Série de Capitais

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Matemática Financeira
Prof.: Emerson Donizeti Biajoti
24/03/2021
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1 – Introdução à Matemática Financeira 
1.1.Conceitos básicos de finanças: noção do valor do dinheiro no tempo e serviço do capital. 
1.2.Revisão de frações, porcentagem, potenciação, exponenciais 
1.3.Conceitos de capital, juro, taxas de juros, prazos de capitalização e montantes.
2 – Capitalização Simples 
2.1. Conceito de Juros simples, aplicações práticas e cálculos utilizando-se prazos exatos e comerciais. 2.2. Cálculos de principal, montante, taxa de juros, prazos de capitalização. 
2.3. Desconto comercial e racional, incluindo o uso de taxas de administração.
3 – Capitalização Composta 
3.1. Conceitos de juros compostos, aplicações práticas e cálculos utilizando-se prazos exatos e comerciais. 
3.2. Cálculos de principal, montante, taxa de juros, prazos de capitalização. 
3.3. Aplicações práticas e cálculos utilizando taxas equivalentes, efetivas, nominais e proporcionais. 
3.4. Equivalência composta de capitais.
4 – Rendas 
4.1. Conceitos de séries de pagamentos 
4.2. Série de pagamentos constantes ou variáveis. 
4.3. Série de pagamentos em capitalização, financiamento, rendas diferidas e perpétuas. 
4.4. Carências. 
4.5. Comparações entre valor presente e taxa de retorno. 
5 – Empréstimos 
5.1. Conceitos de sistemas de amortização. 
5.2. Aplicações práticas dos sistemas de amortização. 
5.2.1 Sistema SAC. 
5.2.2 Sistema Francês (Price). 
 Séries de capitais
Usando a hp12c
4.1 – Definição
 
Qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada característica pode ser considerada uma série. Esses capitais podem ser valores que saem ou entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma série de pagamentos, com o objetivo de quitar uma dívida ou uma série de aplicações, denominada série de rendas, que tem como objetivo a capitalização de um valor futuro.
Série de pagamentos
 
Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual na data zero, também denominado valor à vista (PV), que é igual à soma de todos os valores (termos) da série na data zero, valor esse que depende do número e do valor dos pagamentos, bem como da taxa de juros utilizada no cálculo do financiamento. 
 
Exemplos: aluguéis, condomínios, mensalidades escolares, financiamentos em geral.
Série de rendas
 
Uma série de rendas, tem como parâmetro característico fundamental o montante, ou valor futuro (FV), que é a soma de todas as aplicações na data do último depósito. Esse valor dependerá do número e do valor dos depósitos, bem como da taxa utilizada para corrigi-los.
 
Exemplos: poupança programada, poupança imobiliária vinculada, previdência (privada e pública)
De acordo com suas características, as séries podem ser classificadas em dois grandes grupos:
a) Série certa ou determinística.
b) Série probabilística ou aleatória.
 
Série certa ou determinística.
 
Uma série é denominada certa quando as datas e os valores dos seus termos são conhecidos. 
Exemplos: os financiamentos com taxas pré-determinadas, como mensalidades escolares, aluguéis, poupanças programadas.
 
Série probabilística ou aleatória.
 
Uma série é denominada aleatória quando não tem datas nem valores determinados. Os cálculos das séries aleatórias são feitos pela estatística, com modelos probabilísticos complexos, em uma área da Matemática denominada atuária.
Nesta disciplina, não estudaremos as séries probabilísticas. O estudo completo de todos os modelos de série exigiria um prazo muito longo e se revelaria ineficaz, pois perderíamos os conceitos de vista, por não os usar.
As Ciências Atuariais (Atuária) é a ciência que que analisa e gerencia riscos e expectativas de quaisquer naturezas: econômicas, financeiras e biométricas, com o objetivo de prover proteção social. Para isso, as metodologias mais tradicionais são baseadas em teorias econômicas, modelos matemáticos, probabilísticos, estatísticos com o objetivo de descrever e representar fenômenos dotados de incerteza a respeito de suas causas, realizações e impactos.
Neste módulo estudaremos as séries com as seguintes características:
1 - série periódica: seus termos ocorrem a períodos de tempo iguais.
2 - temporária: a série tem uma duração determinada.
3 - constante: todos os termos da série têm o mesmo valor.
4 – Postecipada ou sem entrada: cada termo localiza-se no final do período de vencimento. 
obs.: na hp12c, opção END (tecla 8). Não aparece no visor a opção END.
5 - antecipada ou com entrada: o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo. 
obs.: na hp12c, opção BEGIN (tecla 7). No visor fica aparecendo BEGIN.
Teclas da hp12c que serão utilizadas
PV ----------------------------- Valor presente ou Valor à vista
FV ------------------------------ Valor futuro ou montante
i --------------------------------- Taxa de financiamento
n --------------------------------- Número de pagamentos
PMT -------------------------- Valor dos pagamentos
4.2 – Série de pagamentos.
Série postecipada ou sem entrada.
4.2.1 – Fórmula do valor presente ou à vista (PV)
 
