apostila de matemática 7ano 2021 março

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ESCOLA DE ENSINO FUNDAMENTAL MUNICIPAL DOMINGOS SÁVIO
Av. Dom Bosco, 393 – Centro – Baturité – CE
	
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	SÉRIE: 7° ANO
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	PROFESSOR(A): Edilene
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO
O conhecimento dos múltiplos de um número é muito importante em todo o desenvolvimento da matemática. Os múltiplos de um número inteiro n são dados pela multiplicação de n por todos os números inteiros, ou seja, o resultado dessa multiplicação são os múltiplos de n.
Leia também: Multiplicação de polinômios: saiba como fazer
Como encontrar o múltiplo de um número
Para determinar os múltiplos de um número inteiro n, devemos multiplicar esse número por outros números inteiros, os resultados dessa operação são os múltiplos de n. Podemos escrevê-los utilizando uma fórmula geral, veja:
Na fórmula M, os múltiplos dos números n e k são os inteiros que multiplicamos por n. Veja alguns exemplos.
Exemplos
Para determinar os múltiplos do número 2, devemos multiplicá-lo por números inteiros, nesse exemplo vamos encontrar os 11 primeiros múltiplos de 2.
A fim de facilitar, estabeleceremos uma notação para os múltiplos de um número, em vez de montar uma tabuada. Vamos escrevê-los assim:
M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...}
Perceba que a listagem dos múltiplos é infinita, uma vez que o conjunto dos inteiros no qual multiplicamos o número fixo é infinito.
Os múltiplos do número 3 são:
M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}
Os múltiplos do número 9 são:
M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, ...} 
O conhecimento dos múltiplos pode auxiliar na resolução de operações.
Saiba mais: Propriedade distributiva da multiplicação
Propriedade dos múltiplos
Podemos observar algumas propriedades nos múltiplos.
Propriedade 1: O número zero é múltiplo de todo número inteiro.
Propriedade 2: Ao considerar-se dois ou mais números inteiros, eles podem possuir múltiplos em comum, isto é, múltiplos que aparecem ao mesmo tempo na listagem.
Propriedade 3: O menor múltiplo comum entre dois números é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC).
DIVISORES DE UM NÚMERO
Você sabe o que são os divisores de um número? Clique e aprenda!
A professora de Carlinhos perguntou aos alunos da classe o que era uma divisão exata. Todos responderam que é uma divisão onde o resto possui valor igual a 0. Ela parabenizou a todos. Na sequência a professora realizou a seguinte pergunta: O que são divisores de um número natural? Todos ficaram em silêncio por alguns segundos, até que Carlinhos respondeu:
– Professora, eu acho que divisor de um número natural são os algarismos que dividem o número em partes exatamente iguais.
A professora disse a Carlinhos que sua resposta estava correta e que iria ensinar a todos como descobrimos os divisores de um número natural.
Todo número possui divisores naturais. Vamos observar os exemplos:
Os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e o 10.
Os divisores de 30 são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e o 30.
Os divisores de 25 são: 1, 5 e o 25.
Os divisores de 24 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Os divisores de 36 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Os divisores de 100 são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e o 100.
Observe que todos os números são divisíveis por 1 e que o maior divisor de um número é ele mesmo. E que todos eles dividem o número em partes iguais e que a divisão é exata.
ATIVIDADE
01. Coloque C se for correto e E se estiver errado:
958 é múltiplo de 3 ( )
55 é múltiplo de 8 ( )
70 é múltiplo de 2 ( )
25 é múltiplo de 5 ( )
02. Escreva ao lado, colocando vírgula:
* Os 5 primeiros múltiplos de 10 _________________________________________________
* Os 5 primeiros múltiplos de 18 _________________________________________________
* Os 5 primeiros múltiplos de 45__________________________________________________
* Os 5 primeiros múltiplos de 50___________________________________________________
03. Responda e dê exemplos ou contra-exemplos (quando a resposta for negativa).
a) Os divisores de um número par são todos pares?________________________________________
b) Os divisores de um número ímpar são todos ímpares?____________________________________
c) Os múltiplos de um número par são todos pares?__________________________________________
d) Os múltiplos de um número ímpar são todos ímpares?______________________________________
