Exame de Econometria II - USP

Prévia do material em texto

Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 0325 - Econometria II
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
2a prova
Esse é um exame sem consulta.
Você tem 1h40 para completá-lo.
O uso de calculadora não é permitido.
Há 4 questões. Você deve resolver todas.
Você deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questão sem provar.
Crédito parcial será conferido.
Você DEVE manter a prova grampeada.
Nome ....................................................
1
Questão 1 (30 pontos)
Considere o seguinte modelo de regressão:
y = Xβ + ε
no qual y e ε são vetores n × 1, X é uma matriz n × k e β é um vetor de
parâmetros k × 1. Adicionalmente, E (ε|X) = 0 e E (εε0|X) = Ω, sendo
que Ω denota uma matriz genérica simétrica positiva definida n × n, não
necessariamente diagonal. Todas as outras suposições do modelo clássico são
satisfeitas.
(a) (5 pontos) Derive o estimador eficiente de β.
(b) (5 pontos) Derive a variância do estimador da parte (a).
(c) (5 pontos) Agora suponha que n = 5 e k = 1.
Ω =


1 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 9 0
0 0 0 0 12


Você tem acesso apenas a dados agrupados. Especificamente, você tem
observações para dois grupos. O primeiro grupo consiste das duas primeiras
observações e o segundo grupo consiste das três últimas observações. Tudo
que você tem a sua disposição são as médias dos grupos, y¯j e X¯j para j = 1, 2.
Ache o estimador de mínimos quadrados generalizados e determine os
pesos para implementar mínimos quadrados ponderados.
(d) (5 pontos) Especialize o modelo da parte (a) para o caso k = 3, isto
é,
y = β0 + β1X1 + β2X2 + ε
Descreva os passos para testar a hipótese nula de que β1 + (β2)
2 = 0.
(e) (5 pontos) Agora suponha que n = 4, k = 1,
Ω = σ2


2 1 0 0
1 6 0 0
0 0 3 1
0 0 1 4

 ,X =


1
1
1
1

 e y =


0
3
2
0

 .
Qual é a estimativa eficiente de β nesse caso? Sua resposta deve ser um
valor numérico.
2
(f) (5 pontos) Suponha que o modelo da parte (e) seja verdadeiro. Entre-
tanto, um econometrista acha que todas as hipóteses do
modelo linear clássico são satisfeitas. Em particular, ele acredita que
E (εε0|X) = σ2I. Ele conduz inferência baseado nessas suposições e acha
uma matriz de variância estimada para β que é inferior à matriz de variância
para β que alguém acharia utilizando a fórmula para a variância do estimador
de mínimos quadrados generalizados da parte (e). Como isso é possível?
3
(Questão 1)
4
(Questão 1)
5
Questão 2 (20 pontos)
Considere um mercado em que q é a quantidade de Q, p o seu preço, e z
é o preço de Z, um bem relacionado. Nós assumimos que z entra somente
na equação de demanda. Especificamente,
qd = α0 + α1p+ α2z + �1 (demanda)
qs = β0 + β1p+ �2 (oferta)
qd = qs = q (equilı´brio)
com
E [�1] = E [�2] = 0
E
£
�21
¤
= σ21, E
£
�22
¤
= σ22, E [�1�2] = σ12
E [�1z] = E [�2z] = 0
(a) (5 pontos) Resolva para p e q em termos de z, �1, �2, α0, α1, α2, β0 e
β1.
(b) (5 pontos) Suponha que você rode regressões de MQO nas equações
de demanda e oferta. Você obtém estimativas consistentes dos parâmetros?
Explique.
(c) (5 pontos) Discuta a identificação do sistema.
(d) (5 pontos) Como sua resposta para a parte (c) mudaria se z entrasse
tanto na equação de demanda quanto na equação de oferta? Em outras
palavras, suponha que o modelo verdadeiro seja
qd = α0 + α1p+ α2z + �1 (demanda)
qs = β0 + β1p+ β2z + �2 (oferta)
qd = qs = q (equilı´brio)
6
(Questão 2)
7
(Questão 2)
8
Questão 3 (30 pontos)
Suponha que você tenha o seguinte modelo
y1 = x01β1 + u1 (1)
y0 = x00β0 + u0 (2)
I∗ = y1 − y0
(u1, u0) |X1,X0 ∼ N
µ·
0
0
¸
,
·
σ11 σ10
σ10 σ00
¸¶
Nós observamos somente
I =
½
1 se I∗ ≥ 0
0 se I∗ < 0
e
y = y1I + y0 (1− I)
(a) (5 pontos) Derive E [y1|x1, I = 1] e E [y0|x0, I = 0] .
(b) (5 pontos) Você pode aplicar mínimos quadrados ordinários nas
equações (1) e (2) para estimar β1 e β0? Explique.
(c) (5 pontos) Descreva detalhadamente como você poderia obter esti-
mativas consistentes de β1 e β0 através de um procedimento em dois estágios.
(d) (10 pontos) Derive a função de verossimilhança do modelo. As-
suma que as observações são independentes e identicamente distribuídas. O
tamanho da amostra é N .
(e) (5 pontos) Como os estimadores de máxima verossimilhança de β1
e β0 resultantes da maximização da função de verossimilhança em (d) se
comparam com os estimadores propostos no item (c)?
9
(Questão 3)
10
(Questão 3)
11
Questão 4 (20 pontos)
Considere o seguinte modelo de dados de painel:
yit = α0 + α1xit + α2yi,t−1 + θi + εit, i = 1, ..., I, t = 1, ..., T
E (θi) = 0 E (εit) = 0, i = 1, ..., I, t = 1, ..., T
θi ⊥⊥ εit ∀t
εit i.i.d. para todo t e i
a) (10 pontos) Suponha que
E∗ (εit|xi1, ..., xiT ) = 0 ∀t (1)
E∗ denota projeção linear (E∗ indica que não há correlação entre εit e
xi1, ..., xiT ).
Escreva as condições de ortogonalidade para o modelo para T = 2 e
T = 3. Assuma que T é fixo e I →∞. Que parâmetros são identificados?
b) (10 pontos) Ao invés de (1), suponha que
E∗ (εit|yi1, ..., yit−1, xi1, ..., xit) = 0 ∀t (2)
Repita a análise da parte (a) para esse caso para T = 2, T = 3 e T = 4.
12
(Questão 4)
13
(Questão 4)
14