade de ocorrência de cada 
resultado (ou estado). Isso soa familiar? Sim, já que você já estudou isso 
em Estatística & Probabilidade!
Imagine o cenário a seguir. Você tem três ativos. Todos possuem um 
retorno esperado (ou médio) de 10%. Porém, a probabilidade de 
ocorrência de cada resultado é bem diferente, dada no gráfico a seguir. O 
eixo X (horizontal) representa todos os resultados possíveis, e Y (vertical) 
a probabilidade de cada resultado. O primeiro ativo (A) tem retorno 
certo de 10%, ou seja, risco zero. Ele não está visível no gráfico, porque 
é simplesmente uma linha sobre o eixo Y, que se estende de zero até 
um, ou seja, ele tem probabilidade de 100% de oferecer um retorno de 
10%. Já a linha azul representa o segundo ativo (B), que tem um retorno 
médio (esperado) de 10%. Isso quer dizer que se multiplicarmos o valor 
do eixo X pelo valor do eixo Y de cada ponto da linha azul, e somarmos 
os resultados, teremos 10%. A linha vermelha representa o terceiro ativo 
(C), que também tem um retorno médio (esperado) de 10%. Porém, essa 
linha é mais achatada. Você sabe o que isso quer dizer?
www.esab.edu.br 21
Figura 7: Distribuição dos retornos dos ativos A, B e C
Pensemos juntos: (A) é o retorno certo, e tem a “curva” mais fechada 
possível, ou seja, é uma linha sobre Y. (B) tem retorno arriscado 
intermediário. Já (C) tem o retorno mais arriscado, e tem a curva mais 
aberta de todas. Ou seja, quanto mais aberta a curva, mais arriscado o ativo! 
Em outras palavras, quanto mais achatada a curva, maior a probabilidade 
do retorno ficar mais longe do esperado (ou da média) de 10%. Por isso, 
as caudas vão ficando mais “pesadas” à medida que o risco aumenta. 
Estatisticamente, essas curvas podem ser resumidas na tabela a seguir.
ATIVO MÉDIA DO RETORNO DESVIO PADRÃO DO RETORNO
A 10% 0%
B 10% 10%
C 10% 20%
O desvio-padrão pode ser nossa medida do risco? Afinal, ele mede quão 
“espalhadas” estão as possíveis realizações. Quanto mais “espalhadas”, 
maior o desvio, e por consequência, maior o risco. Faz sentido, certo? 
Tanto faz sentido que o desvio-padrão é a medida de risco comumente 
usada em Finanças. Ela mede o que chamamos de volatilidade dos 
retornos dos ativos. Ativos mais arriscados são mais voláteis. Porém, você 
se lembra como calcular o desvio-padrão?
www.esab.edu.br 22
5 Uma revisão de estatística
Objetivo
 Revisar conteúdo de estatística necessário para o desenvolvimento 
do restante da disciplina
Façamos uma pausa no conteúdo de Finanças e voltemos um pouco no 
tempo. Temos que nos lembrar como calcular essas estatísticas para poder 
continuar com nosso curso, pois vamos lidar com variáveis aleatórias a 
todo tempo. Então, comecemos pelo começo e relembremos o que seria a 
média.
Calculando a média
A média de uma variável aleatória também é conhecida como esperança 
matemática ou valor esperado. Se a variável aleatória é representada 
por X, então sua média é representada por X=E[X]. O “xis barra” é um 
símbolo comumente usado para representar a média amostral, pois a 
média populacional é µ (letra grega mi), muitas vezes desconhecida. X é 
uma estimativa de µ, pois a partir de uma amostra você está estimando a 
média da população.
Normalmente quando as pessoasdizem “média”, referem-se à média 
aritmética. Porém, a esperança (vamos chamar a nossa média de 
esperança, para não gerar ambiguidade) pode ser a média aritmética, mas 
via de regra é a média ponderada. Por que isso? Simplesmente porque a 
probabilidade de cada estado (ou realização) geralmente é diferente da 
outra. Se todas as probabilidades fossem iguais, a esperança seria igual à 
média aritmética. Em termos mais formais:
~ ~_
__
www.esab.edu.br 23
Traduzindo, a esperança de X é o somatório da probabilidade de 
cada estado pi multiplicada pelo valor de cada estado xi. Se todas as 
probabilidades fossem iguais, todos os pi seriam iguais a 
1⁄n, e teríamos 
a velha conhecida média aritmética, que seria o somatório de todos os 
valores possíveis dividido por n.
Calculando o desvio-padrão
Já vimos que o desvio-padrão mede o quão “espalhados” estão os valores 
possíveis em relação à média. Então, um primeiro impulso poderia 
ser fazer o desvio-padrão igual ao somatório do valor menos a média. 
Formalmente:
Você consegue notar algum problema neste candidato a desvio-padrão? 
Como os valores xi estão espalhados ao redor da média o somatório 
dá... Zero! Experimente fazer com uma amostra bem simples: 1, 2, 3, 
4. A média aritmética é 2,5. Calcule a definição de desvio-padrão que 
temos e você terá zero: 0,25•(1-2,5)+0,25•(2-2,5)+0,25•(3-2,5)+0,25•(4-
2,5)=0,25•(-1,5)+0,25•(-0,5)+0,25•0,5+0,25•1,5-0. Não é muito útil, 
certo? O problema é que os números menores que a média geram 
diferenças negativas, que anulam as diferenças positivas dos números 
maiores que a média. Você vê uma saída?
E se transformarmos as diferenças negativas em positivas? Assim, seria 
sempre um somatório de números positivos, e nosso desvio-padrão seria 
diferente de zero. Existem várias formas de se fazer isso. O grande ponto 
é que cada forma tem propriedades estatísticas diferentes, que podem ser 
“boas” ou “ruins”, dependendo do caso. Não vamos entrar em detalhes, 
mas os estatísticos chegaram à conclusão que elevar ao quadrado tem 
as propriedades estatísticas mais desejáveis. Com isso, temos a chamada 
variância, que é a média do quadrado das diferenças. Em termos 
matemáticos:
~
www.esab.edu.br 24
Resolvemos um problema, mas criamos outro. Agora, está tudo ao 
quadrado! Se o retorno está em %, então a variância do retorno está em 
%2. Difícil dizer o quer seria “porcento ao quadrado”, né? Se a variável 
estivesse em R$, a variância estaria em “reais ao quadrado”. E agora, 
como fazemos? O mais intuitivo parece ser tirar a raiz quadrada, certo? 
Assim, deixamos de ter um número elevado ao quadrado, e temos algo 
que podemos interpretar mais facilmente. Pronto, chegamos à definição 
de desvio-padrão:
Medidas de variação conjunta
Ainda precisamos de mais duas definições: o que seria covariância e o 
que seria correlação. Ambas são medidas da variação conjunta de duas 
variáveis aleatórias, e vamos precisar delas quando formos estudar carteias 
de investimentos. Por exemplo, há uma correlação positiva entre altura 
e peso: quanto mais alta a pessoa, maior tende a ser seu peso. Já entre 
velocidade do carro e o consumo de combustível há uma correlação 
negativa, já que velocidades mais altas estão relacionadas a maior gasto de 
gasolina.
