Prova 3 - Cálculo I - limites e integrais - UFSC - Resolvida

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
Prova 3 - Cálculo I - UFSC - Resolvida
 
1. (1,5 ponto) Calcule o limite usando L’Hospitallim
x +∞→
xln( )
x
Resolução:
 
Usando L’Hospital o limite fica; 
= x ' = ; = = x = xlim
x +∞→
xln( )
x
lim
x +∞→
x '
'
(ln( ))
x
→ (ln( ))
1
x
x
'
x
1
3
'
1
3
( )
-1
1
3 1
3
-
2
3
 
Assim, o limite fica; 
= = ⋅ = =lim
x +∞→
xln( )
x
lim
x +∞→
x
1
x
1
3
-
2
3
lim
x +∞→
3
x
-
2
3
1
x
lim
x +∞→
3
x
- +1
2
3
lim
x +∞→
3
x
1
3
 
= = = 0
3
+∞( )
1
3
3
+∞
 
 
2. (1,5 ponto) Um fazendeiro deseja cercar uma área de 10.000 m². Na direção norte-sul 
a cerca custa 2 R$1.50 por metro e na direção leste-oeste a cerca custa R$ 6.00 por 
metro. Encontre as dimensões do campo que minimizam os custos.
 
Resolução:
 
 
 
3
3 3
3 3
3
 
A função custo para está área é; P = 2 ⋅ 6 ⋅ x + 2 ⋅ 1, 5 ⋅ y
P = 12x + 3y
 
Desemos colocar y em função de x da seguinte forma; A = xy = 10000 m y =2 →
10000
x
 
Substituindo em P, vem; P = 12x + 3 P = 12x + = 12x + 30000x
10000
x
→
30000
x
-1
 
Devemos estudar o crescimento e descrecimento da função através da primeira derivada de 
P:
 
P' = 12 + -1 ⋅ 30000x = 12 - 30000x P' = 12 -( ) -1-1( ) -2 →
30000
x2
 
Igualando a zero e resolvendo; 
12 - = 0 - = - 12 = 12 30000 = 12x x =
30000
x2
→
30000
x2
→
30000
x2
→
2
→
2 30000
12
 
x = 2500 x = x = 50 m2 → 2500 →
 
Assim, 50 é um ponto de máximo ou mínimo, se x = 1; P' = 12 - P' = 12 - 30000
30000
1( )2
→
, o resultado negativo indica que a função decresce antes de x = 50, se x = 51 P' = -29988
m;
 
P' = 12 - P' = 12 - P' = 12 - 11, 53 P' = 0, 47
30000
51( )2
→
30000
2601
→ →
 
 
x
y
N
L
S
O
x
y
O resultado positivo indica que a função cresce após x = 50 m;
 
 
Podemos, assim, concluir que 50 é um ponto de mínimo, possibilitando o manor custo 
possível quando usada esse valor para a dimensão x da área, y deve ter valor:
 
y = y = 200 m
10000
50
→
Finalmente, as dimensões que minimizam os custos para cercar a área são:
 
 x = 50 m e y = 200 m
 
3. (1,5 ponto cada) Calcule as integrais:
 
a e cos bx dx( )∫ ax ( )
 
Resolução:
Vamos resolver suando integrais por partes; udv = uv - vdu∫ ∫
 
u = e du = e ⋅ adxax → ax
 
dv = bx dx v = bx dx t = bx dt = bdx dx =cos( ) → ∫ cos( ) → → → dt
b
v = t v = =∫ cos( )dt
b
→
sen t
b
( ) sen bx
b
( )
 
Assim, a integral fica : e cos bx dx = e ⋅ - e ⋅ adx∫ ax ( ) ax sen bx
b
( ) ∫sen bx
b
( ) ax
 = e ⋅ - sen bx e dxax
sen t
b
( ) a
b
∫ ( ) ax
 
 
50 x
- +
 
Vamos, novamente, aplicar a integral por partes; 
= e d = e ⋅ adx d = sen bx dxu⏨ ax → u⏨ ax → v⏨ ( )
 
= sen bx dx h = bx dh = bdx dx =v⏨ ∫ ( ) → → → dh
b
= sen h = - = -v⏨ ∫ ( )dh
b
cos h
b
( ) cos bx
b
( )
 