04. Quando possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.
a. 5 × ( ) = 20
b. ( ) × 3 = 18
c. 4 × ( ) = 10
d. ( ) ÷ 2 = 8
e. 3 ÷ ( ) = 4
f. ( ) ÷ 3 = 4 
05. Escreva as seguintes sequências:
a) M14 =
b) M23 =
c) M40 = 
d) D 40 =
e) D16 =
f) M16 = 
g) M35 = 
h) D35 = 
i) M29 = 
06. Responda:
a) O número 154 pertence à sequência dos múltiplos de 16? Por quê?........
b) O número 154 pertence à sequência dos múltiplos de 22? Por quê?........
c) 154 é múltiplo comum de 16 e 22? Justifique......... 
07. Em um jogo para duas ou mais pessoas são distribuídas igualmente entre os participantes 24 fichas vermelhas e 40 fichas amarelas; nenhuma ficha pode sobrar.
a) Esse jogo pode ser disputado por 3 participantes? Por quê?........
b) Esse jogo pode ser disputado por 4 participantes? Por quê?........
c) Qual é o número máximo de pessoas que podem participar desse jogo?........ 
08. No início do ano, uma papelaria vai realizar uma grande promoção para vender 3180 cadernos que estão no estoque. O gerente pretende fazer pacotes com a mesma quantidade de cadernos sem que sobrem cadernos. É possível que cada pacote contenha: 
( ) 2 cadernos? ( ) 3 cadernos? ( ) 4 cadernos? ( ) 5 cadernos?
( ) 6 cadernos? ( ) 7 cadernos? ( ) 9 cadernos? ( ) 10 cadernos?
09. Classifique em Verdadeiro(V) ou Falso (F):
( ) 30 é divisível por 6 ( ) 70 é divisível por 23
( ) 16 é divisível por 3 ( ) 64 é divisível por 16
( ) 168 é múltiplo de 4 ( ) 2.079 é múltiplo de 3
( ) 672 é múltiplo de 10 ( ) 2.640 é múltiplo de 21
10. Marque com um X a opção correta.
a) Qual dos números abaixo é múltiplo de 12 e divisível por 5?
( ) 204 ( ) 180 ( ) 190
b) Qual dos números abaixo é divisível por 3 não é múltiplo de 4?
( ) 372 ( ) 328 ( ) 354
11. Considere os números a seguir.
 930 4.000 680 4.032 72.042 6.664
Descubra quais são divisíveis por:
a)5 -
b)6 -
c)8 –
12.Verifique se os números abaixo são divisíveis por 2,3,4,5,6,8,9 ou 10.
a) 810 -
b) 192 -
c) 270 -
d) 10.224 -
	
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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
O mínimo múltiplo comum, denotado por MMC, de dois ou mais números inteiros positivos é o menor número diferente de zero que aparece na lista de múltiplos desses dois ou mais números ao mesmo tempo.
Existe um método que facilita o cálculo do mínimo múltiplo comum de um número e, para usá-lo, é necessário relembrar a decomposição em fatores primos, conhecida formalmente por Teorema Fundamental da Aritmética. Tal teorema nos garante que todo número composto pode ser escrito em produto de fatores primos.
Leia também: Você conhece as propriedades da multiplicação?
É fundamental entender o que são múltiplos para compreender o MMC.
Múltiplo comum
Quando temos dois ou mais números inteiros positivos, é possível listar os múltiplos desses números. Ao realizarmos essa listagem, vamos perceber que existem mais de um múltiplo em comum, ou seja, múltiplos que aparecem ao mesmo tempo em todas as listas desses números dados. Veja o exemplo.
Exemplo -  Listagem dos 10 primeiros múltiplos dos números 2, 8, 10.
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
Podemos ver mais de um múltiplo comum entreos números. Perceba que, entre os M (2) e M (8), temos em comum os números 8, 16, 24...; entre M (2) e M (10), temos os números 10, 20, 30, ...; entre M (8) e M (10), temos os números 40, 80, ... Esses números são chamados de múltiplos comuns.