A covariância é similar à variância, só que ao invés de elevar ao quadrado, 
é a multiplicação da diferença de cada variável para sua média. Então, se 
temos duas variáveis aleatórias X e Y, sua covariância é:
Porém, a covariância tem o mesmo problema da variância: os valores 
estão ao quadrado! Só que diferentemente do desvio-padrão, não tiramos 
a raiz. Neste caso, dividimos a covariância pela multiplicação do desvio-
padrão de cada variável aleatória:
~ ~
www.esab.edu.br 25
Isso assegura que a correlação esteja sempre no intervalo [-1; 1], e é uma 
medida sem unidade. Por exemplo, se a Cov está em %2, dividimos 
por %•%, e a unidade de medida some. Um valor de -1 é chamado 
de correlação negativa perfeita. Quer dizer que as variáveis variam em 
conjunto perfeitamente em sentidos contrários (se uma aumenta, a 
outra diminui na mesma proporção, sempre). Já o valor de +1 é uma 
correlação positiva perfeita, e 0 indica que não há correlação. Os valores 
intermediários implicam uma correlação menos que perfeita, o que quer 
dizer que as direções e proporções das variações não são constantes para 
cada par (xi,yi).
Usando MS Excel
Calculadoras científicas e financeiras geralmente possuem funções 
estatísticas. É mais fácil ainda usando um software de planilha de cálculo, 
como o Excel. A tabela a seguir lista as funções mais importantes.
Estatística Excel 2003, 2007 Excel 2013
Média =média(v1; v2; ...; vN) =média(v1; v2; ...; vN)
Variância populacional =varp(v1; v2; ...; vN) =var.p(v1; v2; ...; vN)
Variância amostral =var(v1; v2; ...; vN) =var.a(v1; v2; ...; vN)
Desvio-padrão pop. =desvpadp(v1; v2; ...; vN) =desvpad.p(v1; v2; ...; vN)
Desvio-padrão amost. =desvpad(v1; v2; ...; vN) =desvpad.a(v1; v2; ...; vN)
Covariância pop. =covar(série1; série2) =covariação.p(série1; série2)
Covariância amost. =covariação.s(série1; série2)
Correlação =correl(série1; série2) =correl(série1; série2)
Qual o problema de usar as funções já prontas do Excel? Você consegue 
apontá-lo? Uma pista: em algum momento você informou os pesos? Não. 
Assim, essas funções somente fazem o cálculo, se todas as possibilidades 
(estados) tiverem os mesmos pesos. Daí a importância de saber o 
conceito do cálculo, para contornar as limitações das funções já prontas.
www.esab.edu.br 26
6 Um conceito novo: regressão linear
Objetivo
Introduzir o conceito de regressão linear, necessário para entender a 
estimação do beta do CAPM.
A regressão linear é um método que permite estimar a relação entre uma 
variável dependente Y e uma ou mais variáveis independentes X. Parece 
com a correlação, certo? De certa forma mede também uma correlação, 
mas é um instrumento mais poderoso. Você notou o termo “uma ou 
mais”? Isso mesmo, você pode testar a ligação entre uma variável com 
várias outras ao mesmo tempo. Por exemplo, anteriormente comentamos 
da correlação entre peso e altura, certo? Agora, podemos encontrar a 
relação entre o peso e diversas variáveis. Por exemplo, podemos dizer que 
o peso de uma pessoa depende da altura e da circunferência da cintura 
e da circunferência da coxa. Faz sentido, não? Pessoas mais “largas” têm 
mais volume, e por consequência, devem ser mais pesadas. Uma equação 
de regressão linear tem o seguinte formato:
O índice i quer dizer i-ésima observação. Assim como na correlação, 
precisamos de várias observações para calcular nossa estimativa. O beta 
zero é a constante, e os beta n são os coeficientes de cada variável x. No 
nosso exemplo, se o estudo tem 100 pessoas, i varia de 1 a 100. O y 
é o peso da pessoa, x1 é a altura, x2 é a circunferência de cintura, e x3, 
a circunferência da coxa. Por fim o épsilon (a letra que parece um E 
pequeno) é o erro, ou seja, a parte de y que os xn não explicam. Atenção! 
Neste caso xn não é “x elevado a n”, mas sim, “x índice n”, ou n-ésimo x.
www.esab.edu.br 27
Dica
Você já se perguntou de onde saem os parâmetros que os médicos 
usam em diagnósticos, como o Índice de Massa Corporal (IMC)? Para 
quem não sabe, o IMC indica se a pessoa está abaixo do peso, com peso 
normal, com sobrepeso ou obesa. Para isso, basta dividir o peso (em 
kg) pelo quadrado da altura (em m). Aí você compara esse número 
com as faixas definidas, e define se você está “bem” ou não. Essas faixas 
saem de estudos que usam técnicas como a de regressão linear: os 
pesquisadores pegam uma amostra de pessoas, definem o que querem 
estudar e com os resultados, constroem ferramentas como o IMC. O 
mesmo vale para outras coisas, como os limites do índice de glicose e 
do índice de colesterol. A regressão linear também pode ser usada em 
inúmeros campos tão diversos como biologia, controle de qualidade e 
educação.
A regressão linear que usaremos aqui será asimples, ou seja, só com 
a variável independente x1. Mais à frente veremos uma técnica de 
apreçamento de ativos que se chama CAPM, que usa a regressão linear 
como base. Mas como funciona a tal regressão linear? A intuição 
é simples: se temos uma variável dependente Y e somente uma 
independente X, a regressão nada mais faz do que minimizar a distância 
entre a reta estimada e os pontos observados. Se houver mais de uma 
variável independente X, a intuição é a mesma, só que ao invés de 
uma reta teremos um hiperplano num espaço N-dimensional. Parece 
complicado, mas não é. Só que é mais simples visualizar uma reta, que 
um hiperplano. Então, no nosso exemplo de peso e altura, podemos ter 
algo como o gráfico a seguir.
Figura 8: Exemplo de regressão linear simples usando o Excel
www.esab.edu.br 28
Vamos estudar esse gráfico. Cada ponto azul representa uma pessoa. Um 
pesquisador tomou duas medidas da pessoa, sua altura e seu peso. No 
eixo horizontal X, temos a altura da pessoa, em centímetros. No eixo 
vertical Y, temos seu peso em quilogramas. A linha pontilhada que vemos 
entre os pontos é a reta da regressão linear: ela é a reta que minimiza 
a distância vertical entre a reta e os pontos azuis. A distância pode ser 
positiva (o ponto está acima da reta) ou negativa (o ponto está abaixo da 
reta). A técnica minimiza a soma dos quadrados de todas as distâncias (já 
vimos esse truque antes!), e por isso a chamamos de Mínimos Quadrados 
Ordinários (MQO, ou OLS na sigla em inglês).
