Leis de Kepler

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LEIS DE KEPLER – AULA 1.2 
Astronomia 
Prof. Msc. Durval Bertoldo Menezes 
 
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A História do Sistema Solar 
 
É marcante o fascínio que as pessoas sentem pelo céu. Quem nunca admirou um pôr do Sol ou ficou 
impressionado com uma tempestade? Todavia, ainda hoje, os fenômenos celestes e atmosféricos que fazem 
parte de nosso cotidiano não são compreendidos por grande parte da humanidade. E, infelizmente, ainda 
hoje ocorre a mitificação desses fenômenos naturais. Imagine-se em um passado muito remoto, mais 
precisamente na pré-história (de 100 mil anos atrás até cerca de 8 mil a.C.), quando o ser humano ainda vivia 
em pequenos grupos nômades. A preocupação com a sobrevivência num ambiente natural e hostil era 
crucial. Caçar, pescar, procurar frutas e raízes comestíveis, fugir de animais perigosos e abrigar-se das 
variações climáticas faziam parte do cotidiano do homem pré-histórico. O homem dessa época tinha que se 
adaptar à alternância do claro-escuro e à mudança das estações. Certamente, o Sol foi o primeiro astro a ser 
notado. As razões são óbvias: é o sol que proporciona a mais evidente alternância de claro-escuro da natureza 
(o dia e a noite) e que atua como a principal fonte de calor para nós. A Lua foi o segundo astro a ser percebido, 
visto que ilumina a escuridão da noite, especialmente em sua fase cheia. As estrelas devem ter sido notadas 
em seguida, como pontos brilhantes em contraste a um céu bastante escuro. 
 
Modelo Geocêntrico 
 
Muito se pensou sobre como os astros estão distribuídos no espaço e se, de algum modo, eles se relacionam 
com o restante do Universo. Qual ponto luminoso está mais próximo de nós? O modelo que respondia essa 
pergunta e que dominou o pensamento filosófico europeu até o século XVI é o chamado modelo Geocêntrico 
(“geo”, em grego, significa “Terra” – “cêntrico” significa “centrado”). Proposto pelo filósofo grego Aristóteles 
(384 a.C - 322 a.C.), tal modelo é aquele que coloca a Terra no centro do Universo. E nele, todos os demais 
astros visíveis no céu orbitariam (girariam ao redor) a Terra, o centro do Universo! É importante lembrar que 
o Universo dessa época era formado pelo Sol, Terra, planetas e estrelas fixas. Assim, o nosso conceito de 
sistema solar, como parte de um Universo muito maior, não existia. 
Esse modelo foi sistematizado por Ptolomeu (astrônomo, matemático e geógrafo) no século II, a partir das 
idéias preexistentes dos gregos. A distância de um planeta à Terra, por exemplo, era considerada 
proporcional ao tempo gasto por ele para completar uma volta ao redor da Terra, isto é, retornar ao mesmo 
ponto do céu em relação às estrelas fixas. As estrelas fixas ficavam todas a uma mesma distância, muito 
maior do que a do planeta considerado o mais distante na época, Saturno. Hoje sabemos que a distância 
entre uma estrela e a Terra pode ser muitíssimo diferente daquela de outra estrela aparentemente vizinha 
da primeira. O modelo geocêntrico não era apenas um modelo filosófico do Universo, se tornara também 
um modelo matemática que reproduzia com suficiente precisão as observações dos planetas. Não obstante, 
para explicar corretamente os movimentos e brilhos observados dos planetas, o modelo ptolomaico 
necessitava de uma série de complicações geométricas, como os equantes e deferentes, que são 
representados na Figura 1. 
 
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Figura 1: Esquema do modelo Geocêntrico formulado por Ptolomeu (120 d.C.) a partir das idéias de Aristóteles (350 a.C); 
 
Modelo Heliocêntrico 
 
Com o objetivo de explicar com mais simplicidade o movimento dos planetas, o astrônomo polonês Nicolau 
Copérnico (1473 - 1543) propôs, em 1543, o Modelo Heliocêntrico (“Hélio”, em grego, significa Sol). Nesse 
modelo o Sol encontrava-se no centro do Universo e os planetas orbitavam ao seu redor, inclusive a Terra. A 
única exceção era a Lua, que continuava orbitando em torno da Terra (Figura 2). Outros já haviam proposto 
um Universo com o Sol na posição central, Aristarco de Samos (281 a.C.) e Nicolas de Cusa (1401 - 1464), 
porém, sem maiores repercussões. Essas propostas não incluíam um tratamento matemático, o que só foi 
feito por Copérnico. Seu modelo heliocêntrico era mais simples e, tal como o modelo de Ptolomeu, explicava 
e previa os movimentos planetários. Além disso, Copérnico determinou os raios e períodos das órbitas dos 
planetas com uma precisão muito boa, apesar de considerá-las circunferências, o que, como veremos 
adiante, não é correto. 
 