A fórmula para calcular o valor presente é:
A fórmula para calcular o valor das prestações é:
Exemplo 01 – Na aquisição de um bem financiado em 48 meses, sem entrada, as parcelas ficaram no valor de R$680,00 cada. Sabendo que a taxa de juros cobrada foi 1,5% a.m., determine o valor desse bem à vista.
Solução: sem usar a hp12c
n = 48 meses
i = 1,5% a.m.
PV = ?
PMT = 680
Nesses cálculos, é fundamental que a calculadora esteja programada para trabalhar com o critério exponencial. Essa condição fica evidenciada por um c no visor da hp12c. Essa característica poderá ser alterada por um toque na tecla STO seguido de um toque na tecla EEX.
 
Não se esqueça de deixar sua HP12C na opção END, pois este é o modelo de série que trabalha com pagamentos ao final do período de vencimento (sem entrada). Caso esteja aparecendo no visor a inscrição BEGIN, digite a tecla g azul seguida a tecla END (8).
Exemplo 01 – Na aquisição de um bem financiado em 48 meses, sem entrada, as parcelas ficaram no valor de R$680,00 cada. Sabendo que a taxa de juros cobrada foi 1,5% a.m., determine o valor desse bem à vista.
 
Solução:
n = 48 meses
i = 1,5% a.m.
PV = ?
PMT = 680
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
48 n
1,5 i
680 CHS PMT
PV 23.148,936
 
Resp.: O valor deste bem à vista é R$ 23.148,94.
Exemplo 02 – Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será quitado em 24 meses, sem entrada. Determine o valor das prestações sabendo que a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês.
Solução: 
n = 24 meses
i = 2% a.m.
PV = 15.000,00
PMT = ?
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
24 n
2 i
15.000 CHS PV
PMT 793,0664
 
Resp.: O valor de cada prestação será de R$793,07.
Exemplo 3 – Um carro de R$28.000,00 foi financiado em 60 meses, sem entrada e com parcelas fixas de R$735,00. Calcule a taxa de juros mensal cobrados por esse financiamento?
 
Solução: 
n = 60 meses
i = ? (a.m.)
PV = 28.000,00
PMT = 735,00
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
60 n
28.000 CHS PV
735 PMT
i 1,63005
 
Resp.: A taxa mensal de juros praticada foi de 1,63%.
Exemplo 4 – Calcule o número de pagamentos mensais consecutivos e iguais de R$ 300,00, sem entrada, que quitam uma compra com valor à vista de R$ 4.497,61, financiada a juros compostos de 2% ao mês.
 
Solução: 
n = ? (meses)
i = 2% a.m.
PV = 4.491,61
PMT = 300,00
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
2 i
4.491,61 CHS PV
300 PMT
n 18
 
Resp.: São necessários 18 pagamentos mensais.
Exemplo 5 – Um computador custa R$3.800,00 à vista, podendo ser pago com uma entrada de 20% do valor à vista mais 12 prestações mensais consecutivas e iguais. Calcule o valor do pagamento mensal, sabendo que a financeira cobra juros compostos de 1,5% a.m.
Solução:
20% de 3.800 é igual a R$760,00. Logo, o saldo devedor que será parcelado é R$3.040,00
 
n = 12 meses
i = 1,5% a.m.
PV = 3.040,00
PMT = ?
A sequência de teclas a serem pressionadasé:
12 n
1,5 i
3040 CHS PV
PMT 278,7071
Resp.: O valor de cada prestação será R$278,71
4.2.2 – Exercícios - Fórmula do valor presente ou à vista (PV)
1 – Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais e iguais de R$ 550,00, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% ao mês, determine o seu preço à vista.
 
2 – Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sem entrada. Se a taxa do financiamento for igual a 4% ao mês, qual o preço à vista?
 