Note também que há uma equação no gráfico: y=1.1269x-109.8. Essa a 
equação é a estimativa da regressão linear simples desenhada no gráfico, 
e os números são chamados de coeficientes. Para cada altura em cm (x), 
a equação dá um resultado (y), gerando a linha pontilhada que vemos. 
Neste caso específico, a estimativa diz que cada centímetro adicional 
de altura resulta em 1,1269kg a mais no peso. A parte não explicada 
(a distância vertical entre a reta e o ponto) é o chamado erro, que é o 
épsilon que vemos na equação (7). Mais formalmente, o coeficiente de x 
é dado por:
O R2 (chamado de R-quadrado) mede qual percentual da variação está 
sendo explicada pela equação, no caso, por volta de 54,9%. Embora seja 
um indicador do quanto está sendo “levado em conta” e do quanto está 
sendo “deixado de fora”, um R-quadrado alto ou baixo, por si só, não 
quer dizer muita coisa. O R-quadrado típico depende muito da área e do 
que se está medindo. Em algumas áreas de finanças, R-quadrados baixos 
como 5% são considerados normais, enquanto em outros tipos de estudo 
são esperados R-quadrados bem maiores.
Mais importante que o R-quadrado em si é verificar se o coeficiente 
estimado é significativo ou não. Lembre-se de que apesar do software 
prover um número, na verdade é um número acompanhado de 
uma distribuição estatística! Ou seja, o coeficiente apresenta uma 
variabilidade. Assim como podemos fazer um teste de diferença de 
www.esab.edu.br 29
médias, no caso de regressões geralmente estamos interessados em saber 
se os coeficientes são estatisticamente diferentes de zero. Infelizmente o 
Excel padrão não provê esse tipo de estatística, quando pedimos a linha 
de tendência.
Pacotes mais avançados como o Stata, o SAS ou o R geram testes de 
significância estatística automaticamente. Porém, mesmo no Excel é 
possível gerar os testes mais básico, usando-se as ferramentas da Análise 
de Dados para rodar a regressão, ao invés de simplesmente pedir a 
equação num gráfico de dispersão. Na tabela a seguir, vemos uma parte 
dos resultados gerados na Análise de Dados com os mesmos dados 
usados na Figura 8.
Note que os coeficientes são idênticos: -109.8 para o intercepto, 
ou constante, e 1,13 (arredondado para duas casas decimais) para o 
coeficiente da altura (x). As colunas seguintes não vemos no gráfico. O 
erro padrão é o mesmo que vimos na unidade anterior, e dá uma medida 
da dispersão do coeficiente. O erro permite que calculemos a estatística 
t. Ela é idêntica à estatística Z de uma distribuição normal, só que ao 
invés de usar uma distribuição normal, a t usa uma distribuição t de 
Student. São distribuições similares, porém a t possui as caudas mais 
“pesadas”. Essa estatística t permite calcular o valor-p, que nada mais é 
que a área da cauda restante após o t encontrado. Grossamente falando, 
o valor-p mede a chance de que o coeficiente seja igual a zero, isto é, de 
que seja irrelevante. Em ambos os casos o valor-p é muito próximo de 
zero. No arredondamento aparece como zero, mas são valores da ordem 
de 10-6 e 10-13, respectivamente. Isso significa que os coeficientes são 
estatisticamente significativos a 1%, pois o p-valor é menor que 0,01. 
Outros níveis comuns são 5% (p-valor menor ou igual a 0,05) e 10% 
(p-valor menor ou igual a 0,1). Por fim, o Excel estima o intervalo com 
95% de confiança, mostrando o limite inferior e o limite superior da 
variação do coeficiente. Em nenhum dos casos o intervalo contém o 
zero, pois os coeficientes são significativos a 1%, ou seja, mesmo num 
intervalo com 99% de confiança ele não contém o zero.
www.esab.edu.br 30
No CAPM estaremos interessados no coeficiente de x, que vai ter um 
nome especial nesse caso: beta, também conhecido como beta do CAPM. 
Chega de estatística, voltemos para Finanças..
www.esab.edu.br 31
7 Os componentes do risco 
Objetivo
Mostrar que o risco do ativo pode ser decomposto em dois 
componentes: o risco sistemático e o risco idiossincrático
Já vimos que uma medida do risco é a variabilidade dos retornos dos 
ativos. Também vimos que essa variabilidade pode ser medida pelo 
desvio-padrão, que acabamos de revisar. Além disso, o risco pode ser 
decomposto em vários componentes, a saber:
• Risco sistemático, ou não-diversificável
• Risco não-sistemático, ou diversificável, ou único, ou idiossincrático
O risco sistemático é comum a vários ativos. Como o nome diz, é devido 
ao “sistema”. Como logo veremos, esse risco não pode ser diversificado. 
Em outras palavras, ele é inerente ao sistema financeiro e não pode 
ser eliminado. Já o risco não-sistemático é específico de um ativo, por 
isso também chamado de único ou idiossincrático. Esse risco pode ser 
eliminado por meio da diversificação, por isso ele também é conhecido 
por diversificável. Você tem alguma ideia de como essa “mágica” de fazer 
um risco sumir pode ser feita?
Diversificando riscos
Uma pista de como diversificar os riscos está nos nomes. O risco 
diversificável é único daquele ativo. Se juntarmos um outro ativo, o 
que será que ocorre? Os dois riscos vão simplesmente se somar, ou vão 
se anular, mesmo que parcialmente? Quem é bom de Estatística a esse 
ponto já tem uma noção do que vai ocorrer. Sim, se juntarmos diversos 
ativos seus riscos não-sistemáticos podem ser eliminados, desde que se 
cumpra com uma condição...
www.esab.edu.br 32
Quando juntamos mais de um ativo chamamos de carteira, ou portfólio. 
A carteira seria um ativo com características equivalentes a todos os 
ativos contidos nela. Por exemplo, se eu tenho dinheiro em conta 
corrente, CDB, e ações, eu posso medir as características de cada tipo 
de ativo e calcular as características da minha carteira, como retorno 
esperado e risco. Assim, se o investidor possui uma carteira ao invés 
de um ativo, tanto o retorno quanto o risco são da carteira. Aqui, uma 
coisa interessante ocorre quanto ao risco: além da variância de cada 
ativo individual, a covariância entre os ativos passa a importar! Mais 
formalmente, temos:
Traduzindo em miúdos: se a carteira tem dois ativos, X e Y, com pesos a 
e b, respectivamente, a variância da carteira é a soma das variâncias de X 
e de Y, ponderada pelos pesos ao quadrado, mais a covariância entre X e 
Y. É fácil ver que se a covariância for negativa, a variância da carteira cai. 
Porém, a condição é mais simples ainda. A tabela a seguir exemplifica 
isso.