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Figura 2: Esquema do modelo Heliocêntrico proposto por Copérnico em 1543, onde colocava o Sol como próximo ao centro do 
universo, e todos os demais astros girando ao seu redor, com exceção da Lua, que continuava orbitando a Terra; 
 
Hoje essa configuração do Sol e planetas nos parece bastante natural, mas esse modelo não foi muito bem 
aceito na época de Copérnico. Esse modelo tirava a Terra e, portanto o Homem, do centro do Universo. Ele 
era contrário a um paradigma de muitos séculos, baseado na tradição clássica, e seriam necessários 
argumentos fortes para modificar a visão do Universo ortodoxa. 
 
 
O Telescópio 
 
O astrônomo e físico italiano Galileu Galilei (1564 - 1642), no início do século XVII, foi o primeiro a observar 
o céu com o auxílio de um telescópio. Deve ser notado que naquela época não se esperava que a observação 
do céu com um instrumento pudesse revelar algo de novo. Mas, Galileu mostrou que isso não era verdade: 
o céu se modifica ao ser observado com um telescópio. Os objetos celestes, que na visão clássica deveriam 
ser perfeitos, começaram a se mostrar mais complexos com o telescópio de Galileu: Vênus possui fases, 
Júpiter tem satélites, Saturno tem disco, a Lua possui buracos e montanhas, a Via Láctea é uma grande 
concentração de estrelas, que se multiplicam com o poder de aumento do telescópio. Essas observações 
corroboravam o modelo heliocêntrico. Tanto por mostrar que a concepção anterior do Universo não era 
correta, mas também com argumentos geométricos. As fases de Vênus como observadas por Galileu 
somente seriam explicadas se o modelo heliocêntrico fosse o correto. 
A partir de então, o telescópio vem sendo aprimorado e otimizado para uma melhor obtenção de 
imagens. Podemos citar alguns notáveis avanços na tecnologia de construção de telescópios: o maior 
telescópio refrator do mundo (lente objetiva de mais de 1 metro de diâmetro) no Observatório Yerkes – 
Chicago, USA; Observatório Parques - Austrália (radiotelescópio com antena de 64 metros de diâmetro); 
Observatório Arecibo – Porto Rico (maior radiotelescópio do mundo, 305 metros de antena); Telescópio 
Espacial Hubble (lançado em 1990); 
 
 
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Leis de Kepler 
 
 O modelo de Copérnico, porém, ainda possuía problemas. Ele considerava as órbitas dos planetas 
circunferências perfeitas e para explicar corretamente os movimentos observados eram necessários artifícios 
geométricos, exatamente como acontecia com o modelo geocêntrico de Ptolomeu. Foi o astrônomo alemão 
Johannes Kepler (1571 - 1630), no início do século XVII, quem mostrou que as órbitas planetárias eram 
elipses. Para isso, ele contou com as observações do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546 - 1601), do 
qual foi assistente durante o último ano de vida de Tycho e sucessor como responsável pelo observatório de 
Uraniborg (na época pertencente à Dinamarca, agora dentro dos limites da Suécia). Os dados obtidos por 
Tycho Brahe eram os mais precisos da época e no limite do que o olho humano, sem auxílio de instrumentos 
de aumento como o telescópio, pode conseguir. E foi tentando explicar esses dados, principalmente os da 
órbita de Marte – que não eram compatíveis com o modelo de Copérnico com órbitas circulares – que ele 
propôs três leis que descrevem corretamente os movimentosdos planetas: as Leis de Kepler. As duas 
primeiras foram apresentadas simultaneamente (1609) e são o resultado de sua tentativa de descrever 
corretamente os movimentos planetários. A terceira lei, determinada dez anos mais tarde (1619), relaciona 
os períodos (ano do planeta) e tamanhos das órbitas, e de certa forma, traduz certa harmonia entre os 
movimentos dos corpos, o que talvez fosse o principal objetivo de Kepler. 
 
 Primeira Lei – Lei das órbitas elípticas: A órbita de um planeta é uma elipse com o Sol em um dos 
focos. Assim, as distâncias entre um planeta e o Sol são variáveis ao longo da revolução do planeta; 
 
 
 
 
Observe que os pontos denominados de periélio e afélio são os pontos mais próximos ao Sol e mais afastado 
do Sol respectivamente. 
A importância da 1° Lei de Kepler está no fato de determinar que a trajetória de um planeta em torno do Sol 
não é uma circunferência mas sim uma elipse. Tal determinação reforça a teoria Heliocêntrica fazendo com 
que o próprio Kepler duvidasse de seus dados o lavando a fazer repetidas observações a fim de provar que a 
Terra era o centro com sistema Solar. No final o próprio Kepler se rendeu ao Heliocentrismo. 
 
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 Segunda Lei – Lei das áreas: Ao longo de sua órbita, um planeta possui uma velocidade variável, de 
modo que a área coberta pela linha que liga o Sol ao planeta é sempre a mesma em intervalos de 
tempo iguais; 
 
 
Consideremos que o planeta descreva os segmentos QR e MN no mesmo intervalo de tempo, então 
a área delimitada por QSR é igual a área delimitada por MSN, assim determina a 2° Lei de Kepler. 
Mas isso traz uma consequência interessante. Observe na figura que o segmento MN é maior que o 
segmento QR, porém o intervalo de tempo para deslocar os dois segmentos são iguais. Lembre-se 
que a velocidade escalar média é a ralação entre o deslocamento escalar com o intervalo de tempo. 
 