3 – Uma pessoa entrou numa loja, viu a mercadoria que gostaria de ter em casa, ao preço de R$800,00. Negociou com a vendedora poderia pagar R$ 50,00 por mês, sendo a primeira um mês após a compra. Sabendo que a loja cobra juros de 3% a.m., quantas prestações mensais esta pessoa deverá pagar?
 
 
4 – Uma geladeira é vendida à vista, por R$ 3.200,00. Caso o consumidor queira parcelar o eletrodoméstico, será cobrada uma taxa de juros no valor de 2% ao mês. Considerando que uma pessoa comprou a geladeira em 12 prestações iguais e sem entrada, calcule o valor das parcelas.
5 – Uma revenda de veículos está oferecendo u automóvel por R$25.690,00 para pagamento à vista ou com uma entrada de R$11.500,00 e 60 prestações mensais de R$349,00. Calcular a taxa de juros do financiamento.
6 – Um apartamento no valor de R$ 100.000,00 foi financiado, com entrada de R$ 10.000,00 em dez parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira um mês após a assinatura do contrato e taxa de juros de 1,8% ao mês. Calcule o valor de cada parcela.
Dica: Solução por meio da soma da entrada com o valor à vista da série.
 
7 – Um empréstimo no valor de R$ 25.000,00 será quitado em 36 meses, sem entrada. Determine o valor das prestações sabendo que a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês.
 
8 – Um professor compra um terreno dando R$ 10.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais consecutivas e iguais de R$ 500,00. Sabendo que o banco cobra juros compostos de 2,5% ao mês, determine o valor à vista do imóvel.
Dica: Solução por meio da soma da entrada com o valor à vista da série.
 
9 – Um relógio custa R$ 1.800,00 à vista, podendo ser pago com uma entrada de 30% do valor à vista mais dez prestações mensais consecutivas e iguais. Calcule o valor do pagamento mensal, sabendo que a financeira cobra juros compostos de 2% a.m.
Dica: Solução por meio subtração do valor pago à vista e depois calcular as parcelas do saldo devedor.
 
10 – Um carro custa R$ 31.500,00 à vista, podendo ser pago com uma entrada de 20% do valor à vista mais 48 prestações mensais consecutivas e iguais. Calcule o valor do pagamento mensal, sabendo que a financeira cobra juros compostos de 1,5% a.m.
Respostas.
4.2.2 – Exercícios - Fórmula do valor presente ou à vista (PV)
1 – Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais e iguais de R$ 550,00, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% ao mês, determine o seu preço à vista.
Solução:
n = 4 meses
i = 5% a.m.
PV = ?
PMT = 550
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
4 n
5 i
550 CHS PMT
PV 1.950,27 
Resp.: O valor deste bem à vista é R$ 1.950,27 .
2 – Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sem entrada. Se a taxa do financiamento for igual a 4% ao mês, qual o preço à vista?
Solução:
n = 4 meses
i = 4% a.m.
PV = ?
PMT = 150.000
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
4 n
4 i
150.000 CHS PMT
PV 544.484,28 
Resp.: O valor deste bem à vista é R$ 544.484,28.
3 – Uma pessoa entrou numa loja, viu a mercadoria que gostaria de ter em casa, ao preço de R$800,00. Negociou com a vendedora poderia pagar R$ 50,00 por mês, sendo a primeira um mês após a compra. Sabendo que a loja cobra juros de 3% a.m., quantas prestações mensais esta pessoa deverá pagar?
Solução:
n = ? meses
i = 3% a.m.
PV = 800
PMT = 50
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
3 i
800 PV
50 CHS PMT
n 23 
Resp.: Esta pessoa deverá pagar 23 prestações mensais.
4 – Uma geladeira é vendida à vista, por R$ 3.200,00. Caso o consumidor queira parcelar o eletrodoméstico, será cobrada uma taxa de juros no valor de 2% ao mês. Considerando que uma pessoa comprou a geladeira em 12 prestações iguais e sem entrada, calcule o valor das parcelas.
Solução:
n = 12 meses
i = 2% a.m.
PV = 3.200
PMT = ?
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
12 n
2 i
3.200CHS PV
PMT 302,59 
Resp.: O valor de cada parcela é R$ 302,59.
5 – Uma revenda de veículos está oferecendo u automóvel por R$25.690,00 para pagamento à vista ou com uma entrada de R$11.500,00 e 60 prestações mensais de R$349,00. Calcular a taxa de juros do financiamento.
Solução:
Observe que o saldo devedor que será parcelado é R$14.190,00
n = 60 meses
i = ? a.m.
PV = 14.190
PMT = 349
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
60 n
14.190 PV
349 CHS PMT
i 1,377 
Resp.: A taxa de juros do financiamento é 1,377%.
6 – Um apartamento no valor de R$ 100.000,00 foi financiado, com entrada de R$ 10.000,00 em dez parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira um mês após a assinatura do contrato e taxa de juros de 1,8% ao mês. Calcule o valor de cada parcela.
Solução:
Observe que o saldo devedor que será parcelado é R$90.000,00
n = 10 meses
i = 1,8% a.m.
PV = 90.000
PMT = ?
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
10 n
1,8 i
90.000 CHS PV
PMT 9.914,83 
Resp.: O valor de cada parcela é R$ 9.914,83.
7 – Um empréstimo no valor de R$ 25.000,00 será quitado em 36 meses, sem entrada. Determine o valor das prestações sabendo que a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês.
Solução:
n = 36 meses
i = 2% a.m.
PV = 25.000
PMT = ?
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
36 n
2 i
25.000 CHS PV
PMT 980,82
 