Estranho, não é mesmo? O desvio-padrão da carteira é mais baixo que 
o desvio individual de todos os ativosda carteira! Se você desconfia do 
resultado, faça o cálculo por você mesmo: Var (cart)=0,42•0,0196+0,62•0,
0121+2•0,4•0,6•0,0074=0,0110. Para chegar no desvio de 10,51%, basta 
tirar a raiz quadrada, como já vimos. Se você fizer a média ponderada do 
desvio, que seria simplesmente somar as variâncias levando em conta os 
pesos, vai chegar a 12,2%. Mas como pode ser? Uma resposta pode estar 
na correlação. Lembra que comentamos que variância e covariância são 
difíceis de interpretar numericamente? Por isso temos o desvio-padrão e a 
correlação!
www.esab.edu.br 33
A correlação entre X e Y é Corr(X,Y)=0,0074/(0,14•0,11)=0,48, 
que é menor que 1. Ou seja, temos uma correlação positiva menos 
que perfeita. O que isso quer dizer? Quer dizer que os retornos de 
X e Y variam conjuntamente em boa medida, porém não de forma 
perfeita. Intuitivamente, como um não acompanha a variação do 
outro perfeitamente, quando juntamos os dois, essas diferenças entre 
as variações amortecem a variabilidade. Assim, a carteira consegue ser 
menos arriscada que os ativos que contém, desde que a correlação seja 
menor do que 1! Mesmo que a correlação fosse muito alta, como 0,9, 
ainda assim a carteira teria um desvio dos retornos de 11,89%, mais 
baixo que os 12,2% da simples ponderação dos desvios. Faça os cálculos 
por você mesmo e comprove.
E o retorno esperado? Como que isso foi calculado? Simples, basta fazer 
a média ponderada dos retornos! Faça o cálculo: 40% de 10% mais 60% 
de 8%. Mais formalmente, o retorno esperado de uma carteira com dois 
ativos X e Y, cada um com peso a e b, respectivamente, é:
Carteira: um exemplo
Considere uma carteira com 70% de Embraer (EMBR3) e 30% de 
Itaú (ITUB4). O desvio-padrão de EMBR3 é 12,75%, e de ITUB4 é 
14,74%. A covariância é 0,0073. O retorno esperado de EMBR3 para os 
próximos 12 meses é de 13,75%, e para ITUB4, de 16,22%. Calcule o 
retorno esperado e o risco da carteira.
 O retorno esperado da carteira é simplesmente a média ponderada 
dos retornos de cada ativo. No caso, 0,7•13,75%+0,3•16,22%=14,49%
O risco da carteira é o desvio-padrão da carteira. No caso, temos que 
levar em conta as variâncias de cada ativo, mais a covariância entre eles. 
Assim, temos: 
www.esab.edu.br 34
Estendendo para carteiras com vários ativos
Vimos até agora como funcionam carteiras de somente dois ativos. 
Porém, geralmente carteiras possuem vários ativos. Felizmente, 
as mesmas ideias das carteiras simples de dois ativos podem ser 
transportadas para carteiras mais complexas. Tudo o que precisamos 
é de saber o peso de cada ativo, a variância de cada ativo, e todas as 
covariâncias de cada par possível de ativos! Você deve estar imaginando 
que a conta começa a ficar extensa. Afinal, para três ativos X, Y e 
Z temos as combinações (X, Y), (X, Z) e (Y, Z). Lembre-se que a 
covariância de (X,Y) é a igual à covariância de (Y,X). Se forem quatro 
ativos X, Y, Z, K, já teremos (X, Y), (X, Z), (X, K), (Y, Z), (Y, K), e (Z, 
K). E por aí vai...
Agora, pense o seguinte: quanto mais ativos eu coloco na carteira, menor 
tem que ser o peso relativo de cada um, certo? Pense na divisão mais 
simples, na qual todos ativos tem pesos iguais. Com dois ativos, cada 
um tem 50%. Com três, 33,3333...%. Com quatro, 25%. Com cinco, 
20%... Em suma, o peso de cada ativo é 1/N, sendo N o número total 
de ativos. Se N for muito grande, 1/N caminha em direção a zero. Por 
exemplo, para N = 1 milhão, 1/N = 0,0000001. Para N igual a infinito, 
1/N = 0. Ora, se cada peso se aproxima mais de zero, cada vez que incluo 
um ativo, a contribuição da variância de cada ativo também se aproxima 
de zero! Não vamos entrar na parte matemática aqui, mas usando essa 
intuição, no fim as variâncias somem e o que sobra é a covariância média 
entre todos os ativos. 
O que isso quer dizer em termos práticos? Ora, que há um limite inferior 
de risco da carteira, que não pode ser eliminado pela diversificação. 
Encontramos o risco não-diversificável que mencionamos no início 
da unidade! Eliminamos os riscos diversificáveis (ou únicos, ou 
idiossincráticos), que são as variâncias dos retornos de cada ativo isolado, 
e ficamos somente com o risco trazido pela covariância média entre os 
retornos de todos os ativos. Esse risco que “sobrou” também é chamado 
de risco de mercado, ou sistemático, e é a média da covariância de todos 
os ativos arriscados da economia. É o que mostra o gráfico a seguir. No 
eixo horizontal (x), está o número de ativos na carteira. No eixo vertical 
(y), está o risco da carteira. O retângulo azul mostra o limite inferior de 
www.esab.edu.br 35
risco, que é a média de todas as covariâncias, e a linha vermelha mostra 
como o risco diversificável vai sendo eliminado à medida que ativos são 
adicionados à carteira.
Figura 9: Diversificação de riscos
www.esab.edu.br 36
8 Mini-caso resolvido
Objetivo
Exemplificar conceitos chave sobre risco e mostrar uso das 
ferramentas estatísticas
Vamos tomar os retornos de duas empresas de varejo, a Renner e a 
Magazine Luiza. A tabela a seguir detalha seus retornos anuais.
Qual das duas tem uma média de retorno maior? Vamos calcular 
primeiro o da Renner e, em seguida, o do Magazine Luiza:
Podemos ver claramente que nesses cinco anos o Magazine Luiza 
apresentou uma média de retornos que é praticamente o dobro do 
da Renner. Porém, aparentemente, o Magazine Luiza também é mais 
arriscado. Observe que os retornos parecem ter variações maiores. 
Podemos medir isso. Vamos calcular a variância dos retornos de cada um. 
Lembre-se de que a variância é a média das distâncias entre os pontos e a 
média ao quadrado.
www.esab.edu.br 37
Como suspeitávamos, a variância do Magazine Luiza é maior que a 
da Renner. Isso significa que as ações da Renner são menos arriscadas. 
Em troca do maior risco, o Magazine está oferecendo um retorno 
maior, como já vimos. Um problema da variância é que é uma medida 
ao quadrado. No nosso caso, é %2, que é difícil de interpretar. Para 
isso, existe o desvio-padrão, que nada mais é que a raiz quadrada da 
variância. A raiz quadrada é o que se chama transformação monotônica 
em matemática. Traduzindo, ela não vai mudar a ordem dos resultados. 