Com isso, a integral fica :
 
e cos bx dx = e ⋅ - e ⋅ - - - e ⋅ adx∫ ax ( ) ax sen bx
b
( ) a
b
ax cos bx
b
( ) ∫ cos bx
b
( ) ax
 
e cos bx dx = e ⋅ + - cos bx ⋅ e dx∫ ax ( ) ax sen bx
b
( ) a
b
e ⋅ cos bx
b
ax ( ) a
b
2
2
∫ ( ) ax
 
e cos bx dx + cos bx ⋅ e dx = e ⋅ + e ⋅ cos bx∫ ax ( ) a
b
2
2
∫ ( ) ax ax sen bx
b
( ) a
b2
ax ( )
 
e cos bx dx 1 + = e ⋅ + e ⋅ cos bx∫ ax ( ) a
b
2
2
ax sen bx
b
( ) a
b2
ax ( )
 
e cos bx dx =∫ ax ( )
e ⋅ + e ⋅ cos bx
1 +
ax sen bx
b
( ) a
b2
ax ( )
a
b
2
2
 
e cos bx dx = +∫ ax ( )
e ⋅
1 +
ax sen bx
b
( )
a
b
2
2
e ⋅ cos bx
1 +
a
b2
ax ( )
a
b
2
2
 
e cos bx dx = +∫ ax ( )
e ⋅ax sen bxb
( )
b +a
b
2 2
2
e ⋅ cos bxa
b2
ax ( )
b +a
b
2 2
2
 
e cos bx dx = +∫ ax ( )
b ⋅ e ⋅
b + a
2 ax sen bx
b
( )
2 2
b ⋅ e ⋅ cos bx
b + a
2 a
b2
ax ( )
2 2
 
 
 
e cos bx dx = + + c∫ ax ( ) b ⋅ e ⋅ sen bx
b + a
ax ( )
2 2
a ⋅ e ⋅ cos bx
b + a
ax ( )
2 2
 
 
b dx( )∫ 1
2 + x ( )2
 
Resolução:
 
Vamos fazer a substituição; 
u = 2 + x du = dx dx = u dx = + c = + c→ →∫ 1
u 2
∫ -2 u
-2 + 1
-2+1 2 + x
-1
( )-1
dx = - + c∫ 1
2 + x ( )2
1
2 + x
 
 
c x e dx( )∫ 2 -x
 
Resolução:
 
Vamos aplicar a técnica de integração por partes; u = x du = 2xdx; dv = e dx2 → -x
 
dv = e dx; h = - x dh = -dx -dh = dx-x → →
 
v = e -dh = - e dh = - e = - e∫ h ( ) ∫ h h -x
 
= x -e - -e 2xdx = - x e + 2 xe dx2 -x ∫ -x 2 -x ∫ -x
Aplicando novamente a técnica de integração por partes;
 
= x d = dx; d = e dx t = -x dt = -dx -dt = dxu⏨ → u⏨ v⏨ -x → → →
d = e -dt = - e dt = - e = - ev⏨ ∫ t( ) → ∫ t → v⏨ t -x
 
-x e + 2 xe dx = - x e + 2x -e - 2 -e dx2 -x ∫ -x 2 -x -x ∫ -x
= -x e - 2xe + 2 e dx2 -x -x ∫ -x
 
 
 
b = -x db = -dx -db = dx→ →
 
 e dx = e -db = - e db = e dx = - e = - e∫ -x ∫ b( ) ∫ b →∫ -x b -x
 
x e dx = - x e - 2xe + 2 - e + c∫ 2 -x 2 -x -x -x
 
x e dx = - x e - 2xe - 2e + c∫ 2 -x 2 -x -x -x
 
 
d dx( )∫x + 1
x+ 1
3
 
Resolução:
 
Aplicar a regra da soma de cubos : x + y = x + y x - xy + y3 3 ( ) 2 2
 
x + 1 = x + 1 x - x + 13 3 ( ) 2
 
Assim, a integral fica : dx = dx = x - x + 1 dx∫x + 1
x + 1
3
∫ x + 1 x - x + 1
x + 1
( ) 2
( )
∫ 2
 
= x dx - xdx + 1dx = + + x∫ 2 ∫ ∫ x
2 + 1
2+1( )
( )
x
1 + 1
1+1( )
( )
 
 
 dx = - + x+C∫x + 1
x + 1
3 x
3
3 x
2
2
 
 
4. (1 ponto) Calcule a área limitada pelas curvas e .y = x 3 y = x
 
Resolução:
 
Vamos encontrar a intercessão entre as curvas; x = x x = 1 x = ± x = ±13 → 2 → 1 →
 
O gráfico fica:
 
 
A região R é composta por 2 regiões; e que são iguais:R1 R2
 
R = R + R = 2RT 1 2
R = x - x dx = + = + - +
0
∫
1
3
x
2
2 x 
4
4 1
0
1
2
( )2 1
4
( )4 0
2
( )2 0
4
( )4
 
= + = = u. a.
1
2
1
4
2 + 1
4
3
4
 
R = 2 ⋅T
3
4
 
R = u. a.T
3
2