Como determinar o MMC?
Para determinar o MMC, devemos realizar inicialmente a listagem de alguns múltiplos dos números em questão. O primeiro múltiplo que aparecer na listagem dos dois ou mais números em questão é chamado de mínimo múltiplo comum. Ele é chamado de mínimo, pois é o menor deles e sempre coincidirá com o primeiro número comum aos dois ou mais números.
Exemplo - Para determinar o mínimo múltiplo comum entre os números 4 e 8, vamos listar os múltiplos dos dois números.
M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} e M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...}
Agora, perceba que o menor múltiplo que aparece nas duas listagens é o número 8. Logo, o MMC (8,4) = 8
Exemplo - Determine o MMC (8,4) utilizando a decomposição em fatores primos.
Logo, o MMC (8,4) = 2 · 2 ·2 = 8, como mostrou o primeiro método.
Propriedades do MMC
Veja a seguir as propriedades do MMC.
· Propriedade 1
O produto do máximo divisor comum com o mínimo múltiplo comum de dois números a e b é igual ao módulo do produto desses números.
MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|
Exemplo - Sabemos que o MDC (8,4) = 4 e MMC (8,4) = 8. De fato,
MDC (8,4) · MMC (8,4) = | 8 · 4 |.
· Propriedade 2
Os múltiplos comuns de dois ou mais números são múltiplos do MMC desses números.
Exemplo - Vimos que M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} e M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...} e que o MMC (8,4) = 8.  A propriedade nos diz que os múltiplos de 8 e 4 são múltiplos de 8, que, coincidentemente nesse caso, é o mínimo múltiplo comum.
· Propriedade 3
O MMC entre dois números primos entre si é igual à multiplicação entre eles.
OBS: Dois números são primos entre si quando não possuem divisor em comum.
Exemplo - Calcule o mínimo múltiplo comum entre 5 e 21.
Como os números não possuem divisor em comum, ou seja, são primos entre si, o menor múltiplo entre eles é o produto entre eles, assim, MMC (21,5) = 21 · 5 = 105. De fato, isso é verdade, como podemos ver na decomposição em fatores primos.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
O máximo divisor comum, mais conhecido como MDC, é o maior número que divide dois ou mais números. Encontrar o MDC ajuda a resolver algumas situações-problema do nosso cotidiano. Para calculá-lo, podemos escrever a lista de divisores de cada um dos números e comparar ou podemos usar o método de decomposição desses números em fatores primos, também conhecido como decomposição simultânea.
Como calcular o MDC?
O máximo divisor comum entre dois ou mais números, como o nome sugere, é o maior divisor que divide simultaneamente esses números. Para calcular o MDC, é bastante comum que se recorra à fatoração, que facilita o processo, mas podemos simplesmente comparar os divisores dos números envolvidos.
Encontre o MDC de 18 e 12.
Por comparação, vamos escrever os divisores de 18 e os divisores de 12.
D(18) = {1,2,3,6,9,18}
D(12)= {1,2,3,4,6,12}
Existem alguns divisores em comum, que são os números {1,2,3,6}. O MDC é o maior deles.
MDC (12,18) = 6
Acontece que escrever os divisores dos números pode tornar-se uma tarefa bastante trabalhosa, por isso uma alternativa é usar a decomposição em fatores primos.
MDC (36, 45) = 9
Isso significa que o maior número que é divisor de 36 e de 45 ao mesmo tempo é o 9.
Decomposição simultânea
O caminho mais rápido para encontrar o MDC entre dois números é a decomposição simultânea, conhecida também como fatoração simultânea. Diferentemente do que fizemos na decomposição anterior, vamos decompor ao mesmo tempo os números para os quais desejamos calcular o MDC.
Calcule o MDC de (48, 84).
1º passo: realizar a decomposição de ambos os números e encontrar os fatores que os dividem simultaneamente. 
2º passo: realizar a multiplicação entre os fatores em comum. MDC (48,84) = 2 · 2 · 3 = 12
ATIVIDADE
1) Calcule o MMC(4,6).
CALCULO:
A) 0 B) 24 C)12 D)36 E)6
2) Qual é o mínimo múltiplo comum entre os números 15, 24, 60?