Portanto, podemos de antemão afirmar que o desvio do Magazine Luiza 
vai ser maior que o desvio da Renner.
Agora sim, podemos afirmar que o desvio-padrão da Renner é de 7,94%, 
e o do Magazine Luiza, de 19,98%. Além dessas medidas de média e 
desvio (risco), podemos calcular qual o nível de variação conjunta dos 
retornos das firmas. Para isso, vamos lançar mão da covariância, que é a 
média entre a multiplicação das distâncias.
Esse número não quer dizer muita coisa, verdade? O fato dele ser positivo 
somente indica que há uma relação positiva entre as variáveis, ou seja, de 
forma geral, quando uma está acima da média, a outra também está. Para 
termos uma ideia melhor do quão forte é essa relação, lançamos mão de 
uma medida normalizada. Ela se chama correlação e, matematicamente, 
só pode estar entre -1 e +1.
Como a correlação está muito próxima de 1, podemos afirmar que a 
relação entre as duas é fortemente positiva, ou seja, elas tendem a variar 
conjuntamente. Se a correlação fosse próxima de zero, poderíamos 
afirmar que a relação é fraca, ou não existente. Já se estivesse próxima 
www.esab.edu.br 38
de -1, poderíamos afirmar que é fortemente negativa, ou seja, variam de 
forma contrária.
Apesar dessa alta correlação, podemos montar uma carteira com esses 
dois papéis. Digamos que queremos algo que dê um retorno esperado de 
8% a.a. Para encontrar os pesos de tal carteira, temos que resolver:
Temos um problema aqui: somente uma equação e duas incógnitas, o 
que impossibilita uma solução única. Porém, nós sabemos que os pesos 
w tem que somar 1. Então podemos reescrever a equação assim:
Sabemos, então, que a carteira deve possuir 55,5556% de Renner, e 
44,4444% de Magazine Luiza para que tenha um retorno esperado de 
8%. Com esses pesos, podemos calcular o risco da carteira.Portanto, nossa carteira tem um retorno esperado de 8% (faça os cálculos 
para confirmar que os pesos estão corretos) e um risco total de 13%.
www.esab.edu.br 39
9 A fronteira de média-variância
Objetivo
Mostrar o conceito da uma fronteira eficiente, que minimiza o risco 
dado um retorno ou vice-versa (maximiza o retorno dado um risco)
Vimos que podemos montar carteiras com vários ativos, e que com 
um número suficiente de ativos, conseguimos praticamente eliminar 
o risco não-sistemático. Há mais uma característica das carteiras, que 
provavelmente passou despercebida: ao variar os pesos dos ativos, 
variamos o retorno esperado da carteira, e também o risco da carteira. Só 
que as dois não variam da mesma forma. Como vimos, o retorno varia 
linearmente, pois é a média ponderada dos retornos dos ativos. Já o risco, 
não: os pesos são elevados ao quadrado, e ainda há a covariância com os 
pesos multiplicados entre si.
Esse jogo interessante entre risco e média gera uma pergunta interessante: 
para um retorno, eu consigo encontrar uma combinação de pesos que 
me dê o mínimo risco? Ou o equivalente: para um dado risco, eu consigo 
encontrar uma combinação de pesos que me dê o máximo retorno?
A resposta é sim. Essa ideia foi apresentada pela primeira vez por Harry 
Markowitz em 1952, no Journal of Finance. Por isso a fronteira de 
média variância também é chamada de fronteira eficiente ou fronteira 
de Markowitz. É possível modelar matematicamente esse problema, 
que se chama problema de otimização, ou seja, destina-se a encontrar o 
ponto ótimo. Isso quer dizer que o modelo matemático vai buscar o risco 
mínimo (se fixarmos um retorno) ou o retorno máximo (se fixarmos 
um risco). Esse modelo nada mais é do que uma derivada: a derivada 
de primeira ordem nos dá as condições de primeira ordem, e fornece 
os pesos ótimos. A derivada de segunda ordem nos dá as condições de 
segunda ordem, que indica se a solução é um máximo ou um mínimo. 
Também é possível resolver este problema numericamente usando o 
Solver do MS Excel. Basta montar o problema, com os requisitos e 
restrições, que ele usa técnicas de cálculo numérico para achar os pesos 
ótimos.
www.esab.edu.br 40
Um exemplo usando o Solver do MS Excel
O primeiro passo é montar o problema. A planilha a seguir mostra 
um exemplo fixando o retorno e achando os pesos, que minimizam o 
risco. Você deve informar todos os dados dos ativos, ou seja, seu retorno 
esperado, e seu risco (desvio-padrão). Em seguida, você deve montar 
fórmulas que calculem o retorno e o risco da carteira, de acordo com 
os pesos. Mas atenção: os pesos definitivos serão calculados pelo Excel! 
Você pode deixá-los em branco ou informar pesos quaisquer, só para ver 
se a fórmula está funcionando. Você também deve montar as restrições: 
um campo com uma fórmula somando todos os pesos, e um campo 
calculando o retorno desejado.
Figura 10: Montando o problema: calculando o somatório dos pesos, e o retorno e o risco da carteira
Em seguida, você clica em Solver. A janela a seguir vai abrir. Você 
informa a célula D8 como objetivo, e diz que é um Mínimo, pois 
você fixou o retorno e quer o mínimo risco, cuja fórmula de cálculo 
está exatamente em D8. A seguir, você diz para o Excel que ele deve 
mudar os valores nas células F2:F4, que é onde estão os pesos do nosso 
exemplo. Finalmente, você informa as restrições: D6 (que tem a fórmula 
do somatório dos pesos) deve ser igual a 1, e D7 (que tem a fórmula do 
retorno da carteira) deve ser igual a D10 (o retorno desejado que você 
informou). Pronto, basta clicar em “Solve”.
www.esab.edu.br 41
Figura 11: Informando ao Solver os parâmetros, dizendo que queremos minimizar risco
O Excel roda internamente o algoritmo de otimização GRC Nonlinear 
que você escolheu, e preenche os pesos. Note na figura a seguir os pesos 
calculados. Note que as restrições foram cumpridas: D6 é igual a 1 (com 
um pequeno erro de arredondamento), D7 é igual a 12% (o retorno que 
fixamos), e D8 é 13,91% (o mínimo risco possível com esses ativos e o 
retorno de 12%). Note que a carteira tem o mesmo retorno esperando 
do Ativo 1 (12%), mas tem um risco menor (13,91% vs. 15%).
Figura 12: Resultado da otimização do Solver, definindo os pesos dos ativos da carteira
www.esab.edu.br 42
Poderíamos repetir esse exemplo para vários níveis de retorno entre 7% 
e 13%. Como o retorno da carteira é somente a média ponderada dos 
retornos, em princípio, ficamos restritos a essa faixa. Para cada nível de 
retorno, teríamos, claro, um nível de risco diferente e também pesos 
diferentes. É possível colocar estes pontos num gráfico, no qual o eixo 
horizontal (x) é o retorno da carteira, e o eixo vertical (y) é o risco da 
carteira.’