𝑉𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
 (1) 
 
Assim teremos: 
 
𝑉𝑚 𝑀𝑁 =
∆𝑆𝑀𝑁
∆𝑡𝑀𝑁
 (2) 
e: 
 
𝑉𝑚 𝑄𝑅 =
∆𝑆𝑄𝑅
∆𝑡𝑄𝑅
 (3) 
 
O intervalo de tempo é dado por: 
∆𝑡 =
∆𝑆
𝑉𝑚
 (4) 
 
Como os tempos para descrever os segmentos são iguais, teremos: 
 
∆𝑡𝑀𝑁 = ∆𝑡𝑄𝑅 (5) 
 
∆𝑆𝑀𝑁
𝑉𝑚 𝑀𝑁
=
∆𝑆𝑄𝑅
𝑉𝑚 𝑄𝑅
 (6) 
Como: 
 
∆𝑆𝑀𝑁 > ∆𝑆𝑄𝑅 (7) 
 
Podemos concluir, analisando matematicamente a equação (6) e a inequação (7) tendo com 
referência a igualdade dada por (5) que: 
 
𝑉𝑚 𝑀𝑁 > 𝑉𝑚 𝑄𝑅 (8) 
 
Ou seja, o planeta movimenta-se com velocidades maiores quando está mais próximo ao Sol, sendo 
a maior velocidade do planeta quando ele passa pelo periélio. Essa questão foi elucidada mais tarde 
com a Lei da Gravitação de Newton. 
 
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 Terceira Lei - Lei Harmônica : O quadrado do período de translação T é diretamente proporcional ao 
cubo do raio, r , da orbita do planeta. 
 
𝑇2 = 𝐾𝑟3 (9) 
 
Na equação (9), T é o tempo de uma translação completa, r é o raio médio da orbita e K uma constante que 
está relacionada a massa do Sol. O valor da constante K é o mesmo para qualquer planeta de um dado sistema 
solar. 
 
Figura 3: A figura mostra um planeta executando um órbita elíptica com o Sol em um dos focos da elipse. Perceba 
que agora existirão momentos em que o planeta se encontrará a uma mínima aproximação do Sol (periélio) e a um 
máximo afastamento (afélio); 
 
 
Sendo assim podemos ainda escrever a equação (9) da seguinte forma: 
 
𝐾 =
𝑇2
𝑟3
 (10) 
 
Considerando agora dois planetas do sistema solar, por exemplo, a Terra (A) e Marte (B), teremos: 
 
𝐾 =
𝑇𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐴
2
𝑟𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐴
3 (11) 
 
 
𝐾 =
𝑇𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐵
2
𝑟𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐵
3 (12) 
Onde teremos: 
 
𝑇𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐴
2
𝑟𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐵
3 =
𝑇𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐵
2
𝑟𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐵
3 (13) 
 
 
A equação (13) diz que a relação entre os quadros dos períodos de dois planetas com os cubos dos 
raios de orbita são iguais. 
 
 
 
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Sabemos que a orbita média do planeta Marte está a 1,5 vezes mais distante do SoL que a orbita 
média da Terra, sabemos também que o período de translação da Terra é de 1 ano. Então qual o período de 
translação de Marte? 
 
Planeta A = Terra 
Planeta B = Marte 
 
𝑇𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 1 𝑎𝑛𝑜 
𝑇𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒 =? 
𝑟𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 𝑥 
𝑟𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1,5𝑥 
 
Substituindo os dados na equação (13) teremos: 
 
 
𝑇𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐴
2
𝑟𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐵
3 =
𝑇𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐵
2
𝑟𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐵
3 (13) 
 
12
𝑥3
=
𝑇𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
2
(1,5𝑥)3
 
 
Desenvolvendo teremos: 
 
 
 
12
𝑥3
=
𝑇𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
2
3,375𝑥3
 
 
 
Simplifica-se o x em ambos os lados da equação e teremos: 
 
 
3,375 = 𝑇𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
2 
Assim: 
 
𝑇𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 = √3,375 
 
 
𝑻𝑴𝒂𝒓𝒕𝒆 = 𝟏, 𝟖𝟒 𝒂𝒏𝒐𝒔 
 
Ou seja, o planeta Marte gasta aproximadamente 1,84 anos terrestres para dar uma volta em torno 
do Sol. Porem esse resultado não é exato. Isso ocorre porque consideramos nesse caso um raio de orbita 
médio. Como sabemos o raio de orbita é variado pois a orbita é uma elipse. 
A tabela abaixo mostra os valores aproximados dos período de translação dos planetas do sistema 
solar. 
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Veja que Plutão gasta 248 anos terrestres para dar uma volta em torno do Sol. 
 
Com o trabalho de Kepler foi possível saber como os planetas se movimentavam ao redor do Sol. 
Mas ainda restava uma pergunta básica: por quê?