CALCULO:
A)120 B) 60 C)48 D) 15 E) 90
3)Calcule o M.M.C (3,6,30).
CALCULO:
A) 18 B) 24 C) 12 D) 30 E) 6
4) Três viajantes seguiram hoje para Petrolina. O mais Jovem viaja com o mesmo destino de 12 em 12 dias, o segundo, de 15 em 15 dias e o mais velho, de 20 em 20 dias. Daqui a quantos dias viajaram juntos?
CALCULO:
Dica: Calcule o mmc dos dias referentes à cada viajante
A) 24 B) 60 C) 40 D) 36 E) 30
5) Um corredor dá uma volta em torno de um percurso em 12 minutos. Já outro corredor completa o mesmo percurso em 14 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo ponto de partida? Dica: calcule o mmc do tempo que cada corredor leva para dar uma volta.
CALCULO:
A) 12 B) 14 C) 60 D) 80 E) 84
6) Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 12 minutos. Já outro ciclista completa o mesmo percurso em 20 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo ponto de partida? Dica: Use a mesma estratégia usada na questão 5
CALCULO:
A) 12 B) 20 C) 60 D)30 E) 80
7) Num clube, o presidente é eleito a cada 4 anos, o vice- presidente a cada 3 anos e o secretário a cada 2 anos. Se em 1981 houve eleição para os três cargos, em que ano isso ocorrerá novamente?
CALCULO OU RACIOCINIO:
A) 1993 B) 1990 C) 1989 D)1985 E)1996
Expressões numéricas
Ordem das operações
A expressão numérica é um conjunto de números e as operações fundamentais entre eles.
A expressão numérica é um conjunto de números e as operações fundamentais entre eles.
Na resolução de expressões numéricas, é bastante comum ter dúvida sobre qual operação devemos realizar primeiro, para isso, é necessário entender a ordem correta a ser seguida. Primeiramente sempre vamos começar por radiciação e potenciação. Caso apareçam essas duas operações ao mesmo tempo dentro de uma mesma expressão algébrica, calculamo-las na ordem em que aparecerem. 
Encontrando todas as potências e todos os radicais, as próximas operações em ordem de prioridade são a multiplicação e a divisão. Da mesma forma, operações com mesmo grau de prioridade são sempre calculadas na ordem em que aparecem, o que acontece com a multiplicação e a divisão.
Uso dos símbolos nas expressões numéricas
· primeiro, as operações que estão dentro do parêntese;
· depois, as operações que estão entre colchetes; 
· por fim, as operações que estão entre chaves. 
Passo a passo para resolver expressões numéricas
Exemplo:
{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²
Para calcular a expressão quando ela possui símbolos, começamos sempre resolvendo as operações que estão dentro do parêntese.
{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²
{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²
Agora que não há nenhuma operação entre parênteses, vamos buscar eliminar os colchetes. Dentro deles, é importante respeitar a ordem de prioridade das operações, começando, então, nesse caso, pela radiciação.
{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²
{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²
Ainda com o objetivo de eliminar o colchete, realizaremos agora a divisão, já que ela possui prioridade em relação à adição e subtração.
{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²
{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²
Para eliminar o colchete, calcularemos as adições e a subtração, na ordem em que essas operações aparecem.
{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²
{[5 – 2 + 9] : 4}²
{[3 + 9] : 4}²
{12 : 4}²
Agora que eliminamos o parêntese, por fim, vamos eliminar as chaves, e, para isso, vamos calcular a divisão:
{12 : 4}²
3²
Por fim, só nos resta calcular a potência:
3²
9
Atividade
1) Calcule as expressões numéricas:
a) 2 + 8 – 3 – 5 + 15 =
b) 12 + [35 - (10 + 2) +2]=
c) [(18 + 3 · 2) ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 6 =
d) 37 + [-25 – (-11 + 19 – 4)] =
e) 60 ÷ {2 · [-7 + 18 ÷ (-3 + 12)]} – [7 · (-3) – 18 ÷ (-2) + 1] =
f) -8 + {-5 + [(8 – 12) + (13 + 12)] – 10} =