A fronteira
Fazendo esse procedimento, teríamos algo como o gráfico a seguir. 
Os pontos azuis são os ativos disponíveis. A linha vermelha representa 
o máximo retorno para cada nível de risco (ou o mínimo risco para 
cada nível de retorno). Por ser o resultado de uma otimização, a linha 
vermelha também é conhecida por fronteira eficiente: com esses ativos, 
nunca conseguiremos uma combinação mais eficiente (com menor risco 
ou maior retorno).
O nome fronteira de média-variância decorre das estatísticas: no eixo 
vertical (y), temos o retorno esperado, que é uma média ponderada, e no 
eixo horizontal (x), temos o desvio-padrão, que nada mais é que a raiz da 
variância. Ela também é chamada de fronteira eficiente ou fronteira de 
Markowitz, em homenagem a seu criador. Essa curva é obtida somente 
com ativos arriscados, pois todos os pontos azuis possuem desvios 
maiores do que zero. E se colocarmos um ativo livre de risco, o que 
obtemos?
Figura 13: Um exemplo de fronteira de média-variância (ou eficiente)
www.esab.edu.br 43
Quando adicionamos um ativo livre de risco (por exemplo, um título 
do Tesouro Nacional), traçamos uma linha entre o nível do retorno do 
ativo livre de risco e a fronteira de ativos arriscados, de modo que a linha 
tangencie (toque em um só ponto) a fronteira arriscada. No exemplo da 
figura a seguir, colocamos um ativo livre de risco que rende 0,05% a.d. A 
linha laranja sai de 0,05% a.d. e tangencia a linha vermelha. A intuição é 
simples: podemos combinar o ativo livre de risco com a carteira tangente, 
e caminhar toda a linha laranja somente variando os pesos de cada um.
A linha laranja se estende para além do ponto de tangência (ponto no 
qual 100% está na carteira tangente, e 0% no ativo arriscado) porque 
assume-se que você pode vender ativo livre de risco para comprar carteira 
tangente (ou seja, atribuir um peso negativo ao ativo livre de risco e 
um peso maior do que 100% à carteira), ou seja, é uma estratégia de 
alavancagem: você toma emprestado à taxa livre de risco para comprar 
mais da carteira tangente. A parte de baixo da linha laranja sai com o 
mesmo ângulo em relação à horizontal que é a parte de cima, só que para 
baixo. Não entraremos em detalhes neste curso, basta saber que a parte 
de baixo serve para fazer o que se denomina hedge (uma estratégia de 
proteção contra variações dos ativos): fica-se vendido em ativos arriscados 
(peso negativo) e comprado no ativo livre de risco (peso maior que 
100%).
Figura 14: Fronteira de média-variância (ou eficiente) com ativo livre de risco
www.esab.edu.br 44
Por mais interessante que isso possa ser, você deve estar se perguntando: 
qual a serventia disso? Uma é que essa carteira ótima representa a melhor 
combinação entre o que os investidores desejam e o que podem obter. 
No caso, os investidores desejam maximizar retornos minimizando 
risco, que é o que acabamos de fazer. A outra é que a fronteira de média-
variância é o ponto inicial do CAPM (Capital Assets Pricing Model, ou 
Modelo de Apreçamento de Ativos de Capital), nosso próximo assunto.
www.esab.edu.br 45
10 O CAPM
Objetivo
Conceituar o modelo de apreçamento de ativos de capital (CAPM)
O CAPM, ou Capital Assets Pricing Model, é um modelo de apreçamento 
de ativos de capital.Sua história remonta a meados da década de 1960. 
Dois trabalhos criaram, em conjunto, o CAPM. O primeiro foi o de 
Sharpe em 1964, no Journal of Finance, um dos periódicos científicos de 
Finanças mais respeitados do mundo. O segundo foi o de Lintner em 
1965, que saiu no The Review of Economics & Statistics, outro periódico 
de renome.
O CAPM é o primeiro, mais famoso, e até o momento, o mais 
amplamente utilizado modelo de apreçamento de ativos. Sua grande 
sacada é ligar o excesso de retorno de um ativo (ou o quanto ele 
rende além do ativo livre de risco) a um retorno de mercado. Mais 
formalmente, o CAPM é definido pela equação a seguir:
Traduzindo, ela diz que o excesso de retorno do ativo i (o retorno 
esperado do ativo i menos o retorno do ativo livre de risco f) é igual ao 
beta do ativo i, vezes a diferença entre o retorno esperado de mercado e o 
retorno do ativo livre de risco. Note que o retorno do ativo livre de risco 
não é uma esperança: como ele é livre de risco, o retorno é certo. Já os 
demais são retornos esperados, pois eles são incertos.
Esse beta é a ligação mencionada anteriormente, e também é conhecido 
por beta do CAPM. É ele que dá uma medida de quão arriscado o ativo 
é, em relação ao retorno de mercado: beta menor do que um significa 
ativo menos arriscado que o mercado, beta igual a um significa ativo com 
risco igual ao de mercado, e beta maior do que um significa ativo com 
risco maior que o de mercado. Consequentemente, o retorno do ativo vai 
www.esab.edu.br 46
ser menor, igual, ou maior que o retorno de mercado, para compensar 
pelo risco.
É importante notar que essa remuneração pelo risco contempla somente 
o risco sistemático. Ou seja, o risco idiossincrático (ou não-sistemático) 
não entra no preço do ativo! Olhe a figura a seguir. Imagine que os 
pontos azuis sejam todos os ativos arriscados da economia. Temos 
ativos (pontos azuis), que tem o mesmo retorno esperado que a carteira 
eficiente com o mesmo nível de retorno (na mesma altura), apesar de 
serem mais arriscados. Isso ocorre, porque somente o risco sistemático 
(representado pelo risco da linha vermelha) está sendo remunerado. A 
distância horizontal entre a linha vermelha e o ponto azul (linha amarela) 
é risco não-sistemático, ou seja, único do ativo. E por que esse risco não 
entra no preço do ativo? A intuição é simples: como esse risco pode ser 
diversificado (eliminado) pelo investidor, o mercado não coloca preço 
nele!
Figura 15: Separando risco sistemático e não sistemático. A linha amarela representa o risco não-sistemático
www.esab.edu.br 47
E o que seria o tal retorno de mercado? Já demos uma pista no parágrafo 
anterior: “todos os ativos arriscados da economia”. Isso mesmo, a carteira 
de mercado é aquela que contém todos os ativos arriscados negociados 
no mercado. É por isso que ela contém somente risco sistemático, ou 
seja, que não pode ser eliminado por diversificação. O motivo é simples: 
não existem mais ativos fora dela para aumentar a diversificação! O 
retorno esperado dessa carteira é o retorno de mercado.