Resp.: O valor das prestações é R$ 980,82.
 
8 – Um professor compra um terreno dando R$ 10.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais consecutivas e iguais de R$ 500,00. Sabendo que o banco cobra juros compostos de 2,5% ao mês, determine o valor à vista do imóvel.
Dica: Solução por meio da soma da entrada com o valor à vista da série.
Solução:
n = 36 meses
i = 2,5% a.m.
PV = ?
PMT = 500
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
36 n
2,5 i
500 CHS PMT
PV 11.778,13 ( valor à vista da série de pagamentos)
 Precisamos somar os 10.000,00 que foram pagos de entrada, logo:
Resp.: O valor deste bem à vista é R$ 21.778,13.
 
9 – Um relógio custa R$ 1.800,00 à vista, podendo ser pago com uma entrada de 30% do valor à vista mais dez prestações mensais consecutivas e iguais. Calcule o valor do pagamento mensal, sabendo que a financeira cobra juros compostos de 2% a.m.
Dica: Solução por meio subtração do valor pago à vista e depois calcular as parcelas do saldo devedor.
Solução:
30% de 1.800 é igual a R$540,00. Logo, o saldo devedor que será parcelado é R$1.260,00
n = 10 meses
i = 2% a.m.
PV = 1.260
PMT = ?
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
10 n
2 i
1260 CHS PV
PMT 140,27
 
Resp.: O valor do pagamento mensal é R$ 140,27.
10 – Um carro custa R$ 31.500,00 à vista, podendo ser pago com uma entrada de 20% do valor à vista mais 48 prestações mensais consecutivas e iguais. Calcule o valor do pagamento mensal, sabendo que a financeira cobra juros compostos de 1,5% a.m.
Solução:
20% de 31.500 é igual a R$6.300,00. Logo, o saldo devedor que será parcelado é R$25.200,00
n = 48 meses
i = 1,5% a.m.
PV = 25.200
PMT = ?
A sequência de teclas a serem pressionadas é:
48 n
1,5 i
25.200 CHS PV
PMT 740,25
 
Resp.: O valor do pagamento mensal é R$ 740,25.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
ASSAF NETO, ALEXANDRE. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2016.
 
PUCCINI, ABELARDO L. Matemática Financeira – objetiva e aplicada. 10ª ed. São Paulo: Elsevier, 2017. 
VIEIRA SOBRINHO, JOSÉ D. Matemática Financeira. 8ª ed. São Paulo: Atlas, 2018. 
 
BIBLIOGRAFIA VIRTUAL
 
ASSAF NETO, ALEXANDRE. Matemática Financeira Edição Universitária, São Paulo: Atlas. 2017.
 
BOGGIS, GEORFE J. et al. Matemática Financeira. Rio de Janeiro:FGV Editora. 2013. 
 
NASCIMENTO, MARCO A. P. Introdução À Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva. 2017. 
 
CASTRO, MANUELA L. & ZOT, WILLY D. Matemática Financeira. Porto Alegre: Bookman, 2015
SAMANEZ, CARLOS P. Matemática Financeira. 5ª. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
AZZAN, SAMUEL & POMPEO NICOLAU Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Saraiva, 2017. 
CARVALHO, SÉRGIO & CAMPOS, WEBER Matemática Financeira Simplificada. 2ª ed. ISBN: 978-85-442-0856-4, 2016. 
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
(
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1
1
1
.
.
-
+
+
=
n
n
i
i
i
PV
PMT