EAE325Lista7

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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 0325 - Econometria II
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
Lista de Exercícios 7 - Data de Entrega: 28/11
Você deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questão sem provar.
Questão 1
Suponha que y∗ ∼ N (0, 1) e que
y =
½
y∗ se y∗ ≥ a
a caso contrário
Mostre que
V [y] = (1− Φ)
h
(1− δ) + (a− λ)2Φ
i
para
Φ = P (y∗ ≤ a) = Φ (a)
φ = φ (a) = Φ0 (a)
λ =
φ
1− Φ
e
δ = λ2 − λa
Questão 2
Considere o modelo Tobit:
y∗i = x
0
iβ + εi, εi|X ∼ N
¡
0, σ2
¢
I∗i = x
0
iβ + εi
Ii =
½
1 if I∗i ≥ 0
0 otherwise
Nós observamos somente Ii, xi e
yi = Iiy
∗
i + (1− Ii) 0
1
a) Escreva a função de log-verossimilhança com base numa amostra aleatória
de N observações independentes e identicamente distribuídas, condicional em
X = [x1, ..., xN ].
b) Considere a reparametrização de Olsen (1978), isto é, defina
θ ≡ 1
σ
e γ ≡ 1
σ
β
Reescreva a função de log-verossimilhança e derive as condições necessárias
de primeira ordem para maximização.
c) Mostre que a função de log-verossimilhança da parte (b) é globalmente
côncava.
Questão 3
Para o modelo Tobit da questão 3, mostre que
∂E [yi|xi]
∂xi
= βΦ
µ
x0iβ
σ
¶
Questão 4
Escreva a função de verossimilhança para os seguintes modelos. Assuma que
as observações são independentes e identicamente distribuídas. O tamanho da
amostra é N. Use a notação genérica (Não assuma que a distribuição é normal).
Y1 = Xβ1 + U1
Y0 = Xβ0 + U0
I = Zγ + V
(U0, U1, V ) ∼ g (U0, U1, V ) (densidade)
(Z,X) ⊥⊥ (U0, U1, V ) . Assuma que Z contenha um regressor contínuo. (Uma
variável definida em um intervalo). (U0, U1, V ) têm uma densidade conjunta
contínua. Os erros são livremente correlacionados, condicional em X (e Z
quando apropriado).
(a) Para todas as observações, você observa Y1 se Y0 > 0; Você observa X
para todas as observações. Você tem somente observações para as quais Y0 > 0.
(amostra truncada)
(b) Você observa C0 < Y1 < C1 se Y1 > 0; C1 > 0 > C0. Você observa X
para todas as observações. (Você tem uma amostra truncada)
(c) Você sabe se Y1 > 0 para todas as observações, mas você não observa
Y1. Qual é a função de verossimilhança dos eventos Y1 > 0 e Y1 ≤ 0 (isto é,
dos eventos 1 (Y1 > 0) e 1 (Y1 ≤ 0)). Você observa o valor de X para todas as
observações.
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(d) Você observa Y1 se Y1 ≥ Y0; Você observa Y0 se Y1 < Y0. Você observa
X para todas as observações.
(e) Você observa Y1 se I ≥ 0. Caso contrário, você observa Y0. Você observa
X para todas as observações.
Questão 5
Considere o modelo
Yi = X1iβ1 +X2iβ2 + εi, i = 1, ..., I
E (εi) = 0, εi i.i.d. X1i ⊥⊥ εi
Você não tem certeza se X2i ⊥⊥ εi. A matriz X tem posto completo. Há dois
candidatos a instrumentos: (Z1i, Z2i) = Zi. É possível implementar um teste
para determinar se X2i é endógeno? Caso seja possivel, descreva os passos.
Questão 6
Considere o seguinte modelo de dados de painel:
yit = αyi,t−1 + βxit + fi + uit, i = 1, ..., I, t = 1, ..., T (1)
a) Justifique a forma funcional (1) minimizando a soma do custo de ajus-
tamento (quadrático, por hipótese) e do custo de se estar fora do equilíbrio
(também quadrático, por hipótese). O valor de equilíbrio de longo prazo é dado
por y∗it, que segue a seguinte equação:
y∗it = xitγ + f
∗
i + uit
Pondere os custos igualmente.
b) Considere a identificação do modelo sob as condições abaixo. Quais
parâmetros ou combinações de parâmetros são identificados em cada caso? Ao
longo de toda a análise, suponha que (xit, fi, uit) são i.i.d com relação a i,
E (uit) = 0, E (fi) = 0. I →∞, T fixo. Caso o modelo seja identificado, escreva
as condições de ortogonalidade para um I arbitrário e o T designado.
(i) T = 1 E∗ (uit|xi1) = 0
(ii) T = 2 E∗ (uit|xi1, xi2) = 0 ∀t
(iii) T = 3 E∗ (uit|xi1, xi2, xi3) = 0 ∀t
(iv) T = 1 yit = yi,t−1 = y¯i, xit = x¯i (estado estacionário)
E∗ (uit|xi1, ..., xiT ) = 0
(v) T = 2 E∗ (ui2|yi1, xi1) = 0
(vi) T = 3 E∗ (uit|yi,t−1, xit, xit−1) = 0 t = 2, 3
(vii) T = 4 E∗ (uit|yi,t−1) = 0 ∀t
E* denota projeção linear. Portanto, E∗ (uit|xi1) = 0 implica, por exemplo,
que E (uitxi1) = 0.
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