A Carteira de Mercado na prática
O conceito da carteira de mercado é simples: basta juntar todos os ativos 
arriscados da economia, calcular os pesos de cada ativo, e calcular o 
retorno esperado do portfólio.
Porém, pensando melhor, é uma tarefa virtualmente impossível capturar 
variações nos preços de todos os ativos arriscados. Isso porque esses ativos 
podem ser financeiros, como ações e títulos de dívida, ou ativos reais, 
como imóveis e negócios. Apesar do conceito ser simples, não é possível 
segui-lo à risca. 
Então, como fazer? Temos que pensar numa forma de reunir uma 
quantidade razoável de ativos e que tenham preços relativamente fáceis 
de serem medidos, ou seja, os ativos devem possuir liquidez e preços 
públicos. Você consegue pensar num ativo assim? Que tal ações de 
empresas abertas (listadas em bolsa de valores)? Afinal, elas têm preços 
definidos a cada segundo, e esses preços são de conhecimento público. 
Bom, pelo menos a maioria das ações. Algumas são tão ilíquidas, que 
podem ficar dias sem serem negociadas.
Uma boa solução é adotar um índice de ações. Um índice de ações é 
simplesmente uma carteira teórica de várias ações, formada de acordo 
com regras bem definidas. Por exemplo, o Índice Bovespa (ou Ibovespa) 
é calculado pela BM&FBovespa, a bolsa de valores de São Paulo, há 
décadas. Essa carteira reúne os papéis mais representativos negociados 
no Brasil. De fato, é o que se faz na prática: a carteira de mercado é 
aproximada por um índice de ações. No caso brasileiro, via de regra, usa-
se o Ibovespa. Em cada país escolhe-se um índice, pois representa vários 
dos ativos arriscados daquela economia. Por exemplo, podemos usar o 
S&P 500 nos EUA, o DAX na Alemanha, o ASX 200 na Austrália ou o 
Nikkei 225 no Japão.
www.esab.edu.br 48
11 Calculando o beta do CAPM
Objetivo
Demonstrar como obter o beta do CAPM a partir de dados históricos, 
usando regressão linear.
Neste ponto, já temos os preços do ativo cujo risco queremos avaliar, e os 
preços da carteira de mercado. Calcular o retorno é fácil, basta dividir o 
preço de “hoje” pelo preço de “ontem” e subtrair um:
Então, se você comprou um ativo por R$10 mês passado, e neste mês 
ele custa R$11, você pode realizar um ganho de 11/10-1 = 0,1 = 10%. 
Porém, ainda falta um elemento. Você sabe dizer qual? Olhe novamente 
a equação (10). Já temos o retorno do ativo Ri, o retorno de mercado Rm, 
o beta queremos calcular... Falta o Rf, certo? Este é o retorno do ativo 
livre de risco. Existem vários ativos considerados livres de risco numa 
economia, porém normalmente considera-se que os títulos de dívida 
do governo sejam livres de risco. Isso porque, para que esses títulos não 
sejam honrados, é preciso que o governo do país quebre, ou seja, não 
tenha mais dinheiro para honrar suas dívidas. No Brasil, temos os títulos 
do Tesouro Nacional, cuja taxa básica é a Selic. Então, podemos usar a 
taxa Selic como nosso R. Agora, já temos tudo o que precisamos para 
calcular o beta.
Mas como que isso funciona? Você pega um determinado mês, substitui 
os valores, e acha o beta? O problema óbvio disso é que o beta calculado 
assim iria variar de mês para mês. Note bem que, na equação (10), há o 
operador E[•], ou seja, esperança matemática. Lembre-se de que estamos 
falando de variáveis aleatórias, pois os retornos tanto do ativo, quanto da 
carteira de mercado são incertos. Então, pegamos as médias? Bom, quase 
www.esab.edu.br 49
isso. Lembre-se da nossa revisão de estatística. Lá, dissemos que iríamos 
usar regressão linear para estimar o beta do CAPM!
Assim, precisamos de vários pontos de dados para estimar o beta, ou 
seja, dados históricos. Com base nesses dados históricos, vamos estimar 
quão forte é a relação entre os retornos de mercado e os retornos do 
ativo. Mais formalmente, transformamos a equação do CAPM em uma 
equação de regressão:
Você notou alguma diferença? Sim, o operador E[•] sumiu. Mas agora 
temos o sobrescrito t, indicado que a relação vale para cada tempo t da 
amostra. Também surgiu o termo épsilon, a letra grega que parece um 
E. É o termo de erro. Digamos que as observações sejam mensais, e que 
tenhamos 3 anos de histórico. Então, teríamos 36 pontos de dados para 
estimar o beta, algo como o exemplo abaixo:
O método de mínimos quadrados vai buscar o beta, que minimize o 
somatório de todos os épsilons ao quadrado! Esse beta nada mais é que o 
beta do CAPM. Em termos matemáticos:
Traduzindo: o beta é a covariância entre os retornos do ativo i e o retorno 
de mercado, dividida pela variância dos retornos de mercado!
www.esab.edu.br 50
CAPM: interpretando o beta
Outra forma de ver o beta é como um prêmio pelo risco. Note que beta 
multiplica a diferença entre o retorno esperado de mercado e o retorno 
livre de risco. Essa diferença nada mais é que um prêmio pago pelo risco 
de investir no mercado (incerto), ao invés de comprar títulos do governo(certo). Como o beta multiplica essa diferença, podemos dizer que o 
retorno esperado do ativo i é o retorno do ativo livre de risco, mais beta 
vezes o prêmio por unidade de risco (a diferença entre mercado e ativo 
livre de risco).
Dito dessa forma, podemos analisar o que significa beta maior do que 
um, menor do que um, e igual a um. Beta maior do que um significa 
que o ativo está pagando mais prêmio de risco que a carteira de mercado, 
portanto, esse ativo é mais arriscado que a carteira de mercado! Já beta 
menor do que um quer dizer o contrário, que o ativo é menos arriscado 
que a carteira de mercado. Já beta igual a um só pode ser um ativo tão 
arriscado, quanto a carteira de mercado, certo?
Outra característica interessante é ver como que a equação (12) de 
regressão do CAPM separa o que chamamos de riscos sistemáticos e não 
sistemáticos (ou idiossincráticos). Note que o beta associa os retornos 
do ativo com os retornos de mercado, portanto, com o risco sistemático 
(aquele que a diversificação não elimina!). Assim, o beta está colocando 
um preço na quantidade de risco sistemático, que o ativo i carrega! Já o 
risco não sistemático está indo para o termo de erro, ou épsilon: esse é o 
risco idiossincrático do ativo, que pode ser eliminado via diversificação. 
Consistente com a afirmação anterior de que o risco idiossincrático não 
entra no preço, também no CAPM, ele não influencia no beta. Portanto, 
o CAPM não coloca preço na quantidade de risco idiossincrático que o 
ativo i carrega.
