exercícios de estudo

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CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
SISTEMA UAB – MODALIDADE EAD 
Exercícios de estudo 
Professor: José Ricardo Gonçalves Manzan 
Semestre/Ano 
1/2012 
 
 
 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
 
Essa é uma lista de exercícios para que você possa fortalecer suas aprendizagens. A resolução de 
todos os exercícios é fundamental! Todos os exercícios têm solução e as mesmas estão no final da 
lista. Insistimos fortemente que você tente exaustivamente resolver cada exercício antes de consultar a 
solução. Mas cuidado! Olhe apenas a resposta final. No caso de erro tente refazê-lo novamente até 
acertar. Consulte a solução completa, somente quando você esgotar todos os seus esforços. E mesmo 
assim, duvide quando você acreditar que seus esforços estão esgotados. 
 
A aprendizagem em matemática é um tema com muitas discussões e debates. No entanto, há algo 
inquestionável. O aluno aprende através da busca de exemplos já resolvidos e principalmente através 
dos seus próprios erros. Faça e refaça sempre que for necessário. É com esse hábito que você 
conseguirá desenvolver-se e acostumar-se com o estudo em matemática. E não desanime nunca! Se 
você errou, isso já é um grande passo. Significa que você já começou! Bons estudos! 
1) Obtenha a representação do número 134 nas seguintes bases: 
a) base 3; 
b) base 6. 
 
2) Converta os números abaixo para a base 10: 
a) (1230102)4 
b) (1011001101)2 
 
3) Escreva o número 125 367 nos sistemas: 
a) Egípcio 
b) Babilônico 
 
4) Em matemática financeira o estudo de rendas e anuidades apresenta os conceitos de valor presente 
(PV) , valor de termos de uma renda (PMT), taxa de juros (i) e número de termos da renda (n). Esses 
conceitos estão numa relação denominada por fluxo de caixa descrita pela equação abaixo: 
( ) ( ) ( )
1 2 ...
1 1 1
n
PMT PMT PMT
PV
i i i
= + + +
+ + +
 
Em termos práticos podemos exemplificar os conceitos dados por um financiamento de um veículo 
zero quilômetro que custa à vista R$ 29.000,00 e é financiado em 60 parcelas a uma taxa de juros de 
0,99% ao mês. Assim PV = 29000, i = 0,0099 e n = 60. Veja que a fórmula acima é a soma dos “n” 
termos de uma progressão geométrica. Sabe-se que a soma dos “n” primeiros termos de uma P.G. é 
calculada por: 
( )
1
1
1
n
n
q
S a
q
−
= ⋅
−
 
Com base nessas informações faça o que se pede: 
a) Use a P.G. para encontrar uma fórmula geral para o valor da prestação; 
b) Determine o valor da prestação do automóvel. 
Bom trabalho! 
5) Use a definição por recorrência para, obter o termo geral da sequência (7, 11, 15, 19, ...) é igual a: 
 
6) Use a indução matemática para provar que a fórmula abaixo é verdadeira para todo natural maior 
que 1. 
( )
25 3
: 4 7 10 13..... 3 1 , 1
2
n n
Pn n n
+
+ + + + + = ≥ 
7) Use a indução finita para provar a proposição a seguir: 
 
( )
1 1
3 5 13 3 3
: 3 + +...+ = , ( 1)
5 25 5 4 5
n
n n n
S n
− −
⋅ −
+ ≥
⋅
 
 
8) Em Matemática Financeira, entende-se por Regime de Juros Simples, uma operação financeira em 
que um capital inicial C é cedido do credor ao devedor e quitado após n períodos em valor 
denominado por Montante M. Os juros cobrados por cada período correspondem ao percentual dos 
juros cobrados sobre o capital inicial C. Imagine que João tenha emprestado R$ 1400,00 para Luana 
em regime de juros simples a uma taxa de 3% ao mês. Nessas condições, determine: 
a) A razão da P.A.; 
b) Os três primeiros elementos da P.A.; 
c) O valor do Montante no caso de Luana ter quitado o empréstimo no fim do 10º mês; 
d) O mês correspondente à quitação do empréstimo no caso de Luana ter quitado o empréstimo com 
um Montante de R$ 2114,00. 
 
9) (UFRJ – adaptada) Um encanamento antigo sofre com degradação natural do tempo de maneira que 
se inicia um vazamento de água. O vazamento começa com uma gota. Após 60 segundos, cai a 
segunda gota. A terceira gota cai após 20 segundos da queda da 2ª. As próximas gotas vão caindo de 
maneira que o intervalo entre uma e outra é equivalente a um terço do intervalo anterior. Mantendo-se 
o padrão após quanto tempo da queda da primeira gota, teremos um fio contínuo de água caindo do 
encanamento? 
 
10) Uma casa foi financiada da seguinte maneira. A prestação inicial era de R$ 1200,00 e seu valor 
sofre um desconto de R$ 0,90 a cada mês. Considere que a casa foi quitada em 300 parcelas. Quanto o 
proprietário terá pagado após o final do financiamento? 
 
11) Utilizando a forma polinomial, mostre que: 
a) 1 361 344 é divisível por 4. 
b) 243 372 é divisível por 3. 
 
12) Prove por indução que ( )28 3 7 n n N+ ∀ ∈ . 
 
13) Determine quais são os números que, quando divididos por 12, deixam resto igual: 
a) à metade do quociente? 
b) ao dobro do quociente? 
c) ao quociente? 
 
14) Mostre que: 
a) A adição entre dois naturais ímpares é sempre par; 
b) A adição entre dois naturais pares é sempre par; 
c) O produto entre dois naturais ímpares é sempre ímpar; 
d) O produto entre dois naturais pares é sempre par; 
15) Em números primos há uma propriedade onde é afirmado que se um número n > 1 não é divisível 
por nenhum dos números primos p, sendo p n≤ , então n é primo. Use essa propriedade para 
mostrar qual(is) número(s) a seguir é(são) primo(s). 
a) 1313 
b) 1783 
 
16) Obtenha todos os divisores de 240 fazendo o arranjo dos possíveis expoentes dos fatores primos. 
 
17) Encontre o máximo divisor comum entre 360 e 294 através dos seguintes métodos: 
a) dispositivo prático das divisões. 
b) decomposição em fatores primos. 
 
18) Encontre o mínimo múltiplo comum entre 360 e 294 através dos seguintes métodos: 
a) decomposição em fatores primos. 
b) dispositivo prático das divisões por fatores primos. 
 
19) Use a congruência módulo m para encontrar o resto da divisão de 311 por 9. 
 
20) Use a congruência módulo m para mostrar que 3 divide 8100 – 1. 
 
21) Encontre uma solução particular da equação diofantina linear 28x + 46y = 40. 
 
22) Obtenha todas as soluções da equação 28x + 46 y = 40 a partir da solução geral.