O beta da carteira
Até o momento nos preocupamos em estimar o beta de um ativo 
individual. Vimos que estimar o desvio-padrão de uma carteira pode 
ser desafiador, pela quantidade de covariâncias que devemos calcular. 
www.esab.edu.br 51
No caso do CAPM, é bem mais fácil e direto. O beta da carteira é 
simplesmente a média ponderada dos betas de cada ativo da carteira! 
Assim, se uma carteira tem três ativos, (A) com beta=1,2 e peso 30%, (B) 
com beta = 0,8 e peso 30%, e (C) com beta = -0,2 e peso 40%, o beta da 
carteira é 0,68. Experimente fazer o cálculo e confira o resultado.
Assim, se adicionamos ativos com beta maior que o da carteira, 
aumentamos o beta da nova carteira. Analogamente, se adicionamos 
ativos com beta menor que o da carteira, diminuímos o beta da nova 
carteira.
www.esab.edu.br 52
12 Mini-caso resolvido
Objetivo
Exemplificar conceitos-chave da fronteira de média-variância e do 
CAPM.
A seguir temos uma tabela com a matriz de variância-covariância entre os 
retornos de dois ativos, 1 e 2, e a carteira de mercado.
A matriz de var-covar é uma forma prática de mostrar as relações 
estatísticas entre muitas variáveis. Na diagonal principal, temos a 
variância, que nada mais é que a covariância da variável com ela mesma. 
Fora das diagonais temos as covariâncias. Note que Cov(1,2) = Cov(2,1), 
como era de se esperar, ou seja, os triângulos superior e inferior são 
idênticos.
Primeiro vamos nos ater a encontrar a carteira de menor variância 
usando, somente os ativos 1 e 2. Comentamos que é um problema de 
maximização de retorno, dado um nível de risco, ou de minimização de 
risco, dado um nível de retorno. Mostramos como é possível fazer isso no 
Excel, usando o Solver. Vamos ver agora como fazer isso, usando cálculo.
Nosso exemplo vai ser um pouco mais simples, só com dois ativos. 
Não vamos fixar um retorno ou uma variância. Num problema com 
mais de dois ativos, isso nos obrigaria a colocar restrições nas equações, 
e precisaríamos de usar o multiplicador de Lagrange para resolver o 
problema. Aqui temos somente dois ativos, e se fixássemos um retorno 
www.esab.edu.br 53
teríamos que resolver o mesmo problema, que já vimos na UNIDADE 
8. Ao invés disso, vamos simplesmente encontrar a carteira de mínima 
variância. Em outras palavras, queremos:
Do cálculo, sabemos que para funções bem comportadas basta derivar 
e igualar a zero para encontrar a chamada condição de primeira ordem 
(CPO). Essa condição irá nos dar em qual ponto o valor da equação é 
mínimo. Estritamente falando, também teríamos que fazer a condição 
de segunda ordem (CSO) para verificar a concavidade e nos certificar de 
que achamos um mínimo e não um máximo, mas como já sabemos se 
tratar de um mínimo, vamos pular esse passo aqui. Portanto, derivando 
a variância da carteira em relação ao peso do ativo 1, temos a CPO a 
seguir.
Isolando o peso do ativo 1, temos o peso que minimiza a variância da 
carteira:
Substituindo esses pesos na fórmula da variância da carteira, temos que 
seu risco (desvio-padrão) é 27,69%, que é menor que o risco do ativo 1 
(41,23%) e do ativo 2 (31,62%). Certifique-se de que os valores estão 
corretos, repetindo os passos que já vimos na UNIDADE 8. Tente com 
outros pesos e verifique que você não consegue uma carteira com risco 
menor.
Com os dados da tabela também conseguimos calcular os betas dos 
ativos 1 e 2 em relação à carteira de mercado. Basta aplicar a definição de 
beta:
www.esab.edu.br 54
Claro, o beta da carteira de mercado é 1, pois seria a divisão de 0,05 por 
0,05. Com os dados do retorno esperado de mercado E[RM] = 18% e da 
taxa livre de risco for Rf = 11%, podemos calcular o retorno esperado dos 
ativos 1 e 2:
Podemos calcular também o beta da carteira de mínima variância, assim 
como seu retorno esperado. Lembre-se de que o beta da carteira é a 
média ponderada dos betas dos ativos. Portanto:
Note que é o mesmo retorno esperado que obtemos fazendo a média 
ponderada dos retornos esperados, de acordo com o CAPM! Como o 
beta da carteira é menor do que um, quer dizer que esperamos que seja 
menos arriscada que o mercado, e portanto, possui um retorno esperado 
abaixo do retorno esperado da carteira de mercado.
Uma diferença entre o risco medido pelo desvio padrão e o risco medido 
pelo beta é o tipo de risco medido. No primeiro caso, é uma medida 
do risco total. No segundo caso, é uma medida somente do risco 
sistemático. Note que o risco total da carteira é menor que os riscos de 
cada ativo individual. Porém, o beta da carteira está entre os betas do 
ativo 1 e do ativo 2. Isso ocorre porque a diversificação eliminou parte 
do risco não-sistemático, de modo que o risco total da carteira consegue 
ser menor que a dos ativos individuais. A correlação entre os ativos 1 
e 2 é baixa, de 0,23 aproximadamente (calcule para conferir o valor!). 
Já o beta filtra totalmente o risco não-sistemático. Como não há como 
eliminar mais risco não-sistemático, o beta da carteira está entre os betas 
dos ativos.
www.esab.edu.br 55
13 CAPM: Prós, contras e alternativas
Objetivo
Discutir deficiências do CAPM e apresentar modelos alternativos para 
apreçamento de ativos.
O CAPM parece ser um modelo realmente atrativo para estimar o 
retorno esperado de um ativo. Ou em outras palavras, estimar quão 
arriscado é esse ativo. É um modelo relativamente simples e intuitivo, 
que deriva da moderna teoria de carteiras. Ele separa explicitamente o 
risco sistemático do não-sistemático e, como vimos, é relativamente fácil 
de implementar.
Porém, como qualquer modelo, ele possui deficiências. Talvez a 
mais aparente seja definir a carteira de mercado, e medir seu preço. 
Comentamos que fazemos uma aproximação, usando um índice de 
ações. Porém, por mais que seja abrangente o índice de ações, por 
definição ele está longe de ser uma carteira de mercado ideal. Como o 
nome diz, ele só cobre ações. Talvez essa seja a grande crítica ao CAPM: é 
muito difícil identificar a carteira de mercado!
Outra coisa que pesa contra o CAPM é que a evidência empírica não 
é conclusiva. O que isso quer dizer? Quer dizer que os pesquisadores 
da área não chegaram a um consenso, ou seja, suas opiniões possuem 
divergências sérias sobre a validade prática do CAPM. Vários estudos 
apontam que a implementação do CAPM na prática é falha, deixando de 
fora fatores importantes na determinação do retorno dos ativos. Vamos a 
eles.
Modelo de três faores de Fama & French
Ao longo das décadas